/ Forside / Karriere / Uddannelse / Højere uddannelser / Nyhedsindlæg
Login
Glemt dit kodeord?
Brugernavn

Kodeord


Reklame
Top 10 brugere
Højere uddannelser
#NavnPoint
Nordsted1 1588
erling_l 1224
ans 1150
dova 895
gert_h 800
molokyle 661
berpox 610
creamygirl 610
3773 570
10  jomfruane 570
Kubiktallenes sidste ciffer, og kubiktalle~
Fra : Thomas Hejl Pilgaard


Dato : 30-01-06 17:42

Jeg fik et herligt spørgsmål af en af mine elever idag.
Det drejer sig om kubiktallene og deres sidste ciffer (enernes plads):

Rod Endetal

1³ = 1 [1] {1}
2³ = 8 [8]
3³ = 27 [7]
4³ = 64 [4] {4}
5³ = 125 [5] {5}
6³ = 216 [6] {6}
7³ = 343 [3]
8³ = 512 [2]
9³ = 729 [9] {9}

De 5 cifre/endetal (1-4-5-6-9) er magen til den oprindelige rod.
Alle 9 cifre fra 1-9 er repræsenteret i endetallene.
De "sidste" 4 cifre er 'parvist' byttet ud: 2 og 3 med 7 og 8.

"Hvorfor?"


- Hvordan besvarer man det spørgsmål?

--
________________________________________________________
/ Thomas Hejl Pilgaard | If you understand what | /\ /\ \
/ Ostenfeldtsvej 8c 2 tv | you're doing, you're | ^ ^ \
\ 4700 Naestved, Denmark | not learning anything. | = @ = /
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯



 
 
Claus Christiansen (30-01-2006)
Kommentar
Fra : Claus Christiansen


Dato : 30-01-06 20:00

"Thomas Hejl Pilgaard" <pilgaard@tele2adsl.dk.dk> wrote in news:tlrDf.70
$Fa5.67@news.get2net.dk:

> Jeg fik et herligt spørgsmål af en af mine elever idag.
> Det drejer sig om kubiktallene og deres sidste ciffer (enernes plads):
>
> Rod Endetal
>
> 1³ = 1 [1] {1}
> 2³ = 8 [8]
> 3³ = 27 [7]
> 4³ = 64 [4] {4}
> 5³ = 125 [5] {5}
> 6³ = 216 [6] {6}
> 7³ = 343 [3]
> 8³ = 512 [2]
> 9³ = 729 [9] {9}
>
> De 5 cifre/endetal (1-4-5-6-9) er magen til den oprindelige rod.
> Alle 9 cifre fra 1-9 er repræsenteret i endetallene.
> De "sidste" 4 cifre er 'parvist' byttet ud: 2 og 3 med 7 og 8.

Hvis du checker lidt flere potenser vil du se et større mønster:
: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 (potens)
---------------------------------------
1 : 1 1 1 1 1 1 1 1 1 . .
2 : 2 4 8 6 2 4 8 6 2 . .
3 : 3 9 7 1 3 9 7 1 3 . .
4 : 4 6 4 6 4 6 4 6 4 . .
5 : 5 5 5 5 5 5 5 5 5 . .
6 : 6 6 6 6 6 6 6 6 6 . .
7 : 7 9 3 1 7 9 3 1 7 . .
8 : 8 4 2 6 8 4 2 6 8 . .
9 : 9 1 9 1 9 1 9 1 9 . .

Så de ulige potenser reproducerer endetallene; 1,5,9,... i rigtig
rækkefølge og 3,7,11,... svagt permuteret.

Bemærk at for de lige potenser er endetallene spejlet om 5.

> "Hvorfor?"
Tja... "potens-endetallet" er en cyklus (fx for 2 er den 2->4->8->6->
2->..., dvs med længde 4) og dét forklarer i det mindste hvorfor din
observation ikke er speciel for kubiktallene. Men en 'højere' mening
tvivler jeg på der er.

> - Hvordan besvarer man det spørgsmål?
"Godt set! Flødeboller til hele klassen"

/Claus


Thomas Hejl Pilgaard (30-01-2006)
Kommentar
Fra : Thomas Hejl Pilgaard


Dato : 30-01-06 21:29

"Claus Christiansen" <claus_christiansen_nospam@hotmail.com>
wrote in message news:Xns975BCB74AB5C8clauschristiansenhot@62.243.74.162...

> "Thomas Hejl Pilgaard" <pilgaard@tele2adsl.dk.dk> wrote in news:tlrDf.70
> $Fa5.67@news.get2net.dk:
>
>> Jeg fik et herligt spørgsmål af en af mine elever idag.
>> Det drejer sig om kubiktallene og deres sidste ciffer (enernes plads):
>>
>> Rod Endetal
>>
>> 1³ = 1 [1] {1}
>> 2³ = 8 [8]
>> 3³ = 27 [7]
>> 4³ = 64 [4] {4}
>> 5³ = 125 [5] {5}
>> 6³ = 216 [6] {6}
>> 7³ = 343 [3]
>> 8³ = 512 [2]
>> 9³ = 729 [9] {9}
>>
>> De 5 cifre/endetal (1-4-5-6-9) er magen til den oprindelige rod.
>> Alle 9 cifre fra 1-9 er repræsenteret i endetallene.
>> De "sidste" 4 cifre er 'parvist' byttet ud: 2 og 3 med 7 og 8.
>
> Hvis du checker lidt flere potenser vil du se et større mønster:
> : 1 2 3 4 5 6 7 8 9 (potens)
> ---------------------------------------
> 1 : 1 1 1 1 1 1 1 1 1 . .
> 2 : 2 4 8 6 2 4 8 6 2 . .
> 3 : 3 9 7 1 3 9 7 1 3 . .
> 4 : 4 6 4 6 4 6 4 6 4 . .
> 5 : 5 5 5 5 5 5 5 5 5 . .
> 6 : 6 6 6 6 6 6 6 6 6 . .
> 7 : 7 9 3 1 7 9 3 1 7 . .
> 8 : 8 4 2 6 8 4 2 6 8 . .
> 9 : 9 1 9 1 9 1 9 1 9 . .

Selvfølgelig! (Doh!)

> Så de ulige potenser reproducerer endetallene; 1,5,9,... i rigtig
> rækkefølge og 3,7,11,... svagt permuteret.

Sørme.

> Bemærk at for de lige potenser er endetallene spejlet om 5.

Jeps.

>> "Hvorfor?"

> Tja... "potens-endetallet" er en cyklus (fx for 2 er den 2->4->8->6->
> 2->..., dvs med længde 4) og dét forklarer i det mindste hvorfor din
> observation ikke er speciel for kubiktallene. Men en 'højere' mening
> tvivler jeg på der er.

Og dermed heller ikke nogen forklaring på at 2 og 3 har endetal 7 og 8,
mens 7 og 8 har endetal 2 og 3?

>> - Hvordan besvarer man det spørgsmål?
>
> "Godt set! Flødeboller til hele klassen"

Damn. Det var lige dén jeg havde håbet på at undgå...

--
________________________________________________________
/ Thomas Hejl Pilgaard | If you understand what | /\ /\ \
/ Ostenfeldtsvej 8c 2 tv | you're doing, you're | ^ ^ \
\ 4700 Naestved, Denmark | not learning anything. | = @ = /
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯




Kenneth Brun Nielsen (01-02-2006)
Kommentar
Fra : Kenneth Brun Nielsen


Dato : 01-02-06 01:09

> "Claus Christiansen" <claus_christiansen_nospam@hotmail.com>
> wrote in message
> news:Xns975BCB74AB5C8clauschristiansenhot@62.243.74.162...
>
>> "Thomas Hejl Pilgaard" <pilgaard@tele2adsl.dk.dk> wrote in news:tlrDf.70
>> $Fa5.67@news.get2net.dk:

>> Tja... "potens-endetallet" er en cyklus (fx for 2 er den 2->4->8->6->
>> 2->..., dvs med længde 4) og dét forklarer i det mindste hvorfor din
>> observation ikke er speciel for kubiktallene. Men en 'højere' mening
>> tvivler jeg på der er.
>
> Og dermed heller ikke nogen forklaring på at 2 og 3 har endetal 7 og 8,
> mens 7 og 8 har endetal 2 og 3?


Tjo. Du kan jo se at tallene i ulige potenser i symmetrisk fordelte par
omkring 5 giver 10. Fx. tredjepotensen af 2 er 8, og tredjepotensen af 8 er
2. 8+2=10.

>> : 3
>> ----------
>> 1 : 1 2 : 8
>> 3 : 7
>> 4 : 4
>> 5 : 5
>> 6 : 6
>> 7 : 3 8 : 2
>> 9 : 9

Og det kan selvfølgelig forklares:

Hvis x er et tal {1,2,..9}, så er det interessant at betragte endetallet for
x^3 hhv. (10-x)^3

Lad os kalde endetallet for x^3 for Q1.

(10-x)^3 = 1000-300x+30x^2-x^3

Kun leddet -x^3 er relevant for endetallet, eftersom de øvrige er multiplum
af 10. (10-x)^3 er selvfølgelig positiv, og eftersom endetallet for x^3 er
Q1, finder vi at endetallet for (10-x)^3 er 10-Q1. Det giver anledning til
symmetrien omkring 5 for de ulige potenser (tilsvarende beviser kan føres
for højere ulige potenser)

/Kenneth



Thomas Hejl Pilgaard (03-02-2006)
Kommentar
Fra : Thomas Hejl Pilgaard


Dato : 03-02-06 06:58


"Kenneth Brun Nielsen" <news@_FJERNES_brun.dk> wrote in message
news:43dffabf$0$187$edfadb0f@dread16.news.tele.dk...
>> "Claus Christiansen" <claus_christiansen_nospam@hotmail.com>
>> wrote in message
>> news:Xns975BCB74AB5C8clauschristiansenhot@62.243.74.162...
>>
>>> "Thomas Hejl Pilgaard" <pilgaard@tele2adsl.dk.dk> wrote in news:tlrDf.70
>>> $Fa5.67@news.get2net.dk:
>
>>> Tja... "potens-endetallet" er en cyklus (fx for 2 er den 2->4->8->6->
>>> 2->..., dvs med længde 4) og dét forklarer i det mindste hvorfor din
>>> observation ikke er speciel for kubiktallene. Men en 'højere' mening
>>> tvivler jeg på der er.
>>
>> Og dermed heller ikke nogen forklaring på at 2 og 3 har endetal 7 og 8,
>> mens 7 og 8 har endetal 2 og 3?
>
>
> Tjo. Du kan jo se at tallene i ulige potenser i symmetrisk fordelte par
> omkring 5 giver 10. Fx. tredjepotensen af 2 er 8, og tredjepotensen af 8
> er 2. 8+2=10.
>
>>> : 3
>>> ----------
>>> 1 : 1 2 : 8
>>> 3 : 7
>>> 4 : 4
>>> 5 : 5
>>> 6 : 6
>>> 7 : 3 8 : 2
>>> 9 : 9
>
> Og det kan selvfølgelig forklares:
>
> Hvis x er et tal {1,2,..9}, så er det interessant at betragte endetallet
> for x^3 hhv. (10-x)^3
>
> Lad os kalde endetallet for x^3 for Q1.
>
> (10-x)^3 = 1000-300x+30x^2-x^3
>
> Kun leddet -x^3 er relevant for endetallet, eftersom de øvrige er
> multiplum af 10. (10-x)^3 er selvfølgelig positiv, og eftersom endetallet
> for x^3 er Q1, finder vi at endetallet for (10-x)^3 er 10-Q1. Det giver
> anledning til symmetrien omkring 5 for de ulige potenser (tilsvarende
> beviser kan føres for højere ulige potenser)

Men det besvarer egentligt ikke elevens spørgsmål...
Det ville jo også gælde hvis fordelingen havde været:

Rod Kubik-endetal
1 1
2 2
3 3
4 4
5 5
6 6
7 7
8 8
9 9

Så, "hvorfor er den ikke bare det"...
- Hvorfor har 2 og 3 "byttet endetal" med 7 og 8 i forhold hertil?

Er der overhovedet en forklaring herpå, eller skal eleven spises af
med en art "sådan er det bare."?

--
________________________________________________________
/ Thomas Hejl Pilgaard | If you understand what | /\ /\ \
/ Ostenfeldtsvej 8c 2 tv | you're doing, you're | ^ ^ \
\ 4700 Naestved, Denmark | not learning anything. | = @ = /
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯



Kenneth Brun Nielsen (03-02-2006)
Kommentar
Fra : Kenneth Brun Nielsen


Dato : 03-02-06 19:40


"Thomas Hejl Pilgaard" <pilgaard@tele2adsl.dk.dk> skrev i en meddelelse
news:QhCEf.4$7x1.0@news.get2net.dk...
>
> "Kenneth Brun Nielsen" <news@_FJERNES_brun.dk> wrote in message
> news:43dffabf$0$187$edfadb0f@dread16.news.tele.dk...
>>> "Claus Christiansen" <claus_christiansen_nospam@hotmail.com>
>>> wrote in message
>>> news:Xns975BCB74AB5C8clauschristiansenhot@62.243.74.162...
>>>
>>>> "Thomas Hejl Pilgaard" <pilgaard@tele2adsl.dk.dk> wrote in
>>>> news:tlrDf.70
>>>> $Fa5.67@news.get2net.dk:
>>
>>>> Tja... "potens-endetallet" er en cyklus (fx for 2 er den 2->4->8->6->
>>>> 2->..., dvs med længde 4) og dét forklarer i det mindste hvorfor din
>>>> observation ikke er speciel for kubiktallene. Men en 'højere' mening
>>>> tvivler jeg på der er.
>>>
>>> Og dermed heller ikke nogen forklaring på at 2 og 3 har endetal 7 og 8,
>>> mens 7 og 8 har endetal 2 og 3?
>>
>>
>> Tjo. Du kan jo se at tallene i ulige potenser i symmetrisk fordelte par
>> omkring 5 giver 10. Fx. tredjepotensen af 2 er 8, og tredjepotensen af 8
>> er 2. 8+2=10.
>>
>>>> : 3
>>>> ----------
>>>> 1 : 1 2 : 8
>>>> 3 : 7
>>>> 4 : 4
>>>> 5 : 5
>>>> 6 : 6
>>>> 7 : 3 8 : 2
>>>> 9 : 9
>>
>> Og det kan selvfølgelig forklares:
>>
>> Hvis x er et tal {1,2,..9}, så er det interessant at betragte endetallet
>> for x^3 hhv. (10-x)^3
>>
>> Lad os kalde endetallet for x^3 for Q1.
>>
>> (10-x)^3 = 1000-300x+30x^2-x^3
>>
>> Kun leddet -x^3 er relevant for endetallet, eftersom de øvrige er
>> multiplum af 10. (10-x)^3 er selvfølgelig positiv, og eftersom endetallet
>> for x^3 er Q1, finder vi at endetallet for (10-x)^3 er 10-Q1. Det giver
>> anledning til symmetrien omkring 5 for de ulige potenser (tilsvarende
>> beviser kan føres for højere ulige potenser)
>
> Men det besvarer egentligt ikke elevens spørgsmål...
> Det ville jo også gælde hvis fordelingen havde været:
>
> Rod Kubik-endetal
> 1 1
> 2 2
> 3 3
> 4 4
> 5 5
> 6 6
> 7 7
> 8 8
> 9 9
>
> Så, "hvorfor er den ikke bare det"...
> - Hvorfor har 2 og 3 "byttet endetal" med 7 og 8 i forhold hertil?
>
> Er der overhovedet en forklaring herpå, eller skal eleven spises af
> med en art "sådan er det bare."?

Ja, jeg tror vi nærmer os en "sådan er det bare". Det svarer jo lidt til at
spørge hvorfor 2*2*2 er lig 8, og 8*8*8 er lig 512. Endetallet er
selvfølgelig afhængig af talssystemet - det kan du jo evt. komme forbi i din
kapitulation. Hvis du istedet for vores talsystem (altså 10-talssystemet)
vælger et 6-talssystem, så har du:

2*2*2 = 8 (10-tals) = 12 (6-tals)
3*3*3 = 27 (10-tals) = 43 (6-tals)
4*4*4 = 64 (10-tals) = 144 (6-tals)
....
8*8*8 = 512 (10-tals) = 12*12*12 (6-tals) = 2212 (6-tals)

...og dermed er endetallet identisk med starttallet. Du kan måske køre
teorien lidt længere ud, men medmindre det er en universitetsklasse, er det
nok på tide at bruge "sådan er det bare"-finten.

/Kenneth



Thomas Hejl Pilgaard (04-02-2006)
Kommentar
Fra : Thomas Hejl Pilgaard


Dato : 04-02-06 11:16


"Kenneth Brun Nielsen" <news@_FJERNES_brun.dk> wrote in message
news:43e3a23e$0$99983$edfadb0f@dread16.news.tele.dk...
>
> "Thomas Hejl Pilgaard" <pilgaard@tele2adsl.dk.dk> skrev i en meddelelse
> news:QhCEf.4$7x1.0@news.get2net.dk...
>>
>> "Kenneth Brun Nielsen" <news@_FJERNES_brun.dk> wrote in message
>> news:43dffabf$0$187$edfadb0f@dread16.news.tele.dk...
>>>> "Claus Christiansen" <claus_christiansen_nospam@hotmail.com>
>>>> wrote in message
>>>> news:Xns975BCB74AB5C8clauschristiansenhot@62.243.74.162...
>>>>
>>>>> "Thomas Hejl Pilgaard" <pilgaard@tele2adsl.dk.dk> wrote in
>>>>> news:tlrDf.70
>>>>> $Fa5.67@news.get2net.dk:
>>>
>>>>> Tja... "potens-endetallet" er en cyklus (fx for 2 er den 2->4->8->6->
>>>>> 2->..., dvs med længde 4) og dét forklarer i det mindste hvorfor din
>>>>> observation ikke er speciel for kubiktallene. Men en 'højere' mening
>>>>> tvivler jeg på der er.
>>>>
>>>> Og dermed heller ikke nogen forklaring på at 2 og 3 har endetal 7 og 8,
>>>> mens 7 og 8 har endetal 2 og 3?
>>>
>>>
>>> Tjo. Du kan jo se at tallene i ulige potenser i symmetrisk fordelte par
>>> omkring 5 giver 10. Fx. tredjepotensen af 2 er 8, og tredjepotensen af 8
>>> er 2. 8+2=10.
>>>
>>>>> : 3
>>>>> ----------
>>>>> 1 : 1 2 : 8
>>>>> 3 : 7
>>>>> 4 : 4
>>>>> 5 : 5
>>>>> 6 : 6
>>>>> 7 : 3 8 : 2
>>>>> 9 : 9
>>>
>>> Og det kan selvfølgelig forklares:
>>>
>>> Hvis x er et tal {1,2,..9}, så er det interessant at betragte endetallet
>>> for x^3 hhv. (10-x)^3
>>>
>>> Lad os kalde endetallet for x^3 for Q1.
>>>
>>> (10-x)^3 = 1000-300x+30x^2-x^3
>>>
>>> Kun leddet -x^3 er relevant for endetallet, eftersom de øvrige er
>>> multiplum af 10. (10-x)^3 er selvfølgelig positiv, og eftersom
>>> endetallet for x^3 er Q1, finder vi at endetallet for (10-x)^3 er 10-Q1.
>>> Det giver anledning til symmetrien omkring 5 for de ulige potenser
>>> (tilsvarende beviser kan føres for højere ulige potenser)
>>
>> Men det besvarer egentligt ikke elevens spørgsmål...
>> Det ville jo også gælde hvis fordelingen havde været:
>>
>> Rod Kubik-endetal
>> 1 1
>> 2 2
>> 3 3
>> 4 4
>> 5 5
>> 6 6
>> 7 7
>> 8 8
>> 9 9
>>
>> Så, "hvorfor er den ikke bare det"...
>> - Hvorfor har 2 og 3 "byttet endetal" med 7 og 8 i forhold hertil?
>>
>> Er der overhovedet en forklaring herpå, eller skal eleven spises af
>> med en art "sådan er det bare."?
>
> Ja, jeg tror vi nærmer os en "sådan er det bare". Det svarer jo lidt til
> at spørge hvorfor 2*2*2 er lig 8, og 8*8*8 er lig 512. Endetallet er
> selvfølgelig afhængig af talssystemet - det kan du jo evt. komme forbi i
> din kapitulation. Hvis du istedet for vores talsystem (altså
> 10-talssystemet) vælger et 6-talssystem, så har du:
>
> 2*2*2 = 8 (10-tals) = 12 (6-tals)
> 3*3*3 = 27 (10-tals) = 43 (6-tals)
> 4*4*4 = 64 (10-tals) = 144 (6-tals)
> ...
> 8*8*8 = 512 (10-tals) = 12*12*12 (6-tals) = 2212 (6-tals)
>
> ..og dermed er endetallet identisk med starttallet. Du kan måske køre
> teorien lidt længere ud, men medmindre det er en universitetsklasse, er
> det nok på tide at bruge "sådan er det bare"-finten.

Okay da.
Mange tak for hjælpen. Det her skal der nok komme en interessant
matematik-time ud af.

--
________________________________________________________
/ Thomas Hejl Pilgaard | If you understand what | /\ /\ \
/ Ostenfeldtsvej 8c 2 tv | you're doing, you're | ^ ^ \
\ 4700 Naestved, Denmark | not learning anything. | = @ = /
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯




Lars Gjerløw Jørgens~ (31-01-2006)
Kommentar
Fra : Lars Gjerløw Jørgens~


Dato : 31-01-06 08:26

"Thomas Hejl Pilgaard" <pilgaard@tele2adsl.dk.dk> wrote in news:tlrDf.70
$Fa5.67@news.get2net.dk:


> "Hvorfor?"

Er belver svaret - men disse sammenhænge er noget af det
magiske ved tal. Synes du det er bare lidt sjovt kan jeg
anbefale dig at læse nogle af Martin Gardners bøger om
tal. Bl.a. et trick til at uddrage rødder fra kubiktal i
hovedet netop vha. de sidste tal...

/hilsner
--
| lars.g.j | e-mail: remove dots | www.lgj.dk | oz2lgj |
"Do you know what the chain of command is here?
It's the chain I go get and beat you with
to show you who's in command."

Niels L Ellegaard (10-02-2006)
Kommentar
Fra : Niels L Ellegaard


Dato : 10-02-06 15:40

> Tja... "potens-endetallet" er en cyklus (fx for 2 er den 2->4->8->6->
> 2->..., dvs med længde 4) og dét forklarer i det mindste hvorfor din
> observation ikke er speciel for kubiktallene. Men en 'højere' mening
> tvivler jeg på der er.

Jeg ved ikke om gruppeteori er det samme som højere mening, men så
vidt jeg husker kan man vise at resultatet også gælder også for
andre talsystemer end ti-talsystemet.

Det følgende link til Mathworld er ikke optimalt, men det var det
bedste jeg kunne finde.
http://mathworld.wolfram.com/ModuloMultiplicationGroup.html

Huskede du at give fødeboller?


Søg
Reklame
Statistik
Spørgsmål : 177552
Tips : 31968
Nyheder : 719565
Indlæg : 6408847
Brugere : 218887

Månedens bedste
Årets bedste
Sidste års bedste