Scripsit torbenm@app-3.diku.dk (Torben Ægidius Mogensen)
> Henning Makholm <henning@makholm.net> writes:
>> Scripsit torbenm@app-3.diku.dk (Torben Ægidius Mogensen)
>> > Det er dog bedre end den amerikaner, der ville have sin stat til at
>> > vedtage ved lov at pi=3, så det blev nemmere at regne med.
>> Hvilken stat? Det berømte lovforslag i Indiana i 1897 (Goodwins lov)
>> stemmer ikke på dit referat.
> O.K., jeg havde historien fra en ikke helt præcis kilde. Det faktiske
> lovforslag (se
http://tafkac.org/legal/indiana_pi_bill.html) siger:
....
> Men jeg bøjer mig for Henning: Forslaget var ikke pi=3.
Det var dog mere "så det blev nemmere at regne med". De beskrivelser
jeg kan finde, tyder allesammen på at forfatteren ærligt troede at
hans vås var rigtigere end den rigtige matematik. For ham var det
altså ikke spørgsmål om bekvemhed, men om sandhed.
(At han så også mente at have en eller anden immaterialrettighed over
sin nye sandhed er så vidt jeg kan se en anden sag).
Det er også relevant at lægge mærke til at betegnelsen "pi" slet ikke
forekommer i lovforslaget.
> Et andet sted i forslaget siger: "the ratio of the chord and arc of
> ninety degrees, which is as seven to eight". Buelængden for 90 grader
> er pi/2, og kordens længde er kvadratroden af to, så det giver
> sqrt(2)/(pi/2) = 7/8 <=> pi = 16*sqrt(2)/7 = ca. 3.23249. Men da
> samme tekst siger "the ratio of the diagonal and one side of a square
> which is as ten to seven", hvilket giver kordens længde til 10/7 =
> 1.42857 i.s.f. sqrt(2) (1.4142...),
Så vidt jeg læser det, er hans pointe her at gå ud fra cirklens
indskrevne kvadrat snarere end et kvadrat med to radier som sider.
Derved får diameteren længde 10 og korden længde 7 - syvtallet
går så ud når man ganger 7/8 på, og hele omkredsen bliver da 32.
Det svarer til en værdi for pi på 32/10 - og det er sådan han
"udleder" de 3,2 i den efterfølgende sætning.
Hele anden halvdel af §2 (fra "Furthermore") er således nogenlunde
konsistent med sig selv.
Det giver os dernæst mulighed for at rekonstruere delvist hvad der
sker i §1:
| It has been found that a circular area is to the square on a line
| equal to the quadrant of the circumference, as the area of an
| equilateral rectangle is to the square on one side. The diameter
| employed as the linear unit according to the present rule in computing
| the circle's area is entirely wrong, as it represents the circle's
| area one and one-fifth times the area of a square whose perimeter is
| equal to the circumference of the circle.
Et "equilateral rectangle" er det jo samme som "the square on one
side". Mit bedste gæt er at forfatteren forsøger at skelne mellem
kvadrering som aritmetisk operation og den geometriske figur der kan
have et areal (selvom han i så fald forlader denne skelnen straks i
næste sætning). Han siger altså at cirklens areal er lig kvadratet på
længden af en kvartcirkelbue.
Videre kritiserer han "the present rule" for at give resultater som er
en femtedel for store. Hvordan kan det ske? Lad os se på en cirkel med
omkreds 32. Ifølge hans udregning i §2 bør den have diameter 10. Den
korrekte regel (omkreds*diameter/4) anvendt på disse to forkerte data
giver et areal på 80. Godwin mener at sådan en cirkel bør have arealet
8²=64. Og forskellen mellem 64 og 80 er en femtedel - ikke af 64 men
af 80!
Det ser ud som om den gode landdoktor simplethen har taget taget fejl af
hvad han tager femtedelen af! §1 fortsætter nemlig:
| This is because one fifth of the diameter fails to be represented four
| times in the circle's circumference.
Altså: Hvis vi tager fire diametre og ruller dem rundt om cirklen,
bliver der en femtedel af hver diameter til overs. Det passer fint med
cirklen med omkreds 32 og diameter 10 fra før.
| For example: if we multiply the perimeter of a square by one-fourth
| of any line one-fifth greater than one side, we can in like manner
| make the square's area to appear one-fifth greater than the fact,
For at forstå dette må vi se det oprindelige kvadrat som det kvadrat
med sidelængde som en kvartcirkelbue, som Goodwin hævder har samme
areal som cirklen. Dette kvadrat har (korrekt) samme omkreds som
cirklen. Når han forestiller sig at gange kvadratets omkreds med
((1+1/5)*sidelængden)/4, svarer det til at anvende den korrekte
regel areal=omkreds*diameter/4, idet Goodwin nu mener at diameteren
er (1+1/5) af en kvartcirkelbue.
Det passer _ikke_ med omkreds 32 og diameter 10, men doktoren må være
dumpet i brøkregning, så han tror at
kvartcirkel = diameter * (1-1/5) <=> diameter = kvartcirkel * (1+1/5)
hvilket i virkeligheden kun gælder for infinitesimale værdier af 1/5.
Pyha! Nu er vi så klar til første halvdel af §2. Den er mere tåget:
| It is impossible to compute the area of a circle on the diameter as
| the linear unit without trespassing upon the area outside of the
| circle to the extent of including one-fifth more area than is
| contained within the circle's circumference, because the square on
| the diameter produces the side of a square which equals nine when
| the arc of ninety degrees equals eight.
Her ser vi cirklen med omkreds 32 nævnt udtrykkeligt.
"The side of a square which equals nine" kan hentyde til 9² = 81.
Det er forholdsvis tæt på 80, som vi kom frem til i den semikorrekte
udregning før, og endnu tættere på det virkelige areal som er 81,49.
Måske tager forfatteren ikke forskellen på 80 og 81 så højtideligt.
For at lade sqrt(2) være 7/10 skal man trods alt allerede acceptere
49=50 ...
| By taking the quadrant of the circle's circumference for the linear
| unit, we fulfill the requirements of both quadrature and
| rectification of the circle's circumference.
Duh! Hvis vi måler i enheder af kvartcirkeler, er det let at give
hele cirklens omkreds et pænt rationelt tal som mål. Hvorfor har ingen
mon tænkt på det før?
Basalt set opererer lovforslaget altså *ikke* med flere forskellige
værdier for pi, men bygger nogenlunde konsekvent på nogen få falske
forudsætninger:
a) cirklens areal er lig kvadratet på længden af en kvartcirkelbue
b) pi/2 : cord(90°) = 8 : 7
c) sqrt(2) = 7/10
d) a = b*(1-x) <=> b = a*(1+x) for x < 1
e) sqrt(80) = 9
Fra (b) og (c) _udleder_ forfatteren pi=32/10, og denne værdi bruges
konsekvent i hele teksten, dog kombineret med de andre misforståelser.
Den eneste af fejltagelserne som er rigtig kriminel er (a) - de andre
kan godt bruges som overslag eller tilnærmelser når man ved hvad man
gør. Men man skal naturligvis ikke give sig til at påstå at de er
eksakte sandheder.
--
Henning Makholm "What a hideous colour khaki is."