> Hvordan ser din udregning ud?
Det bliver nok lidt noget rod i tekst, men jeg skal prøve. Hvis det går helt
galt må jeg jo skrive det ind i latex eller noget. Jeg skal prøve at gøre
det udførligt så det er let at følge.
Jeg har fundet resultatet andetsted og kan se at det som forventet skal give
0 for alle koefficienter undtagen -1 og 1 som skal give ½. Jeg kan blot ikke
selv få det resultat.
Lad n være frekvenskoefficienten.
Lad i være den imaginære enhed.
Lad "sum_a^b c" være "sum fra a til b af c"
Lad "int_a^b c" være "integralet fra a til b af c"
Lad "[stamfunktion]_a_b" være "stamfunktionen taget i b minus stamfunktionen
c taget i a"
Så har vi (ifølge wikipedia):
x(t) = sum_n=-infty^infty C_n * e^(i*n*t)
....hvor C_n = 1/(2*pi) * int_0^(2*pi) cos(t)*e^(-i*n*t) dt
Det er C_n'erne jeg er interesseret i.
Så vælger jeg at omskrive cos(t) til (e^(i*t) + e^(-i*t))/2 - Eulers inverse
formel vist nok.
Nu har vi:
C_n = 1/(2*pi) * int_0^(2*pi) (e^(i*t) + e^(-i*t))/2*e^(-i*n*t) dt
Så flytter jeg ½ uden for integralet:
C_n = 1/(2*pi) * (1/2) * int_0^(2*pi) (e^(i*t) + e^(-i*t))*e^(-i*n*t) dt
Så ganger jeg e^(-i*n*t) ind i parentesen:
C_n = 1/(2*pi) * (1/2) * int_0^(2*pi) e^(i*t-i*n*t) + e^(-i*t-i*n*t) dt
Så flytter jeg t uden for parentes oppe i eksponenterne.
C_n = 1/(2*pi) * (1/2) * int_0^(2*pi) e^(i-i*n)*t + e^(-i-i*n)*t dt
Så deler jeg integralet op i to fordi et integrale af en sum er lig med
summen af to integraler:
C_n =
1/(2*pi) * (1/2) * int_0^(2*pi) e^(i-i*n)*t dt +
1/(2*pi) * (1/2) * int_0^(2*pi) e^(-i-i*n)*t dt
Så udfører jeg integralet ved at bruge stamfunktionen for e^(kx) som er
(1/k)*e^(kx):
1/(2*pi) * (1/2) * [(1/(i-i*n)) * e^(i-i*n)*t]_0^2*pi +
1/(2*pi) * (1/2) * [(1/(-i-i*n)) * e^(-i-i*n)*t]_0^2*pi
Så sætter jeg konstanten som indgår i stamfunktionen uden for []-udtrykket
og regner lidt og kommer frem til følgende:
1/(2*pi) * (1/2) * (1/(i-i*n)) * (e^(i-i*n)*2*pi -1) +
1/(2*pi) * (1/2) * (1/(-i-i*n)) * (e^(-i-i*n)*2*pi -1)
....som så vidt jeg kan se giver 0 for alle n. Det bliver vist
noget*noget*noget*0.
--
Jacob
E-mail: jacob@etlivmedsle.dk
Hjemmeside:
www.etlivmedsle.dk