"Michael Jacobsen" <mjacobsen78@gmail.com> wrote in message
news:enmckv$s3b$1@news.net.uni-c.dk...
> Hej,
>
> Er det korrekt, at kardinaliteten af de komplekse tal er det samme som
> kardinaliteten af de reelle tal (som ifølge kontinuumhypotesen er
> aleph_1)?
Ja.
> Hvis det er korrekt, må man kunne lave en bijektiv afbildning fra de
> reelle tal over i de komplekse tal.
Ja. Men det er simplere at udnytte at C er ækvivalent med RxR.
Det er trivielt at lave en injektion R->RxR. Altså er RxR større end R.
For en injektion RxR->R: Forestil dig at alle talpar (x, y) i RxR er skrevet
i deres binære repræsentation (x', y'). Lad f(x,y) = x'+2*y' (udregnet
decimalt). f(x,y) vil da i hver position være 0, 1, 2 eller 3 afhængig af
hvad x' og y' er i samme position. Man vil derfor givet et tal z, der er
kendt at være i billedmængden for f altid entydigt kunne finde de to tal x
og y der giver f(x,y)=z.
> Generelt: Hvordan griber man problemet an mht. at vise, at der eksisterer
> en bijektiv afbildning mellem to mængder?
Man konstruerer den.
Hvordan? Det varierer. Ovennævnte (som jeg ærlig talt ikke kan huske om jeg
har opfundet på stedet eller genfortalt fra hukommelsen) er en variation
over den klassiske diagonalisering, der viser at N og Q er lige store.
> Tillægsspørgsmål: Findes der kendte (konstruerbare) mængder, der har
> større kardinalitet end aleph_1?
2^R. (Mængden af afbildninger fra R over i {0,1}, eller om du vil: mængden
af delmængder af R.)
Der gælder generelt at kardinaliteten af en mængde M er mindre end
kardinaliteten af 2^M. Hvoraf naturligvis følger at mængden af kardinaltal
er uendelig. (Men *hvor* uendelig? Hvad er kardinaliteten af mængden af
kardinaltal?)
> Tak!
Ingen årsag. Det er et af de sjovere emner.