---

Hvorfor vil det aldrig forekomme at summen af to eller flere på hinanden
følgende tal i mængden [0..m-1] er m, hvis m er en potens af 2?

Jacob

---

Scripsit "Jacob Jensen" <omo@adslhome.dk>

> Hvorfor vil det aldrig forekomme at summen af to eller flere på hinanden
> følgende tal i mængden [0..m-1] er m, hvis m er en potens af 2?

Jeg mener jeg har set en lignende opgave et sted på nettet for nylig
(måske her i gruppen?), men kan ikke huske om sammenhængen var
alvorlig nok til at dit spørgsmål kan betegnes som lektiehjælp. For en
sikkerheds skyld nøjes jeg med en delvis bevisskitse:

Find først et lukket udtryk for summen af dine på hinanden følgende
tal. Hvis du gør det smart, bliver udtrykket en brøk med to faktorer i
tælleren. Bemærk at højst en af faktorerne kan være lige, og at begge
er strengt mindre end 2m. Heraf kan du drage en slutning om summens
primfaktoropløsning, som udelukker at den kan være delelig med m.

--
Henning Makholm "Y'know, I don't want to seem like one of those
hackneyed Jews that you see in heartwarming movies.
But at times like this, all I can say is 'Oy, gevalt!'"

---

Jacob Jensen wrote:
>
> Hvorfor vil det aldrig forekomme at summen af to eller flere på hinanden
> følgende tal i mængden [0..m-1] er m, hvis m er en potens af 2?

Du må mene mængden {0,1,2,...,m-1}.

Hvis du kigger på formlen for summen af en sådan række

a + (a+1) + (a+2) + ... + (a+(n-1)) = n(2a+n-1)/2

så ser du at højresiden aldrig kan være en potens af 2. For hvis n er
ulige, indeholder n (n>1) en ulige primfaktor som også indgår i summen.
Og hvis n er lige, så er parentesen ulige, og vi har igen en ulige prim-
faktor.

Med andre ord indholder summen af n på hinanden følgende hele tal altid
en ulige primfaktor.

--
Jeppe Stig Nielsen <URL:http://jeppesn.dk/>. «

"Je n'ai pas eu besoin de cette hypothèse (I had no need of that
hypothesis)" --- Laplace (1749-1827)

---

> Du må mene mængden {0,1,2,...,m-1}.

ja