---

Hej med jer!

Her i 3.g har vi nu for anden gang om integralregning, og denne gang har vi
lært om noget, der hedder substitutionsmetoden. Denne metode skulle
eftersigende gøre det muligt at finde integralet af funktioner som (2x+5)^5
på en simpel måde, så man slipper for at gange parentesen ud.
Metoden går ud på, at man tager 2x+5 og erstatter det med for eksempel u,
så man får en funktion der hedder g(u) = u^5. Nu er det så på magisk vis
muligt at tage integralet af g(u)d(u). Vi har altså at g(u) er lig u^5, og
0,5*d(u) er lig dx, da (du/dx)=2.

Man tager integralet af u^5 * 0,5du.

Og det er her jeg står af. Hvorfor skal man lige pludselig til at gange d(u)
på det udtryk man integrer? Normalt ganger man da ikke d(x) på, da dx er en
del af integraltegnet, ikke? Er der ikke en der kan forklare mig dette? Min
matematikbog, "Teknisk matematik 3", er ikke til megen hjælp, og min lærer
siger et eller andet med at man skal finde forholdet mellem du og dx, men
det kan jeg ikke forstå. Jeg kunne også godt bruge nogle forslag til en
bedre matematikbog, så jeg kan lære tingene "the right way", i stedet for
den håndværkermetode, vores bog bruger.


--
Hilsen Anders.

---

Scripsit "Anders" <gregersenNOSPAM@adslhome.dk>

> Man tager integralet af u^5 * 0,5du.

> Og det er her jeg står af. Hvorfor skal man lige pludselig til at gange d(u)
> på det udtryk man integrer? Normalt ganger man da ikke d(x) på, da dx er en
> del af integraltegnet, ikke?

Ja. Så når formlen siger u^5 * ½du står det afsluttende "du"
simpelthen for at u er den variabel man integrerer med hensyn til, og
ikke fx x. Der er ikke tale om at man skal lede efter en stamfunktion
hvor der dukker et du op af sig selv når man differentierer.

> Er der ikke en der kan forklare mig dette? Min matematikbog,
> "Teknisk matematik 3", er ikke til megen hjælp, og min lærer siger
> et eller andet med at man skal finde forholdet mellem du og dx, men
> det kan jeg ikke forstå.

De fleste lærebøger i matematik indtager den holdning at dx, dy, du
(og så videre) ikke har nogen betydning i sig selv - de er "bare kridt".

Oprindeligt mente man at de *havde* en betydning - differentialet dx
var den uendeligt lille tilvækst i x der hørte sammen med dy som
uendelig lille tilvækst i y, og så fremdeles. Ved at dele sådan to med
hinanden fik man tal uden uendeligheder. Efterhånden som matematikken
blev bragt på et sikrere teknisk grundlag, viste det sig dog at det
bliver temmelig kompliceret at give dx og dy en betydning som giver de
rigtige resultater og holder til moderne krav til beviser. Det *kan*
lade sig gøre, men det bliver mere teknisk end man ønsker at udsætte
folk for på gymnasialt niveau.

Derfor er der sket et skift i lærebogstraditionen i løbet af
1900-tallet. I starten lod man som om differentialerne var virkelige,
men uden at formalisere dem fuldstændigt. Man viftede så lidt med
hænderne og forlod sig på indoktrinering for at undgå at de blev brugt
til ting de ikke kunne bruges til. I slutningen af århundredet blev
det mere almindeligt at opfatte differentiation som en atomisk
operation og foretrække notationen f'(x), i det mindste på
gymnasieniveau. De fleste bøger præsenterer alligevel også notationen
dy/dx som synonym til f'(x), fordi den er populær i højere matematik
*og* fordi den giver anledning til nyttige huskeregler.

Således er fx kædereglen lettere at huske når man skriver den som

[1] dz/dx = (dz/dy) * (dy/dx)

end som

[2] (fog)'(x) = f'(g(x))*g'(x)

fordi [1] *ligner* almindelig brøkregning, også selv om man ikke har
teknikken til at kunne vise rigidt at brøkregningen er gyldig.

--
Henning Makholm "I always thought being *real* sad
would be *cooler* than acting *fake*
sad, but it's not. It's not cool at *all*."

---

Anders wrote:
> Hvorfor skal man lige pludselig til at gange d(u) på det udtryk
> man integrer? Normalt ganger man da ikke d(x) på, da dx
> er en del af integraltegnet, ikke?

Tænk på integralet f(x) dx som summen f(x_i) Delta x_i hvor du har
en række kasser hvor den i'te kasse har bredde Delta x_i og højden
f(x_i).

I grænsen hvor kassernes bredde går imod 0, får du så integralet
igen.

Hvis du syntes det er smart at definere g(u)=x, fordi det gør
integralet lettere, så kan du omskrive sum f(x_i) Delta x_i til
sum f(g(u_i)) Delta u_i, men hvis g(u) ikke er en linær funktion,
så er nogle af kasserne blevet bredere end andre, og dette skal
du tage hensyn til når du laver summen med u kasser og ikke
x'kasser.

Dette er en handwaving forklaring på hvorfor g(u)du = dx.

--
Mvh. Carsten Svaneborg
http://www.softwarepatenter.dk

---

Anders wrote:

> Her i 3.g har vi nu for anden gang om integralregning, og denne gang har vi
> lært om noget, der hedder substitutionsmetoden. Denne metode skulle
> eftersigende gøre det muligt at finde integralet af funktioner som (2x+5)^5
> på en simpel måde, så man slipper for at gange parentesen ud.
> Metoden går ud på, at man tager 2x+5 og erstatter det med for eksempel u,
> så man får en funktion der hedder g(u) = u^5. Nu er det så på magisk vis
> muligt at tage integralet af g(u)d(u). Vi har altså at g(u) er lig u^5, og
> 0,5*d(u) er lig dx, da (du/dx)=2.
>
> Man tager integralet af u^5 * 0,5du.
>
> Og det er her jeg står af. Hvorfor skal man lige pludselig til at gange d(u)
> på det udtryk man integrer? Normalt ganger man da ikke d(x) på, da dx er en
> del af integraltegnet, ikke?

Som Henning forklarer, så har opfattelsen af dx ændret sig igennem tiden.
Nutildags kan man tænke på reglen som en huskeregel på:

int f(g(x)) g'(x) dx = F(g(x)) , hvor F er en stamfunktion til f
<=>
int f(u) du/dx dx = int f(u) du , hvor u = g(x)

Den sidste ligning kræver lidt forklaring, men læs roligt videre;
teorien er ikke så svær.


Lad os sig, at vi skal integere

b
int f(g(x)) g'(x) dx
a

Formlen for integration ved substitution siger, at vi skal
udregne en stamfunktion F til f. (altså F'(x)=f(x) ). Så
får man nemlig:

b
(*) int f(g(x)) g'(x) dx = F(g(b)) - F(g(a))
a

For at vise, at

b
int h(x) = H(b) - H(a)
a

skal man vise at H'(x) = h(x). For at bevise (*) får man
så med H(x)=F(g(x)) :

H'(x) = ( F(g(x)) )' = F'(g(x)) g'(x) = f(g(x)) g'(x)

her er reglen for sammensat differentiation brugt. Hermed
er beviset færdigt.


Hvordan kommer huskereglen frem? Lad os skrive den samme
formel op med ubestemte integraler:

int f(g(x)) g'(x) dx = F(g(x))

Hvis vi sætter u = g(x) så er g'(x) = du/dx. Derfor er

int f(g(x)) g'(x) dx = int f(u) du/dx dx

Hvis vi i stedet for at kalde stamfunktionen til f for F,
men skriver den op vha et ubestemt integral er F = int f(x) dx.
Dvs

F(g(x)) = Funktionen int f(x) dx sammensat med g(x)

med et misbrug af notation skriver man også

F(g(x)) = int f(u) du, hvor u = g(x)

Tilsammen giver det:

int f(g(x)) g'(x) dx = F(g(x))
<=>
int f(u) du/dx dx = int f(u) du, hvor u = g(x)


Vi har nu bevist, at man har lov til at bruge huskereglen

du
-- * dx = du
dx

i sine udregninger. Men den gælder KUN, når den anvendes
i forbindelse med integration ved substitution. og den
"betyder" ikke noget - det er bare formlen overfor som
siger, at man kan regne sådan.


Personligt synes jeg, at den oprindelige regel

a
int f(g(x))g'(x) = F(g(b)) - F(g(a))
b

er både nemmere at bruge og at forstå.

--
Jens Axel Søgaard

---

Anders wrote:

> Og det er her jeg står af. Hvorfor skal man lige pludselig til at gange d(u)
> på det udtryk man integrer? Normalt ganger man da ikke d(x) på, da dx er en
> del af integraltegnet, ikke?

Du fortjener forresten ros for et godt spørgsmål.

--
Jens Axel Søgaard

---

Jens Axel Søgaard wrote:
> Anders wrote:
>
>> Og det er her jeg står af. Hvorfor skal man lige pludselig til at
>> gange d(u)
>> på det udtryk man integrer? Normalt ganger man da ikke d(x) på, da dx
>> er en
>> del af integraltegnet, ikke?
>
>
> Du fortjener forresten ros for et godt spørgsmål.

Ja, det er ikke kun gymnasie-elever der syntes at det er noget mærkeligt
noget. Jeg tror også de fleste som er færdig med en videregående
uddannelse syntes det (undtaget matematikerne og fysikerne velsagtens)


Med venlig hilsen / Best regards
Martin Jørgensen

--
---------------------------------------------------------------------------
Home of Martin Jørgensen - http://www.martinjoergensen.dk