---

Ford i Tyskland har en konkurrence hvor man skal gætte hvor mange
Champions League fodbolde der kan anbringes i bagagerummet (med
nedfoldede bagsæder) af en Ford Focus stationcar. Der kan enten svares
99 eller 188, så jeg kan sikkert sjusse mig frem til svaret.

Findes der en generel formel/algoritme til udregning af denne slags
problemer: tættest mulig kuglepakning i en given kasse?

Se f.eks. <http://mathworld.wolfram.com/KeplerConjecture.html>

mij

--
Venlig hilsen / Freundliche Grüße / Kind regards
Michael Jack, Schleswig, Germany

---

Michael Jack wrote:

> Ford i Tyskland har en konkurrence hvor man skal gætte hvor mange
> Champions League fodbolde der kan anbringes i bagagerummet (med
> nedfoldede bagsæder) af en Ford Focus stationcar. Der kan enten svares
> 99 eller 188, så jeg kan sikkert sjusse mig frem til svaret.

Det korrekte svar må helt sikkert være 188 fodbolde. Det lyder godt nok
af meget, men set ud fra et reklamesynspunkt, så gælder det jo om, at
der er så meget plads i bilen som overhovedet muligt.

---

Michael Jack wrote:
> Ford i Tyskland har en konkurrence hvor man skal gætte hvor mange
> Champions League fodbolde der kan anbringes i bagagerummet (med
> nedfoldede bagsæder) af en Ford Focus stationcar. Der kan enten svares
> 99 eller 188, så jeg kan sikkert sjusse mig frem til svaret.
>
> Findes der en generel formel/algoritme til udregning af denne slags
> problemer: tættest mulig kuglepakning i en given kasse?
>
> Se f.eks. <http://mathworld.wolfram.com/KeplerConjecture.html>

Jep, det gør der. Sjovt du lige nævner det link...

Det du skal kigge på er hvordan kuglerne er pakket. Man anvender det
f.eks. også ifb. med x-ray diffraction hvor man studerer hvordan
atomerne i metaller sidder, hvilket har betydning for hvordan
slip-planerne ligger og derfor siger noget om hvordan materialet
derformerer sig plastisk.

Kort fortalt: 74% er den tætteste måde du kan pakke atomer/kugler på. Du
bør derfor kunne tage 74% af volumenet fra en kasse og dividere det med
volumenet af 1 kugle, for at bestemme antal kugler. Men i denne
betragtning er der ikke taget hensyn til halve og kvarte kugler i
hjørnerne m.m.

Jeg ved at der er folk som har studeret fænomenet nærmest til hudløshed
og har lavet ph.d-projekter indenfor emnet... Folk finder på de
underligste ting at studere


Med venlig hilsen / Best regards
Martin Jørgensen

--
---------------------------------------------------------------------------
Home of Martin Jørgensen - http://www.martinjoergensen.dk

---

Martin Jørgensen <unoder.spam@spam.jay.net> wrote:

> Michael Jack wrote:
> > Ford i Tyskland har en konkurrence hvor man skal gætte hvor mange
> > Champions League fodbolde der kan anbringes i bagagerummet (med
> > nedfoldede bagsæder) af en Ford Focus stationcar. Der kan enten svares
> > 99 eller 188, så jeg kan sikkert sjusse mig frem til svaret.

[snip]

> Kort fortalt: 74% er den tætteste måde du kan pakke atomer/kugler på. Du
> bør derfor kunne tage 74% af volumenet fra en kasse og dividere det med
> volumenet af 1 kugle, for at bestemme antal kugler. Men i denne
> betragtning er der ikke taget hensyn til halve og kvarte kugler i
> hjørnerne m.m.

Radius af fodbold: 6,9/(2*pi) = 1,098 liter 1)
Volumen af fodbold: (4*pi*r^3)/3 = 5,547 liter
Volumen af bagagerum: 1525 liter 2)
Volumen af tættest mulig kuglepakning: 74%*1525 = 1129 liter

Antal fodbolde i bagagerum: 1129/5,547 = 203,5 fodbolde

Altså godt 200 fodbolde. Svaret tager ikke hensyn til problemer med
hjulkasser, dørgreb etc i kabinen.

Det teoretiske forhold, 74%, bør kombineres med en eller anden form for
sanity check: hvis jeg tager en (temmelig høj) mælkekarton på 8 liter
med samme grundareal som en standard 1 liters karton, så kan jeg ikke
proppe bare en enkelt fodbold ned i kartonen.

mij


1) <http://www.fifa.com/en/laws/Laws2_01.htm>
2)
<http://www.ford.dk/spg/getImage.asp?imageName=SPG_10_30_0_16504.pdf&fil
ename=FRA_307_saver_example.pdf>


--
Venlig hilsen / Freundliche Grüße / Kind regards
Michael Jack, Schleswig, Germany

---

> Jeg ved at der er folk som har studeret fænomenet nærmest til
> hudløshed og har lavet ph.d-projekter indenfor emnet... Folk finder
> på de underligste ting at studere

Det sjoveste jeg har hørt var en amerikansk forsker der havde fundet ud af,
ved hjælp
af M&Ms, at ved hjælp af kugler der er trykket en smule flade, der kan man
opnå
en bedre fyldningsgrad. Hvorfor, og hvordan han kom frem til det må du ikke
spørge mig om, men det lyder da ganske morsomt :)

--
Peter Risager
"Story in a game is like a story in a porn movie. It's expected to be
there, but it's not that important." - John Carmack

---

Peter Risager skrev:

> af M&Ms, at ved hjælp af kugler der er trykket en smule flade, der kan man
> opnå
> en bedre fyldningsgrad. Hvorfor, og hvordan han kom frem til det må du ikke
> spørge mig om, men det lyder da ganske morsomt :)

Det er da ikke så underligt. Når kuglerne er fladtrykte får du jo en
ekstra parameter i at du kan "vende og dreje kuglerne" for at få dem til
at passe så godt som muligt. Når kuglerne er helt runde er der ingen
fidus i at vende dem.

-Rune

---

"Peter Risager" <peden@anarki.dk> skrev i en meddelelse
news:d00537$1jr3$1@news.cybercity.dk...
Hvorfor, og hvordan han kom frem til det må du ikke
> spørge mig om, men det lyder da ganske morsomt :)


Det er ellers med til at gøre historien sjovere.
En matematikprofessor var nemlig så glad for M&Ms at hans elver havde givet
ham et stort cylinderglas fyldt med M&M. Det fik så, forståeligt nok,
professoren til at tænke på hvor godt de var pakket. Og han gav sig i kast
med at tælle M&Msne og ganske rigtigt, det var pakket bedre end kugler.

Kan desværre ikke huske hvor jeg har læst det, desværre!

Mvh
Anders Lund

---

Anders Lund wrote:
> Kan desværre ikke huske hvor jeg har læst det, desværre!

Jeg læste det oprindeligt i Ingeniøren. På
http://www.princeton.edu/pr/pwb/04/0223/ er den "officielle"
beskrivelse.

--
Kristian

Replace 'invalid' with 'dk' to reply

---

Peter Risager wrote:
>>Jeg ved at der er folk som har studeret fænomenet nærmest til
>>hudløshed og har lavet ph.d-projekter indenfor emnet... Folk finder
>>på de underligste ting at studere
>
>
> Det sjoveste jeg har hørt var en amerikansk forsker der havde fundet ud af,
> ved hjælp
> af M&Ms, at ved hjælp af kugler der er trykket en smule flade, der kan man
> opnå
> en bedre fyldningsgrad. Hvorfor, og hvordan han kom frem til det må du ikke
> spørge mig om, men det lyder da ganske morsomt :)

Jeg hørte om én som på alle mulige underlige måder havde undersøgt
hvordan det kan være at en speciel snurretop, som er ustabil når den
ikke drejer rundt, hvordan den kunne blive stabil ved at komme op i høj
hastighed...

Det særlige ved denne snurretop (jeg har faktisk set den i
virkeligheden) er, at består af en pind med en halvkugle i den anden
ende. Og den startede med at vende med pinden opad og halvkuglen nedad
(ved langsomme hastigheder) mod underlaget. Når man så drejede den
tilstrækkeligt hurtigt rundt så vendte den sig rundt på pinden, så
pinden kørte på underlaget... Det var ret morsomt at se... Men at tænke
på ham som har siddet, forsket og skrevet formler op for den opførsel...
Det syntes jeg er ret morsomt


Med venlig hilsen / Best regards
Martin Jørgensen

--
---------------------------------------------------------------------------
Home of Martin Jørgensen - http://www.martinjoergensen.dk

---

Martin Jørgensen <unoder.spam@spam.jay.net> wrote:

>Jeg hørte om én som på alle mulige underlige måder havde undersøgt
>hvordan det kan være at en speciel snurretop, som er ustabil når den
>ikke drejer rundt, hvordan den kunne blive stabil ved at komme op i høj
>hastighed...
>
>Det særlige ved denne snurretop (jeg har faktisk set den i
>virkeligheden) er, at består af en pind med en halvkugle i den anden
>ende. Og den startede med at vende med pinden opad og halvkuglen nedad
>(ved langsomme hastigheder) mod underlaget. Når man så drejede den
>tilstrækkeligt hurtigt rundt så vendte den sig rundt på pinden, så
>pinden kørte på underlaget... Det var ret morsomt at se... Men at tænke
>på ham som har siddet, forsket og skrevet formler op for den opførsel...
>Det syntes jeg er ret morsomt

Den kaldes en "tippe top" og foruden en masse teori, så findes der også nogle
annimationer på nettet.

Google søgningen:
http://www.google.dk/search?hl=da&q=%22tippe+top%22&btnG=Google-s%C3%B8gning&meta=
giver næsten tusind hits!


--
Med venlig hilsen, Ove Kjeldgaard, nospam AT privat DOT dk
Natur og Friluftsliv: <http://hiker.dk>

---

Scripsit Martin Jørgensen <unoder.spam@spam.jay.net>

> Det særlige ved denne snurretop (jeg har faktisk set den i
> virkeligheden) er, at består af en pind med en halvkugle i den anden
> ende.

Den kaldes en "tippetop" -- man kan finde en del information ved at
google efter det navn, heriblandt en del på tysk og engelsk som
tilsyneladende har indlånt det danske ord.

> Men at tænke på ham som har siddet, forsket og skrevet formler op
> for den opførsel... Det syntes jeg er ret morsomt

Det er en ret besynderlig opførsel, så det ligger naturligt for en
nysgerrig fysiker at forsøge at forstå den. Før man har forsøgt at
udvikle teorien, ved man jo ikke om man støder på nogen analytiske
tricks der kunne have bredere anvendelse.

--
Henning Makholm "Jeg forstår mig på at anvende sådanne midler på
folks legemer, at jeg kan varme eller afkøle dem,
som jeg vil, og få dem til at kaste op, hvis det er det,
jeg vil, eller give afføring og meget andet af den slags."

---

"Michael Jack" <michjack@spamfilter.dk> wrote in message
news:1gspgya.100vy41vdvawcN%michjack@spamfilter.dk...

> Findes der en generel formel/algoritme til udregning af denne slags
> problemer: tættest mulig kuglepakning i en given kasse?

Jeg så et forsøg med bordtennisbolde en gang. Der fyldte de et tomt akvarium
med bordtennisbolde og opnådede en fyldgrad på lidt over 50% af volumenen.
Jo mere irregulær formen af beholderen er jo mindre effektiv udnyttelse vil
jeg antage at der er.

---

"Jakob Nielsen" <a@b.c> writes:

> "Michael Jack" <michjack@spamfilter.dk> wrote in message
> news:1gspgya.100vy41vdvawcN%michjack@spamfilter.dk...
>
> > Findes der en generel formel/algoritme til udregning af denne slags
> > problemer: tættest mulig kuglepakning i en given kasse?
>
> Jeg så et forsøg med bordtennisbolde en gang. Der fyldte de et tomt akvarium
> med bordtennisbolde og opnådede en fyldgrad på lidt over 50% af volumenen.
> Jo mere irregulær formen af beholderen er jo mindre effektiv udnyttelse vil
> jeg antage at der er.

Det er ikke så meget hvor irregular formen er, men forholdet mellem
overfladeareal og rumfang. Den indre del af rummet kan fyldes med
optimal tethed (ca. 74%, som sagt andetsteds i tråden). Nær kanten
kan der være ret stort spil, så man for den del, der er mindre end en
bolddiameter fra kanten kan få næsten vilkårlig lav udnyttelse. I
værste tilfælde kan man have en helt regulær kasse, som dog er lidt
mindre end en boldradius på den korteste led. Her kan slet ingen
bolde være, så udnyttelsesgraden er 0. Omvendt kan en irregular kasse
sagtens følge krumningerne af boldene langs overfladen, så man får en
udnyttelse, der er bedre end 74%.

Torben

---

""Torben Ægidius Mogensen"" <torbenm@app-4.diku.dk> wrote in message
news:7zoee3lpew.fsf@app-4.diku.dk...

> Det er ikke så meget hvor irregular formen er, men forholdet mellem
> overfladeareal og rumfang.

Nej, det var et dumt ord. Det var i relation til en bil, hvor dens
fremspring og udbulninger generelt ville reducere udnyttelsesgraden.

Ved du, eller en anden, om de 74% er udenhensyntagen til spildpladsen mellem
kuglerne og udersidenaf beholderen? Jeg kunne tro at der er tale om
udnyttelsen af en volumen inde i mængden af bolde, og ikke et omkrandsende
volumen. Det vil måske kunne forklare at man kan udnytte 52% af volumenen i
et stort firkantet akvarium der fyldes med bordtennisbolde. Der vil der
netop være spild ved kanten og hjørnerne.

---

"Jakob Nielsen" <a@b.c> writes:


> Ved du, eller en anden, om de 74% er udenhensyntagen til spildpladsen mellem
> kuglerne og udersidenaf beholderen? Jeg kunne tro at der er tale om
> udnyttelsen af en volumen inde i mængden af bolde, og ikke et omkrandsende
> volumen. Det vil måske kunne forklare at man kan udnytte 52% af volumenen i
> et stort firkantet akvarium der fyldes med bordtennisbolde. Der vil der
> netop være spild ved kanten og hjørnerne.

Se http://mathworld.wolfram.com/CubicClosePacking.html

Akvariumseksperimentet vil tilnærme sig tilfældig pakning, som giver
en tæthed på ca. 64% i ubegrænsede rum, se
http://mathworld.wolfram.com/SpherePacking.html

Tætheden antager i begge tilfælde et uendeligt/ubegrænset rum, så der
er ikke taget højde for kantbetingelser. For rektangulære kasser vil
kantbetingelser give en mindre tæthed. Se
http://www.stetson.edu/~efriedma/sphincub/ for optimale pakninger af N
kugler i kubiske kasser.

Torben

---

Interessant emne, som fik mig til at tænke på:

Hvordan fordeles et givent antal cirkler mest jævnt på en større
cirkel?

--
Brian (remove the sport for mail)
http://www.et.dtu.dk/staff/be/be.html

---

Brian Elmegaard <brian@rk-speed-rugby.dk> writes:

> Interessant emne, som fik mig til at tænke på:
>
> Hvordan fordeles et givent antal cirkler mest jævnt på en større
> cirkel?

Se http://mathworld.wolfram.com/CirclePacking.html

Torben

---

torbenm@app-4.diku.dk (Torben Ægidius Mogensen) writes:

> Se http://mathworld.wolfram.com/CirclePacking.html

Hjælper den? Er det ikke et svar på spørgsmålet: Hvor lille et areal
kan et givent antal cirkler dække?

--
Brian (remove the sport for mail)
http://www.et.dtu.dk/staff/be/be.html

---

Brian Elmegaard <brian@rk-speed-rugby.dk> writes:

> torbenm@app-4.diku.dk (Torben Ægidius Mogensen) writes:
>
> > Se http://mathworld.wolfram.com/CirclePacking.html
>
> Hjælper den? Er det ikke et svar på spørgsmålet: Hvor lille et areal
> kan et givent antal cirkler dække?

Hvilket er præcist ækvivalent med "hvor mange cirkler kan der være i
et givet areal".

Torben

---

Scripsit Brian Elmegaard <brian@rk-speed-rugby.dk>
> torbenm@app-4.diku.dk (Torben Ægidius Mogensen) writes:

>> Se http://mathworld.wolfram.com/CirclePacking.html

> Hjælper den?

Ja - rul nedad. Cirka en tredjedel nede er der en tegning og tabel
over hvor store småcirklerne kan være for at der er plads til
1,2,3,4,5,6 af dem i en stor.

--
Henning Makholm "Monarki, er ikke noget materielt ... Borger!"

---

Henning Makholm <henning@makholm.net> writes:

> Ja - rul nedad. Cirka en tredjedel nede er der en tegning og tabel
> over hvor store småcirklerne kan være for at der er plads til
> 1,2,3,4,5,6 af dem i en stor.

Jeg fanger stadig ikke at det skulle være samme problem. Hvis jeg har
et antal meget små cirkler af given diameter, måske i første omgang
punkter, som jeg vil fordele på et vilkårligt areal som er meget
større en de smås tilsammen. Hvordan fordeler jeg dem så så der er ens
og kortest mulig afstand mellem hver af de små cirkler.

Er det samme problem som: hvor lille et areal kan jeg lægge et givet
antal cirkler på?

--
Brian (remove the sport for mail)
http://www.et.dtu.dk/staff/be/be.html

---

Scripsit Brian Elmegaard <brian@rk-speed-rugby.dk>

> Jeg fanger stadig ikke at det skulle være samme problem. Hvis jeg har
> et antal meget små cirkler af given diameter, måske i første omgang
> punkter, som jeg vil fordele på et vilkårligt areal som er meget
> større en de smås tilsammen. Hvordan fordeler jeg dem så så der er ens
> og kortest mulig afstand mellem hver af de små cirkler.

Hvad mener du med "kortest mulig afstand"? Hvis du spørger om
diameteren for det konvekse hylster af cirkelcentrene, kan jeg godt
set at det ikke nødvendigvis er det samme som at fordele dem i en stor
cirkel.

Men i dit oprindelige spørgsmål skrev du nu altså "på en større
cirkel".

> Er det samme problem som: hvor lille et areal kan jeg lægge et givet
> antal cirkler på?

Det tror jeg ikke. Men det var jo heller ikke det det afsnit af
mathworld-artiklen der blev henvist til, handler om.

--
Henning Makholm "Kurt er den eneste jeg kender der er
*dum* nok til at gå i *ring* på et jernbanespor."

---

Henning Makholm <henning@makholm.net> writes:

> Men i dit oprindelige spørgsmål skrev du nu altså "på en større
> cirkel".

Ja, og det er her jeg skrev forkert. Jeg mente /inden for/ en stor
cirkel.

Er en cirkel egentlig kun omkredsen eller også det indeni? Hvad med en
kugle?

> Det tror jeg ikke. Men det var jo heller ikke det det afsnit af
> mathworld-artiklen der blev henvist til, handler om.

Det syntes jeg nok. Har jeg forklaret det bedre nu?

--
Brian (remove the sport for mail)
http://www.et.dtu.dk/staff/be/be.html

---

"Brian Elmegaard" <brian@rk-speed-rugby.dk> wrote in message
news:uy8d6kys9.fsf@rk-speed-rugby.dk...

> Er en cirkel egentlig kun omkredsen eller også det indeni? Hvad med en
> kugle?

En cirkel kan have et areal, men cirkelbuen er kanten.
En kugle har volumen inde i sin kugleskal.

---

Brian Elmegaard skrev:

>Er en cirkel egentlig kun omkredsen eller også det indeni? Hvad med en
>kugle?

Den definition jeg kender, siger at en cirkel er den punktmængde
hvis afstand til centrum er mindre end eller lig med en given
radius.

--
Bertel
http://bertel.lundhansen.dk/   FIDUSO: http://fiduso.dk/

---

Bertel Lund Hansen <nospamfilius@lundhansen.dk> writes:

> Den definition jeg kender, siger at en cirkel er den punktmængde
> hvis afstand til centrum er mindre end eller lig med en given
> radius.

Godt så var mit spørgsmål jo korrekt formuleret.

--
Brian (remove the sport for mail)
http://www.et.dtu.dk/staff/be/be.html

---

Scripsit Brian Elmegaard <brian@rk-speed-rugby.dk>

>> Det tror jeg ikke. Men det var jo heller ikke det det afsnit af
>> mathworld-artiklen der blev henvist til, handler om.

> Det syntes jeg nok. Har jeg forklaret det bedre nu?

Nej. Prøv at starte helt forfra og bekskrive _dit_ problem helt fra
grunden, og _derefter_ hvorledes du mener det adskiller sig fra hvad
Mathworlds skriver om.

--
Henning Makholm "First chapter, the plot advances,
second chapter, Ayla makes a discovery that
significantly enhances Palaeolithic technology, third
chapter, Ayla has sex with someone, and repeat ad infinitum."

---

Scripsit Bertel Lund Hansen <nospamfilius@lundhansen.dk>

> Den definition jeg kender, siger at en cirkel er den punktmængde
> hvis afstand til centrum er mindre end eller lig med en given
> radius.

Det er i min sprogbrug en cirkel_skive_. En cirkel er det geometriske
sted for de punkter der har en given afstand (radius) til et givet
punkt.

Normalt kan man godt tillade sig at sjuske og sige "cirkel" når man
mener "cirkelskive", blot ikke hvis vi diskutererer definitioner.

--
Henning Makholm "... a specialist in the breakaway
oxidation phenomena of certain nuclear reactors."

---

Henning Makholm skrev:

>Det er i min sprogbrug en cirkel_skive_. En cirkel er det geometriske
>sted for de punkter der har en given afstand (radius) til et givet
>punkt.

Er et sted så et 'punktløst' område?

--
Bertel
http://bertel.lundhansen.dk/   FIDUSO: http://fiduso.dk/

---

Scripsit Brian Elmegaard <brian@rk-speed-rugby.dk>
> Henning Makholm <henning@makholm.net> writes:

>> Men i dit oprindelige spørgsmål skrev du nu altså "på en større
>> cirkel".

> Ja, og det er her jeg skrev forkert. Jeg mente /inden for/ en stor
> cirkel.

Dine kommentarer gør mig mere og mere forvirret. Taler vi overhovedet
om samme del af Mathworld-artiklen?

Jeg henviser til afsnittet der efterfølger illustrationen
<http://mathworld.wolfram.com/c2img89.gif>. Bemærk at det fremgår af
tabellen at løsningen for 7 små cirkler har samme størrelse som den
for 6 og altså fremkommer ved at placere en lille cirkel i midten
6-løsningen i slutningen af figuren.

--
Henning Makholm "Jeg forstår mig på at anvende sådanne midler på
folks legemer, at jeg kan varme eller afkøle dem,
som jeg vil, og få dem til at kaste op, hvis det er det,
jeg vil, eller give afføring og meget andet af den slags."

---

Scripsit Bertel Lund Hansen <nospamfilius@lundhansen.dk>
> Henning Makholm skrev:

>>Det er i min sprogbrug en cirkel_skive_. En cirkel er det geometriske
>>sted for de punkter der har en given afstand (radius) til et givet
>>punkt.

> Er et sted så et 'punktløst' område?

Så vidt jeg kan udlede er "det geometriske sted for" en traditionel
skrivemåde for en mængde af punkter. Det er mærkeligt formuleret fordi
det er ældre en mængdelære i almindelighed.

--
Henning Makholm "... not one has been remembered from the time
when the author studied freshman physics. Quite the
contrary: he merely remembers that such and such is true, and to
explain it he invents a demonstration at the moment it is needed."

---

Henning Makholm <henning@makholm.net> writes:

> Dine kommentarer gør mig mere og mere forvirret. Taler vi overhovedet
> om samme del af Mathworld-artiklen?

Ja, og jeg synes ikke det hjælper.

Et eksempel: Hvis jeg tager et dambræt og 64 brikker ville jeg
intuitivt definere dem som værende "bedst fordelt" hvis der var en i
hvert felt. Grunden er nok at et givent udsnit af brædtet
sandsynligvis ville indeholde et forholdsmæssigt rigtigt brikareal. Er
det ikke sådan?

Hvad nu hvis det ikke er 64 brikker? Eller hvis det ikke er et
kvadratisk brædt, men fx. en cirkulært?

--
Brian (remove the sport for mail)
http://www.et.dtu.dk/staff/be/be.html

---

Scripsit Brian Elmegaard <brian@rk-speed-rugby.dk>
> Henning Makholm <henning@makholm.net> writes:

>> Dine kommentarer gør mig mere og mere forvirret. Taler vi overhovedet
>> om samme del af Mathworld-artiklen?

> Ja, og jeg synes ikke det hjælper.

Kunne du evt prøve at definere dit problem nøjere, så?

> Et eksempel: Hvis jeg tager et dambræt og 64 brikker ville jeg
> intuitivt definere dem som værende "bedst fordelt" hvis der var en i
> hvert felt.

Hvad præcis mener du med "bedst fordelt"?

--
Henning Makholm "Monsieur, vous êtes fou."

---

Henning Makholm <henning@makholm.net> writes:

> Hvad præcis mener du med "bedst fordelt"?

Jeg er ikke sikker, men prøver.

Måske: At hvis man tager et vilkårligt udsnit af arealet vil der være
størst sandsynlighed for at det indeholder samme andel brik som
andelen af brik på hele brættet.

Eller: at afstanden i to ortogonale retninger er den samme.

Det kan godt være at svaret er noget med entropi kom jeg til at
tænke på.

--
Brian (remove the sport for mail)
http://www.et.dtu.dk/staff/be/be.html

---

Brian Elmegaard <brian@rk-speed-rugby.dk> writes:

> Henning Makholm <henning@makholm.net> writes:
>
> > Hvad præcis mener du med "bedst fordelt"?
>
> Jeg er ikke sikker, men prøver.
>
> Måske: At hvis man tager et vilkårligt udsnit af arealet vil der være
> størst sandsynlighed for at det indeholder samme andel brik som
> andelen af brik på hele brættet.
>
> Eller: at afstanden i to ortogonale retninger er den samme.
>
> Det kan godt være at svaret er noget med entropi kom jeg til at
> tænke på.

Det lyder som om, at det er fordeling af punkter og ikke cirkler, som
du er interesseret i. Problemerne er dog relaterede, da tæt pakning
med cirkler giver en fordeling af punkter med en minimumafstand
(diameter af cirklen), hvor alle punkter har mindst et "nabo" punkt
med præcis den afstand.

Når du begynder at tale om ortogonale retninger, så har du nærmest
allerede defineret at du vil have en rektangulær fordeling, dvs. i
enhedspunkter i et koordinatsystem. Dit første forslag om udsnit er
bedre, men det fejler, hvis du tillader vilkårlige udsnit: Man kan jo
vælge et udsnit, der er defineret ved netop den del af brættet, der
ikke indeholder punkter, og dermed få et helt forkert tal. Og hvis du
begynder at snakke om sandsynligheder, så skal du definere, hvad det
vil sige at tage et tilfældigt udsnit. Her kan cirkler comme ind i
billedet i en mulig definition:

En fordeling af N punkter i en plan flade med areal A er jævn, hvis
enhver cirkel af areal a, som er helt indeholdt i fladen, indeholder
mellem floor(N*a/A) og roof(N*a/A) punkter., hvor floor og roof
betyder hhv. ned- og oprunding.

Det er dog et for skrapt krav. Lad os tenke os punkter anbragt i et
hexagonalt netværk med afstand 1 (svarende til den tættest mulige
pakning af enhedscirkler i planen). En cirkel med centrum i et punkt
og med radius lige under 1 vil have areal lige under pi og indeholde
et punkt, mens en lignende cirkel med radius lige over 1 vil indeholde
7 punkter. Det er i modstrid med ovenstående definition. I stedet
for bare at runde op og ned, kan man øge intervallet til
[N*a/A-k,N*a/A+k] for et eller andet k, men det er ikke klart hvad
dette k bør være.

En bedre definition er:

En fordeling af punkter i en plan flade har jævnhed J, hvis den
største cirkel, som er helt indeholdt i fladen og som ikke indeholder
nogle punkter har radius r, den mindste aftand mellem to punkter i
fladen er d og J = d/(r*sqrt(3)).

En hexagonal tæt pakning af cirkler med diameter d vil have afstand d
mellem nabopunkter og den største cirkel, der ikke indeholder punkter
vil have radius r = d/sqrt(3). Dermed er J = 1. Hvis pakningen er
mindre jævn, vil r blive større i forhold til d, så J falder.

Hvis J er tæt på 1, kan man sige at fordelingen er jævn, men hvis J er
lille er jævnheden lav. Den kvadratiske pakning vil have jævnhed J =
sqrt(2/3).

Torben

---

Brian Elmegaard <brian@rk-speed-rugby.dk> writes:

> Måske: At hvis man tager et vilkårligt udsnit af arealet vil der
> være størst sandsynlighed for at det indeholder samme andel brik som
> andelen af brik på hele brættet.

I computersimulationer kigger man ofte på
parkorrellationsfunktionen. Vi kan starte med at numerere alle par
bestående af to dambrikker. (Der er 64*63 par). For hvert af disse par
kan vi udregne en indbyrdes afstand. Dette giver en fordelingsfunktion
p(r). Funktionen p(r) angiver altså sandsynlighedstæthed for at
afstanden mellem to tilfældigt valgte brikker er givet ved r. Af
tekniske årsager plejer man at foretrække at regne på funktionen g(r)
= p(r)/(2 pi r).

Funktionen g(r) giver mest mening hvis dambrættet er meget større end
den gennemsnitlige afstand mellem to brikker. I specialtilfældet hvor
alle brikker er placeret jævnt i på brættet, kan man vise at g(r) er
en konstant funktion.

> Det kan godt være at svaret er noget med entropi kom jeg til at
> tænke på.

Lad os sige at vi har defineret en funktion a(x), der angiver hvorvidt
vi synes a t tilstanden x er ordnet. Denne funktion kan vælges på
flere måder. Desuden har vi valgt en sandsynlighedstæthed f(x), der
beskriver hvor ofte en tilstand x optræder. Det letteste er at regne
på en sandsynlighesfordeling hvor alle tilstande har lige stor
sandsynlighed, emn man kan også indføre et krav om at energien skal
have en special værdi.

Når man har valgt a(x) og f(x) kan man udlede en funktion S(a') der
angiver den samlede entropi af de tilstande x der opfylder a(x) = a'.

---

torbenm@diku.dk (Torben Ægidius Mogensen) writes:

> Det lyder som om, at det er fordeling af punkter og ikke cirkler, som
> du er interesseret i. Problemerne er dog relaterede, da tæt pakning
> med cirkler giver en fordeling af punkter med en minimumafstand

Yes sir. Der gik søreme en prås op for mig.
>
> Når du begynder at tale om ortogonale retninger, så har du nærmest
> allerede defineret at du vil have en rektangulær fordeling, dvs. i
> enhedspunkter i et koordinatsystem.

Også hvis polære koordinater er en mulighed?

> En fordeling af N punkter i en plan flade med areal A er jævn, hvis
> enhver cirkel af areal a, som er helt indeholdt i fladen, indeholder
> mellem floor(N*a/A) og roof(N*a/A) punkter., hvor floor og roof
> betyder hhv. ned- og oprunding.

Jepper.

> En bedre definition er:
>
Fornemt. Takker og bukker.

--
Brian (remove the sport for mail)
http://www.et.dtu.dk/staff/be/be.html

---

gnalle@ruc.dk (Niels L. Ellegaard) writes:

> I computersimulationer

Af hvad?

> Lad os sige at vi har defineret en funktion a(x), der angiver hvorvidt
> vi synes a t tilstanden x er ordnet.

> Når man har valgt a(x) og f(x) kan man udlede en funktion S(a') der
> angiver den samlede entropi af de tilstande x der opfylder a(x) = a'.

Spændende. Jeg må kigge på det.

--
Brian (remove the sport for mail)
http://www.et.dtu.dk/staff/be/be.html

---

Brian Elmegaard <brian@rk-speed-rugby.dk> writes:
> gnalle@ruc.dk (Niels L. Ellegaard) writes:
>> I computersimulationer
> Af hvad?

Molecular dynamics eller granulare materialer. Funktionen g(r) er
relateret til de data man kan måle i et spredningseksperiment (eks.
neutronspredning). Derfor er den populær at plotte.

PS: Jeg fik givet g(r) det forkerte navn. Det rigtige navn er "radial
distribution function".