---

Hej gruppe,

normalt ser jeg en taylerudvikling omkring x=a af grad 2 til at være

f(x) = f(xk) + f'(xk)/1! (x-xk) + f''(xk)/2! (x-xk)^2 (1)

men i mit nye fag, numerisk analyse, får jeg præsenteret en
taylorudvikling tydeligt som:

f(x) = f(xk) + f'(xk)/1! (x-xk) + f''(xi)/2! (x-xk)^2 (2)

(note: f''(xi))

hvor xi ligger mellem x (den eksakte løsning til f()) og xk (et punkt
"tæt" ved x).

Er der nogen der kan give mig en forklaring på denne måde at opskrive en
taylorudvikling på?



Hele eksemplet drejer sig om newtons metode, hvor fejlen for
e_(k+1) = e_k - f(xk)/f'(xk) (3)

Lad os så tage anden ligning for f(x) og sætte denne lig nul og isolere
for f(xk) for at få:

f(xk) = - f'(xk)/1! (x-xk) - f''(xi)/2! (x-xk)^2

da fejlen ek = xk-x fås altså:

f(xk) = ek f'(xk) - ek^2 f''(xi)/2

indsættes dette i (3) fås således:


e_(k+1) = ek - (ek f'(xk) - ek^2 f''(xi)/2) / (f'(xk)) =

1/2 ek^2 f''(xi) / f'(xk)


der skulle heraf angiveligt følge:

e_(k+1) = 1/2 ek^2 f''(xi) / (f'(x) + ek f''(eta)) =

1/2 ek f''(xi) / f''(eta)

hvor xi og eta ligger mellem xk (et punkt "tæt" ved x) og x (stadig den
eksakte løsning til f)



Mvh / Preben Holm

---

Scripsit Preben Holm <64bitNOnoSPAMno@mailme.dk>
> Hej gruppe,

> normalt ser jeg en taylerudvikling omkring x=a af grad 2 til at være

> f(x) = f(xk) + f'(xk)/1! (x-xk) + f''(xk)/2! (x-xk)^2 (1)

I så fald skal du huske at tilføje et restled som er o((x-xk)²).

> men i mit nye fag, numerisk analyse, får jeg præsenteret en
> taylorudvikling tydeligt som:

> f(x) = f(xk) + f'(xk)/1! (x-xk) + f''(xi)/2! (x-xk)^2 (2)

> hvor xi ligger mellem x (den eksakte løsning til f()) og xk (et punkt
> "tæt" ved x).

Så vidt jeg lige kan forestille mig [1], kan man på den måde opnå at
restleddet bliver 0 - det vil sige at man *altid* kan vælge et xi som
får ligheden til at gælde eksakt, hvis altså f er tilstrækkelig pæn i
hele intervallet mellem xk og x.

Hvis vi holder os til første orden (i stedet for anden) er den
tilsvarende egenskab middelværdisætningen, som forhåbentlig er
velkendt. Generaliseringen til højere orden bør ikke være svær.

[1] Det er sent og jeg gider ikke lave en ordentlig udregning, men
stoler på min intuition.

--
Henning Makholm "Monsieur, vous êtes fou."