---

Efter at have lavet alt det "almindelige" raytracing, tænkte jeg at det
kunne være morsomt at vise en scene med et kraftigt tyngdefelt som ville
afbøje lyset og fungere som en art linse.
Det var jo nemt nok. Istedet for at sende en lysstråle baglæns ud fra
kameraet i en vis retning for at beregne hvilke objekter man ser den vej, så
ville jeg sende en foton afsted med en vis hastighed. Den ville så afbøjes
af tyngdefeltet og ramme et eller andet objekt, som man så ville "se" via
den foton.

Jeg så først på fotonerne som simple partikler der bevægede sig med en
hastighed.
Problemet ved at regne baglæns for en partikkel på den måde er at man skal
kende både dens retning og hastighed i det den når kameraet. Hvis den
eksempelvis var udsendt fra et sted dybere ned i tyngdefeltet, så ville den
ankomme med en lavere hastighed end den blev udsendt med. Jeg kan altså ikke
bare altid antage en vis fast hastighed som alle "partiklerne" ankommer med.
Hvis jeg kun kender deres kurs når de ankommer til kameraet, men ikke deres
hastighed, så kan jeg ikke regne bagud og spore deres bane baglæns i tiden
for at se hvilket objekt der udsendte dem.

Nu bevæger fotoner sig altid med lysets hastighed, så hvis mit kamera ser en
foton komme fra en bestemt vinkel, så burde jeg alligevel kunne regne
baglæns da jeg kender hastigheden som c og kender fotonens retning.

Men... nu bliver jeg usikker på om jeg kan tillade mig det. Kan jeg spore
fotonens kurs bagud i tiden ved at regne på den som en partikkel der aldrig
ændrer sin hastighed men som alligevel ændrer sin retning? Hvis fotonen
bliver accelereret af at falde ind i tyngdefeltet, så skal hastigheden
stadig være konstant, men frekvensen øges. Vil man kunne regne sådan på det,
eller er det helt forkert at se lyset som partikler i denne sammenhæng?

Et spørgsmål der popper op er også hvorfor en foton udsendt fra et sted inde
i et sort hul, med en bevægelse direkte bort fra hullets centrum, ikke
kommer ud. Fotonens hastighed skal jo hele tiden være c, så den bør komme
ud. Jeg er med på at frekvensen falder, men falder den til nul så man kan
sige at fotonen ikke eksisterer længere? Skyldes det, at en foton med
konstant hastighed væk fra hullet ikke kommer ud, at tiden også strækkes så
den i princippet kommer ud men det tager uendeligt lang tid?

Hvis en foton udsendes, som beskrevet før, og aldrig kommer ud så falder
dens energi til nul før den når begivenhedshorisonten, men hvad så derefter?
Bør den ikke falde tilbage i hullet igen og genvinde sin energi? Hvordan kan
den overhovedet ændre retning til det stik modsatte uden at ændre hastighed?

Ja, det var en flok banale sprøgsmål (antager jeg), men de er ikke rigtig af
en type som gør det nemt at søge sig frem til deres svar ved generelle
søgninger, så jeg håber at I bærer over med mig.

---

"Jakob Nielsen"
> Nu bevæger fotoner sig altid med lysets hastighed, så hvis mit kamera ser
> en foton komme fra en bestemt vinkel, så burde jeg alligevel kunne regne
> baglæns da jeg kender hastigheden som c og kender fotonens retning.

Du behøver også information om de felter fotonen har krydset, for at kunne
regne baglæns.
Hastighed og retning er ikke nok.

>
> Men... nu bliver jeg usikker på om jeg kan tillade mig det. Kan jeg spore
> fotonens kurs bagud i tiden ved at regne på den som en partikkel der
> aldrig ændrer sin hastighed men som alligevel ændrer sin retning? Hvis
> fotonen bliver accelereret af at falde ind i tyngdefeltet, så skal
> hastigheden stadig være konstant, men frekvensen øges.

Hvis hastigheden er konstant kan man ikke sige at fotonen accelererer i et
tyngdefelt (hvis bevægelsen er radiel vel at mærke)
Men frekvensen øges (blåforskydning), da fotonen bliver mere energirig.


> Et spørgsmål der popper op er også hvorfor en foton udsendt fra et sted
> inde i et sort hul, med en bevægelse direkte bort fra hullets centrum,
> ikke kommer ud. Fotonens hastighed skal jo hele tiden være c, så den bør
> komme ud.

Hvis man ser på en foton i et tyngdefelt "udefra" bevæger den sig ikke med
farten c.
Et eksempel:
Marker to fikspunkter A og B i det tomme rum langt fra diverse
gravitationsfelter.
Lad en foton bevæge sig fra A til B - mål hastigheden - den er c.
Placer nu nogle tunge planeter i nærheden af rejseruten og send atter en
foton fra A til B. Nu er den målte hastighed mindre end c.

Alene af den grund behøver en foton ikke at komme ud af et sort hul.
En anden grund er, at koordinaterne mister deres normale betydning inden for
Scharzschildradius.

Hilsen Regnar Simonsen

---

> Du behøver også information om de felter fotonen har krydset, for at kunne
> regne baglæns.
> Hastighed og retning er ikke nok.

Ja, naturligvis, men de er en del af hele scenen og jeg vil definere dem som
et punkt i rummet og en skalar der definerer massen. Kendskab til dem er
underforstået ligesom kendskabet til objekter i scenen som kan ses.

> Hvis man ser på en foton i et tyngdefelt "udefra" bevæger den sig ikke med
> farten c.
> Et eksempel:
> Marker to fikspunkter A og B i det tomme rum langt fra diverse
> gravitationsfelter.
> Lad en foton bevæge sig fra A til B - mål hastigheden - den er c.
> Placer nu nogle tunge planeter i nærheden af rejseruten og send atter en
> foton fra A til B. Nu er den målte hastighed mindre end c.

Ok, det er fordi tiden tilsvarende strækkes, som jeg er inde på også?

Hvordan vil du foreslå at man regner på denne slags "raytracing"? Jeg kan ,
som jeg forstår dig, ikke regne med en partiklel med konstant hastighed men
variabel energi/frekvens?

Min ide var følgende.
For hver pixel i mit kamera sender jeg en virtual foton ud gennem den og
fotonen har lysets hastighed en en eller anden foruddefineret frekvens.
Jeg beregner derefter hvilken bane den vil følge som følge af dens
startposition, bevægelsesvektor og tyngdefelter. Bevægelsesvektoren kan
drejes men har altid længden c, så hvis fotonen tiltrækkes af et tyngdefelt
så drejer fotonen ind men dens hastighed ændres ikke. Den hastighed, den
ikke får, omregnes istedet til ændring af dens frekvens.
Når fotonen på et tidspunkt rammer et objekt så ser jeg på objektets farve
og hvor meget frekvensen er ændret med. Hvis eksempelvis frekvensen er
fordoblet, så ville den modsatte bevægelse i banen have medført en
halvering. Jeg halverer så frekvensen for objektsts farve og påstår glad at
det er den farve jeg ville se med den pixel i kameraet.

Er det forkert?
To partikler med samme retning men forskellig hastighed vil afbøjes
forskelligt i et tyngdefelt. Den langsomme vil drejes mere ind mod feltet.
Sker det samme for lys med forskellige bølgelængder? Det vil jeg jo ikke
mene at det gør, men jeg kan ikke intuitivt overskue konsekvenserne af
ændring i tid og rum som jeg jo bør tage hensyn til her.

---

Jakob Nielsen wrote:
> Vil man kunne regne sådan på det,
> eller er det helt forkert at se lyset som partikler i denne sammenhæng?

Metoden, som du skitserer, er der ikke noget principielt i vejen med. I
praksis kræver det, at man bestemmer nulgeodæter i
Schwarzschildrumtiden, som er den løsning af feltligningerne i almen
relativitetsteori, der beskriver sfæriske massefordelinger (se
http://ffden-2.phys.uaf.edu/211.web.stuff/Chang/space%20curvature.html
for et 2d snit af denne krumme, 4d rumtid).

Hvis du har mere end én punktformet kilde til tyngdefeltet, kan du nok
godt opgive, for jeg tror ikke, der findes analytiske løsninger til
feltligningerne i dette tilfælde.

For at gøre tingene nemmere, ville jeg nok approksimere rumtiden med en
flad rumtid og så bruge formelen (som er relativistisk korrekt)

d²(1/r) / dphi² = 3GM/(c²r²) - 1/r

til at beregne fotonbanen. Her er r afstanden til objektet, som har
massen M, og phi er azimuthalvinkelen i baneplanet. Der skal stadig en
del regnearbejde til for at omregne denne ligning til en acceleration i
kartesiske koordinater.

Skal det være nemmere endnu, kan du bruge det klassiske tyngdefelt (den
lokale g-vektor) til at beregne fotonens acceleration og normere farten
til c for hvert skridt. Dette giver så kun en halvt så stor afbøjning,
som hvis man regner relativistisk.

Hvad angår frekvensskiftet, kan det beregnes ved at se på forskellen i
(klassisk) potentiel energi ved kameraet og ved det fotograferede
objekt. Skiftet afhænger ikke af fotonens konkrete bane.

> Et spørgsmål der popper op er også hvorfor en foton udsendt fra et sted inde
> i et sort hul, med en bevægelse direkte bort fra hullets centrum,

Her antager du, at rum- og tidsbegrebet er det samme uden for og inden
for begivenhedshorisonten. Det er det ikke. Hvad der uden for hullet
opfattes som den radiale afstand, r, er inde i hullet en tidsparameter
(nærmere minus-tid). Så bevægelsen fra r=Schwarzschildradius til r=0 er
ikke en rumlig bevægelse, men en bevægelse frem i tiden. Fotonen kan
ikke bevæge sig i den modsatte retning, for det ville være bagud i tid.

> Fotonens hastighed skal jo hele tiden være c, så den bør komme
> ud.

Hastigheden er altid c målt af en lokal observatør. Og fotonen kan
bevæge sig i alle mulige retninger i tre rumlige dimensioner. Det er
bare nogle helt andre rumlige og tidslige retninger/dimensioner, end dem
man har uden for hullet.

--
Jonas Møller Larsen

---

> Metoden, som du skitserer, er der ikke noget principielt i vejen med. I
> praksis kræver det, at man bestemmer nulgeodæter i Schwarzschildrumtiden,
> som er den løsning af feltligningerne i almen relativitetsteori, der
> beskriver sfæriske massefordelinger (se
> http://ffden-2.phys.uaf.edu/211.web.stuff/Chang/space%20curvature.html for
> et 2d snit af denne krumme, 4d rumtid).

Jeg kender rummets krumning og illustrationen af dem men har dog ingen
erfaring i løsning af feltligninger.

> Hvis du har mere end én punktformet kilde til tyngdefeltet, kan du nok
> godt opgive, for jeg tror ikke, der findes analytiske løsninger til
> feltligningerne i dette tilfælde.

Jeg vil jo ogsø løse det ved numerisk integration hvor den enkelte foton
bevæger sig baglæns i tid og rum fra kameraet.


> Skal det være nemmere endnu, kan du bruge det klassiske tyngdefelt (den
> lokale g-vektor) til at beregne fotonens acceleration og normere farten
> til c for hvert skridt. Dette giver så kun en halvt så stor afbøjning, som
> hvis man regner relativistisk.

Det er præcis det jeg har eksperiementeret med nu. Det passer fint nok med
at hvis en foton kommer indenfor begivenhedshorisonten så kommer den bestemt
heller ikke ud igen. Hvorfor giver det en halvt så stor afbøjning, og kan
man så regne på tyngdekraften med en dobbelt så stor G?

> Hvad angår frekvensskiftet, kan det beregnes ved at se på forskellen i
> (klassisk) potentiel energi ved kameraet og ved det fotograferede objekt.
> Skiftet afhænger ikke af fotonens konkrete bane.

Nej, det forstår jeg. Det var denne ændring i energi jeg ville beregne ved
at se hvor meget fotonens hastioghed skal skaleres for at afpasses med c.
Hvis farten burde have været 2c, så er den (når man regner bagud) faldet ned
i tyngdefeltet og er blåforskudt. Når man regner omvendt giver det så en
rødforskydning.

Takker for svarene. Jeg forstod bare ikke hvorfor "min" metode fører til en
halv så stor afbøjning som relativistiske udregninger.

---

Jakob Nielsen wrote:
>>Hvis du har mere end én punktformet kilde til tyngdefeltet, kan du nok
>>godt opgive, for jeg tror ikke, der findes analytiske løsninger til
>>feltligningerne i dette tilfælde.
>
> Jeg vil jo ogsø løse det ved numerisk integration hvor den enkelte foton
> bevæger sig baglæns i tid og rum fra kameraet.

Ja, men for at beregne fotonbanen er det nødvendigt først at kende
rumtidskrumningen (det som klassisk svarer til g-feltet). Det korte
resume af generel relativitetsteori er

1) Matter tells spacetime how to curve,
2) Curved spacetime tells matter how to move.

At "løse feltligningerne" hører under 1) (og det er svært). At beregne
objeters baner hører under 2) og er lettere (følg den mest lige linje i
rumtiden) men forudsætter at man allerede har 1).

>>Skal det være nemmere endnu, kan du bruge det klassiske tyngdefelt (den
>>lokale g-vektor) til at beregne fotonens acceleration og normere farten
>>til c for hvert skridt. Dette giver så kun en halvt så stor afbøjning, som
>>hvis man regner relativistisk.
>
> Det er præcis det jeg har eksperiementeret med nu. Det passer fint nok med
> at hvis en foton kommer indenfor begivenhedshorisonten så kommer den bestemt
> heller ikke ud igen.

Du kan ikke lave en realistisk simulation af fotonbaner tæt på (eller
inden for) Schwarzschildradius uden at regne relativistisk. Diverse
halvklassiske approksimationer kan virke i området langt fra
Schwarzschildradius. Kriteriet er, at tyngdepotentialet skal være lille
i forhold til c², dvs GM/r « c².

> Hvorfor giver det en halvt så stor afbøjning,

Som udgangspunkt kan Newtons mekanik ikke bruges til at beregne en
fotons afbøjning. Ifølge klassisk mekanik skulle fotonens fart ændres,
men den er jo altid c. Ignorerer man dette og regner alligevel klassisk,
bliver resultatet så tilfældigvis halvdelen af det korrekte. Det
resultat gælder for små afbøjningsvinkler (svage tyngdefelter: GM/r « c²).

> og kan
> man så regne på tyngdekraften med en dobbelt så stor G?

Lige præcis for fotoner i svage felter burde det virke, ja. Men
selvfølgelig ikke for massive objekter, hvor man skal bruge den
autoriserede G. Og man kan selvfølgelig ikke generelt erstatte almen
relativitesteori med Newtons teori og en fordobling af G.

(Men, i øvrigt, hvis dit mål ikke er at skrive længere videnskabelige
redegørelser om dine eksperimenter, kan du måske tillade dig at være
relativt ligeglad med, hvor præcis din implementation måtte være.
Sålænge du bruger en bare nogenlunde realistisk model for tyngdekraften,
er de kvalitative resultater af de forskellige metoder nok ganske ens.)

> Det var denne ændring i energi jeg ville beregne ved
> at se hvor meget fotonens hastioghed skal skaleres for at afpasses med c.
> Hvis farten burde have været 2c, så er den (når man regner bagud) faldet ned
> i tyngdefeltet og er blåforskudt. Når man regner omvendt giver det så en
> rødforskydning.

Du har ret i, at der er denne sammenhæng mellem forlæns/baglæns og
gange/dividere med den samme faktor.

--
Jonas Møller Larsen

---

> 1) Matter tells spacetime how to curve,
> 2) Curved spacetime tells matter how to move.

Det er jeg med på. Jeg havde bare en ide om at man kunne regne på det med
den gode gamle Newtonske mekanik. Jeg vidste egentlig godt at det ikke var
tilfældet, men af uransagelige årsager mente jeg stadig at det var vejen
frem her. Det skyldes nok også at jeg ingen erfaring har med at regne
relativistisk.

> Som udgangspunkt kan Newtons mekanik ikke bruges til at beregne en fotons
> afbøjning. Ifølge klassisk mekanik skulle fotonens fart ændres, men den er
> jo altid c. Ignorerer man dette og regner alligevel klassisk, bliver
> resultatet så tilfældigvis halvdelen af det korrekte. Det resultat gælder
> for små afbøjningsvinkler (svage tyngdefelter: GM/r « c²).

Når du taler om at ignorere hastighedsgrænsen på c, mener du så at man
regner på fotonen som on den er en partikkel som kan accelereres til
hastigheder over c, eller mener du bare at man konstant i hvert
simulationsskridt begrænser hastigheden kunstigt?

> (Men, i øvrigt, hvis dit mål ikke er at skrive længere videnskabelige
> redegørelser om dine eksperimenter, kan du måske tillade dig at være
> relativt ligeglad med, hvor præcis din implementation måtte være. Sålænge
> du bruger en bare nogenlunde realistisk model for tyngdekraften, er de
> kvalitative resultater af de forskellige metoder nok ganske ens.)

Målet er bare at lave en sjov effekt til noget raytracing. Mit testprogram
viser tydeligt nok at den simple metode vil virke sådan at man kan se et
sort hul hvorfra intet lys kommer og man kan se en art gradvis afbøjning i
nærheden af "hullet". Jeg var bare ikke klar over om man kunne sige at det
var korrekt eller ej. Det lyder nu som om effekten er korrekt, men dens grad
ikke nødvendigvis er korrekt for den givne masse af tyngdekilden.

Jeg har dårligt tid til at sætte mig ind i relativistisk mekanik, så det
bliver næppe bedre end det her. Takker for dine svar som var oplysende.

---

Jakob Nielsen wrote:
> Når du taler om at ignorere hastighedsgrænsen på c, mener du så at man
> regner på fotonen som on den er en partikkel som kan accelereres til
> hastigheder over c, eller mener du bare at man konstant i hvert
> simulationsskridt begrænser hastigheden kunstigt?

I svagfeltområdet (små afbøjningsvinkler) giver begge metoder en
afbøjningsvinkel på halvdelen af den rigtige. (For forskellen på
metoderne er, om man inkluderer den komponent af den lokale g-vektor,
som er parallel med hastighedsvektoren, men denne komponent summerer
alligevel til nul.)

--
Jonas Møller Larsen

---

Jakob Nielsen wrote:
> Når du taler om at ignorere hastighedsgrænsen på c, mener du så at man
> regner på fotonen som on den er en partikkel som kan accelereres til
> hastigheder over c, eller mener du bare at man konstant i hvert
> simulationsskridt begrænser hastigheden kunstigt?

Fotonen følger en kurve i rummet R(l) der er løsningen til geodæt
ligningen, hvor Kristoffel symbolet indeholder informationen om
rumtidens krumning, og den kommer fra en løsning af Einsteins
ligning med den ønsket massefordeling.

Det giver ikke så meget mening at tale om "hastigheder" eller
"accelerationer", fordi der ikke er nogen egentid for fotoner.

Kurven er derfor en funktion af en arbitrær parameter vi kan opfatte
som "kurvelængde". Omparametriserer du kurvelængden så vil du få
vidt forskellige "hastigheder" og "accelerationer", men det er
stadigt præcist den samme kurve i rummet som fotonen følger.

(Forudsat at geodæt ligningen har en unik løsning med de ønskede
grænsebetingelser.)

--
Mvh. Carsten Svaneborg
http://gauss.ffii.org