/ Forside / Karriere / Uddannelse / Højere uddannelser / Nyhedsindlæg
Login
Glemt dit kodeord?
Brugernavn

Kodeord


Reklame
Top 10 brugere
Højere uddannelser
#NavnPoint
Nordsted1 1588
erling_l 1224
ans 1150
dova 895
gert_h 800
molokyle 661
berpox 610
creamygirl 610
3773 570
10  jomfruane 570
Udbredelseshastighed og tidsskridt
Fra : Niels


Dato : 24-05-06 08:19

Løser man varmeligningen U_t=U_{xx}numerisk for et eksempel hvor dx er 1m og
dt er 1s og har man 0<=x<=1000 og u(500,0) som begyndelsestilstand, så vil
man i endepunkterne 500m fra centrum "opdage" varmen efter 500s.
Hvis man sætter dt=0.1s, så vil varmen igen nå endepunkterne efter 500
skridt, men det er nu 50s.
Jo mindre dt bliver, jo hurtigere kommer varmen ud til enden. Enderne bliver
ikke hurtigere meget varme, men "varme-signalet" når enderne hurtigere jo
mindre dt man bruger.

Hvordan giver det mening? I den virkelige verden kan man jo ikke regne med
uendelig udbredelseshastighed.
Hvis det var bølgeligningen, så ville det samme ske, og hvad betyder det for
bølgens udbredelseshastighed? Hvordan vælger man en korrekt dt og dx som
giver den virkelige udbredelseshastighed?



 
 
Niels (24-05-2006)
Kommentar
Fra : Niels


Dato : 24-05-06 08:35

> Hvordan giver det mening? I den virkelige verden kan man jo ikke regne med
> uendelig udbredelseshastighed.

Er der tale om at den varme eller bølge som kommer frem i eksemplet er så
svag at den falder indenfor ens fejlmargin, og dermed ikke kan regnes for
ægte?

Hvad er egentlig årsagen til at lyd i en jernstang, i den virkelige verden,
ikke udbredes med lysets hastighed? Hvis jeg skubber til et jernatom i
gitterstrukturen, så vil det jo med det samme frastøde naboen i
skubberetningen mere end før, og naboen bliver skubbet og skubber sin nabo.
Udbredelsen af trykbølgen sker altså med elektromagnetisk frestødning som er
med lysets hastighed?
For luft vil jeg tro det er anderledes fordi molekylerne ikke hele tiden er
låst fast i et gitter, men istedet flyver omkring og somme tider kommer nær
hinanden, men ikke er det hele tiden. Hvis jeg skubber til luften, så
flytter jeg nogle molekyler i en retning, og der vil nu være flere end før
der (højere tryk) og det er mere sansynligt at nogle kommer nær hinanden og
skubber næste lag frem, men her er det et spørgsmål om at øge trykket og
dermed sansynligheden for "kollisioner" og dermed udbredelse af trykbølgen?



Torben W. Hansen (24-05-2006)
Kommentar
Fra : Torben W. Hansen


Dato : 24-05-06 11:33

"Niels" <nej@tak.du> skrev i en meddelelse
news:44740c8d$0$60781$157c6196@dreader1.cybercity.dk...
>> Hvordan giver det mening? I den virkelige verden kan man jo ikke regne
>> med uendelig udbredelseshastighed.
>

> Hvad er egentlig årsagen til at lyd i en jernstang, i den virkelige
> verden, ikke udbredes med lysets hastighed? Hvis jeg skubber til et
> jernatom i gitterstrukturen, så vil det jo med det samme frastøde naboen i
> skubberetningen mere end før, og naboen bliver skubbet og skubber sin
> nabo.

Ikke fordi jeg har forstand på feltet, men kan man ikke betragte
gitterstukturen som en fjeder og molekylerne som masse samt indre og ydre
friktionstab som dæmpning. Så har man et 2-ordens system for hver
gitterstruktur, dvs. en række serieforbundne 2-ordens systemer, hver af
formen

c·x' + k·(x_u - x) = m·x''

hvor

F_u = k·(x_u - x) = Den exciterende krafts størrelse [N]
c = dæmning [N·s/m]
k = fjederkonstant [N/m]
m = masse [kg]
x = massens forskydning væk fra ligevægtstilling [m]
x_u = Den exciterende krafts bevægelse [m]

Systemet vil vel resultere i den tidsforsinkelse, der bestemmer lydens
hastighed i en jernstang ?

Med venlig hilsen
Torben W. Hansen



Henning Makholm (24-05-2006)
Kommentar
Fra : Henning Makholm


Dato : 24-05-06 19:04

Scripsit "Niels" <nej@tak.du>

> Løser man varmeligningen U_t=U_{xx}numerisk for et eksempel hvor dx er 1m og
> dt er 1s og har man 0<=x<=1000 og u(500,0) som begyndelsestilstand, så vil
> man i endepunkterne 500m fra centrum "opdage" varmen efter 500s.
> Hvis man sætter dt=0.1s, så vil varmen igen nå endepunkterne efter 500
> skridt, men det er nu 50s.
> Jo mindre dt bliver, jo hurtigere kommer varmen ud til enden. Enderne bliver
> ikke hurtigere meget varme, men "varme-signalet" når enderne hurtigere jo
> mindre dt man bruger.

At du når sådanne absurditeter er i almindelighed et tegn på at du
forsøger at strække teorien ud over den grænse hvor den giver mening.
Det kan man ikke bebrejde dig; det er sådan man efterhånden får
erfaring for _hvornår_ man skal passe på med at stole for meget på
hvad man regner sig frem til.

I dette tilfælde vil jeg mene at nøglen er at differentialligninger
virker bedst som fysisk værktøj når de funktioner der indgår er
"pæne", hvilket i denne sammenhæng vil sige væsentligt mere end blot
kontinuerte og differentiable: De skal helst være analytiske
eller i det mindste vilkårligt ofte differentiable.

Her har du specificeret en begyndelsesbetingelse der siger at
temperaturen er positiv i punkt 500 men konstant 0 langt fra dette
punkt. Men hvis en analytisk funktion er konstant i blot et lille
interval, _skal_ den være konstant overalt, så din
begyndelsesbetingelse er ikke analytisk. Sådan en "upæn" funktion
giver anledning til numeriske ustabiliteter, og hvordan de udbreder
sig kan sagtens afhænge af skridtlængden i tid og rum, netop fordi de
ikke er fysiske realiteter men blot artefakter fra udregningsmetoden.


Den samme situation kan imidlertid også anskues fra den modsatte side.
Rent fysisk giver selve begrebet om temperatur kun mening når der er
tale om en situation der lokalt er en tilnærmelse til termodynamisk
ligevægt. Man skal tage et gennemsnit over afstande der er forholdsvis
store i forhold til størrelsen af molekyler eller krystalceller, for
at kunne tale meningsfuldt om temperaturer. Så hvis man har en
situation hvor temperaturen (eller temperaturgradienten) ændrer sig
betydeligt over skalaer der er kortere end som så, kan man ikke
længere forvente at den simple varmediffusionsligning længere
beskriver hvad der sker.


En tredje tilgang drejer sig blot om usikkerhed. Diffusionsligningen
fordrer matematisk at virkningen af en brat temperaturforskel udbreder
sig uendelig hurtigt, men hvis du har blot en tusindedel K's
usikkerhed på begyndelsesbetingelerne, vil det kun være ganske tæt på
udgangspunktet at den ændring der (i strid med erfaringen) bør ske
straks, faktisk kan skelnes fra begyndelsesusikkerheden.

> Hvis det var bølgeligningen, så ville det samme ske, og hvad betyder det for
> bølgens udbredelseshastighed? Hvordan vælger man en korrekt dt og dx som
> giver den virkelige udbredelseshastighed?

I tilfældet bølgeligningen kan man jo analytisk finde bølgens
hastighed, så for et givet dx skal dt vælges lille nok til at
skridtstørrelsen ikke kommer til at begrænse bølgebevægelsen
kunstigt.

Ellers må man i almindelighed bare sørge for at bruge så små skridt at
de kunstige afrundingsfænomener som bevæger sig hurtigere end fysikken
tillader, holder sig mindre end de usikkerheder i løsningen man kan
acceptere. (Avancerede metoder til numerisk løsning af
differentialligninger går bl.a. ud på at søge at automatisere denne
vurdering i et brugbart omfang).

--
Henning Makholm "`Update' isn't a bad word; in the right setting it is
useful. In the wrong setting, though, it is destructive..."

Niels (24-05-2006)
Kommentar
Fra : Niels


Dato : 24-05-06 21:10

> At du når sådanne absurditeter er i almindelighed et tegn på at du
> forsøger at strække teorien ud over den grænse hvor den giver mening.

Det gør jeg tydeligvis. Grunden er nok at når jeg får et
bølgeberegningsværktøj i hånden, så tænker jeg straks på hvad jeg kan
simulere med det

> Her har du specificeret en begyndelsesbetingelse der siger at
> temperaturen er positiv i punkt 500 men konstant 0 langt fra dette
> punkt. Men hvis en analytisk funktion er konstant i blot et lille
> interval, _skal_ den være konstant overalt, så din
> begyndelsesbetingelse er ikke analytisk.

Jeg troede mine 500 i midten og 0 i resterende x-værdier var
begyndelsesbetingelsen og at de konstante nul i enden var grænseværdierne?

>Sådan en "upæn" funktion
> giver anledning til numeriske ustabiliteter, og hvordan de udbreder
> sig kan sagtens afhænge af skridtlængden i tid og rum, netop fordi de
> ikke er fysiske realiteter men blot artefakter fra udregningsmetoden.

Vil det også gælde hvis man definerer en firkantbølge, eller andet med
lodrette flanker? Det giver jo, som du siger, reelt nogle funktioner som
ikke er kontinuære.

> Ellers må man i almindelighed bare sørge for at bruge så små skridt at
> de kunstige afrundingsfænomener som bevæger sig hurtigere end fysikken
> tillader, holder sig mindre end de usikkerheder i løsningen man kan
> acceptere. (Avancerede metoder til numerisk løsning af
> differentialligninger går bl.a. ud på at søge at automatisere denne
> vurdering i et brugbart omfang).

Ok. Det er rart at vide at det faktisk er "sådan det er", og at det ikke kun
er mig der har misforstået noget grundlæggende. Det virker også som det mest
naturlige at se det som en lille beregningsfejl, som man kan runde ned til
nul.

Takker for at du tager dig tiden til at svare på mine utallige spørgsmål.



Henning Makholm (24-05-2006)
Kommentar
Fra : Henning Makholm


Dato : 24-05-06 22:08

Scripsit "Niels" <nej@tak.du>

>> Her har du specificeret en begyndelsesbetingelse der siger at
>> temperaturen er positiv i punkt 500 men konstant 0 langt fra dette
>> punkt. Men hvis en analytisk funktion er konstant i blot et lille
>> interval, _skal_ den være konstant overalt, så din
>> begyndelsesbetingelse er ikke analytisk.

> Jeg troede mine 500 i midten og 0 i resterende x-værdier var
> begyndelsesbetingelsen og at de konstante nul i enden var grænseværdierne?

Mit "konstant" betød her "afhænger ikke af x".

>> Sådan en "upæn" funktion giver anledning til numeriske
>> ustabiliteter, og hvordan de udbreder sig kan sagtens afhænge af
>> skridtlængden i tid og rum, netop fordi de ikke er fysiske
>> realiteter men blot artefakter fra udregningsmetoden.

> Vil det også gælde hvis man definerer en firkantbølge, eller andet med
> lodrette flanker?

Ja. Så har man jo allerede et problem med at definere de førsteordens
afledede, endsige afledede af højere orden.

I visse situationer kan man godt slippe af sted med det - fysikere
svælger i "deltafunktioner" og tillader sig endda at arbejde med deres
afledede funktioner - men det kræver en del erfaring at kunne genkende
de sikkre tilfælde, og pernittengryne matematikere opfordres ofte til
at kigge den anden vej i gerningsøjeblikket.

--
Henning Makholm "We can hope that this serious deficiency will be
remedied in the final version of BibTeX, 1.0, which is
expected to appear when the LaTeX 3.0 development is completed."

Søg
Reklame
Statistik
Spørgsmål : 177552
Tips : 31968
Nyheder : 719565
Indlæg : 6408847
Brugere : 218887

Månedens bedste
Årets bedste
Sidste års bedste