---

Jeg fik tidligere her i gruppen hjælp med en lille 2d simulator af e "rigig
body", og kommer nu tilbage efter mere hjælp. Denne gang i 3d.

Det virker som om den nemmeste måde at håndtere rotation i 3d er via
quarternioner, da det kræver færre parametre, de er nemmere at normalisere
end en 3*3 matrix og rotation omkring en akse virker lettere forståelig.

Der er dog nogle ting jeg gerne vil have bekræftet før jeg går videre.

Inertimoment:
Hvis jeg har et objekt i 3d og det består af et masseløst skrog samt nogle
masser placeret her og der, hvordan beregner jeg så dets inertimoment
omkring en vilkårlig akse? Objektet skal ses som et fartøj med en skrog der
har ligegyldig masse og en række komponenter placeret forskellige steder.
Kun komponenternes masse tager jeg med, og disse kan beregnes som
punktformige.
Skal jeg for at beregne inertimomentet omkring henholdsvis x-,y- og
z-akserne ved først at projektere alle masserne ned i xy-, xz-, yz-planerne
og gøre som for 2d-situationen?

Rotationsakse og drejningsmoment om denne akse:
Hvis jeg har et massemidtpunkt i objektet og et angrebspunkt for en kraft på
objektet, så beregner jeg krydsproduktet mellem kraftvektoren og vektoren
fra angrebspunkt til massemidtpunkt. Den resulterende vektor er
rotationsaksen og dens længde er drejningsmomentet omkring den akse. Hvis
der er flere krafter, så summerer jeg de vektorer og får en resulterende
kraft.
Er det korrekt?

Resulterende rotation:
Hvis objektet som start har en rotation på 0, så er længden af den vektor
det roterer omkring 0, og ..ja alt er nul.
Så kommer en kraft og giver en rotationsvektor og et drejningsmoment. Hvis
jeg nu kender objektets inertimoment omkring min rotationsvektor, så kan jeg
beregne en rotationsacceleration.. men hvordan helt præcis?
Ved at integrere den accelerationsvektor over tid og lægge sammen med den
forrige vektor (som er nul), får jeg den nuværende rotationshastighed.

Er ovenstående korrekt, og kan nogen hjælpe mig med at udfylde hullerne? Det
er lidt svært at læse op på det her helt alene. Nogle tekster er for banale
og forholder sig ikke til tingene, andre er fyldt med udledninger, og har
meget lidt forklaring.

---

"KL" <spam@alam.a.big.black.betty> skrev i en meddelelse
news:418df309$0$173$edfadb0f@dtext01.news.tele.dk...
> Jeg fik tidligere her i gruppen hjælp med en lille 2d simulator af e "rigig
> body", og kommer nu tilbage efter mere hjælp. Denne gang i 3d.
>
> Det virker som om den nemmeste måde at håndtere rotation i 3d er via
> quarternioner, da det kræver færre parametre, de er nemmere at normalisere
> end en 3*3 matrix og rotation omkring en akse virker lettere forståelig.
>
> Der er dog nogle ting jeg gerne vil have bekræftet før jeg går videre.
>
> Inertimoment:
> Hvis jeg har et objekt i 3d og det består af et masseløst skrog samt nogle
> masser placeret her og der, hvordan beregner jeg så dets inertimoment
> omkring en vilkårlig akse? Objektet skal ses som et fartøj med en skrog der
> har ligegyldig masse og en række komponenter placeret forskellige steder.
> Kun komponenternes masse tager jeg med, og disse kan beregnes som
> punktformige.

> Skal jeg for at beregne inertimomentet omkring henholdsvis x-,y- og
> z-akserne ved først at projektere alle masserne ned i xy-, xz-, yz-planerne
> og gøre som for 2d-situationen?

Som jeg forstår dig, ja. Projektionen ned i xy giver dig disse koordinater til at beregne afstanden
til z

> Rotationsakse og drejningsmoment om denne akse:
> Hvis jeg har et massemidtpunkt i objektet og et angrebspunkt for en kraft på
> objektet, så beregner jeg krydsproduktet mellem kraftvektoren og vektoren
> fra angrebspunkt til massemidtpunkt. Den resulterende vektor er
> rotationsaksen og dens længde er drejningsmomentet omkring den akse.

hm, drejningsmoment, altså impulsmoment (L) a'la

http://www.formel.dk/enheder/si_specielle_mekanik.htm

øh, nej. Du påfører et kraftmoment af størrelsen som dit krydsprodukt. Du accellererer med
kraftmomentet mens impulsmomentet er knyttet til hastigheden (som en bevægelsesmængde, albeit
omdrejningsmæssigt)

> Hvis
> der er flere krafter, så summerer jeg de vektorer og får en resulterende
> kraft.
> Er det korrekt?

Ja, vektorerne for både kraftmoment og inertimoment ligger i omdrejningsaksen. Du kan summer.

> Resulterende rotation:
> Hvis objektet som start har en rotation på 0, så er længden af den vektor
> det roterer omkring 0, og ..ja alt er nul.
> Så kommer en kraft og giver en rotationsvektor og et drejningsmoment. Hvis
> jeg nu kender objektets inertimoment omkring min rotationsvektor, så kan jeg
> beregne en rotationsacceleration.. men hvordan helt præcis?

kraftmoment = I*vinkelaccelleration
inertimoment = I*vinkelhastighed ( = r kryds m*v ... r og v vektorer)

> Ved at integrere den accelerationsvektor over tid og lægge sammen med den
> forrige vektor (som er nul), får jeg den nuværende rotationshastighed.
>
> Er ovenstående korrekt, og kan nogen hjælpe mig med at udfylde hullerne? Det
> er lidt svært at læse op på det her helt alene. Nogle tekster er for banale
> og forholder sig ikke til tingene, andre er fyldt med udledninger, og har
> meget lidt forklaring.

Carsten

---

KL skrev

> Inertimoment:
> Hvis jeg har et objekt i 3d og det består af et masseløst skrog samt
nogle
> masser placeret her og der, hvordan beregner jeg så dets inertimoment
> omkring en vilkårlig akse? Objektet skal ses som et fartøj med en
skrog der
> har ligegyldig masse og en række komponenter placeret forskellige
steder.
> Kun komponenternes masse tager jeg med, og disse kan beregnes som
> punktformige.
> Skal jeg for at beregne inertimomentet omkring henholdsvis x-,y- og
> z-akserne ved først at projektere alle masserne ned i xy-, xz-,
yz-planerne
> og gøre som for 2d-situationen?

Du kan enten beregne inertimoment tensoren ud fra definitionen af denne,
eller du kan benytte dig af parallelakseteoremet (parallel axis theorem)
og Huygens forskydningsteorem til at opbygge inertimomentet for en
samlingen af distribuerede dele der hver især har en inertimomenttensor.

En vigtig reduktion af inertimomenttensoren er at beregne de primære
inertimomentakser (axis of principal moment of inertia). Disse er akser
er egenvektorene for inertimomenttensoren og udtrykker akser hvorom fri
rotation er mulig. Ved at bruge disse akser som "bodyframe" akser kan
inertimomenttensoren udtrykkes som matricen diag(I1,I2,I3), dvs. alle
krydsinertimomenter er nul.

> Rotationsakse og drejningsmoment om denne akse:
> Hvis jeg har et massemidtpunkt i objektet og et angrebspunkt for en
kraft på
> objektet, så beregner jeg krydsproduktet mellem kraftvektoren og
vektoren
> fra angrebspunkt til massemidtpunkt. Den resulterende vektor er
> rotationsaksen og dens længde er drejningsmomentet omkring den akse.
Hvis
> der er flere krafter, så summerer jeg de vektorer og får en
resulterende
> kraft.
> Er det korrekt?

Ja, for stive legemer kan man summerer alle ydre kræfter til en
resulterende kraft F der så krydset med radiusvektoren til
angrebspunktet giver kraftmomentet N.


> Resulterende rotation:
> Hvis objektet som start har en rotation på 0, så er længden af den
vektor
> det roterer omkring 0, og ..ja alt er nul.
> Så kommer en kraft og giver en rotationsvektor og et drejningsmoment.
Hvis
> jeg nu kender objektets inertimoment omkring min rotationsvektor, så
kan jeg
> beregne en rotationsacceleration.. men hvordan helt præcis?
> Ved at integrere den accelerationsvektor over tid og lægge sammen med
den
> forrige vektor (som er nul), får jeg den nuværende rotationshastighed.

For den generelle translatoriske og rotationelle bevægelse af et stift
legeme skal du have fat i Newton-Euler:

dP/dt = d(m*v)/dt = F og
dL/dt = d(I*w)/dt = N

hvor alle størreler er inertielle (dvs målt i forhold til et
ikke-accelerende koordinatsystem). Nu er inertimomentet typisk udtrykt i
et koordinatsystem der roterer sammen med legemet så man bliver nødt til
at transformere dL/dt til dette koordinatsystem først. Kombineret med,
at man benytter primær inertimomenter (I1,I2,I3) så kan dette omskrives
til 3 skalare differentialligninger (Eulers bevægelsesligninger):

I1*dw1/dt - w2*w3*(I2-I3) = N1
I2*dw2/dt - w3*w1*(I3-I1) = N2
I3*dw3/dt - w1*w2*(I1-I2) = N3

hvor w = (w1,w2,w3) altså er rotationsvektoren.


Med venlig hilsen,
--
Filip Larsen

---

Svarer både dig og Carsten lidt i samme post. Det bliver hurit rodet med
flere paralelle tråde.
Går ud fra at Philip ikke kunne se Carstens post da han svarede.

>> Skal jeg for at beregne inertimomentet omkring henholdsvis x-,y- og
>> z-akserne ved først at projektere alle masserne ned i xy-, xz-,
>> yz-planerne
>> og gøre som for 2d-situationen?
>Som jeg forstår dig, ja. Projektionen ned i xy giver dig disse koordinater
>til at beregne afstanden
>til z

Hvad skal jeg med afstanden til z? Hvordan benytter jeg i praksis disse
projektioner til at beregne inerti for rotation omkring en vilkårlig akse?

> En vigtig reduktion af inertimomenttensoren er at beregne de primære
> inertimomentakser (axis of principal moment of inertia). Disse er akser
> er egenvektorene for inertimomenttensoren og udtrykker akser hvorom fri
> rotation er mulig. Ved at bruge disse akser som "bodyframe" akser kan
> inertimomenttensoren udtrykkes som matricen diag(I1,I2,I3), dvs. alle
> krydsinertimomenter er nul.

Hvad mener du med "fri rotation"? Ethvert 3d fysisk objekt har vel ingen
akse om hvilken "fri" rotationer mulig?

> Ja, for stive legemer kan man summerer alle ydre kræfter til en
> resulterende kraft F der så krydset med radiusvektoren til
> angrebspunktet giver kraftmomentet N.

Ok, så jeg finder den akse som alle krafterne vil have mit legeme til at
rotere omkring. Dernæst finder jeg inertien for rotation om netop den akse.
Finder derfra vinkelaccelerationen, og integrerer den over tiden for at
finde vinkelhastighedsændringen. Lægger denne til den gamle vinkelhastighed
og får den nuværende hastighed. Samme princip for orienteringen...
men...hvordan beregner jeg inertien omkring netop den akse krafterne vil
have legemet til at rotere omkring?

Har en af jer tid og lyst til at give et lille eksempel? Eksempelvis en
terning med sidelængder 1m. I hvert hjørne er en masse på 1kg. Borset fra
disse masser vejer terningen intet. Hvordan kan jeg nu beregne inertien for
drejning omkring (1,2,3) i normaliseret form?

---

KL skrev

> Hvad mener du med "fri rotation"? Ethvert 3d fysisk objekt har vel
ingen
> akse om hvilken "fri" rotationer mulig?

Fri rotation er når et legeme roterer uden at udveklse kraftmoment med
omgivelserne, et begreb der er parallelt med, at et legeme siges at være
i frit fald når den resulterende kraft fra omgivelserne er nul.

Men det vigtige begreb er ikke så meget fri rotation, men derimod
hovedrotationsakser og hovedinertimoment [Jeg har kigget lidt i min
tekniske ordbog og er blevet enig med mig selv om, at "principal" i
denne forbindelse må oversættes til "hoved" på dansk, selvom jeg kaldte
det for "primær" tidligere].

Hvis du fx. kaster et objekt op i luften så vil det snurre rundt om en
hovedrotationsakse. Inertielt symmetriske objekter kan have flere
ligeværdige sæt af hovedrotationsakser, men for helt asymmetriske
objekter er der kun et sæt af akser og sådanne objekter kan altså kun
roterer frit om disse (der er faktisk yderligere begrænsninger hvis man
skal være pernitten, men de er ikke så vigtige her).


> Ok, så jeg finder den akse som alle krafterne vil have mit legeme til
at
> rotere omkring. Dernæst finder jeg inertien for rotation om netop den
akse.
> Finder derfra vinkelaccelerationen, og integrerer den over tiden for
at
> finde vinkelhastighedsændringen. Lægger denne til den gamle
vinkelhastighed
> og får den nuværende hastighed. Samme princip for orienteringen...
> men...hvordan beregner jeg inertien omkring netop den akse krafterne
vil
> have legemet til at rotere omkring?

Ikke helt. Princippet er sådan set enkelt nok, men i praksis bliver det
alligvel lynhurtigt langhåret at holde styr på de forskellige
koordinatsystemer og transformationer der er nødvendige hvis man skal
modellerer den virkelige verden. Så lad os kun se på det simple tilfælde
med et legeme der hænger frit i et inertielt rum.

Et legemes stilling (eng. attitude) i rummet er beskrevet ved to
første-ordens differentialligninger. Den ene ligning beskriver den
kinematiske sammenhæng mellem rotationsvektoren og legemets stilling i
rummet. Til at angive et legemes stilling benytter man som regel enten
en transformationmatrix (også kaldet retningscosinus'er), Euler vinkler,
eller quaternioner. For quaternioner, som du nævnte, at du bruger, er
den kinematiske sammenhængen mellem stillingen q = (q0,q1,q2,q3) og
rotationsvektoren w = (w1,w2,w3) beskrevet ved

dq/dt = 1/2 * W * q,

hvor W er en 4x4 matrix med elementerne

0 -w1 -w2 -w3
w1 0 w3 -w2
w2 -w3 0 w1
w3 w2 -w1 0

Har du q til tiden nul (fx. beregnet ud fra Eulervinklerne) og w som
funktion af tiden kan du dermed integrerer dig frem til q som funktion
af tiden.

Benytter man retningscosinus'er i stedet for quaternioner får man en
tilsvarende simpel ligning, dog med 9 variable i stedet for 4. Dette
betyder, at den resulterende transformationmatrix jævnligt skal
orthonormaliseres. Til gengæld har man så direkte rotationsmatricen
mellem legemes hovedkoordinater og de inertielle rumkoordinater der med
quaternioner først skal beregnes.

Den anden ligning er Eulers bevægelsesligning som beskriver sammenhængen
mellem kraftmoment og ændring af rotationsvektoren. Euler
bevægelsesligning for 3 dimensioner er (gentaget fra mit forrige
indlæg):

I1*dw1/dt - w2*w3*(I2-I3) = N1
I2*dw2/dt - w3*w1*(I3-I1) = N2
I3*dw3/dt - w1*w2*(I1-I2) = N3

hvor alle størrelse er udtrykt i legemets hovedkoordinatsystem. Har du w
til tiden nul og N som funktion af tiden kan man altså integrerer sig
frem til w som funktion af tiden.

Kraftmomentvektoren N kan findes ved at summere alle de enkelte
kraftmomenter Ni = Ri x Fi, hvor Fi er en kraft der angriber i
radiusvektor Ri fra massecenteret. De kræfter og kraftmomenter der er
givet i inertielle koordinater skal dog først roteres til legemets
koordinatsystem, fx. ved at benytte før omtalte rotationsmatrix.

For at beregne position og stilling af et legeme skal du altså samlet
set integrere 13 skalare første-ordens differentialligninger (med
quaternioner) samt evt. vedligeholde eller beregne en rotationmatrix.


> Har en af jer tid og lyst til at give et lille eksempel? Eksempelvis
en
> terning med sidelængder 1m. I hvert hjørne er en masse på 1kg. Borset
fra
> disse masser vejer terningen intet. Hvordan kan jeg nu beregne
inertien for
> drejning omkring (1,2,3) i normaliseret form?

Du burde altså kunne finde noget om dette på nettet, søg fx. efter
"moment of inertia". Prøv først selv at lave beregningen ud fra
definitionen af inertimoment og skriv så her hvis det evt. går i
hårdknude. Hvis jeg må være lidt fri, så bør du altså have styr på
inertimomenter før du kaster dig over advancerede anvendelser såsom at
løse Newton-Euler systemer.


Med venlig hilsen,
--
Filip Larsen

---

"Filip Larsen" <filip.larsen@nospam.dk> skrev i en meddelelse news:cmma77$t32$1@news.cybercity.dk...
> KL skrev
>
> > Hvad mener du med "fri rotation"? Ethvert 3d fysisk objekt har vel
> ingen
> > akse om hvilken "fri" rotationer mulig?
>
> Fri rotation er når et legeme roterer uden at udveklse kraftmoment med
> omgivelserne, et begreb der er parallelt med, at et legeme siges at være
> i frit fald når den resulterende kraft fra omgivelserne er nul.
>
> Men det vigtige begreb er ikke så meget fri rotation, men derimod
> hovedrotationsakser og hovedinertimoment [Jeg har kigget lidt i min
> tekniske ordbog og er blevet enig med mig selv om, at "principal" i
> denne forbindelse må oversættes til "hoved" på dansk, selvom jeg kaldte
> det for "primær" tidligere].

Jeg prøver at supplere: Primære akse er den akse, hvorom systemet har sin største inerti. Jorden har
fx større radius omkring equator og spinner derfor helst om den vinkelrette akse. Hvis du sætter
Jorden (eller en mønt) skævt mellem dine tommlefingre og giver den et spin vil den hurtigt rette sig
ind efter orienteringen af sin primære akse og spinne om den: Centrifugal-kræfterne virker ikke
symmetrisk om den akse du anvender og kombinerer til et kraftmoment som prøver at rette spinnets
akse til den primære akse. Hvis Jorden ikke har egenspin i sin rotation omkring solen vil den svinge
sin primære akse ned i plan med Jord/Sol rotationen - i denne position har Jorden ikke noget
asymmetrisk kraftmoment mht Solen.

Dit spørgsmål : "...hvordan beregner jeg inertien omkring netop den akse krafterne vil
have legemet til at rotere omkring?"
Det kan du ikke før du kender aksen.
Problemsættet har en formel løsning, men som Filip Larsen nævner er det at rykke fra begynder til
(mindst) let øvet.

Jeg kan ikke finde et link jeg har mødt og som viser et rimelig enkelt eksempel, hvor der er en
overskuelig opstilling af 'tingene', Så du må nøjes med
Principal axis:
http://kwon3d.com/theory/moi/prin.html
http://theory.ph.man.ac.uk/~mikeb/lecture/pc167/rigidbody/principal.html

Hvis du har positioner beskrevet i et indledende koordinatsystem, så har du måske mulighed for at
beregne det kraftmoment som virker asymmetrisk pga ovennævnte ... men det kræver jo igen, at du
kender orienteringen på de primære akser. Det er altså dem du først skal finde.
.... ikke at jeg lige skal fortælle dig hvordan.

I tilfældet med terningerne kan du prøve at vurdere symmetriforhold og vælge symmetriakser som dine
lokale referencer.
Du må forvente at terningen drejer omkring sit symmetricentrum/akser - at få det til at spinne
omkring (1,2,3) kan du kun ved at påføre et kompliceret set af kræfter/momenter lige så længe du
ønsker 'spinnet' bevaret.
Men du mener måske 'hvad sker der ved at lade en kraft virke i (1,2,3)':
Beregn kraftmoment mht de symmetri-akser du har gættet (7 styk?) ... Et symmetricentrum i teoretisk
krystallografisk forstand er (mit gæt) brugbart som fælles centrum, altså, terningen kan bevæge sig
som om det var en kugle. Det er muligvis ikke strengt taget korrekt, men kan være en tilnærmelse.
Reelt: vurder om der er forskel i inerti på de symmetriakser der står vinkeltret på fladerne, og de
der går gennem hjørnerne. Hvis der er forskel (fx hjørner størst) vil jeg forvente at spinnet vil
vælge en sådan akse (eller måske rettere at precessere omkring aksen i forsøget på at rette op). Når
der virker et kraftmoment over tid (difference i centrifugal-påvirkning ca vinkelret på
omdrejningsakse), er der en ændring af bevægelsesmængden: Den eksisterende bevægelsesmængde følger
(er orienteret med) omdrejningsaksen - den modererende bevægelsesmængde-vektor er vinkeltret herpå.

Jeg har prøvet at supplere den rigoristiske fysiske formalisme, men vær kritisk når du læser det.
..............
Om projektion af et punkt P ned på x,y: Når z er omdrejningsaksen er længden af den vinkeltrette
vektor fra P på z lig (x^2+y^2)^-2. Du skal bruge denne størrelse til at beregne P's inerti mm.
omkring z osv
..........

> Hvis du fx. kaster et objekt op i luften så vil det snurre rundt om en
> hovedrotationsakse. Inertielt symmetriske objekter kan have flere
> ligeværdige sæt af hovedrotationsakser, men for helt asymmetriske
> objekter er der kun et sæt af akser og sådanne objekter kan altså kun
> roterer frit om disse (der er faktisk yderligere begrænsninger hvis man
> skal være pernitten, men de er ikke så vigtige her).
>
>
> > Ok, så jeg finder den akse som alle krafterne vil have mit legeme til
> at
> > rotere omkring. Dernæst finder jeg inertien for rotation om netop den
> akse.
> > Finder derfra vinkelaccelerationen, og integrerer den over tiden for
> at
> > finde vinkelhastighedsændringen. Lægger denne til den gamle
> vinkelhastighed
> > og får den nuværende hastighed. Samme princip for orienteringen...
> > men...hvordan beregner jeg inertien omkring netop den akse krafterne
> vil
> > have legemet til at rotere omkring?
>
> Ikke helt. Princippet er sådan set enkelt nok, men i praksis bliver det
> alligvel lynhurtigt langhåret at holde styr på de forskellige
> koordinatsystemer og transformationer der er nødvendige hvis man skal
> modellerer den virkelige verden. Så lad os kun se på det simple tilfælde
> med et legeme der hænger frit i et inertielt rum.
>
> Et legemes stilling (eng. attitude) i rummet er beskrevet ved to
> første-ordens differentialligninger. Den ene ligning beskriver den
> kinematiske sammenhæng mellem rotationsvektoren og legemets stilling i
> rummet. Til at angive et legemes stilling benytter man som regel enten
> en transformationmatrix (også kaldet retningscosinus'er), Euler vinkler,
> eller quaternioner. For quaternioner, som du nævnte, at du bruger, er
> den kinematiske sammenhængen mellem stillingen q = (q0,q1,q2,q3) og
> rotationsvektoren w = (w1,w2,w3) beskrevet ved
>
> dq/dt = 1/2 * W * q,
>
> hvor W er en 4x4 matrix med elementerne
>
> 0 -w1 -w2 -w3
> w1 0 w3 -w2
> w2 -w3 0 w1
> w3 w2 -w1 0
>
> Har du q til tiden nul (fx. beregnet ud fra Eulervinklerne) og w som
> funktion af tiden kan du dermed integrerer dig frem til q som funktion
> af tiden.
>
> Benytter man retningscosinus'er i stedet for quaternioner får man en
> tilsvarende simpel ligning, dog med 9 variable i stedet for 4. Dette
> betyder, at den resulterende transformationmatrix jævnligt skal
> orthonormaliseres. Til gengæld har man så direkte rotationsmatricen
> mellem legemes hovedkoordinater og de inertielle rumkoordinater der med
> quaternioner først skal beregnes.
>
> Den anden ligning er Eulers bevægelsesligning som beskriver sammenhængen
> mellem kraftmoment og ændring af rotationsvektoren. Euler
> bevægelsesligning for 3 dimensioner er (gentaget fra mit forrige
> indlæg):
>
> I1*dw1/dt - w2*w3*(I2-I3) = N1
> I2*dw2/dt - w3*w1*(I3-I1) = N2
> I3*dw3/dt - w1*w2*(I1-I2) = N3
>
> hvor alle størrelse er udtrykt i legemets hovedkoordinatsystem. Har du w
> til tiden nul og N som funktion af tiden kan man altså integrerer sig
> frem til w som funktion af tiden.
>
> Kraftmomentvektoren N kan findes ved at summere alle de enkelte
> kraftmomenter Ni = Ri x Fi, hvor Fi er en kraft der angriber i
> radiusvektor Ri fra massecenteret. De kræfter og kraftmomenter der er
> givet i inertielle koordinater skal dog først roteres til legemets
> koordinatsystem, fx. ved at benytte før omtalte rotationsmatrix.
>
> For at beregne position og stilling af et legeme skal du altså samlet
> set integrere 13 skalare første-ordens differentialligninger (med
> quaternioner) samt evt. vedligeholde eller beregne en rotationmatrix.
>
>
> > Har en af jer tid og lyst til at give et lille eksempel? Eksempelvis
> en
> > terning med sidelængder 1m. I hvert hjørne er en masse på 1kg. Borset
> fra
> > disse masser vejer terningen intet. Hvordan kan jeg nu beregne
> inertien for
> > drejning omkring (1,2,3) i normaliseret form?
>
> Du burde altså kunne finde noget om dette på nettet, søg fx. efter
> "moment of inertia". Prøv først selv at lave beregningen ud fra
> definitionen af inertimoment og skriv så her hvis det evt. går i
> hårdknude. Hvis jeg må være lidt fri, så bør du altså have styr på
> inertimomenter før du kaster dig over advancerede anvendelser såsom at
> løse Newton-Euler systemer.
>
>
> Med venlig hilsen,
> --
> Filip Larsen
>
>

---

"Carsten Troelsgaard" <carsten.troelsgaard@mail.dk> skrev i en meddelelse
news:418f6eae$0$86952$edfadb0f@dread16.news.tele.dk...
>
> "Filip Larsen" <filip.larsen@nospam.dk> skrev i en meddelelse
news:cmma77$t32$1@news.cybercity.dk...
> > KL skrev
> >
> > > Hvad mener du med "fri rotation"? Ethvert 3d fysisk objekt har vel
> > ingen
> > > akse om hvilken "fri" rotationer mulig?
> >
> > Fri rotation er når et legeme roterer uden at udveklse kraftmoment med
> > omgivelserne, et begreb der er parallelt med, at et legeme siges at være
> > i frit fald når den resulterende kraft fra omgivelserne er nul.
> >
> > Men det vigtige begreb er ikke så meget fri rotation, men derimod
> > hovedrotationsakser og hovedinertimoment [Jeg har kigget lidt i min
> > tekniske ordbog og er blevet enig med mig selv om, at "principal" i
> > denne forbindelse må oversættes til "hoved" på dansk, selvom jeg kaldte
> > det for "primær" tidligere].
>
> Jeg prøver at supplere: Primære akse er den akse, hvorom systemet har sin største inerti. Jorden
har
> fx større radius omkring equator og spinner derfor helst om den vinkelrette akse. Hvis du sætter
> Jorden (eller en mønt) skævt mellem dine tommlefingre og giver den et spin vil den hurtigt rette
sig
> ind efter orienteringen af sin primære akse og spinne om den: Centrifugal-kræfterne virker ikke
> symmetrisk om den akse du anvender og kombinerer til et kraftmoment som prøver at rette spinnets
> akse til den primære akse. Hvis Jorden ikke har egenspin i sin rotation omkring solen vil den
svinge
> sin primære akse ned i plan med Jord/Sol rotationen - i denne position har Jorden ikke noget
> asymmetrisk kraftmoment mht Solen.
>
> Dit spørgsmål : "...hvordan beregner jeg inertien omkring netop den akse krafterne vil
> have legemet til at rotere omkring?"
> Det kan du ikke før du kender aksen.
> Problemsættet har en formel løsning, men som Filip Larsen nævner er det at rykke fra begynder til
> (mindst) let øvet.
>
> Jeg kan ikke finde et link jeg har mødt og som viser et rimelig enkelt eksempel, hvor der er en
> overskuelig opstilling af 'tingene', Så du må nøjes med
> Principal axis:
> http://kwon3d.com/theory/moi/prin.html
> http://theory.ph.man.ac.uk/~mikeb/lecture/pc167/rigidbody/principal.html
>
> Hvis du har positioner beskrevet i et indledende koordinatsystem, så har du måske mulighed for at
> beregne det kraftmoment som virker asymmetrisk pga ovennævnte ... men det kræver jo igen, at du
> kender orienteringen på de primære akser. Det er altså dem du først skal finde.
> ... ikke at jeg lige skal fortælle dig hvordan.
>
> I tilfældet med terningerne kan du prøve at vurdere symmetriforhold og vælge symmetriakser som
dine
> lokale referencer.
> Du må forvente at terningen drejer omkring sit symmetricentrum/akser - at få det til at spinne
> omkring (1,2,3) kan du kun ved at påføre et kompliceret set af kræfter/momenter lige så længe du
> ønsker 'spinnet' bevaret.
> Men du mener måske 'hvad sker der ved at lade en kraft virke i (1,2,3)':
> Beregn kraftmoment mht de symmetri-akser du har gættet (7 styk?) ... Et symmetricentrum i
teoretisk
> krystallografisk forstand er (mit gæt) brugbart som fælles centrum, altså, terningen kan bevæge
sig
> som om det var en kugle. Det er muligvis ikke strengt taget korrekt, men kan være en tilnærmelse.
> Reelt: vurder om der er forskel i inerti på de symmetriakser der står vinkeltret på fladerne, og
de
> der går gennem hjørnerne. Hvis der er forskel (fx hjørner størst)

> vil jeg forvente at spinnet vil vælge en sådan akse

Om igen. Spinnet har (imo) en omdrejning sensu stricto om hver af disse akser - summen af disse
omdrejningshastigheder (med deres forskellige inertier) formoder jeg vil være den hastighed der kan
beregnes fra indledende kraftpåvirkning mht centrum. Pga asymmetrier varierer hele molevitten
precessivt. At forsøge at 'gribe' det med sin forstand er nok lige så let som at jongelere med den
skov af differentialligninger Philip kan lave. 'Valget' vil være den akse som har det største moment
i øjeblikket for kraftpåvirkning - altså den akse der får den hurtigst omdrejningshastighed slår
stærkest ind på din opfattelse af bevægelse.

> (eller måske rettere at precessere omkring aksen i forsøget på at rette op). Når
> der virker et kraftmoment over tid (difference i centrifugal-påvirkning ca vinkelret på
> omdrejningsakse), er der en ændring af bevægelsesmængden: Den eksisterende bevægelsesmængde følger
> (er orienteret med) omdrejningsaksen - den modererende bevægelsesmængde-vektor er vinkeltret
herpå.
>
> Jeg har prøvet at supplere den rigoristiske fysiske formalisme, men vær kritisk når du læser det.
> .............
> Om projektion af et punkt P ned på x,y: Når z er omdrejningsaksen er længden af den vinkeltrette
> vektor fra P på z lig (x^2+y^2)^-2. Du skal bruge denne størrelse til at beregne P's inerti mm.
> omkring z osv
> .........
>
> > Hvis du fx. kaster et objekt op i luften så vil det snurre rundt om en
> > hovedrotationsakse. Inertielt symmetriske objekter kan have flere
> > ligeværdige sæt af hovedrotationsakser, men for helt asymmetriske
> > objekter er der kun et sæt af akser og sådanne objekter kan altså kun
> > roterer frit om disse (der er faktisk yderligere begrænsninger hvis man
> > skal være pernitten, men de er ikke så vigtige her).
> >
> >
> > > Ok, så jeg finder den akse som alle krafterne vil have mit legeme til
> > at
> > > rotere omkring. Dernæst finder jeg inertien for rotation om netop den
> > akse.
> > > Finder derfra vinkelaccelerationen, og integrerer den over tiden for
> > at
> > > finde vinkelhastighedsændringen. Lægger denne til den gamle
> > vinkelhastighed
> > > og får den nuværende hastighed. Samme princip for orienteringen...
> > > men...hvordan beregner jeg inertien omkring netop den akse krafterne
> > vil
> > > have legemet til at rotere omkring?
> >
> > Ikke helt. Princippet er sådan set enkelt nok, men i praksis bliver det
> > alligvel lynhurtigt langhåret at holde styr på de forskellige
> > koordinatsystemer og transformationer der er nødvendige hvis man skal
> > modellerer den virkelige verden. Så lad os kun se på det simple tilfælde
> > med et legeme der hænger frit i et inertielt rum.
> >
> > Et legemes stilling (eng. attitude) i rummet er beskrevet ved to
> > første-ordens differentialligninger. Den ene ligning beskriver den
> > kinematiske sammenhæng mellem rotationsvektoren og legemets stilling i
> > rummet. Til at angive et legemes stilling benytter man som regel enten
> > en transformationmatrix (også kaldet retningscosinus'er), Euler vinkler,
> > eller quaternioner. For quaternioner, som du nævnte, at du bruger, er
> > den kinematiske sammenhængen mellem stillingen q = (q0,q1,q2,q3) og
> > rotationsvektoren w = (w1,w2,w3) beskrevet ved
> >
> > dq/dt = 1/2 * W * q,
> >
> > hvor W er en 4x4 matrix med elementerne
> >
> > 0 -w1 -w2 -w3
> > w1 0 w3 -w2
> > w2 -w3 0 w1
> > w3 w2 -w1 0
> >
> > Har du q til tiden nul (fx. beregnet ud fra Eulervinklerne) og w som
> > funktion af tiden kan du dermed integrerer dig frem til q som funktion
> > af tiden.
> >
> > Benytter man retningscosinus'er i stedet for quaternioner får man en
> > tilsvarende simpel ligning, dog med 9 variable i stedet for 4. Dette
> > betyder, at den resulterende transformationmatrix jævnligt skal
> > orthonormaliseres. Til gengæld har man så direkte rotationsmatricen
> > mellem legemes hovedkoordinater og de inertielle rumkoordinater der med
> > quaternioner først skal beregnes.
> >
> > Den anden ligning er Eulers bevægelsesligning som beskriver sammenhængen
> > mellem kraftmoment og ændring af rotationsvektoren. Euler
> > bevægelsesligning for 3 dimensioner er (gentaget fra mit forrige
> > indlæg):
> >
> > I1*dw1/dt - w2*w3*(I2-I3) = N1
> > I2*dw2/dt - w3*w1*(I3-I1) = N2
> > I3*dw3/dt - w1*w2*(I1-I2) = N3
> >
> > hvor alle størrelse er udtrykt i legemets hovedkoordinatsystem. Har du w
> > til tiden nul og N som funktion af tiden kan man altså integrerer sig
> > frem til w som funktion af tiden.
> >
> > Kraftmomentvektoren N kan findes ved at summere alle de enkelte
> > kraftmomenter Ni = Ri x Fi, hvor Fi er en kraft der angriber i
> > radiusvektor Ri fra massecenteret. De kræfter og kraftmomenter der er
> > givet i inertielle koordinater skal dog først roteres til legemets
> > koordinatsystem, fx. ved at benytte før omtalte rotationsmatrix.
> >
> > For at beregne position og stilling af et legeme skal du altså samlet
> > set integrere 13 skalare første-ordens differentialligninger (med
> > quaternioner) samt evt. vedligeholde eller beregne en rotationmatrix.
> >
> >
> > > Har en af jer tid og lyst til at give et lille eksempel? Eksempelvis
> > en
> > > terning med sidelængder 1m. I hvert hjørne er en masse på 1kg. Borset
> > fra
> > > disse masser vejer terningen intet. Hvordan kan jeg nu beregne
> > inertien for
> > > drejning omkring (1,2,3) i normaliseret form?
> >
> > Du burde altså kunne finde noget om dette på nettet, søg fx. efter
> > "moment of inertia". Prøv først selv at lave beregningen ud fra
> > definitionen af inertimoment og skriv så her hvis det evt. går i
> > hårdknude. Hvis jeg må være lidt fri, så bør du altså have styr på
> > inertimomenter før du kaster dig over advancerede anvendelser såsom at
> > løse Newton-Euler systemer.
> >
> >
> > Med venlig hilsen,
> > --
> > Filip Larsen
> >
> >
>
>

---

> Dit spørgsmål : "...hvordan beregner jeg inertien omkring netop den akse
> krafterne vil
> have legemet til at rotere omkring?"
> Det kan du ikke før du kender aksen.
> Problemsættet har en formel løsning, men som Filip Larsen nævner er det at
> rykke fra begynder til
> (mindst) let øvet.

Givet en række krafter og et massemidtpunkt kan jeg vel beregne hvilken akse
krafterne prøver at rotere objektet omkring? Hvis du eksempelvis placerer en
raket på nordpolen, så dens retning er tangent til Jordens krumning, så vil
raketten (hvis den da er tændt)forsøge at dreje Jorden om en akse der er
vilkeltret på den nuværende akse gennem polerne. en anden akse som går
gennem ækvator. Er det ikke korrekt?

Måske skal vi bare (siden i faktisk gider hjælpe med mine spørgsmål lave
et eksempel.
Hvis jeg har en terning som ingen masse har bortset fra en punktmasse i
hvert hjørne, så har den massemidtpunkti det geometriske centrum.
Sidelængderne er 1m og masserne er 1kg, så helheden vejer 8kg.

Så sætter vi en raket/vilkårlig kraft på terningen. Den er i øvestre nære
venstre hjørne og peger ind mod midten af oversiden af terningen.
Den raket vil dels prøve at skubbe terningen lineært i sin retning og rotere
den. Den akse som den forsøger at skabe rotation omkring er kraftvektoren
kryset med vektoren til centrum. Er det ikke korrekt?
længden af dette krydsprodukt angiver drejningsmomentet, ikke?

Skal jeg så ikke bare nu kende inertimomentet for rotation omkring netop den
akse for at beregne accelerationen?

> http://kwon3d.com/theory/moi/prin.html

Her vises en matrise ganget på en vektor som giver H. Matrisen indeholder
eksempelvis Ixx og Ixz etc. Er disse værdier inertien i disse plan og akser?

> Hvis du har positioner beskrevet i et indledende koordinatsystem, så har
> du måske mulighed for at
> beregne det kraftmoment som virker asymmetrisk pga ovennævnte ... men det
> kræver jo igen, at du
> kender orienteringen på de primære akser. Det er altså dem du først skal
> finde.
> ... ikke at jeg lige skal fortælle dig hvordan.

Jeg har erfaring med at beregne det principale koordinatsystem fra
klyngeberegninger i vilkårlige vektorrum. Skal jeg bare gøre det her? Sådan
at forstå... hvis jeg kan beregne det principale koordinatsystem (principale
akser) for mit objekt, så . ja.. hvad så egentlig? Så ved jeg hvilken akse
objektet gerne vil rotere omkring? Hvad så derefter?


> Om projektion af et punkt P ned på x,y: Når z er omdrejningsaksen er
> længden af den vinkeltrette
> vektor fra P på z lig (x^2+y^2)^-2. Du skal bruge denne størrelse til at
> beregne P's inerti mm.
> omkring z osv

Vil det sige at for et vilkårligt objekt skal jeg ike nødvendigvis
projektere til xy-placet etc, men til de plan som de principale akser danner
istedet?

Jeg vil tro jeg er nødt til at gå alvorligt på opdagelse i teksterne selv. I
har begge været meget hjælpsomme, men min viden om denne form for fysik er
desværre lidt begrænset. Jeg kan eksempelvis stadig ikke helt indse hvad der
for en snurretop til at holde sig opretstående.

Problemstillingen er dog for mig lige nu kun at lave en 3d simulator af
disse effekter. 2d var nemt, men det her virker væsentligt mere komplekst,
hvad jeg ikke kan tro det er.. ikke i den grad.
Jeg skal grundlæggende set "bare"
for et vilkårligt objekt beregne massemidtpunkt (nemt) og derefter påføre
krafter i objektets eget koordinatsystem for at beregne translation og
rotation frem i tiden.
Hvad får jeg ud af at beregne det principale koordinatsystem for mit objekt.
Er det det svære?.. for det er faktisk noget jeg kan finde ud af

---

"KL" skrev

> Givet en række krafter og et massemidtpunkt kan jeg vel beregne
hvilken akse
> krafterne prøver at rotere objektet omkring? Hvis du eksempelvis
placerer en
> raket på nordpolen, så dens retning er tangent til Jordens krumning,
så vil
> raketten (hvis den da er tændt)forsøge at dreje Jorden om en akse der
er
> vilkeltret på den nuværende akse gennem polerne. en anden akse som går
> gennem ækvator. Er det ikke korrekt?

Jo, det er rigtigt, at raketten vil påvirke jorden med en
kraftmomentetvektor der vil ligge i ækvatorplanet.


> Måske skal vi bare (siden i faktisk gider hjælpe med mine spørgsmål
lave
> et eksempel.
> Hvis jeg har en terning som ingen masse har bortset fra en punktmasse
i
> hvert hjørne, så har den massemidtpunkti det geometriske centrum.
> Sidelængderne er 1m og masserne er 1kg, så helheden vejer 8kg.
>
> Så sætter vi en raket/vilkårlig kraft på terningen. Den er i øvestre
nære
> venstre hjørne og peger ind mod midten af oversiden af terningen.
> Den raket vil dels prøve at skubbe terningen lineært i sin retning og
rotere
> den. Den akse som den forsøger at skabe rotation omkring er
kraftvektoren
> kryset med vektoren til centrum. Er det ikke korrekt?

Den akse terningen vil se ud til at rotere om lige i det øjeblik den
modtager kraftimpulsen vil være parallel med kraftmomentet jo, men da
terningen ikke er inertielt symmetrisk om denne akse vil være et
kraftmoment fra terning selv der vil forsøge at dreje rotationsaksen en
smule.

Lad mig prøve at forklare på en anden måde. Når du påvirker et
ikke-roterende legeme med et kraftmoment N, så vil impulsmomentet L for
legemet efterfølgende have en retning der er parallel med dette
kraftmoment og desuden vil impulsmomentet, der er bevaret på samme måde
som impuls (bevægelsesmængde), bevare sin størrelse og retning når
legemet ikke påvirkes af et resulterende kraftmoment. Dette følger
trivielt af, at dL/dt = N altid gælder.

For nu at finde rotationsaksen w ud fra impulsmomentet L skal man kigge
på ligningen L = I*w der siger, at impulsmomentvektoren er lig med
inertitensoren (en 3x3 matrix med visse egenskaber) multipliceret med
rotationsvektoren. Denne multiplikation vil generelt medføre at L og w
ikke er parallele, dvs. set fra legemet vil L vektoren dreje rundt om
rotationsaksen. Nu er L imidlertid "forankret" (bevaret) i inertielt
rum, så set udefra er det altså rotationsvektoren der drejer rundt om
impulsmomentvektoren, og den resulterende bevægelse vil være en rotation
overlejret med en vuggende bevægelse af rotationsaksen kaldet
præcession.

Kigger man på ligningen L = I*w kan prøve at finde ud af hvornår I*w er
parallel med w ved at løse ligningen I*w - k*w = 0 eller lettere
omskrevet (k*E-I)*w = 0, hvor E er enhedsmatricen. Dette er, som du
måske kender, egenværdiligningen (eng. eigenvalues) for matricen I, og
en sådan ligning har (med I's natur) altid mindst tre vektorielle
løsninger, hver med en bestemt værdi af k (k skrives normalt som lambda
når man snakker egenværdier). Egenværdivektorene er altså i de
rotationsvektorer omkring hvilke legemet kan roterer således, at
rotationsvektoren ved fri rotation forblive parallel med impulsmomentet,
og det er disse vektorer man benævner som hovedakser (principal axis).
Ydermere er egenværdierne de før omtalte hovedinertimomenter. Er disse
forskellige værdier, så er legemet inertielt asymmetrisk og der vil kun
være et sæt af hovedakser, er der to ens værdier, så vil der være et
inertielt symmetriplan, og er alle tre ens så er legemet helt symmetrisk
(inertiel kugleformet).

Og nu kom jeg lige i tanke om standardeksemplet når man snakker rotation
om akser der ikke er parallele med en hovedakse: Bilhjul skal som
bekendt dynamisk afbalanceres for ikke at "banke" under kørsel. Hvis man
lod et sådant ubalanceret hjul snurre omkring den geometriske
rotationsakse (altså hjulaksen), så vil inertien i hjulet påvirke aksen
med en (roterende) kraft vinkelret på aksen ("akselbanken"). Hvis denne
kraft ikke modvirkes af et leje, så vil den istedet flytte aksen rundt i
en bue.


> Jeg har erfaring med at beregne det principale koordinatsystem fra
> klyngeberegninger i vilkårlige vektorrum. Skal jeg bare gøre det her?

Jeg er ikke lige klar over hvad du mener med klyngeberegninger, men
umiddelbart lyder det ikke som om det har noget med hovedinertiakser at
gøre.


> Sådan
> at forstå... hvis jeg kan beregne det principale koordinatsystem
(principale
> akser) for mit objekt, så . ja.. hvad så egentlig? Så ved jeg hvilken
akse
> objektet gerne vil rotere omkring? Hvad så derefter?

I det generelle tilfælde er der ikke nogen vej uden om at løse Eulers
bevægelsesligning. I specielle tilfælde med symmetri, fikserede akser
eller lign. kan man sandsynligvis komme i gennem med simplere modeller,
men ikke generelt.


> Jeg vil tro jeg er nødt til at gå alvorligt på opdagelse i teksterne
selv. I
> har begge været meget hjælpsomme, men min viden om denne form for
fysik er
> desværre lidt begrænset. Jeg kan eksempelvis stadig ikke helt indse
hvad der
> for en snurretop til at holde sig opretstående.

Det lyder som en god ide.


> Problemstillingen er dog for mig lige nu kun at lave en 3d simulator
af
> disse effekter. 2d var nemt, men det her virker væsentligt mere
komplekst,
> hvad jeg ikke kan tro det er.. ikke i den grad.

Det er desværre sandt, at 3d er noget mere en 1.5 gang sværere end 2d :)


> Jeg skal grundlæggende set "bare"
> for et vilkårligt objekt beregne massemidtpunkt (nemt) og derefter
påføre
> krafter i objektets eget koordinatsystem for at beregne translation og
> rotation frem i tiden.
> Hvad får jeg ud af at beregne det principale koordinatsystem for mit
objekt.
> Er det det svære?.. for det er faktisk noget jeg kan finde ud af

Der er sandsynligvis værktøjer eller kodebiblioteker der ud fra et sæt
af indbyrdes placeret legemer med tilhørende inertimoment kan beregne
det fælles massmidtpunkt, hovedakserne (i forhold til de geometriske
akser) og hovedinertimomenterne. Du kan selvfølgelig også (når du er
klar) gøre det selv ved, som nævnt tidligere, kigge på parallelakse
teoremet og Huygens (forskydnings) teorem.


Mvh,
--
Filip Larsen

---

"Filip Larsen" <filip.larsen@nospam.dk> skrev i en meddelelse
news:cmo91s$2i7r$1@news.cybercity.dk...

snip

> Den akse terningen vil se ud til at rotere om lige i det øjeblik den
> modtager kraftimpulsen vil være parallel med kraftmomentet jo, men da
> terningen ikke er inertielt symmetrisk om denne akse vil være et
> kraftmoment fra terning selv der vil forsøge at dreje rotationsaksen en
> smule.
>
> Lad mig prøve at forklare på en anden måde. Når du påvirker et
> ikke-roterende legeme med et kraftmoment N, så vil impulsmomentet L for
> legemet efterfølgende have en retning der er parallel med dette
> kraftmoment og desuden vil impulsmomentet, der er bevaret på samme måde
> som impuls (bevægelsesmængde), bevare sin størrelse og retning når
> legemet ikke påvirkes af et resulterende kraftmoment. Dette følger
> trivielt af, at dL/dt = N altid gælder.

Det er altså 'nemt' at påføre et skævt impulsmoment (L) til et legeme. Og det ændrer sig ikke, men
forbliver en vigtig orientering for hvad der sker efterfølgende.

> For nu at finde rotationsaksen w ud fra impulsmomentet L skal man kigge
> på ligningen L = I*w der siger, at impulsmomentvektoren er lig med
> inertitensoren (en 3x3 matrix med visse egenskaber) multipliceret med
> rotationsvektoren.

Linket

http://kwon3d.com/theory/moi/iten.html

viser beregningen af inerti-tensoren. Det ses at de diagonale indgange er summerede inertimomenter
mht x,y,z

> Denne multiplikation vil generelt medføre at L og w
> ikke er parallele, dvs. set fra legemet vil L vektoren dreje rundt om
> rotationsaksen. Nu er L imidlertid "forankret" (bevaret) i inertielt
> rum, så set udefra er det altså rotationsvektoren der drejer rundt om
> impulsmomentvektoren,

Denne beskrivelse forslår en del bedre end det jeg har prøvet at flikke sammen

> og den resulterende bevægelse vil være en rotation
> overlejret med en vuggende bevægelse af rotationsaksen kaldet
> præcession.
>
> Kigger man på ligningen L = I*w kan prøve at finde ud af hvornår I*w er
> parallel med w ved at løse ligningen I*w - k*w = 0

I, w og I*w er vektorer, men k er en skalar, egenværdien.

> eller lettere
> omskrevet (k*E-I)*w = 0, hvor E er enhedsmatricen. Dette er, som du
> måske kender, egenværdiligningen (eng. eigenvalues) for matricen I, og
> en sådan ligning har (med I's natur) altid mindst tre vektorielle
> løsninger, hver med en bestemt værdi af k (k skrives normalt som lambda
> når man snakker egenværdier). Egenværdivektorene er altså i de
> rotationsvektorer omkring hvilke legemet kan roterer således, at
> rotationsvektoren ved fri rotation forblive parallel med impulsmomentet,
> og det er disse vektorer man benævner som hovedakser (principal axis).

Det er skrevet bag øret.

> Ydermere er egenværdierne de før omtalte hovedinertimomenter. Er disse
> forskellige værdier, så er legemet inertielt asymmetrisk og der vil kun
> være et sæt af hovedakser, er der to ens værdier, så vil der være et
> inertielt symmetriplan, og er alle tre ens så er legemet helt symmetrisk
> (inertiel kugleformet).

snip

Jeg har overvejet et eksempel som fokusere på en pudsig detalje:

To vægte er forbundet med en vægtløs stang (x-akse)
Jeg binder en snor (z-aksen) i midtpunktet

Når jeg fjerner underlaget forsvinder kuglerne med accellerationen g ned ad z-aksen.
I stedet løfter jeg forsigtigt. I en vægtløs reference accellererer jeg altså kuglerne kraftigt op
ad z.
Vi ved fra ballance-vægte at der er en ligevægt, og at de to kugler vil ligge vandret ... der er
ikke en ligegyldig ligevægt, hvor de to kuglers positioner er lige gode, altså fx med stangen
parallel til z-aksen. Korrekt?

Jeg flytter min snor en lille centimeter væk fra midtpunktet. Vores erfaring foreslår, at der vil
opstå en ny ballance, hvor den lange arm hænger lavere. Vi kan beregne, at der omkring
ophængningspunktet virker to modsatrettede kraftmomenter, og at de i den forskudte position er af
forskellig størrelse. Det undrer mig dog, at uanset hvordan, så vil det ene altid være større end
det andet (pånær i lodret)... også mens de hænger i en skæv men dog ballanceret harmoni. Der virker
et kraftmoment, men der kommer ingen bevægelse ud af det!
Jeg formoder, at det uhåndgribelige vi snakker om, er det modsatrettede kraftmoment som jo må være
der et sted for at bevare den skæve ligevægt.

Carsten

---

"KL" <spam@alam.a.big.black.betty> skrev i en meddelelse
news:418f84c4$0$180$edfadb0f@dtext01.news.tele.dk...
> > Dit spørgsmål : "...hvordan beregner jeg inertien omkring netop den akse
> > krafterne vil
> > have legemet til at rotere omkring?"
> > Det kan du ikke før du kender aksen.
> > Problemsættet har en formel løsning, men som Filip Larsen nævner er det at
> > rykke fra begynder til
> > (mindst) let øvet.
>
> Givet en række krafter og et massemidtpunkt kan jeg vel beregne hvilken akse
> krafterne prøver at rotere objektet omkring? Hvis du eksempelvis placerer en
> raket på nordpolen, så dens retning er tangent til Jordens krumning, så vil
> raketten (hvis den da er tændt)forsøge at dreje Jorden om en akse der er
> vilkeltret på den nuværende akse gennem polerne. en anden akse som går
> gennem ækvator. Er det ikke korrekt?
>
> Måske skal vi bare (siden i faktisk gider hjælpe med mine spørgsmål lave
> et eksempel.
> Hvis jeg har en terning som ingen masse har bortset fra en punktmasse i
> hvert hjørne, så har den massemidtpunkti det geometriske centrum.
> Sidelængderne er 1m og masserne er 1kg, så helheden vejer 8kg.
>
> Så sætter vi en raket/vilkårlig kraft på terningen. Den er i øvestre nære
> venstre hjørne og peger ind mod midten af oversiden af terningen.
> Den raket vil dels prøve at skubbe terningen lineært i sin retning og rotere
> den.

Jeg var ærlig talt ikke opmærksom på den lineære bevægelse.
Opløs kraften i to komposanter, en der er vinkelret på radius til hjørnet, og en med retning mod
centrum. Det er muligvis ikke korrekt, men så må du omskrive situationen til et elastisk/uelastisk
stød og lave en impulsberegning.

> Den akse som den forsøger at skabe rotation omkring er kraftvektoren
> kryset med vektoren til centrum. Er det ikke korrekt?

Jo, men fordi impulsmomentet skal være konstant (efter påvirkningen) kan det være en god ide at se
på den. Den er orienteret med kraftmomentet.

> længden af dette krydsprodukt angiver drejningsmomentet, ikke?

Nej

> Skal jeg så ikke bare nu kende inertimomentet for rotation omkring netop den
> akse for at beregne accelerationen?

Jo

> > http://kwon3d.com/theory/moi/prin.html
>
> Her vises en matrise ganget på en vektor som giver H. Matrisen indeholder
> eksempelvis Ixx og Ixz etc. Er disse værdier inertien i disse plan og akser?

Det ser ud til at være inertien i det koordinatsystem der er beskrevet ved x,y,z , altså ikke
nødvendigvis sammenfaldende med symmetriakserne.

> > Hvis du har positioner beskrevet i et indledende koordinatsystem, så har
> > du måske mulighed for at
> > beregne det kraftmoment som virker asymmetrisk pga ovennævnte ... men det
> > kræver jo igen, at du
> > kender orienteringen på de primære akser. Det er altså dem du først skal
> > finde.
> > ... ikke at jeg lige skal fortælle dig hvordan.
>
> Jeg har erfaring med at beregne det principale koordinatsystem fra
> klyngeberegninger i vilkårlige vektorrum. Skal jeg bare gøre det her?

Jeg kan kun gætte på, at det er det samme

> Sådan
> at forstå... hvis jeg kan beregne det principale koordinatsystem (principale
> akser) for mit objekt, så . ja.. hvad så egentlig? Så ved jeg hvilken akse
> objektet gerne vil rotere omkring? Hvad så derefter?

Så skal du have fat i, om der omkring denne akse er asymmetri som kan skabe det jeg kalder
precession, men som måske er det der på engelsk kaldes wobble

> > Om projektion af et punkt P ned på x,y: Når z er omdrejningsaksen er
> > længden af den vinkeltrette
> > vektor fra P på z lig (x^2+y^2)^-2. Du skal bruge denne størrelse til at
> > beregne P's inerti mm.
> > omkring z osv
>
> Vil det sige at for et vilkårligt objekt skal jeg ike nødvendigvis
> projektere til xy-placet etc, men til de plan som de principale akser danner
> istedet?

Hvis du gør det, så ved du hvor systemet 'falder hen' eller precesserer omkring, hvis ikke det er i
ballance. Hvis du holder en blyant i den ene ende (og skaber et mraftmoment mht til tyngdekraften,
hold den vandret), så finder den ikke 'hvile' før primæraksen ikke længere har et kraftmoment, altså
når spidsen peger nedad.

> Jeg vil tro jeg er nødt til at gå alvorligt på opdagelse i teksterne selv.

Det har du helt sikkert ret i.

> I
> har begge været meget hjælpsomme, men min viden om denne form for fysik er
> desværre lidt begrænset. Jeg kan eksempelvis stadig ikke helt indse hvad der
> for en snurretop til at holde sig opretstående.

Aksen 'falder ind i' sin primære omdrejningsakse, trukket derind af den asymmetri der er omkring den
akse den starter med: To vægte som ikke snurrer symmetrisk overfor hinanden danner et fælles
kraftmoment omkring aksen (tegn centrifugalkræfterne! brug højrehåndsreglen). Dette kraftmoment er
vinkeltret på aksen (lige som dets tilhørende impulsmoment), og vipper aksen. Når aksen er vippet et
sted hen hvor der ikke er asymmetri forsvinder også kraftmomentet - det sker først når primæraksen
er 'ramt'.
Det skæve ligger måske i at starte ud med et x,y,z som ikke følger symmetriakser. Så kommer
udtrykkene for bevægelserne til at se underlige ud.

> Problemstillingen er dog for mig lige nu kun at lave en 3d simulator af
> disse effekter. 2d var nemt, men det her virker væsentligt mere komplekst,
> hvad jeg ikke kan tro det er.. ikke i den grad.
> Jeg skal grundlæggende set "bare"
> for et vilkårligt objekt beregne massemidtpunkt (nemt) og derefter påføre
> krafter i objektets eget koordinatsystem for at beregne translation og
> rotation frem i tiden.
> Hvad får jeg ud af at beregne det principale koordinatsystem for mit objekt.

Du kan finde ud af, hvordan systemet vil ændre sig efter at din kraftpåvirkning er ophørt. Det gør
en forskel hvis du arbejder med en lang genstand, hvor der er stor forskel på primærakserne.
........... skulle jeg mene. Jeg er ikke fysiker , så tænk dig om.

Carsten

> Er det det svære?.. for det er faktisk noget jeg kan finde ud af

---

Tak til både dig og Philip for hjælpen. Mit problem er stadig ikke løst, men
nu har jeg nok lidt mere med i bagagen til resten af turen.
Jeg har stadig spørgsmål, men jeg tror efterhånden de er stillet og
besvaret, så det gavner nok ikke at forsøge igen