/ Forside / Karriere / Uddannelse / Højere uddannelser / Nyhedsindlæg
Login
Glemt dit kodeord?
Brugernavn

Kodeord


Reklame
Top 10 brugere
Højere uddannelser
#NavnPoint
Nordsted1 1588
erling_l 1224
ans 1150
dova 895
gert_h 800
molokyle 661
berpox 610
creamygirl 610
3773 570
10  jomfruane 570
Terningekast, kombinationer og permutation~
Fra : Malte Runz


Dato : 15-02-06 21:20

Ved slag med seks terninger (en ad gangen eller ét slag med 6 distinkte
terninger) vil der være 6^6 mulige udfald.
Hvordan beregner jeg antallet af udfald, der giver hver af de følgende
kombinationer:

0 ens
2 ens (og kun 2 ens)
3 ens (og kun 3 ens) etc...
4 ens
5 ens
6 ens
2 x 2 ens
3 x 2 ens
2 x 3 ens
3 ens + 2 ens
4 ens + 2 ens

Udfaldene 6-6-6-1-2-3, 6-6-6-3-2-1 og 6-6-1-6-2-3 skal betragtes som tre
forskellige udfald.
0 ens (eller 6 forskellige) er vist ligetil. 6! = 720. 6 ens er der heller
ikke de store problemer med. Men hvad med de andre?


--
Malte Runz




 
 
Torben Ægidius Mogen~ (16-02-2006)
Kommentar
Fra : Torben Ægidius Mogen~


Dato : 16-02-06 11:02

"Malte Runz" <malte_runz@stofanet.dk> writes:

> Ved slag med seks terninger (en ad gangen eller ét slag med 6 distinkte
> terninger) vil der være 6^6 mulige udfald.
> Hvordan beregner jeg antallet af udfald, der giver hver af de følgende
> kombinationer:
>
> 0 ens
> 2 ens (og kun 2 ens)
> 3 ens (og kun 3 ens) etc...
> 4 ens
> 5 ens
> 6 ens
> 2 x 2 ens
> 3 x 2 ens
> 2 x 3 ens
> 3 ens + 2 ens
> 4 ens + 2 ens
>
> Udfaldene 6-6-6-1-2-3, 6-6-6-3-2-1 og 6-6-1-6-2-3 skal betragtes som tre
> forskellige udfald.
> 0 ens (eller 6 forskellige) er vist ligetil. 6! = 720. 6 ens er der heller
> ikke de store problemer med. Men hvad med de andre?

To ens består af fem forskellige terninger plus en, der er magen til
en af de andre. Fem forskellige er 5!*6 (idet der er seks muligheder
for det manglende tal). Den sidste kan anbringes et vilkårligt sted
efter den første af de andre, men den skal være magen til en af de
foregående. Så ved placering i efter den første, er der 1 mulighed,
ved placering efter den anden er der to osv. Så samlet set er der
5!*6*(1+2+3+4+5) muligheder for at få præcis to ens.

De andre kan beregnes på samme måde. Tre ens er f.eks. fire
forskellige og to, der er magen til en af disse. De fire forskellige
er 4!*(6*5), da der er 6*5 muligheder for de to manglende. De to
resterende skal placeres, så den første er magen til en af de
foregående, og den anden placeres et vilkårligt sted efter denne. Så
efter den første er der kun en mulig terning at placere, men den
efterfølgende kan være fire steder, så 1*4. Hvis den første af de to
resterende terninger placeres efter den anden, er der to
valgmuligheder, men kun tre pladser for den sidste, osv. Altså
4!*(6*5)*(1*4+2*3+3*2+4*1) ialt.

Moralen er, at man skal huske at tælle alle muligheder med uden at
tælle nogen med to gange. Der er ikke rigtig nogen genveje (anden end
at lave et program, der løber alle 6^6 kombinationer igennem og
tæller, hvor mange der opfylder betingelserne), så det er bare om at
holde tungen lige i munden.

Her er chancerne i procent (så kan du selv omregne til antal
kombinationer):

0 0 0 0 0 6 : 0.0128600823045
0 0 0 0 1 5 : 0.385802469136
0 0 0 0 2 4 : 0.964506172839
0 0 0 0 3 3 : 0.643004115226
0 0 0 1 1 4 : 3.85802469136
0 0 0 1 2 3 : 15.4320987654
0 0 0 2 2 2 : 3.85802469136
0 0 1 1 1 3 : 15.4320987654
0 0 1 1 2 2 : 34.7222222222
0 1 1 1 1 2 : 23.1481481481
1 1 1 1 1 1 : 1.54320987654

Tallene til venstre skal læses som størrelsen af de sæt, der
forekommer. Så 6 betyder, at der er 6 ens, 1 1 1 1 1 1 betyder, at
der er seks forskellige og 0 0 0 2 2 2 betyder tre par.

Tallene er beregnet med Roll (http://www.diku.dk/~torbenm/Dice.zip),
som er et program til at beregne sandsynligheder for terningekast.

Ovenstående er fundet ved at specificere:

let x=6#d6 in (foreach n in 1..6 do count =n x)

Dvs., slå 6 d6'ere og for hver mulig værdi mellem 1 og 6 tæl, hvor
mange der er med den værdi. Da Roll bruger uordnede samlinger af tal,
er 0 6 0 0 0 0 osv. det samme som 0 0 0 0 0 6, så alle slags seks ens
kombineres (og tilsvarende for tre par osv.).

Torben


Malte Runz (17-02-2006)
Kommentar
Fra : Malte Runz


Dato : 17-02-06 17:43


"Torben Ægidius Mogensen" <torbenm@app-5.diku.dk> wrote in message
news:7z7j7vsjto.fsf@app-5.diku.dk...
> "Malte Runz" <malte_runz@stofanet.dk> writes:
>
(snip)

> To ens består af fem forskellige terninger plus en, der er magen til
> en af de andre. Fem forskellige er 5!*6 (idet der er seks muligheder
> for det manglende tal). Den sidste kan anbringes et vilkårligt sted
> efter den første af de andre, men den skal være magen til en af de
> foregående. ...

Hvorfor kan den ikke bare være magen til en vilkårlig af de fem forskellige?
(Jeg håber ikke det bliver alt for trivielt at svare på.)

> ... Så ved placering i efter den første, er der 1 mulighed,
> ved placering efter den anden er der to osv. Så samlet set er der
> 5!*6*(1+2+3+4+5) muligheder for at få præcis to ens.
>
> De andre kan beregnes på samme måde. Tre ens er f.eks. fire
> forskellige og to, der er magen til en af disse. De fire forskellige
> er 4!*(6*5), da der er 6*5 muligheder for de to manglende. De to
> resterende skal placeres, så den første er magen til en af de
> foregående, og den anden placeres et vilkårligt sted efter denne. Så
> efter den første er der kun en mulig terning at placere, men den
> efterfølgende kan være fire steder, så 1*4. Hvis den første af de to
> resterende terninger placeres efter den anden, er der to
> valgmuligheder, men kun tre pladser for den sidste, osv. Altså
> 4!*(6*5)*(1*4+2*3+3*2+4*1) ialt.

Og det får jeg til 14400. Men hvis jeg beregner antallet vha din %-tabel
(takker mange gange), så får jeg 7200 muligheder (tre ens må være 001113 :
15.4320987654%*6^6 = 7200 muligheder). ...?

Jeg greb det således an:
Tallene nedenunder angiver antallet af mulige gunstige udfald (gu) af
terningekast, der opfylder betingelsen 3 ens.
6*1*1*5*4*3 (Den første terning har seks gu, de efterfølgende to har hver 1
gu, da de skal ramme den første. De tre sidste terninger har hhv 5, 4 og 3
gu.) For at få alle kombinationerne med, ganger jeg med antallet af en
3-delemængde (pga tre ens) af en 6-mængde (6!/(3!*(6-3)!) = 20. Altså:
(6*1*1*5*4*3)*20 = 7200

Samme metode for to ens. Her ganger jeg en 2-delmængde af en 6-mængde på.
(6*1*5*4*3*2)*15 = 108000. Det samme resultat, som du og tabellen får.

Mit princip virker fint på 0 - 6 ens (dvs resultaterne stemmer overens med
%-tabellens). Men da jeg ikke rigtig synes at kunne bruge det ved
kombinationer af flere ens, så er jeg lidt skeptisk mht til min egen logik.
Jeg tror ikke jeg er helt galt afmarcheret, men der er et eller andet der
ikke huer mig.


--
Malte Runz





Martin Larsen (17-02-2006)
Kommentar
Fra : Martin Larsen


Dato : 17-02-06 20:56

Malte Runz fortalte:

> Mit princip virker fint på 0 - 6 ens (dvs resultaterne stemmer
> overens med %-tabellens). Men da jeg ikke rigtig synes at kunne bruge
> det ved kombinationer af flere ens, så er jeg lidt skeptisk mht til
> min egen logik. Jeg tror ikke jeg er helt galt afmarcheret, men der
> er et eller andet der ikke huer mig.

Prøv at studere metoderne her. Jeg har markeret kombination af to logiske
dele med ekstra space. Vent ikke mere fra mig - lidt skal du også lave.

Beregning af n ens og 6-n forskellige:
6*k(6,n) * k(5,6-n)*(6-n)!
Beregning af 2,2:
k(4,2)*k(6,2)*k(6,4) * k(4,2)*2!
2,3
(k(5,2)+k(5,3))*k(6,2)*k(6,5) * k(4,1)*1!
2,4
(k(6,2)+k(6,4))*k(6,2)*k(6,6)

Mvh
Martin
--
Melius frangi quam flecti


Malte Runz (17-02-2006)
Kommentar
Fra : Malte Runz


Dato : 17-02-06 23:12


"Martin Larsen" <mlarsen@post7.tele.dk> wrote in message
news:43f62a32$0$15790$14726298@news.sunsite.dk...

(snip)

> Beregning af n ens og 6-n forskellige:
> 6*k(6,n) * k(5,6-n)*(6-n)!
> Beregning af 2,2:
> k(4,2)*k(6,2)*k(6,4) * k(4,2)*2!
> 2,3
> (k(5,2)+k(5,3))*k(6,2)*k(6,5) * k(4,1)*1!
> 2,4
> (k(6,2)+k(6,4))*k(6,2)*k(6,6)
>

Bingo! Jeg var ved at være tæt på selv, men ikke med noget, der var lige så
elegant, som din opstilling.
Og så kan vi spille No Limit Yatzy Hold'em...


--
Malte Runz



Torben Ægidius Mogen~ (20-02-2006)
Kommentar
Fra : Torben Ægidius Mogen~


Dato : 20-02-06 17:13

"Malte Runz" <malte_runz@stofanet.dk> writes:

> "Torben Ægidius Mogensen" <torbenm@app-5.diku.dk> wrote in message
> news:7z7j7vsjto.fsf@app-5.diku.dk...
> > "Malte Runz" <malte_runz@stofanet.dk> writes:
> >
> (snip)
>
> > To ens består af fem forskellige terninger plus en, der er magen til
> > en af de andre. Fem forskellige er 5!*6 (idet der er seks muligheder
> > for det manglende tal). Den sidste kan anbringes et vilkårligt sted
> > efter den første af de andre, men den skal være magen til en af de
> > foregående. ...
>
> Hvorfor kan den ikke bare være magen til en vilkårlig af de fem forskellige?
> (Jeg håber ikke det bliver alt for trivielt at svare på.)

For så tæller du samme kombination (f.eks. 123245) med to gange.

> > ... Så ved placering i efter den første, er der 1 mulighed,
> > ved placering efter den anden er der to osv. Så samlet set er der
> > 5!*6*(1+2+3+4+5) muligheder for at få præcis to ens.
> >
> > De andre kan beregnes på samme måde. Tre ens er f.eks. fire
> > forskellige og to, der er magen til en af disse. De fire forskellige
> > er 4!*(6*5), da der er 6*5 muligheder for de to manglende. De to
> > resterende skal placeres, så den første er magen til en af de
> > foregående, og den anden placeres et vilkårligt sted efter denne. Så
> > efter den første er der kun en mulig terning at placere, men den
> > efterfølgende kan være fire steder, så 1*4. Hvis den første af de to
> > resterende terninger placeres efter den anden, er der to
> > valgmuligheder, men kun tre pladser for den sidste, osv. Altså
> > 4!*(6*5)*(1*4+2*3+3*2+4*1) ialt.
>
> Og det får jeg til 14400. Men hvis jeg beregner antallet vha din %-tabel
> (takker mange gange), så får jeg 7200 muligheder (tre ens må være 001113 :
> 15.4320987654%*6^6 = 7200 muligheder). ...?

Min fejl. Der skulle have stået (6*5)/2 i stedet for (6*5). Jeg
"forkortede" 6!/(4!*(6-4)!) forkert.

> Jeg greb det således an:
> Tallene nedenunder angiver antallet af mulige gunstige udfald (gu) af
> terningekast, der opfylder betingelsen 3 ens.
> 6*1*1*5*4*3 (Den første terning har seks gu, de efterfølgende to har hver 1
> gu, da de skal ramme den første. De tre sidste terninger har hhv 5, 4 og 3
> gu.) For at få alle kombinationerne med, ganger jeg med antallet af en
> 3-delemængde (pga tre ens) af en 6-mængde (6!/(3!*(6-3)!) = 20. Altså:
> (6*1*1*5*4*3)*20 = 7200

Du får det rigtige resultat her, men jeg er ikke sikker på at metoden
altid virker.

Torben

Søg
Reklame
Statistik
Spørgsmål : 177552
Tips : 31968
Nyheder : 719565
Indlæg : 6408847
Brugere : 218887

Månedens bedste
Årets bedste
Sidste års bedste