/ Forside / Karriere / Uddannelse / Højere uddannelser / Nyhedsindlæg
Login
Glemt dit kodeord?
Brugernavn

Kodeord


Reklame
Top 10 brugere
Højere uddannelser
#NavnPoint
Nordsted1 1588
erling_l 1224
ans 1150
dova 895
gert_h 800
molokyle 661
berpox 610
creamygirl 610
3773 570
10  jomfruane 570
Dobbeltintegral og integrationsrækkefølge
Fra : Thomas


Dato : 02-09-07 14:58

Hej,

Nedenstående dobbeltintegral giver arealet af en cirkel med radius r:

\int _{-r} ^r (\int _{-\sqrt{r^2-x^2}} ^{\sqrt{r^2 - x^-2}} dy) dx = \pi r^2

Burde man ikke kunne ændre integrationsrækkefølgen jævnfør Fubinis teorem
og derved få samme resultat ved:

\int _{-\sqrt{r^2-x^2}} ^{\sqrt{r^2-x^2}} (\int _{-r} ^r dx) dy

Men det får jeg til 4r\sqrt{r^2-x^2}. Hvad har jeg misforstået?

Venligst,
Thomas





 
 
Jens Axel Søgaard (02-09-2007)
Kommentar
Fra : Jens Axel Søgaard


Dato : 02-09-07 18:28

Thomas wrote:
> Hej,
>
> Nedenstående dobbeltintegral giver arealet af en cirkel med radius r:
>
> \int _{-r} ^r (\int _{-\sqrt{r^2-x^2}} ^{\sqrt{r^2 - x^-2}} dy) dx = \pi r^2
>
> Burde man ikke kunne ændre integrationsrækkefølgen jævnfør Fubinis teorem
> og derved få samme resultat ved:
>
> \int _{-\sqrt{r^2-x^2}} ^{\sqrt{r^2-x^2}} (\int _{-r} ^r dx) dy
>
> Men det får jeg til 4r\sqrt{r^2-x^2}. Hvad har jeg misforstået?

Der er noget galt med grænserne i den sidste linje. Hvis vi
ser på det yderste integral, så er det:

\int _{-\sqrt{r^2-x^2}} ^{\sqrt{r^2-x^2}} ... dy

Hvad er x?

Hvis du visualiserer det første integral int (int ... dy) dx, som
en "sum" af lodrette linjer, så skal din omskrivning være en
"sum" af vandrette linjer. Noget a la:

\int _{-r} ^r (\int _{-\sqrt{r^2-y^2}} ^{\sqrt{r^2 - y^-2}} dx) dy

I den klassiske Fubini ryger du ikke ind i problemer med grænserne
da du integrerer over et kvadrat.

http://en.wikipedia.org/wiki/Fubini's_theorem

Hvis du vil anvende kvadratudgaven af Fubini's sætning direkte,
kan du indføre en indikatator funktion i(x,y) som er 1, hvis (x,y)
tilhører cirkelskiven og 0 udenfor.

Fubini siger så:

r r r r
int int i(x,y) dy dx = int int i(x,y) dx dy
-r -r -r -r

Betragt nu vestresiden. For et fast x mellem -r og r
er i(x,y)=0 for y udenfor [-rod(r^2-x^2),+rod(r^2-x^2].
Det vil sige:

r r r rod(r^2-x^2]
int int i(x,y) dy dx = int int i(x,y) dy dx
-r -r -r -rod(r^2-x^2)

Tilsvarende fås for højresiden:

r r r rod(r^2-y^2]
int int i(x,y) dx dy = int int i(x,y) dx dy
-r -r -r -rod(r^2-y^2)

--
Jens Axel Søgaard

Søg
Reklame
Statistik
Spørgsmål : 177552
Tips : 31968
Nyheder : 719565
Indlæg : 6408849
Brugere : 218887

Månedens bedste
Årets bedste
Sidste års bedste