---

Mit spørgsmål er om bekræftigelse på noget forståelse... som nok er lidt
banalt.

Hvis man ser en "opgave" som eksempelvis
løs differentialligningen
y(0)=10 y'(t)=2t

Så handler det om at finde y(t)=noget, ikke sandt?

Er den gængse måde at bruge Taylorrækken og skrive y(t), eller egentlig
y(0+t) som
y(0+t)=y(0)+(y'(0)/2)*t+(y''(t)/6)*t^2+rest, som her er nul
Det bliver så i eksemplet til
y(t)=10+(0/2)*t+(2/6)*t^2=10+1/3t^2

... og det er det der er svaret på "opgaven"?

Hvad nu hvis der er mange flere afledede af y, og ikke kun to som her? Hvis
man har en masse der svinger om et punkt i en fjeder, så kunne det jo
istedet være
y(0)=10 y''(t)=y*k
Måske det bare er mig der ikke er for vaks, men så vil man vel ikke bare
kunne smide det ind i et kort udtryk og finde en løsning. Hvad gør man så?

---

"Wisekop" <rather@not.no> skrev i en meddelelse
news:46def781$0$7605$157c6196@dreader2.cybercity.dk...
> Mit spørgsmål er om bekræftigelse på noget forståelse... som nok er lidt
> banalt.
Kun svar kan være banale
> Hvis man ser en "opgave" som eksempelvis
> løs differentialligningen
> y(0)=10 y'(t)=2t
>
> Så handler det om at finde y(t)=noget, ikke sandt?
>
Tjaaa ... det ligner ikke helt hvad jeg forstår ved en differentialligning,
men jeg tror du har forstået det rigtigt nemlig at du skal finde den
funktion som opfylder de to viste betingelser.
Kender du til at differentiere og integrere ?? du kender jo den afledede
funktion og skal finde stamfunktion, og du kender funktionsværdien i et
enkelt punkt så du kan fastlægge den arbitrære konstant. Er dette sort snak
??
Taylor ??? hmmmmm ..... aner ikke om han er relevant men det du har fundet
frem til ser ikke umiddelbart rigtigt ud.
Hilsen
Jens

---

"Wisekop" <rather@not.no> skrev i meddelelsen
news:46def781$0$7605$157c6196@dreader2.cybercity.dk...
> Mit spørgsmål er om bekræftigelse på noget forståelse... som nok er lidt
> banalt.
>
> Hvis man ser en "opgave" som eksempelvis
> løs differentialligningen
> y(0)=10 y'(t)=2t
>
> Så handler det om at finde y(t)=noget, ikke sandt?
>
> Er den gængse måde at bruge Taylorrækken og skrive y(t), eller egentlig
> y(0+t) som
> y(0+t)=y(0)+(y'(0)/2)*t+(y''(t)/6)*t^2+rest, som her er nul
> Det bliver så i eksemplet til
> y(t)=10+(0/2)*t+(2/6)*t^2=10+1/3t^2
>
> .. og det er det der er svaret på "opgaven"?

Det er en lidt utraditionel metode, men du har forkert !-funktion i
taylorrækken.

Mvh
Martin

---

> Det er en lidt utraditionel metode, men du har forkert !-funktion i
> taylorrækken.

Ja, det ser jeg nu. Jeg kom for langt med nævneren. Det skulle have været
y(t)=10+2*t+2/2*t^2, ikke?

Torben har en pointe i at jeg kan integrere funktionens afledte og få
løsningen, men hvis ikke man lige kunne det, og hvis ikke min metode er
traditionen hvad er så den traditionelle metode?

---

"Wisekop" <rather@not.no> skrev i meddelelsen
news:46dfd27e$0$7610$157c6196@dreader2.cybercity.dk...
>> Det er en lidt utraditionel metode, men du har forkert !-funktion i
>> taylorrækken.
>
> Ja, det ser jeg nu. Jeg kom for langt med nævneren. Det skulle have været
> y(t)=10+2*t+2/2*t^2, ikke?

Nej, du skulle gerne ende med 10 + t²

> Torben har en pointe i at jeg kan integrere funktionens afledte og få
> løsningen

> men hvis ikke man lige kunne det, og hvis ikke min metode er traditionen
> hvad er så den traditionelle metode?

Den traditionelle metode er at slå op i en tabel over integraler

Mvh
Martin

---

"Martin Larsen" <mlarsen@post7.tele.dk> wrote in message
news:46dfdef9$0$2319$edfadb0f@dread15.news.tele.dk...
> "Wisekop" <rather@not.no> skrev i meddelelsen
> news:46dfd27e$0$7610$157c6196@dreader2.cybercity.dk...
>>> Det er en lidt utraditionel metode, men du har forkert !-funktion i
>>> taylorrækken.
>>
>> Ja, det ser jeg nu. Jeg kom for langt med nævneren. Det skulle have været
>> y(t)=10+2*t+2/2*t^2, ikke?
>
> Nej, du skulle gerne ende med 10 + t²
>
>> Torben har en pointe i at jeg kan integrere funktionens afledte og få
>> løsningen
>
>> men hvis ikke man lige kunne det, og hvis ikke min metode er traditionen
>> hvad er så den traditionelle metode?
>
> Den traditionelle metode er at slå op i en tabel over integraler

Hvis man ikke kan integrere 2t dt, ved man vist ikke noget som helst om
integralregning, og en tabel er ikke til meget hjælp.

---

> Hvis man ikke kan integrere 2t dt, ved man vist ikke noget som helst om
> integralregning, og en tabel er ikke til meget hjælp.

Det var et eksempel. At det så i farten blev et lidt for simpelt eksempel,
det er en anden sag.

---

> Det var et eksempel. At det så i farten blev et lidt for simpelt eksempel,
> det er en anden sag.

Glemte lige at rette den oprinelige fejl.
f'(t)=2t f(0)=10 bliver så til

f(t)=f(0)+f'(0)*t + (f''(0)*t^2)/(2!)
f(t)=10+0*t + (2*t^2)/(2!)
f(t)=10+t^2

så metoden er altså ikke forkert, selvom den i det konkrete eksempel
naturligvis var en omvej.
Spørgsmålet er stadig, som jeg uddybede tidligere, hvad man gør hvis man
ønsker at løse en mere kompleks ligning hvor man ikke "bare" kan integrere
og heller ikke "bare" kan opskrive en endelig taylorrække.

---

> Spørgsmålet er stadig, som jeg uddybede tidligere, hvad man gør hvis man
> ønsker at løse en mere kompleks ligning hvor man ikke "bare" kan integrere
> og heller ikke "bare" kan opskrive en endelig taylorrække.

Jeg kunne selvfølgelig også tage mig sammen og finde på en konkret opgave.
Sorry bout that.

y''(x)+8y'(x)-3y(x)=0 uden startbetingelser.

Her kan jeg jo ikke lige opskrive en række og finde svaret. Jeg kan heller
ikke bare integrere det i et hug.

---

Wisekop wrote:
>> Spørgsmålet er stadig, som jeg uddybede tidligere, hvad man gør hvis man
>> ønsker at løse en mere kompleks ligning hvor man ikke "bare" kan integrere
>> og heller ikke "bare" kan opskrive en endelig taylorrække.
>
> Jeg kunne selvfølgelig også tage mig sammen og finde på en konkret opgave.
> Sorry bout that.
>
> y''(x)+8y'(x)-3y(x)=0 uden startbetingelser.
>
> Her kan jeg jo ikke lige opskrive en række og finde svaret. Jeg kan heller
> ikke bare integrere det i et hug.
>
>
Her kan man vist bruge laplace transformationer
http://en.wikipedia.org/wiki/Laplace_transform
Umiddelbart får jeg

y(x)=exp(4x)*(y(0)*cosh(sqrt(19)x)+(y'(0)-4y(0))*sinh(sqrt(19)x)/sqrt(19))

Men det er sendt på aftenen og jeg er ikke expert i laplace transformationer

---

Jeg er ikke nogen ørn til Laplace-transformation, men ved at det bruges til
løsning af liniære differentialligninger som eksemplet:

>> y''(x)+8y'(x)-3y(x)=0 uden startbetingelser

Har en dansk bog af Thomas Heilmann på 64 sider. Den kan købes her:
http://www.heilmann.dk/laplace.html

Med venlig hilsen
Torben W. Hansen

---

Knud Soerensen <4tuu4k002@sneakemail.com> writes:

> Wisekop wrote:
>>> Spørgsmålet er stadig, som jeg uddybede tidligere, hvad man gør hvis man
>>> ønsker at løse en mere kompleks ligning hvor man ikke "bare" kan integrere
>>> og heller ikke "bare" kan opskrive en endelig taylorrække.
>>
>> Jeg kunne selvfølgelig også tage mig sammen og finde på en konkret opgave.
>> Sorry bout that.
>>
>> y''(x)+8y'(x)-3y(x)=0 uden startbetingelser.
>>
>> Her kan jeg jo ikke lige opskrive en række og finde svaret. Jeg kan heller
>> ikke bare integrere det i et hug.
>>
>>
> Her kan man vist bruge laplace transformationer
> http://en.wikipedia.org/wiki/Laplace_transform
> Umiddelbart får jeg
>
> y(x)=exp(4x)*(y(0)*cosh(sqrt(19)x)+(y'(0)-4y(0))*sinh(sqrt(19)x)/sqrt(19))
>
> Men det er sendt på aftenen og jeg er ikke expert i laplace transformationer

Hmm. Jeg tror, at det kan gøres enklere. Hvis vi antager at y(x) =
e^(k*x), så er y'(x) = k*e^(k*x) og y'' = k^2*e^(k*x). Vi får altså
ligningen


k^2*e^(k*x)+8k*e^(k*x)-3e^(k*x) = 0

<=> k^2+8k-3 = 0

-8 +/- sqrt(8^2+4*3)
<=> k = -------------------- = -4 +/- sqrt(19)
2


så y(x) = e^((-4 +/- sqrt(19))*x)

Det skulle ikke undre mig, om din løsning reducerer til det samme.

   Torben

---

"Wisekop" <rather@not.no> writes:

> Mit spørgsmål er om bekræftigelse på noget forståelse... som nok er lidt
> banalt.
>
> Hvis man ser en "opgave" som eksempelvis
> løs differentialligningen
> y(0)=10 y'(t)=2t

Det er ikke egentlig en differentialligning (idet y(t) og y'(t) ikke
indgår i samme ligning), så den kan løses med simpel integration:

y'(t) = 2t => y(t) = t^2+k

y(t) = t^2+k og y(0) = t => 0^2+k = 10 => k=10.

Altså er y(t) = t^2+10.

Torben

---

"Wisekop" <rather@not.no> writes:

> Torben har en pointe i at jeg kan integrere funktionens afledte og
> få løsningen, men hvis ikke man lige kunne det, og hvis ikke min
> metode er traditionen hvad er så den traditionelle metode?

Jeg tror ikke at der findes ikke en standardmetode der altid virker.

Nogle differentialligninger kan løses ved at integrere på begge sider
(ligesom din)

Nogle differentialligninger kan løses med Laplacetransformation
http://mathworld.wolfram.com/LaplaceTransform.html

Nogle differentialligninger kan løses med separation af variable
http://mathworld.wolfram.com/SeparationofVariables.html

Nogle gange kan man løse en differentialligning ved at substituere en
variabel med en anden (ligesom når man integrerer)

Nogle differentialligninger optræder så tit at man har givet et navn
til løsningen. Eksempelvis er Besselfunktionerne løsninger til Bessels
differentialligning:
http://mathworld.wolfram.com/BesselFunction.html

Der findes også differentialligninger som man ikke kan ikke kender en
løsning til.

Hvis du har et matematikprogram som Maple eller Mathematica, så er det
tit en god ide at lade computeren løse differentialligningerne istedet
for at regne selv.

Niels