---

Min søn har spurgt mig hvorfor 0,9999999999999999999999999inf = 1?

Altså hvis man begynder at gange og dividere tallet, så vil der ske
ændringer i sidste decimal, mit "forældresvar" som han ikke accepterer, er
at det måske er korrekt ifølge de regler man har opsat inden for
matematikken, men rent "matematisk" er det IKKE korrekt. Han har sikkert
ret, eller hur?

se evt. http://db.uwaterloo.ca/~alopez-o/math-faq/node41.html



--
venligst
Ralph

---

Scripsit "Ralph" <rwr@post6.tele.dk>

> mit "forældresvar" som han ikke accepterer, er at det måske er
> korrekt ifølge de regler man har opsat inden for matematikken, men
> rent "matematisk" er det IKKE korrekt.

Der ser ud som om du skelner mellem "ifølge de regler man har opsat
indenfor matematikken" og "rent matematisk". Hvad mener du skulle være
forskellen på de to - jeg kan ikke se at det ene er andet end en mere
omstændelig måde at sige det andet på.

> Han har sikkert ret, eller hur?

Måske. Men du har jo ikke forklaret hvad han påstår, så hvor skulle vi
vide det fra?

> se evt. http://db.uwaterloo.ca/~alopez-o/math-faq/node41.html

Det er et godt svar. Er der specielle dele af det du gerne vil have
uddybet?

--
Henning Makholm "However, the fact that the utterance by
Epimenides of that false sentence could imply the
existence of some Cretan who is not a liar is rather unsettling."

---

Ralph wrote:
> Min søn har spurgt mig hvorfor 0,9999999999999999999999999inf = 1?
>
> Altså hvis man begynder at gange og dividere tallet, så vil der ske
> ændringer i sidste decimal, mit "forældresvar" som han ikke accepterer, er
> at det måske er korrekt ifølge de regler man har opsat inden for
> matematikken, men rent "matematisk" er det IKKE korrekt. Han har sikkert
> ret, eller hur?
>
> se evt. http://db.uwaterloo.ca/~alopez-o/math-faq/node41.html
>
>
>

Hej

De første formelle forklaringer på side siger ham nok ikke så meget, men
http://db.uwaterloo.ca/~alopez-o/math-faq/img227.gif
må give ham en áha oplevelse.

--
Hilsen Mikkel Lund

http://aausatii.aau.dk

---

Ralph wrote:

> Min søn har spurgt mig hvorfor 0,9999999999999999999999999inf = 1?
>
> Altså hvis man begynder at gange og dividere tallet, så vil der ske
> ændringer i sidste decimal, mit "forældresvar" som han ikke accepterer, er
> at det måske er korrekt ifølge de regler man har opsat inden for
> matematikken, men rent "matematisk" er det IKKE korrekt. Han har sikkert
> ret, eller hur?

Det er helt korrekt matematisk.

Det der er svært at sluge i første omgang, er at der
er mere end en måde at skrive et tal ned på som kommatal.
Vi er vant til at tallet 0,5 kan skrives op som brøk
på flere måder: 1/2, 2/4, 3/6, ... . Tallet 0,5 kan
dog også skrives som 0,499... . Det samme tal kan altså
godt skrives op på to forskellige måder. Når man har
to forskellige måder at skrive et tal op på, så vil
man normalt vælge den nemmeste. Det er kun ved tal,
som ikke kan skrives op som et endelig decimaltal,
man er vant til at se ... For eksempel skriver
vi 1/3 = 0,333... .


Tilbage til 0,999...:


Her er et "overbevis":

Kald tallet 0,999... for x.

x = 0,999...

Gang med 10 på begge sider:

10x = 9,999...

Nu trækkes det samme tal x fra på begge sider:

9x = 9,999... - x

På højresiden bytter vi x ud med 0,999...

9x = 9,999... - 0,999...

Det vil sige:

9x = 9

Divider med 9 på begge sider:

x = 1

Men x var et navn for 0,999...

0,999... = 1


--
Jens Axel Søgaard

---

Scripsit Jens Axel Søgaard <usenet@soegaard.net>

> Kald tallet 0,999... for x.

> x = 0,999...

> Gang med 10 på begge sider:

> 10x = 9,999...

De rigtig stædige benægtere hævder naturligvis at denne udregning er
ugyldig, fordi der kun er uendelig minus én nitaller til højre for
kommaet efter vi har ganget med 10, og at vi derfor ender med

9x = 8,9999...1

og at vi derfor når vi til sidst deler med 9 får

x = 0,9999...9

uden at være blevet klogere end hvad vi startede med.


(Nej, man behøver ikke forklare mig hvorfor den indvending ikke virker).

--
Henning Makholm "We cannot time-travel in this dimension. Everything
is arranged differently, and they use different plugs."

---

Henning Makholm wrote:
> Scripsit Jens Axel Søgaard <usenet@soegaard.net>

> De rigtig stædige benægtere hævder naturligvis at denne udregning er
> ugyldig, fordi der kun er uendelig minus én nitaller til højre for
> kommaet efter vi har ganget med 10, ...

Så må vi sætte dem til at tælle efter

--
Jens Axel Søgaard

---

Jens Axel Søgaard <usenet@soegaard.net> wrote:

> Tallet 0,5 kan dog også skrives som 0,499...

Det er altså ikke rigtigt. Men hvis n betegner antallet af decimaler, og
a betegner tallet 0,499.., så vil vi kunne sige at a går mod 0,5 for n
gående mod uendeligt. Hvilket altså ikke er det samme som at a = 0,5.
Kan du slet ikke huske dit 2g-matematik? Det med grænseværdier, før vi
kom til infitesimalregning, i gode gamle Kristensen & Rindung?

Det du siger er reelt at intervallet [a,b] = intervallet ]a,b] =
intervallet ]a,b[ = intervallet [a,b[

Man skal altid være forsigtig med at arbejde med »tallet« ∞, og det er
jo reelt det du gør.

Hvad er i øvrigt 5/0? Ja, hvis nævneren nu kaldes n, så ville vi jo
kunne sige, at brøken går mod netop ∞ for n gående mod 0. Skal vi så
også bare tillade at dividere med 0?
--
Per Erik Rønne

---

Per Rønne wrote:

> Jens Axel Søgaard <usenet@soegaard.net> wrote:

>>Tallet 0,5 kan dog også skrives som 0,499...

> Det er altså ikke rigtigt.

Jo, den er god nok. 0,499... er en forkortelse for

4*(1/10) + 9*(1/10)^2 + 9*(1/10)^3 + ...

Da 9*(1/10)^2 + 9*(1/10)^3 + ... er en hale af en kvotientrække
er den konvergent; dens grænseværdi er 0,1 så ovenstående
giver i alt 0,5.

> Men hvis n betegner antallet af decimaler, og
> a betegner tallet 0,499.., så vil vi kunne sige at a går mod 0,5 for n
> gående mod uendeligt.

Nej. Tallet a er lig med 0,5.

Derimod vil talfølgen a_n=0,49...9 (kun n nitaller) have
a=0,5 som grænseværdi for n gående mod uendelig.

> Hvilket altså ikke er det samme som at a = 0,5.
> Kan du slet ikke huske dit 2g-matematik? Det med grænseværdier, før vi
> kom til infitesimalregning, i gode gamle Kristensen & Rindung?

Jo jo - selvom Kristensen og Rindung nu er fra før min tid


--
Jens Axel Søgaard

---

Jens Axel Søgaard skrev:

>> Kan du slet ikke huske dit 2g-matematik? Det med grænseværdier, før vi
>> kom til infitesimalregning, i gode gamle Kristensen & Rindung?

>Jo jo - selvom Kristensen og Rindung nu er fra før min tid

Bare rolig. Både Kristensen og Rindung er skam enige med dig. Jeg
kan dog ikke huske hvilken notation de brugte for uendelige
decimalrækker.

--
Bertel
http://bertel.lundhansen.dk/   FIDUSO: http://fiduso.dk/

---

spam@husumtoften.invalid (Per Rønne) writes:

> Det er altså ikke rigtigt. Men hvis n betegner antallet af
> decimaler,

Der er uendeligt mange decimaler. NÃ¥r man skriver 0.499... mener man
netop grænseværdien, og ikke følgen af endelige decimaludviklinger på
vejen.

> og a betegner tallet 0,499.., så vil vi kunne sige at a går mod 0,5
> for n gående mod uendeligt.

En konstant siges normalt ikke at gå mod noget som helst. Dit tal a er
en konstant, og den konstant er 1/2.

> Kan du slet ikke huske dit 2g-matematik?

Hvis man skal være nedladende, er det formålstjenstligt at have
ret. Din viden om simpel matematik lader til at være noget forvirret,
og jeg vil foreslå at du læser lidt op på emnet før du næste gang
forsøger at irettesætte en der faktisk ved hvad han taler om.

> Man skal altid være forsigtig med at arbejde med »tallet« ∞, og det
> er jo reelt det du gør.

Han regner med uendelige decimaludviklinger, men de er altså ganske
velkendte og ganske simple at regne med.

--
Stefan Holm
"You totally talked to her, though. That's pretty cool."

---

"Ralph" <rwr@post6.tele.dk> writes:

> Altså hvis man begynder at gange og dividere tallet, så vil der ske
> ændringer i sidste decimal,

Hvilket sidste decimal? Du har ikke en endelig decimalfremstilling, og
dermed giver det ikke mening at snakke om et sidste.

--
Stefan Holm
"Wow! Santa's head came off easier than I thought!"

---

Stefan Holm <nospam@algebra.dk> wrote:

> "Ralph" <rwr@post6.tele.dk> writes:
>
> > Altså hvis man begynder at gange og dividere tallet, så vil der ske
> > ændringer i sidste decimal,
>
> Hvilket sidste decimal? Du har ikke en endelig decimalfremstilling, og
> dermed giver det ikke mening at snakke om et sidste.

Nej, når der er uendelig mange decimaler kan man ikke snakke om et
sidste. Vi er inde på noget med grænseværdier.
--
Per Erik Rønne

---

Min meget avanceret lommeregner siger at 2 gange 2 er 3,99 det olejer jeg
at runde op til 4

--


---------------------------------------------------------------------
"Are you still wasting your time with spam?...
There is a solution!"

Protected by GIANT Company's Spam Inspector
The most powerful anti-spam software available.
http://mail.spaminspector.com


"Ralph" <rwr@post6.tele.dk> wrote in message
news:4224c7ce$0$154$edfadb0f@dread11.news.tele.dk...
> Min søn har spurgt mig hvorfor 0,9999999999999999999999999inf = 1?
>
> Altså hvis man begynder at gange og dividere tallet, så vil der ske
> ændringer i sidste decimal, mit "forældresvar" som han ikke accepterer, er
> at det måske er korrekt ifølge de regler man har opsat inden for
> matematikken, men rent "matematisk" er det IKKE korrekt. Han har sikkert
> ret, eller hur?
>
> se evt. http://db.uwaterloo.ca/~alopez-o/math-faq/node41.html
>
>
>
> --
> venligst
> Ralph
>
>

---

"Ralph" <rwr@post6.tele.dk> writes:

> Min søn har spurgt mig hvorfor 0,9999999999999999999999999inf = 1?
>
> Altså hvis man begynder at gange og dividere tallet, så vil der ske
> ændringer i sidste decimal, mit "forældresvar" som han ikke accepterer, er
> at det måske er korrekt ifølge de regler man har opsat inden for
> matematikken, men rent "matematisk" er det IKKE korrekt. Han har sikkert
> ret, eller hur?

Jeg har nogle gange med held brugt følgende argument for at overbevise
tvivlere om, at 1 = 0.9999...:

Vi er enige om at 1 = 9/9 og at 9*(1/9) = 9/9.

1/9 = 0.1111...
2/9 = 1/9+1/9 = 0.2222...
4/9 = 2/9+2/9 = 0.4444...
5/9 = 4/9+1/9 = 0.5555...
9/9 = 4/9+5/9 = 0.9999...

De første par regnestykker giver som regel ikke nogen protester, og
det er ikke svært at overbevise folk om, at det sidste er lavet på
præcis samme måde: Man kan lægge sammen ciffervis, og der er ikke
behov for nogensinde at overføre en mente. Så det eneste springende
punkt er at overbevise "modstanderen" om, at 1/9 = 0.1111..., men det
er i reglen ikke noget problem.

Torben

---

Torben Ægidius Mogensen wrote:

> Jeg har nogle gange med held brugt følgende argument for at overbevise
> tvivlere om, at 1 = 0.9999...:
>
> Vi er enige om at 1 = 9/9 og at 9*(1/9) = 9/9.
>
> 1/9 = 0.1111...
> 2/9 = 1/9+1/9 = 0.2222...
> 4/9 = 2/9+2/9 = 0.4444...
> 5/9 = 4/9+1/9 = 0.5555...
> 9/9 = 4/9+5/9 = 0.9999...

Smart!

--
Jens Axel Søgaard

---

Torben Ægidius Mogensen kalligraferede, i
news:7z3bveoypm.fsf@app-4.diku.dk

> Jeg har nogle gange med held brugt følgende argument for at overbevise
> tvivlere om, at 1 = 0.9999...:
>
> Vi er enige om at 1 = 9/9 og at 9*(1/9) = 9/9.
>
> 1/9 = 0.1111...
> 2/9 = 1/9+1/9 = 0.2222...
> 4/9 = 2/9+2/9 = 0.4444...
> 5/9 = 4/9+1/9 = 0.5555...
> 9/9 = 4/9+5/9 = 0.9999...

Det er en genial illustration. Den illustrerer nemlig meget godt hvad det
egentlig betyder med en "uendelig række decimaler". Selv jeg fattede det og
det er immervæk knap tyve år siden jeg havde den tidligere omtalte
Kristensen og Rindung åben.

David

---

"Ralph" <rwr@post6.tele.dk> skrev i en meddelelse
news:4224c7ce$0$154$edfadb0f@dread11.news.tele.dk...
> Min søn har spurgt mig hvorfor 0,9999999999999999999999999inf = 1?
>
> Altså hvis man begynder at gange og dividere tallet, så vil der ske
> ændringer i sidste decimal, mit "forældresvar" som han ikke accepterer, er
> at det måske er korrekt ifølge de regler man har opsat inden for
> matematikken, men rent "matematisk" er det IKKE korrekt. Han har sikkert
> ret, eller hur?

Jeg vil gerne gengive den forklaring der gives i Ebbe Thue Poulsens
"Funktioner af en og flere variable. Indledning til matematisk analyse.",
side 317. Jeg synes den er fin.

"Der gælder nemlig, at et positivt reelt tal, hvis decimalbrøkfremstilling
ender med lutter nuller, også kan skrives på en form, der ender med lutter
9-taller. For eksempel er 1,000000000... = 0,999999999... .

Det kan være lidt svært ved at forstå, at det forholder sig sådan. Man kan
måske bedst indse det ved at tænke på, hvad der sker, når man adderer et
lille positivt tal til tallet a = 0,999999999...:

0,999999999... + 0,001 = 1,000999999... > 1
0,999999999... + 0,000001 = 1,000000999... > 1.

Man ser let, at ligegyldigt hvor lille et tal, man adderer til a, bliver
summen /større end/ 1. Der er altså ikke "plads" nogen tal mellem a og 1, så
differensen 1 - a må være lig 0, således at 0,999999999... = 1."

På side 331 i bogen argumenterer han lidt videre.

Jeg vil gerne kort opsummere hvad han egentlig siger:

Uanset hvilket tal større end 0 du kommer med, vil jeg kunne sige at
forskellen mellem 1,000000000... og 0,999999999... er mindre. Der findes
altså intet tal større end 0 som kan ligge imellem 1,000000000... og
0,999999999... . Forskellen må de to tal er altså 0, og de to tal er ens.

Samme argumentation gælder altså for 2,000000000... og 1,999999999... og så
fremdeles.


Med venlig hilsen

Filip Drejer Johnsen

---

Filip Drejer Johnsen wrote:

> Jeg vil gerne gengive den forklaring der gives i Ebbe Thue Poulsens
> "Funktioner af en og flere variable. Indledning til matematisk analyse.",
> side 317. Jeg synes den er fin.
...
> Jeg vil gerne kort opsummere hvad han egentlig siger:
>
> Uanset hvilket tal større end 0 du kommer med, vil jeg kunne sige at
> forskellen mellem 1,000000000... og 0,999999999... er mindre. Der findes
> altså intet tal større end 0 som kan ligge imellem 1,000000000... og
> 0,999999999... . Forskellen må de to tal er altså 0, og de to tal er ens.
>
> Samme argumentation gælder altså for 2,000000000... og 1,999999999... og så
> fremdeles.

Den er forklaring er fin.

Jeg gætter dog på, at den er dog ikke nemt at "overbevise" med,
for man bruger:

(for alle e>0: |a-b|<e) => a=b

Mon ikke Torbens antagelser

9/9 = 1

1/9 = 0.1111...

er nemmere at sælge?


[Afhængig af den, der skal købe forklaringen]

--
Jens Axel Søgaard

---

"Filip Drejer Johnsen" <write to filip at johnzen [dot] net> wrote:

> Det kan være lidt svært ved at forstå, at det forholder sig sådan. Man kan
> måske bedst indse det ved at tænke på, hvad der sker, når man adderer et
> lille positivt tal til tallet a = 0,999999999...:
>
> 0,999999999... + 0,001 = 1,000999999... > 1
> 0,999999999... + 0,000001 = 1,000000999... > 1.
>
> Man ser let, at ligegyldigt hvor lille et tal, man adderer til a, bliver
> summen /større end/ 1. Der er altså ikke "plads" nogen tal mellem a og 1, så
> differensen 1 - a må være lig 0, således at 0,999999999... = 1."

Ikke hvis han adderer det med tallet 0,00...001, hvor de tre punktummer
betegner at der er tale om et uendeligt antal 0er. Når Ebbe Thue Poulsen
kan betjene sig af et tal, der kun kan beskrives med en uendelig
gentagelse af et ciffer, kan jeg vel også.
--
Per Erik Rønne

---

""Per Rønne"" <spam@husumtoften.invalid> skrev i en meddelelse
news:1gsvbw2.1hlyfzrw4s2bkN%spam@husumtoften.invalid...
> "Filip Drejer Johnsen" <write to filip at johnzen [dot] net> wrote:
>
>> Det kan være lidt svært ved at forstå, at det forholder sig sådan. Man
>> kan
>> måske bedst indse det ved at tænke på, hvad der sker, når man adderer et
>> lille positivt tal til tallet a = 0,999999999...:
>>
>> 0,999999999... + 0,001 = 1,000999999... > 1
>> 0,999999999... + 0,000001 = 1,000000999... > 1.
>>
>> Man ser let, at ligegyldigt hvor lille et tal, man adderer til a, bliver
>> summen /større end/ 1. Der er altså ikke "plads" nogen tal mellem a og 1,
>> så
>> differensen 1 - a må være lig 0, således at 0,999999999... = 1."
>
> Ikke hvis han adderer det med tallet 0,00...001, hvor de tre punktummer
> betegner at der er tale om et uendeligt antal 0er. Når Ebbe Thue Poulsen
> kan betjene sig af et tal, der kun kan beskrives med en uendelig
> gentagelse af et ciffer, kan jeg vel også.

Jeg tror at problemet med din konstruktion er, at du forsøger at lave en
talrække der består at et uendeligt antal nuller samt 3 ekstra cifre. Det
kan man ikke når man har med uendelige tal at gøre.

Argumentationen er som Jens Axel Søgaard så rigtigt gør opmærksom på noget
med "epsilon er givet", men logikken er ganske klar. Når vi taler om en
uendelig talrække med 9-taller vil det aldrig være muligt at konstruere et
tal der ligger imellem 1 og 0,999... .

Beviset vil vel køre nogenlunde i denne retning: for et hvilket som helst
tal større end 0 (og lad os nu kalde dette tal for epsilon, for det kan vi
så godt lide) skal det gælde at dette tal + 0,999... skal give mere end 1.
Hvis du finder 10^(-n) vil jeg blot finde n+1 9-taller i min talrække, og
resultatet vil være skarpt større end 1. Det er dermed vist at intet tal
større end nul kan ligge imellem 0,999... og 1,000... . Konklusionen er at
de to tal er det samme.

Med venlig hilsen

Filip Drejer Johnsen