"Peter Wing Larsen" <peterwing@mail.dk> skrev i en meddelelse
news:edn82n$lf2$1@news.net.uni-c.dk...
> Hej,
>
> Jeg sidder lige og prøver at få styr på begreberne injektiv, surjektiv og
> bijektiv. Er det forstået korrekt, at
>
> * en funktion er injektiv, hvis der for ethvert y findes max ét (men gerne
> ikke noget) x så f(x) = y
Ja.
> * en funktion er surjektiv, hvis der for ethvert y findes mindst ét x
> (altså gerne flere) så f(x) = y
Ja.
> * en funktion er bijektiv, hvis der for ethvert y findes findes præcist ét
> x så f(x) = y
Ja. En anden måde at sige det, er at en funktion er bijektiv hvis og kun
hvis den både er injektiv og surjektiv.
> Er kravet, at hvis en funktion skal have en invers, skal den være
> injektiv, ikke surjektiv, men gerne bijektiv?
Det er vist besvaret for nylig, men jeg skal gerne gentage det.
Normalt kræver man at en funktion skal være bijektiv, for at den har en
invers. Dette er det stringente krav.
Men da kravet om at funktionen f : A->B er surjektiv altid kan opfyldes ved
i stedet at betragte f : A -> f(A) vil man i nogen sammenhænge lidt sjusket
nøjes med at kræve injektivitet.
> Er der forskel hvis den er injektiv og bijektiv?
Det er forhåbentlig klart efter ovenstående.
> Har det her nogen sammenhæng med, at en funktion er monoton?
Ja og nej. En monoton vil være injektiv (bevis det hellere selv, det er ikke
svært), men ikke nødvendigvis surjektiv. To modeksempler er cot x og
f: R->R
f(x) = x for x <0
f(x) = x+4 for x>=0
Venlig hilsen
Kristian