|
|
 | ti juletræer i rækker med fire
Fra : Rikke Mors |
Dato : 14-12-04 21:37 |
|
Hej
I matematiklærernes fagblad udsendes hvert år en julekalender med sjove
opgaver. Denne har jeg i år givet til mine elever - desværre før jeg
selv fik lavet en facitliste. Nu viser der sig et problem omkring
løsning af en opgave. Der står
"10 juletræer er plantet således at de 4 og 4 står på række som vist.
Der er 5 andre måder det kunne være gjort på, kan du finde dem, selvom
de slet ikke er så kønne som stjernen?" Ved siden af er så vist den
klassiske løsning med form som en femtakket stjerne.
Hvordan ser de 5 andre løsninger mon ud?
Jeg kender godt den opgave, som ligner meget, hvor man skal plante ti
træer i fem rækker med 4 træer i hver - der er også i alt 6 løsninger,
så måske er det den opgave forfatteren har tænkt på - og ikke fået
formuleret særligt godt. Jeg mener i hvert fald at opgavens formulering
må betyde at der ikke må være nogen række på nogen leder, hvor der er fx
2 eller 3 træer i?
Kan opgaven løses under de givne forudsætninger - altså ikke noget krav
om antallet af rækker, men til gengæld må alle række på alle leder
indeholde enten 1 eller 4 træer? Jeg mener selv at kunne finde tre
løsninger - men hvor mange kan I finde?
På forhånd tak
Rikke Mors
| |
 Jens Axel Søgaard (14-12-2004)
| Kommentar
Fra : Jens Axel Søgaard |
Dato : 14-12-04 21:55 |
|
Rikke Mors wrote:
> I matematiklærernes fagblad udsendes hvert år en julekalender med sjove
> opgaver. Denne har jeg i år givet til mine elever - desværre før jeg
> selv fik lavet en facitliste. Nu viser der sig et problem omkring
> løsning af en opgave. Der står
> "10 juletræer er plantet således at de 4 og 4 står på række som vist.
> Der er 5 andre måder det kunne være gjort på, kan du finde dem, selvom
> de slet ikke er så kønne som stjernen?" Ved siden af er så vist den
> klassiske løsning med form som en femtakket stjerne.
>
> Hvordan ser de 5 andre løsninger mon ud?
>
> Jeg kender godt den opgave, som ligner meget, hvor man skal plante ti
> træer i fem rækker med 4 træer i hver - der er også i alt 6 løsninger,
> så måske er det den opgave forfatteren har tænkt på - og ikke fået
> formuleret særligt godt. Jeg mener i hvert fald at opgavens formulering
> må betyde at der ikke må være nogen række på nogen leder, hvor der er fx
> 2 eller 3 træer i?
Jeg tror, du har ret i, at det er den opgave, der er tænkt på.
I formuleringen "plantet således at de 4 og 4 står på række som vist"
står der ikke, hvor mange rækker det drejer sig om - men det må
være 5 rækker, for det er der jo i stjernen.
Jeg tror ikke på, at der ikke må være en "række" på to træer.
Dels står der ikke noget om det i opgaven, dels man også
i stjernen finde sådanne "rækker" (for eksempel en række, der
består af to spidser).
> Kan opgaven løses under de givne forudsætninger - altså ikke noget krav
> om antallet af rækker, men til gengæld må alle række på alle leder
> indeholde enten 1 eller 4 træer? Jeg mener selv at kunne finde tre
> løsninger - men hvor mange kan I finde?
Et godt tip fra
< http://mathforum.org/k12/k12puzzles/rosebush.puzzle2.solution.html>
er at benytte tændstikker (eller spagehetti) til at lege med rækkerne.
Flere løsninger kan findes ved at følge linket på
< http://mathforum.org/k12/k12puzzles/rosebush.puzzle2.html>
En anden sjov juleopgave i 9.-10. klasser er sneboldskampen:
< http://www.amtsgym-sdbg.dk/ma/jul/juleopg02.htm>
--
Jens Axel Søgaard
| |
Martin Larsen (15-12-2004)
| Kommentar
Fra : Martin Larsen |
Dato : 15-12-04 19:59 |
| | |
 Jens Axel Søgaard (15-12-2004)
| Kommentar
Fra : Jens Axel Søgaard |
Dato : 15-12-04 23:23 |
|
Martin Larsen wrote:
> "Jens Axel Søgaard" <usenet@soegaard.net> skrev i en meddelelse news:41bf52e7$0$240$edfadb0f@dread12.news.tele.dk...
>
> Et godt tip fra
>
> < http://mathforum.org/k12/k12puzzles/rosebush.puzzle2.solution.html>
>
> Hmm, dit link indeholder vist intet bevis for at der
> netop er seks løsninger.
Hmm.
Det er ikke helt nemt.
Lidt strøtanker:
Fokuser på to ben, hvor punkterne A, B, C, 1, 2 og 3
indgår på 2 rækker. (Bemærk, at Sean har den observation,
at intet punkt kan være med i mere end 2 rækker).
*
/ \
A 1
/ \
B 2
/ \
C 3
/ \
D E
Se nu på de seks løsninger Sean lister på:
< http://mathforum.org/k12/k12puzzles/rosebush.puzzle2.solution.html>
Til hver løsning opskrives, hvilke punkter A, B og C er forbundet med:
A: 3 2
B: 2 1
C: 1 3
2 3
3 1
1 2
3 1
2 3
1 2
Den eneste kombination, som gentages er A3,B2,C1.
Det er den nederste og øverste løsning i venstre kollonne.
På figuren kan man se, at man med udgangspunktet i den
øverste løsning kan få den nederste ved at flytte placeringen
af C og 3 i forhold til de andre punkter.
Hvis man nu går de øvrige figurer igennem for at se, om
man kan producere andre løsninger ved at flytte placeringer,
finder man ikke nye løsninger (tror jeg).
Den kombination, der mangler er A1,B2,C3, men mon ikke
man kan få brokket noget sammen, som kan udelukke den
mulighed.
--
Jens Axel Søgaard
| |
Jens Axel Søgaard (15-12-2004)
| Kommentar
Fra : Jens Axel Søgaard |
Dato : 15-12-04 23:56 |
| | |
Martin Larsen (16-12-2004)
| Kommentar
Fra : Martin Larsen |
Dato : 16-12-04 00:04 |
|
"Jens Axel Søgaard" <usenet@soegaard.net> skrev i en meddelelse news:41c0b91f$0$305$edfadb0f@dread12.news.tele.dk...
>
> < http://mathforum.org/k12/k12puzzles/rosebush.puzzle2.solution.html>
>
> Hmm, dit link indeholder vist intet bevis for at der
> netop er seks løsninger.
>> Hmm.
>> Det er ikke helt nemt.
Mht antallet af linier og træer mener jeg at der gælder:
(2,1), (3,3), (4,6), (5,10), ... ,(n, n(n-1)/2) ,
hvor antallet af træer/linie er n-1,
og jeg havde lidt ventet at der var et elegant bevis fra
en subtil teori, der kunne vise en formel for antallet af
løsninger til ethvert n.
Mvh
Martin
| |
Niels L. Ellegaard (22-12-2004)
| Kommentar
Fra : Niels L. Ellegaard |
Dato : 22-12-04 13:49 |
|
"Martin Larsen" <mlarsen@post7.tele.dk> writes:
> Mht antallet af linier og træer mener jeg at der gælder: (2,1),
> (3,3), (4,6), (5,10), ... ,(n, n(n-1)/2) , hvor antallet af
> træer/linie er n-1, og jeg havde lidt ventet at der var et elegant
> bevis fra en subtil teori, der kunne vise en formel for antallet af
> løsninger til ethvert n.
Jeg spurgte ovre i sci.math, og så vidt jeg kan se er spørgmålet
uløst, men jeg må indrømme at jeg ikke har helt styr på alt den
information som de linker til.
http://groups.google.com/groups?threadm=87fz20vi20.fsf%40ruc.dk
Niels
--
Niels L Ellegaard http://dirac.ruc.dk/~gnalle/
| |
Jens Axel Søgaard (28-12-2004)
| Kommentar
Fra : Jens Axel Søgaard |
Dato : 28-12-04 17:29 |
|
Niels L. Ellegaard wrote:
> "Martin Larsen" <mlarsen@post7.tele.dk> writes:
>>Mht antallet af linier og træer mener jeg at der gælder: (2,1),
>>(3,3), (4,6), (5,10), ... ,(n, n(n-1)/2) , hvor antallet af
>>træer/linie er n-1, og jeg havde lidt ventet at der var et elegant
>>bevis fra en subtil teori, der kunne vise en formel for antallet af
>>løsninger til ethvert n.
>
> Jeg spurgte ovre i sci.math, og så vidt jeg kan se er spørgmålet
> uløst, men jeg må indrømme at jeg ikke har helt styr på alt den
> information som de linker til.
Takker - jeg er dog heller ikke helt sikker på præcis hvad Fortescue
argumenterer for er uløst.
At man ikke kender flere elementer i
< http://www.research.att.com/cgi-bin/access.cgi/as/njas/sequences/eisA.cgi?Anum=A048872>
undrer mig.
> http://groups.google.com/groups?threadm=87fz20vi20.fsf%40ruc.dk
Linket virkede ikke for mig, så her et der gør:
< http://tinyurl.com/4zzh8>
--
Jens Axel Søgaard
| |
|
|