|
|
 | Division med 0 ?
Fra : Torben W. Hansen |
Dato : 28-06-04 15:04 |
|
Hej,
Er der nogen der har et bud på værdien af x/x for x = 0 ?
Det er almindelig kendt at man ikke må dividere med 0, men jeg mener at have
hørt at i visse matematiske henseender betragtes x/x = 1, for x = 0.
Man kunne jo fristes til anskue grænseværdien af x/x for x -> 0, hvilket vel
må være 1 ?
--
Med venlig hilsen
Torben W. Hansen
-------------------------------------------------------------------------
>> Her skulle stå et checket citat, men kunne ikke lige finde på noget <<
Monty Phyton
-------------------------------------------------------------------------
| |
 J. Martin Petersen (28-06-2004)
| Kommentar
Fra : J. Martin Petersen |
Dato : 28-06-04 15:36 |
|
"Torben W. Hansen" <nospam@cybercity.dk> writes:
> Hej,
>
> Er der nogen der har et bud på værdien af x/x for x = 0 ?
>
> Det er almindelig kendt at man ikke må dividere med 0, men jeg mener at have
> hørt at i visse matematiske henseender betragtes x/x = 1, for x = 0.
>
> Man kunne jo fristes til anskue grænseværdien af x/x for x -> 0, hvilket vel
> må være 1 ?
Det må det nemlig. Ifølge l'Hôpitals regel gælder, at hvis f og g er
definerede i nærheden af et punkt a, hvis både f(x) og g(x) går mod
0 når x går mod a, og hvis brøken f'(x)/g'(x) har en grænseværdi for x
gående mod a, så har brøken f(x)/g(x) samme grænseværdi for x gående
mod a.
Med f=g=id og a=0 fås det påståede.
--
J. Martin Petersen "Atter springer gnuerne ud i vandet..."
| |
Stefan Holm (28-06-2004)
| Kommentar
Fra : Stefan Holm |
Dato : 28-06-04 18:25 |
|
"J. Martin Petersen" <jmp@spam.alvorlig.dk> writes:
> Det må det nemlig. Ifølge l'Hôpitals regel gælder,
Alternativt har vi at det for konstantfunktioner faktisk er ret let at
finde grænser i vilkårlige punkter.
--
Stefan Holm
"Man, just ascend already."
| |
Bertel Lund Hansen (28-06-2004)
| Kommentar
Fra : Bertel Lund Hansen |
Dato : 28-06-04 15:56 |
|
Torben W. Hansen skrev:
>Er der nogen der har et bud på værdien af x/x for x = 0 ?
Ja, man kunne f.eks. lade det antage samme værdi som dagens
datonummer.
>Man kunne jo fristes til anskue grænseværdien af x/x for x -> 0, hvilket vel
>må være 1 ?
Ja, men man kan faktisk også fristes til at tildele det en
vilkårlig anden grænseværdi. 1/x går f.eks mod oo for x -> 0, og
jeg mindes et eller andet udtryk fra min gymnasietid hvor det
ville have passet smukt at tildele x/0 værdien 17.
--
Bertel
http://bertel.lundhansen.dk/ FIDUSO: http://fiduso.dk/
| |
Stefan Holm (28-06-2004)
| Kommentar
Fra : Stefan Holm |
Dato : 28-06-04 18:30 |
|
Bertel Lund Hansen <nospamius@lundhansen.dk> writes:
> Torben W. Hansen skrev:
>
> >Man kunne jo fristes til anskue grænseværdien af x/x for x -> 0,
> >hvilket vel må være 1 ?
>
> Ja, men man kan faktisk også fristes til at tildele det en
> vilkårlig anden grænseværdi.
Jeg ved ikke hvor fristende det er at gøre forkerte ting. Afbildningen
x->x/x har 1 som en veldefineret, entydig grænseværdi for x->0, så
andre valg ville være direkte forkerte - når vi snakker grænseværdi,
altså.
> 1/x går f.eks mod oo for x -> 0,
Og for 1->0, ligeså? Ellers har det vel ikke meget med x/x for x=0
(altså det oprindelige spørgsmål) at gøre.
--
Stefan Holm
"Onsdag: Min badering klemmer."
| |
Kristian Damm Jensen (28-06-2004)
| Kommentar
Fra : Kristian Damm Jensen |
Dato : 28-06-04 20:10 |
|
Bertel Lund Hansen <nospamius@lundhansen.dk> wrote in message news:<k5c0e013pmf8jv2hjii3gs0b0q3g2jmf2m@news.stofanet.dk>...
> Torben W. Hansen skrev:
>
> >Er der nogen der har et bud på værdien af x/x for x = 0 ?
>
> Ja, man kunne f.eks. lade det antage samme værdi som dagens
> datonummer.
Nej.
> >Man kunne jo fristes til anskue grænseværdien af x/x for x -> 0, hvilket vel
> >må være 1 ?
>
> Ja, men man kan faktisk også fristes til at tildele det en
> vilkårlig anden grænseværdi. 1/x går f.eks mod oo for x -> 0, og
> jeg mindes et eller andet udtryk fra min gymnasietid hvor det
> ville have passet smukt at tildele x/0 værdien 17.
Man kunne så meget. Man Martin har ret.
Vi gentager.
Man bruger l'Hôpitals regel: hvis f(a) = g(a) = 0 og f' og g' begge er
defineret i a gælder
lim f(x)/g/x) = lim f'(x)/g'(x)
x->a x->a
Med f(x) = g(x) = x og a=0 fås
lim x/x = lim 1/1 = 1
x->0 x->a
I min gymnasietid kendt som hospitalsreglen, fordi den løste alle de
uløselige differentiationer.
VH
Kristian
| |
Peter Weis (28-06-2004)
| Kommentar
Fra : Peter Weis |
Dato : 28-06-04 21:43 |
|
"Torben W. Hansen" <nospam@cybercity.dk> wrote:
> Er der nogen der har et bud på værdien af x/x for x = 0 ?
Man kan vel reducere brøken med x:
f(x) = x/x = 1/1 = 1
Funktionen f(x) = 1 har værdien 1 for x = 0.
mvh
Peter
| |
Torben W. Hansen (28-06-2004)
| Kommentar
Fra : Torben W. Hansen |
Dato : 28-06-04 22:16 |
|
Hej igen,
Jeg er lige kommet hjem og ser alle jeres interessante svar - tak. Jeg vil
lige tage et kik på l'Hôpitals regel for sætte mig ind i denne. Jeres svar
må betyde, at det er lovligt at dele med 0 såfremt tælleren også er 0,
hvilket ville give min gamle matematiklærers ansigt en blå-violet kulør.
Konkret står jeg i en situation, hvor både tæller og nævner i en brøk kan
blive 0 - og netop i dette tilfælde må det vel være matematisk rigtigt at
returnere værdien 1 ?
--
Med venlig hilsen
Torben W. Hansen
-------------------------------------------------------------------------
>> Her skulle stå et checket citat, men kunne ikke lige finde på noget <<
Monty Phyton
-------------------------------------------------------------------------
| |
Kim Hansen (28-06-2004)
| Kommentar
Fra : Kim Hansen |
Dato : 28-06-04 22:42 |
|
"Torben W. Hansen" <nospam@cybercity.dk> writes:
> Hej igen,
>
> Jeg er lige kommet hjem og ser alle jeres interessante svar - tak. Jeg vil
> lige tage et kik på l'Hôpitals regel for sætte mig ind i denne. Jeres svar
> må betyde, at det er lovligt at dele med 0 såfremt tælleren også er 0,
> hvilket ville give min gamle matematiklærers ansigt en blå-violet kulør.
Nej, alle svarene drejer sig om grænseværdi, ikke om selve udtrykket
0/0.
> Konkret står jeg i en situation, hvor både tæller og nævner i en brøk kan
> blive 0 - og netop i dette tilfælde må det vel være matematisk rigtigt at
> returnere værdien 1 ?
Nej.
0/0 har ikke nogen værdi,
x/x for x=0 har heller ikke,
x/x går imod 1 for x gående imod 0.
2x/x går imod 2 for x gående imod 0, så du kunne lige så godt sætte
0/0 til at være 2. På samme måde kan du få 0/0 til at 'være' alle tal.
--
Kim Hansen | |\ _,,,---,,_ | Det er ikke
Dalslandsgade 8, A708 | /,`.-´` -. ;:-. | Jeopardy.
2300 København S | |,4- ) )-,_. ,\ ( `'-' | Svar _efter_
Tlf: 32 88 60 86 | '---''(_/--' `-'\_) | spørgsmålet.
| |
Henrik Christian Gro~ (28-06-2004)
| Kommentar
Fra : Henrik Christian Gro~ |
Dato : 28-06-04 23:04 |
|
"Torben W. Hansen" <nospam@cybercity.dk> writes:
> må betyde, at det er lovligt at dele med 0 såfremt tælleren også er 0,
Nej! Men hvis både tæller og nævner går mod 0 kan udtrykket have en
grænseværdi (men det behøver det ikke).
> Konkret står jeg i en situation, hvor både tæller og nævner i en brøk kan
> blive 0 - og netop i dette tilfælde må det vel være matematisk rigtigt at
> returnere værdien 1 ?
En brøk hvor både tæller og nævner er 0 har ingen værdi. Et udtryk
givet ved en brøk kan have en grænseværdi i et punkt hvis både tæller og
nævner går mod nul i punktet. Denne grænseværdi kan være 1 (f.eks. hvis
udtrykket er x/x) men den kan også være 17 eller pi.
Det vil med andre ord ikke være en værdi du returnerer men en
grænseværdi. Det er ikke sikkert det er et problem, men det kan ikke
afgøres uden yderligere viden om hvad det er du har gang i, det er også
nødvendigt hvis vi skal kunne sige om 1 rent faktisk er den smarteste
værdi at returnere.
..Henrik (der mener det er langt mere interessant at diskutere hvad 0^0 er)
--
"Gud har skabt de hele tal, alt andet er menneskeværk" - Kronecker
"Gud har 'INTET' skabt. Alt andet er menneskeværk" - Flemming Topsøe
| |
 Torben W. Hansen (29-06-2004)
| Kommentar
Fra : Torben W. Hansen |
Dato : 29-06-04 07:55 |
|
"Henrik Christian Grove" <grove@sslug.dk> skrev i en meddelelse
news:7gsmcfibly.fsf@serena.fsr.ku.dk...
> "Torben W. Hansen" <nospam@cybercity.dk> writes:
> En brøk hvor både tæller og nævner er 0 har ingen værdi. Et udtryk
> givet ved en brøk kan have en grænseværdi i et punkt hvis både tæller og
> nævner går mod nul i punktet. Denne grænseværdi kan være 1 (f.eks. hvis
> udtrykket er x/x) men den kan også være 17 eller pi.
> Det vil med andre ord ikke være en værdi du returnerer men en
> grænseværdi. Det er ikke sikkert det er et problem, men det kan ikke
> afgøres uden yderligere viden om hvad det er du har gang i, det er også
> nødvendigt hvis vi skal kunne sige om 1 rent faktisk er den smarteste
> værdi at returnere.
brøken ser sådan ud:
(a-b)/( a+b - c-d )
eller skrevet på en anden måde:
(a-b)/( (a+b) - (c + d) )
> .Henrik (der mener det er langt mere interessant at diskutere hvad 0^0 er)
Ja - denne er også lidt problematisk 
--
Med venlig hilsen
Torben W. Hansen
-------------------------------------------------------------------------
>> Her skulle stå et checket citat, men kunne ikke lige finde på noget <<
Monty Phyton
-------------------------------------------------------------------------
| |
Torben W. Hansen (29-06-2004)
| Kommentar
Fra : Torben W. Hansen |
Dato : 29-06-04 10:25 |
|
"Henrik Christian Grove" <grove@sslug.dk> skrev i en meddelelse
news:7gsmcfibly.fsf@serena.fsr.ku.dk...
> "Torben W. Hansen" <nospam@cybercity.dk> writes:
> .Henrik (der mener det er langt mere interessant at diskutere hvad 0^0 er)
- men hvorfor er det egentlig det ?
0^0 = 0^(1-1) = 0^1*0^-1 = 0^1* 1/(0^1) = 0^1/ 0^1 = 0/0
???
se MathCad grafen her:
http://users.cybercity.dk/~cis2486/Page11/
--
Med venlig hilsen
Torben W. Hansen
-------------------------------------------------------------------------
>> Her skulle stå et checket citat, men kunne ikke lige finde på noget <<
Monty Phyton
-------------------------------------------------------------------------
| |
Henrik Christian Gro~ (29-06-2004)
| Kommentar
Fra : Henrik Christian Gro~ |
Dato : 29-06-04 17:59 |
|
"Torben W. Hansen" <nospam@cybercity.dk> writes:
> "Henrik Christian Grove" <grove@sslug.dk> skrev i en meddelelse
> news:7gsmcfibly.fsf@serena.fsr.ku.dk...
> > "Torben W. Hansen" <nospam@cybercity.dk> writes:
>
> > .Henrik (der mener det er langt mere interessant at diskutere hvad 0^0 er)
> - men hvorfor er det egentlig det ?
Fordi der generelt er langt mere interessante argumenter (men det er jo
nok subjektivt) i den "diskussion". (Langt de fleste argumenter siger
enten at værdien bør være 0 eller at den bør være 1).
> 0^0 = 0^(1-1) = 0^1*0^-1 = 0^1* 1/(0^1) = 0^1/ 0^1 = 0/0
Når du regner på en udefineet størrelse kan du få hvad så helst
inkl. andre udefinerede størrelser.
> se MathCad grafen her:
>
> http://users.cybercity.dk/~cis2486/Page11/
Mathcad kan ikke finde ud af at genere html (den bruger \'er i URL'er i
stedet for /'er), så den side kan jeg kun få noget ud af med et vist
besvær.
Derudover er jeg fuldstændig ligeglad med hvad Mathcad gør når man beder
den tegne 0^x.
..Henrik
--
"The ultimate goal of mathematics is to eliminate all need for
intelligent though" - Graffiti af ukendt i 'Concrete Mathematics'
| |
Torben W. Hansen (29-06-2004)
| Kommentar
Fra : Torben W. Hansen |
Dato : 29-06-04 22:02 |
|
"Henrik Christian Grove" <grove@sslug.dk> skrev i en meddelelse
news:7gfz8ei9m7.fsf@serena.fsr.ku.dk...
> "Torben W. Hansen" <nospam@cybercity.dk> writes:
> (Langt de fleste argumenter siger
> enten at værdien bør være 0 eller at den bør være 1).
Diskuteres værdien af 0^0 i matematiske fora ?
> > se MathCad grafen her:
> >
> > http://users.cybercity.dk/~cis2486/Page11/
>
> Mathcad kan ikke finde ud af at genere html (den bruger \'er i URL'er i
> stedet for /'er), så den side kan jeg kun få noget ud af med et vist
> besvær.
Har rettet '\' til '/' manuelt - hjalp det ?
> Derudover er jeg fuldstændig ligeglad med hvad Mathcad gør når man beder
> den tegne 0^x.
Jeg havde heller ikke forventet at Mathcad eller andre værktøjer vil give
noget entydigt svar... det var nærmest for at se, hvordan man havde valgt at
takle sådan en situation.
--
Med venlig hilsen
Torben W. Hansen
-------------------------------------------------------------------------
>> Her skulle stå et checket citat, men kunne ikke lige finde på noget <<
Monty Phyton
-------------------------------------------------------------------------
| |
Martin Larsen (29-06-2004)
| Kommentar
Fra : Martin Larsen |
Dato : 29-06-04 22:36 |
|
"Torben W. Hansen" <nospam@cybercity.dk> skrev i en meddelelse news:cbslca$2j7i$1@news.cybercity.dk...
> Jeg havde heller ikke forventet at Mathcad eller andre værktøjer vil give
> noget entydigt svar... det var nærmest for at se, hvordan man havde valgt at
> takle sådan en situation.
>
Det ser jo fornuftigt ud og ligner Kroneckers delta d0,x
Mvh
Martin
| |
Torben W. Hansen (29-06-2004)
| Kommentar
Fra : Torben W. Hansen |
Dato : 29-06-04 23:13 |
|
"Martin Larsen" <mlarsen@post7.tele.dk> skrev i en meddelelse
news:40e1dff0$0$23881$14726298@news.sunsite.dk...
> "Torben W. Hansen" <nospam@cybercity.dk> skrev i en meddelelse
news:cbslca$2j7i$1@news.cybercity.dk...
>
> > Jeg havde heller ikke forventet at Mathcad eller andre værktøjer vil
give
> > noget entydigt svar... det var nærmest for at se, hvordan man havde
valgt at
> > takle sådan en situation.
> >
> Det ser jo fornuftigt ud og ligner Kroneckers delta d0,x
Hvad er så det for en - er der et sted på nettet hvor man kan se den ?
Jeg går ud fra at det ikke har noget at gøre med Dirac's delta funktion...
--
Med venlig hilsen
Torben W. Hansen
-------------------------------------------------------------------------
>> Her skulle stå et checket citat, men kunne ikke lige finde på noget <<
Monty Phyton
-------------------------------------------------------------------------
| |
Martin Larsen (29-06-2004)
| Kommentar
Fra : Martin Larsen |
Dato : 29-06-04 23:56 |
|
"Torben W. Hansen" <nospam@cybercity.dk> skrev i en meddelelse news:cbsphr$2ooj$1@news.cybercity.dk...
> "Martin Larsen" <mlarsen@post7.tele.dk> skrev i en meddelelse
> > Det ser jo fornuftigt ud og ligner Kroneckers delta d0,x
> Hvad er så det for en - er der et sted på nettet hvor man kan se den ?
Ja da. Fx
http://mathworld.wolfram.com/KroneckerDelta.html
Mvh
Martin
| |
Torben W. Hansen (30-06-2004)
| Kommentar
Fra : Torben W. Hansen |
Dato : 30-06-04 08:01 |
|
"Martin Larsen" <mlarsen@post7.tele.dk> skrev i en meddelelse
news:40e1f2b5$0$23873$14726298@news.sunsite.dk...
> "Torben W. Hansen" <nospam@cybercity.dk> skrev i en meddelelse
news:cbsphr$2ooj$1@news.cybercity.dk...
> > "Martin Larsen" <mlarsen@post7.tele.dk> skrev i en meddelelse
>
> > > Det ser jo fornuftigt ud og ligner Kroneckers delta d0,x
> > Hvad er så det for en - er der et sted på nettet hvor man kan se den ?
>
> Ja da. Fx
> http://mathworld.wolfram.com/KroneckerDelta.html
Wow... sikke et websted - man bliver næsten helt væk.
Funktionen ligner en form for analog EXNOR-gate - hvor er det, at du ser
sammenhængen til grafen ?
--
Med venlig hilsen
Torben W. Hansen
-------------------------------------------------------------------------
>> Her skulle stå et checket citat, men kunne ikke lige finde på noget <<
Monty Phyton
-------------------------------------------------------------------------
| |
Martin Larsen (30-06-2004)
| Kommentar
Fra : Martin Larsen |
Dato : 30-06-04 10:13 |
|
"Torben W. Hansen" <nospam@cybercity.dk> skrev i en meddelelse news:cbtof4$ftl$1@news.cybercity.dk...
> Funktionen ligner en form for analog EXNOR-gate - hvor er det, at du ser
> sammenhængen til grafen ?
>
Prøv at tegne den.
Mvh
Martin
| |
Torben W. Hansen (30-06-2004)
| Kommentar
Fra : Torben W. Hansen |
Dato : 30-06-04 10:37 |
|
"Martin Larsen" <mlarsen@post7.tele.dk> skrev i en meddelelse
news:40e28341$0$23881$14726298@news.sunsite.dk...
> "Torben W. Hansen" <nospam@cybercity.dk> skrev i en meddelelse
news:cbtof4$ftl$1@news.cybercity.dk...
>
> > Funktionen ligner en form for analog EXNOR-gate - hvor er det, at du ser
> > sammenhængen til grafen ?
> >
> Prøv at tegne den.
Prøv lige at se mit svar til Michael Knudsen, der opdagede jeg noget
overaskende.
Det kunne se ud som om du har fat i noget ...
--
Med venlig hilsen
Torben W. Hansen
-------------------------------------------------------------------------
>> Her skulle stå et checket citat, men kunne ikke lige finde på noget <<
Monty Phyton
-------------------------------------------------------------------------
| |
Henrik Christian Gro~ (29-06-2004)
| Kommentar
Fra : Henrik Christian Gro~ |
Dato : 29-06-04 23:01 |
|
"Torben W. Hansen" <nospam@cybercity.dk> writes:
> "Henrik Christian Grove" <grove@sslug.dk> skrev i en meddelelse
> news:7gfz8ei9m7.fsf@serena.fsr.ku.dk...
> > (Langt de fleste argumenter siger
> > enten at værdien bør være 0 eller at den bør være 1).
> Diskuteres værdien af 0^0 i matematiske fora ?
Det sker sikkert fra tid til anden i visse matematiske fora. Jeg har i
hvert fald set en længere liste der forsøgte at opsamle argumenter for
både den ene og den anden værdi, der var nogle forholdsvis langhårede
ting iblandt.
> Har rettet '\' til '/' manuelt - hjalp det ?
Ja.
..Henrik
--
Jacob: Because the theoreticians told me.
Prof. Vassilicos: Why do you believe theoreticians?
| |
Torben W. Hansen (29-06-2004)
| Kommentar
Fra : Torben W. Hansen |
Dato : 29-06-04 07:39 |
|
"Torben W. Hansen" <nospam@cybercity.dk> skrev i en meddelelse
news:cbq1rn$2vro$1@news.cybercity.dk...
> Jeres svar
> må betyde, at det er lovligt at dele med 0 såfremt tælleren også er 0,
> hvilket ville give min gamle matematiklærers ansigt en blå-violet kulør.
Ved nærmere eftertanke kan jeg godt se at dette var en forhastet konklusion,
for hvis 0/0 = 1, så ville
0*7 = 0*5 ved division med 0 på begge sider kunne blive til :
1*7 = 1*5 hvilket naturligvis er usandt.
men jeg synes det er lidt underligt med grænseværdien da x/x tilsyneladende
går mod 1 for x ->0 ...
Med venlig hilsen
Torben W. Hansen
-------------------------------------------------------------------------
>> Her skulle stå et checket citat, men kunne ikke lige finde på noget <<
Monty Phyton
-------------------------------------------------------------------------
| |
Preben Mikael Bohn (29-06-2004)
| Kommentar
Fra : Preben Mikael Bohn |
Dato : 29-06-04 08:53 |
|
Torben W. Hansen wrote:
> men jeg synes det er lidt underligt med grænseværdien da x/x tilsyneladende
> går mod 1 for x ->0 ...
Tjoh, men |x|/x -> -1 for x -> 0- så sådan er der jo så meget... 
Grænseværdien af en funktion siger ikke altid noget om hvad værdien i et
givent punkt er.
Med venlig hilsen Preben
| |
Torben W. Hansen (29-06-2004)
| Kommentar
Fra : Torben W. Hansen |
Dato : 29-06-04 09:24 |
|
"Preben Mikael Bohn" <nospam@nospam.com> skrev i en meddelelse
news:40e11fce$0$235$edfadb0f@dread16.news.tele.dk...
> Grænseværdien af en funktion siger ikke altid noget om hvad værdien i et
> givent punkt er.
Nej - det må jeg jo erkende.
Iøvrigt indtastede jeg lige y = x/x i MathCad, der kan ses her:
http://users.cybercity.dk/~cis2486/Page10/
--
Med venlig hilsen
Torben W. Hansen
-------------------------------------------------------------------------
>> Her skulle stå et checket citat, men kunne ikke lige finde på noget <<
Monty Phyton
-------------------------------------------------------------------------
| |
Morten Bjergstrøm (29-06-2004)
| Kommentar
Fra : Morten Bjergstrøm |
Dato : 29-06-04 10:09 |
|
Henrik Christian Grove <grove@sslug.dk> skrev:
> .Henrik (der mener det er langt mere interessant at diskutere hvad
> 0^0 er)
Er der en forklaring på, at x^0=1 udover, at det er en definition?
--
Morten http://miljokemi.dk
Chilidyrkning med debatforum http://miljokemi.dk/chili
| |
Ole Andersen (29-06-2004)
| Kommentar
Fra : Ole Andersen |
Dato : 29-06-04 11:33 |
|
Morten Bjergstrøm wrote:
> Er der en forklaring på, at x^0=1 udover, at det er en definition?
Tag talrækken
som er x^1, x^2, x^3, x^4 ,x^5, x^6, ..
og forlæng den med et tal før det første.
Dette tal er (x^1)/x=1.
Så jo, det er en definition, men x^0=1 passer fint sammen med resten af
potensrækken.
--
Ole Andersen, Copenhagen, Denmark * http://palnatoke.org
Thesis #19: Companies can now communicate with their markets directly.
If they blow it, it could be their last chance. - Cluetrain Manifesto
| |
Kristian Damm Jensen (29-06-2004)
| Kommentar
Fra : Kristian Damm Jensen |
Dato : 29-06-04 10:34 |
|
"Torben W. Hansen" <nospam@cybercity.dk> wrote in message news:<cbq1rn$2vro$1@news.cybercity.dk>...
> Hej igen,
>
> Jeg er lige kommet hjem og ser alle jeres interessante svar - tak. Jeg vil
> lige tage et kik på l'Hôpitals regel for sætte mig ind i denne. Jeres svar
> må betyde, at det er lovligt at dele med 0 såfremt tælleren også er 0,
Nej. Du kan aldrig dele med 0. Du har grundlæggende misforstået, hvad
jeg har skrevet.
For det første er der tale om noget der sker ved en grænseværdi. For
det andet er der en række betingelser, der skal være opfyldt før
l'Hôpitals regel kan benyttes.
> hvilket ville give min gamle matematiklærers ansigt en blå-violet kulør.
Ja, med god grund.
> Konkret står jeg i en situation, hvor både tæller og nævner i en brøk kan
> blive 0 - og netop i dette tilfælde må det vel være matematisk rigtigt at
> returnere værdien 1 ?
Nej!
Henning har givet eksemplet 2x/x for x->0. Et mere komplekst eksempel,
hvor man ikke blot kan forsimple udtrykket (2x/x = 2) inden man finder
grænseværdien er (sin x)/x for x->0. her kan man ikke blot forkorte
sin x med x, bare fordi de begge går mod 0; man er *nødt* til at
udregne den afledte.
VH
Kristian
| |
Torben W. Hansen (29-06-2004)
| Kommentar
Fra : Torben W. Hansen |
Dato : 29-06-04 11:48 |
|
"Kristian Damm Jensen" <damm@ofir.dk> skrev i en meddelelse
news:2c9e2992.0406290133.75420c30@posting.google.com...
Som du kan se i de seneste indlæg, så har jeg aflivet 0/0 = 1
> Nej. Du kan aldrig dele med 0. Du har grundlæggende misforstået, hvad
> jeg har skrevet.
Åbenbart, men hvor er det at jeg har misforstået dig ?
> For det første er der tale om noget der sker ved en grænseværdi. For
> det andet er der en række betingelser, der skal være opfyldt før
> l'Hôpitals regel kan benyttes.
ok - men hvilke ?
> > hvilket ville give min gamle matematiklærers ansigt en blå-violet kulør.
> Ja, med god grund.
Jeg havde heldigvis ikke nået at få det sagt...
> man er *nødt* til at udregne den afledte.
Det gør vi så. Hvis vi prøver l'Hôpitals regel som J. Martin Petersen
formulerede den:
....
Det må det nemlig. Ifølge l'Hôpitals regel gælder, 1.) at hvis f og g er
definerede i nærheden af et punkt a, 2.) hvis både f(x) og g(x) går mod
0 når x går mod a, 3.) og hvis brøken f'(x)/g'(x) har en grænseværdi for x
gående mod a, 4.) så har brøken f(x)/g(x) samme grænseværdi for x gående
mod a.
....
Forudsætninger:
a = 0
f(x) = x
g(x) = x
f '(x) = 1
g '(x) = 1
1.) hvis f og g er definerede i nærheden af et punkt a
f(0) = 0
g(0) = 0
2.) hvis både f(x) og g(x) går mod 0 når x går mod a
da a = 0 så:
f(x) -> 0 for x -> 0
g(x) -> 0 for x -> 0
3.) og hvis brøken f '(x)/g'(x) har en grænseværdi for x gående mod a
for x -> 0:
f '(x) -> 1 ( ihvertfald er f '(x) = 1, men kan man så sige at f(x) -> 1
? )
g '(x) -> 1 ( det samme her som ovenfor )
f '(x)/g'(x) = 1/1 =1
umiddelbart overholdes reglen her - eller hvad ?
4.) så har brøken f(x)/g(x) samme grænseværdi for x gående mod a.
I så fald så er:
f (x)/g(x) = f '(x)/g'(x) = 1
- eller er der evt. andre krav der skal opfyldes ?
--
Med venlig hilsen
Torben W. Hansen
-------------------------------------------------------------------------
>> Her skulle stå et checket citat, men kunne ikke lige finde på noget <<
Monty Phyton
-------------------------------------------------------------------------
| |
Torben W. Hansen (29-06-2004)
| Kommentar
Fra : Torben W. Hansen |
Dato : 29-06-04 12:40 |
|
"Torben W. Hansen" <nospam@cybercity.dk> skrev i en meddelelse
news:cbrhcs$191o$1@news.cybercity.dk...
> "Kristian Damm Jensen" <damm@ofir.dk> skrev i en meddelelse
> news:2c9e2992.0406290133.75420c30@posting.google.com...
Det er måske her, at jeg begår fejlen ?
> 4.) så har brøken f(x)/g(x) samme grænseværdi for x gående mod a.
>
> I så fald så er:
> f (x)/g(x) = f '(x)/g'(x) = 1
Hvis:
lim f (x)/g(x), x->a = lim f '(x)/g'(x), x->a
er måske ikke ensbetydende med at
f (x)/g(x), x->a = f '(x)/g'(x), x->a
eller sagt med menneskeord :
fordi f(x)/g(x) og f '(x)/g'(x) har samme grænseværdi *omkring* x = a, så
medfører det ikke nødvendigvis, at de har samme værdi *i* x = a
?
--
Med venlig hilsen
Torben W. Hansen
-------------------------------------------------------------------------
>> Her skulle stå et checket citat, men kunne ikke lige finde på noget <<
Monty Phyton
-------------------------------------------------------------------------
| |
Kristian Damm Jensen (30-06-2004)
| Kommentar
Fra : Kristian Damm Jensen |
Dato : 30-06-04 08:03 |
|
"Torben W. Hansen" <nospam@cybercity.dk> wrote in message news:<cbrhcs$191o$1@news.cybercity.dk>...
> "Kristian Damm Jensen" <damm@ofir.dk> skrev i en meddelelse
> news:2c9e2992.0406290133.75420c30@posting.google.com...
>
> Som du kan se i de seneste indlæg, så har jeg aflivet 0/0 = 1
>
> > Nej. Du kan aldrig dele med 0. Du har grundlæggende misforstået, hvad
> > jeg har skrevet.
> Åbenbart, men hvor er det at jeg har misforstået dig ?
Du holdt fast i en sammenblanding af værdier og grænseværdier.
> > For det første er der tale om noget der sker ved en grænseværdi. For
> > det andet er der en række betingelser, der skal være opfyldt før
> > l'Hôpitals regel kan benyttes.
> ok - men hvilke ?
Dem opregner du jo nok så nydeligt nedenfor.
<snip>
> > man er *nødt* til at udregne den afledte.
> Det gør vi så. Hvis vi prøver l'Hôpitals regel som J. Martin Petersen
> formulerede den:
> ...
> Det må det nemlig. Ifølge l'Hôpitals regel gælder, 1.) at hvis f og g er
> definerede i nærheden af et punkt a, 2.) hvis både f(x) og g(x) går mod
> 0 når x går mod a, 3.) og hvis brøken f'(x)/g'(x) har en grænseværdi for x
> gående mod a, 4.) så har brøken f(x)/g(x) samme grænseværdi for x gående
> mod a.
> ...
>
> Forudsætninger:
> a = 0
> f(x) = x
> g(x) = x
> f '(x) = 1
> g '(x) = 1
Check.
> 1.) hvis f og g er definerede i nærheden af et punkt a
> f(0) = 0
> g(0) = 0
Check.
> 2.) hvis både f(x) og g(x) går mod 0 når x går mod a
> da a = 0 så:
> f(x) -> 0 for x -> 0
> g(x) -> 0 for x -> 0
Check.
> 3.) og hvis brøken f '(x)/g'(x) har en grænseværdi for x gående mod a
> for x -> 0:
> f '(x) -> 1 ( ihvertfald er f '(x) = 1, men kan man så sige at f(x) -> 1
> ? )
Ja. Da f' er kontinuært i 0, er grænseværdien af f'(x) for x->0 lig
med f'(0).
> g '(x) -> 1 ( det samme her som ovenfor )
>
> f '(x)/g'(x) = 1/1 =1
>
> umiddelbart overholdes reglen her - eller hvad ?
Check.
> 4.) så har brøken f(x)/g(x) samme grænseværdi for x gående mod a.
>
> I så fald så er:
> f (x)/g(x) = f '(x)/g'(x) = 1
Nej. Du mener tilsyneladende det rigtige, men du sjusker med
notationen, hvilket man skal passe meget på med, hvis man ikke er på
sikker grund.
f(x)/g(x) er ikke lig f'(x)/g'(x) og f'(x)/g'(x) er ikke lig 1. (Det
er de så alligevel i dette tilfælde, men det hænger på en meget
specifik definition af f og g.)
Men grænseværdien for x->0 er ens for f(x)/g(x) og f'(x)/g'(x), og den
er ganske rigtigt 1.
Skrevet mere formalistisk:
lim_x->0 f(x)/g(x) = lim_x->0 f'(x)/g'(x) = 1
> - eller er der evt. andre krav der skal opfyldes ?
Nej.
Kristian
| |
Torben W. Hansen (30-06-2004)
| Kommentar
Fra : Torben W. Hansen |
Dato : 30-06-04 08:42 |
|
"Kristian Damm Jensen" <damm@ofir.dk> skrev i en meddelelse
news:2c9e2992.0406292303.17a5eedb@posting.google.com...
> "Torben W. Hansen" <nospam@cybercity.dk> wrote in message
news:<cbrhcs$191o$1@news.cybercity.dk>...
> Du holdt fast i en sammenblanding af værdier og grænseværdier.
Ja - det gik op for mig.
> > 4.) så har brøken f(x)/g(x) samme grænseværdi for x gående mod a.
> >
> > I så fald så er:
> > f (x)/g(x) = f '(x)/g'(x) = 1
>
> Nej. Du mener tilsyneladende det rigtige
Nej - ikke på det tidspunkt at jeg skrev det, men 10-øren faldt først senere
iht. efterfølgende indlæg.
>, men du sjusker med
> notationen, hvilket man skal passe meget på med, hvis man ikke er på
> sikker grund.
Hov, hov - hvis du blir ved med at mobbe, så sir jeg det til min mor !
> Men grænseværdien for x->0 er ens for f(x)/g(x) og f'(x)/g'(x), og den
> er ganske rigtigt 1.
>
> Skrevet mere formalistisk:
>
> lim_x->0 f(x)/g(x) = lim_x->0 f'(x)/g'(x) = 1
Jeps - det er forstået... Tak!
- men hvad hulen gør man med et stykke fysik, der er udtrykt som en brøk,
hvor nævneren kan gå hen at blive 0 samtidig med at tælleren er 0 ?
som var årsagen til spørgsmålet: " værdien af x/x for x = 0 "
--
Med venlig hilsen
Torben W. Hansen
-------------------------------------------------------------------------
>> Her skulle stå et checket citat, men kunne ikke lige finde på noget <<
Monty Phyton
-------------------------------------------------------------------------
| |
Michael Knudsen (30-06-2004)
| Kommentar
Fra : Michael Knudsen |
Dato : 30-06-04 08:47 |
|
On Wed, 30 Jun 2004 09:42:07 +0200, Torben W. Hansen wrote:
> - men hvad hulen gør man med et stykke fysik, der er udtrykt som en brøk,
> hvor nævneren kan gå hen at blive 0 samtidig med at tælleren er 0 ?
Hvad er det for et stykke fysik?
--
Michael Knudsen
| |
Torben W. Hansen (30-06-2004)
| Kommentar
Fra : Torben W. Hansen |
Dato : 30-06-04 10:31 |
|
"Michael Knudsen" <knudsen@imf.au.dk> skrev i en meddelelse
news:pan.2004.06.30.07.46.31.140525@imf.au.dk...
> On Wed, 30 Jun 2004 09:42:07 +0200, Torben W. Hansen wrote:
>
> > - men hvad hulen gør man med et stykke fysik, der er udtrykt som en
brøk,
> > hvor nævneren kan gå hen at blive 0 samtidig med at tælleren er 0 ?
>
> Hvad er det for et stykke fysik?
brøken ser sådan ud:
u = (a-b)/( a+b - 2c )
hvor a, b og c er masser i [kg]
og u er dimensionsløs
problemet vil opstå hvis a = b = c.
........
Halløjsa!!! Jeg ser lige, at det minder om "Kroneckers delta d0,x" som
Martin Larsen lige nævnte. Jeg kiggede kun overfladisk på hans funktion, men
det er noget med at hvis argumenterne er ens så giver funktionen værdien 1
ellers værdien 0.
--
Med venlig hilsen
Torben W. Hansen
-------------------------------------------------------------------------
>> Her skulle stå et checket citat, men kunne ikke lige finde på noget <<
Monty Phyton
-------------------------------------------------------------------------
| |
Preben Mikael Bohn (30-06-2004)
| Kommentar
Fra : Preben Mikael Bohn |
Dato : 30-06-04 11:07 |
|
Torben W. Hansen wrote:
> "Michael Knudsen" <knudsen@imf.au.dk> skrev i en meddelelse
>>Hvad er det for et stykke fysik?
>
> brøken ser sådan ud:
>
> u = (a-b)/( a+b - 2c )
>
> hvor a, b og c er masser i [kg]
>
> og u er dimensionsløs
>
> problemet vil opstå hvis a = b = c.
Men du siger stadig ikke hvad det er for noget fysik...
Med venlig hilsen Preben
| |
Torben W. Hansen (30-06-2004)
| Kommentar
Fra : Torben W. Hansen |
Dato : 30-06-04 11:24 |
|
"Preben Mikael Bohn" <nospam@nospam.com> skrev i en meddelelse
news:40e290c7$0$251$edfadb0f@dread16.news.tele.dk...
> Torben W. Hansen wrote:
> > "Michael Knudsen" <knudsen@imf.au.dk> skrev i en meddelelse
> >>Hvad er det for et stykke fysik?
> >
> > brøken ser sådan ud:
> >
> > u = (a-b)/( a+b - 2c )
> >
> > hvor a, b og c er masser i [kg]
> >
> > og u er dimensionsløs
> >
> > problemet vil opstå hvis a = b = c.
>
> Men du siger stadig ikke hvad det er for noget fysik...
Det er en 5 måneder lang historie, som kan være vanskelig at forklare her,
men lige netop denne brøk er til bestemmelse af en friktionskoefficient u.
--
Med venlig hilsen
Torben W. Hansen
-------------------------------------------------------------------------
>> Her skulle stå et checket citat, men kunne ikke lige finde på noget <<
Monty Phyton
-------------------------------------------------------------------------
| |
Kristian Damm Jensen (01-07-2004)
| Kommentar
Fra : Kristian Damm Jensen |
Dato : 01-07-04 07:55 |
|
"Torben W. Hansen" <nospam@cybercity.dk> wrote in message news:<cbtqst$if1$1@news.cybercity.dk>...
> "Kristian Damm Jensen" <damm@ofir.dk> skrev i en meddelelse
> news:2c9e2992.0406292303.17a5eedb@posting.google.com...
<snip>
> >, men du sjusker med
> > notationen, hvilket man skal passe meget på med, hvis man ikke er på
> > sikker grund.
> Hov, hov - hvis du blir ved med at mobbe, så sir jeg det til min mor !
Det var bestemt ikke skrevet for at mobbe; vi sjusker alle med
notationen en gang imellem. Det er der ikke noget galt i, så længe man
har styr over, hvad det reelt er der foregår. Man skal vare være i
stand til at vende tilbage til en stringent notation, hvis der opstår
tvivlsspørgsmål - hvad der i sagens natur ofte gør, når man prøver at
forstå noget.
<snip>
VH
Kristian
| |
Torben W. Hansen (01-07-2004)
| Kommentar
Fra : Torben W. Hansen |
Dato : 01-07-04 11:13 |
|
"Kristian Damm Jensen" <damm@ofir.dk> skrev i en meddelelse
news:2c9e2992.0406302254.2c6d39a4@posting.google.com...
> "Torben W. Hansen" <nospam@cybercity.dk> wrote in message
news:<cbtqst$if1$1@news.cybercity.dk>...
> > "Kristian Damm Jensen" <damm@ofir.dk> skrev i en meddelelse
> > news:2c9e2992.0406292303.17a5eedb@posting.google.com...
>
> <snip>
>
> > >, men du sjusker med
> > > notationen, hvilket man skal passe meget på med, hvis man ikke er på
> > > sikker grund.
> > Hov, hov - hvis du blir ved med at mobbe, så sir jeg det til min mor !
>
> Det var bestemt ikke skrevet for at mobbe; vi sjusker alle med
> notationen en gang imellem. Det er der ikke noget galt i, så længe man
> har styr over, hvad det reelt er der foregår.
Bare rolig - jeg tog det heller ikke så tungt, hvilket jeg også forsøgte at
lade skinne igennem...
Iøvrigt var mit sjuskeri faktisk årsag til, at jeg blandede "værdi" og
"grænseværdi" sammen.
Men det får mig til at tænke på f.eks. beviset for f '(x) til:
f(x) = x^2.
hvis vi kalder delta x for dx så lærte jeg i sin tid:
f '(x) = lim_dx ->0 (f(x) - f(x-dx))/dx
f '(x) = lim_dx ->0 (x^2 - (x-dx)^2)/dx
f '(x) = lim_dx ->0 (x^2 - (x^2 + (dx)^2 - 2dx^2) )/dx
f '(x) = lim_dx ->0 (x^2 - x^2 - (dx)^2 + 2dx^2) )/dx
f '(x) = lim_dx ->0 ( - (dx)^2 + 2dx^2) )/dx
f '(x) = lim_dx ->0 -dx + 2x
f '(x) = 2x
De to sidste linier sagt med menneskeord:
f '(x) er lig med grænseværdien -dx + 2x for dx gående mod 0
f '(x) er lig med 2x
sjusker man så ikke i den sidste linie - skulle der ikke istedet have stået:
f '(x) har grænseværdien 2x
- eller rettere, kan man overhovedet skrive:
f '(x) = 2x
???
--
Med venlig hilsen
Torben W. Hansen
-------------------------------------------------------------------------
>> Her skulle stå et checket citat, men kunne ikke lige finde på noget <<
Monty Phyton
-------------------------------------------------------------------------
| |
Henrik Christian Gro~ (01-07-2004)
| Kommentar
Fra : Henrik Christian Gro~ |
Dato : 01-07-04 12:38 |
|
"Torben W. Hansen" <nospam@cybercity.dk> writes:
> Men det får mig til at tænke på f.eks. beviset for f '(x) til:
>
> f(x) = x^2.
>
> hvis vi kalder delta x for dx så lærte jeg i sin tid:
>
> f '(x) = lim_dx ->0 (f(x) - f(x-dx))/dx
> f '(x) = lim_dx ->0 (x^2 - (x-dx)^2)/dx
> f '(x) = lim_dx ->0 (x^2 - (x^2 + (dx)^2 - 2dx^2) )/dx
> f '(x) = lim_dx ->0 (x^2 - x^2 - (dx)^2 + 2dx^2) )/dx
> f '(x) = lim_dx ->0 ( - (dx)^2 + 2dx^2) )/dx
> f '(x) = lim_dx ->0 -dx + 2x
> f '(x) = 2x
>
> De to sidste linier sagt med menneskeord:
> f '(x) er lig med grænseværdien -dx + 2x for dx gående mod 0
> f '(x) er lig med 2x
>
> sjusker man så ikke i den sidste linie - skulle der ikke istedet have stået:
> f '(x) har grænseværdien 2x
Nej, for det er ikke f' der har grænseværdien, f' er grænseværdien.
> - eller rettere, kan man overhovedet skrive:
> f '(x) = 2x
Ja.
Både dx og 2x er kontinuerte funktioner, så grænseværdien af summen er
summen af grænseværdierne. 2x er en konstant med grænseværdien 2x og
grænseværdien af dx når dx går mod 0 er 0, så højresiden i næstsidste
linie er lig 2x.
..Henrik
--
"The ultimate goal of mathematics is to eliminate all need for
intelligent though" - Graffiti af ukendt i 'Concrete Mathematics'
| |
Torben W. Hansen (03-07-2004)
| Kommentar
Fra : Torben W. Hansen |
Dato : 03-07-04 12:15 |
|
"Henrik Christian Grove" <grove@sslug.dk> skrev i en meddelelse
news:7gu0wsgdq6.fsf@serena.fsr.ku.dk...
> "Torben W. Hansen" <nospam@cybercity.dk> writes:
> Nej, for det er ikke f' der har grænseværdien, f' er grænseværdien.
Hvad er forskellen ?
Tag feks. funktionerne:
f(x) = (sqrt(x)-2)/(x-4)
g(x) = 1/(sqrt(x)+2)
der begge har grænseværdien 1/4 for x->4.
Desuden er:
f(x) ikke defineret for x = 4
g(x) = 1/4 for x = 4
Dette synes jeg er forvirrende da
f(x) = (sqrt(x)-2)/(x-4) = (sqrt(x)-2)/((sqrt(x)+2)*(sqrt(x)-2)) =
1/(sqrt(x)+2) = g(x)
Dvs. at f(x) = g(x), men det er kun g(x) der er defineret for x = 4.
Hvad gik galt i min matematikundervisning ?
> Både dx og 2x er kontinuerte funktioner, så grænseværdien af summen er
> summen af grænseværdierne. 2x er en konstant med grænseværdien 2x og
> grænseværdien af dx når dx går mod 0 er 0, så højresiden i næstsidste
> linie er lig 2x.
Ja! hvis -dx, 2x kontinuerte så gælder:
lim_x->0 -dx + 2x = lim_x->0 -dx + lim_x->0 2x
lim_x->0 -dx + 2x = 0 + 2x
lim_x->0 -dx + 2x = 2x
--
Med venlig hilsen
Torben W. Hansen
-------------------------------------------------------------------------
>> Her skulle stå et checket citat, men kunne ikke lige finde på noget <<
Monty Phyton
-------------------------------------------------------------------------
| |
Stefan Holm (03-07-2004)
| Kommentar
Fra : Stefan Holm |
Dato : 03-07-04 12:39 |
|
"Torben W. Hansen" <nospam@cybercity.dk> writes:
Lige en tilføjelse:
> f(x) = (sqrt(x)-2)/(x-4) = (sqrt(x)-2)/((sqrt(x)+2)*(sqrt(x)-2)) =
> 1/(sqrt(x)+2) = g(x)
Hvis du prøver at lave dette regnestykke for x=4, vil det se sådan ud:
0/0 = 0/(4*0) = 1/4, hvilket selvfølgelig er absurd. Derfor holder
identiteten altså kun hvis x er forskellig fra 4.
--
Stefan Holm
"I would go down in history as some kind of mini-Hitler with pointy ears!"
| |
Torben W. Hansen (03-07-2004)
| Kommentar
Fra : Torben W. Hansen |
Dato : 03-07-04 14:51 |
|
"Stefan Holm" <nospam@algebra.dk> skrev i en meddelelse
news:uy8m1cobe.fsf@banach.algebra.dk...
> "Torben W. Hansen" <nospam@cybercity.dk> writes:
>
> Lige en tilføjelse:
>
> > f(x) = (sqrt(x)-2)/(x-4) = (sqrt(x)-2)/((sqrt(x)+2)*(sqrt(x)-2)) =
> > 1/(sqrt(x)+2) = g(x)
>
> Hvis du prøver at lave dette regnestykke for x=4, vil det se sådan ud:
> 0/0 = 0/(4*0) = 1/4, hvilket selvfølgelig er absurd. Derfor holder
> identiteten altså kun hvis x er forskellig fra 4.
Det kan jeg godt se, ...men det bliver jeg ikke mindre forvirret af.
--
Med venlig hilsen
Torben W. Hansen
-------------------------------------------------------------------------
>> Her skulle stå et checket citat, men kunne ikke lige finde på noget <<
Monty Phyton
-------------------------------------------------------------------------
| |
Stefan Holm (03-07-2004)
| Kommentar
Fra : Stefan Holm |
Dato : 03-07-04 12:35 |
|
"Torben W. Hansen" <nospam@cybercity.dk> writes:
> Dvs. at f(x) = g(x),
Kun hvor de begge er definerede. Det giver fx ikke mening at sige
f(4) = g(4).
> men det er kun g(x) der er defineret for x = 4.
Nemlig. Dermed er g en udvidelse af f, hvilket ikke betyder at den er
den samme funktion som f.
--
Stefan Holm
"Det er da også en langt mere økologisk bæredygtig holdning end at
tage ud og myrde bjørne i ren spekulativ forventning om at der er
et markedsmæssigt behov for skindene."
| |
Torben W. Hansen (03-07-2004)
| Kommentar
Fra : Torben W. Hansen |
Dato : 03-07-04 15:01 |
|
"Stefan Holm" <nospam@algebra.dk> skrev i en meddelelse
news:u3c49e33i.fsf@banach.algebra.dk...
> "Torben W. Hansen" <nospam@cybercity.dk> writes:
>
> > Dvs. at f(x) = g(x),
>
> Kun hvor de begge er definerede. Det giver fx ikke mening at sige
> f(4) = g(4).
>
> > men det er kun g(x) der er defineret for x = 4.
>
> Nemlig. Dermed er g en udvidelse af f, hvilket ikke betyder at den er
> den samme funktion som f.
OK - men ud over de ikke definerede funktionsværdier, er f = g ikke sandt ?
Kan man sige at man kun havner i denne situation når den uafhængige variabel
x forekommer som nævner i en brøk, eller kan det også forkomme i andre
situationer ?
--
Med venlig hilsen
Torben W. Hansen
-------------------------------------------------------------------------
>> Her skulle stå et checket citat, men kunne ikke lige finde på noget <<
Monty Phyton
-------------------------------------------------------------------------
| |
Stefan Holm (03-07-2004)
| Kommentar
Fra : Stefan Holm |
Dato : 03-07-04 15:53 |
|
"Torben W. Hansen" <nospam@cybercity.dk> writes:
> OK - men ud over de ikke definerede funktionsværdier, er f = g ikke
> sandt ?
Jo. Hvor begge funktioner er definerede, stemmer de overens.
> Kan man sige at man kun havner i denne situation når den uafhængige variabel
> x forekommer som nævner i en brøk, eller kan det også forkomme i andre
> situationer ?
Der er bestemt andre situationer. Det er sådan noget der kan ske hver
gang man bruger funktioner der ikke er definerede alle de steder man
evt. kunne tænke sig. Fx hvis vi har f(x) = x og g(x) = exp(ln(x)), så
vil de stemme overens på de positive reelle tal, men g er ikke
defineret i 0.
--
Stefan Holm
"Uhh... Shiney McShine."
| |
Torben W. Hansen (03-07-2004)
| Kommentar
Fra : Torben W. Hansen |
Dato : 03-07-04 20:02 |
|
"Stefan Holm" <nospam@algebra.dk> skrev i en meddelelse
news:ur7rtcfcw.fsf@banach.algebra.dk...
> "Torben W. Hansen" <nospam@cybercity.dk> writes:
>
> > Kan man sige at man kun havner i denne situation når den uafhængige
variabel
> > x forekommer som nævner i en brøk, eller kan det også forkomme i andre
> > situationer ?
>
> Der er bestemt andre situationer. Det er sådan noget der kan ske hver
> gang man bruger funktioner der ikke er definerede alle de steder man
> evt. kunne tænke sig. Fx hvis vi har f(x) = x og g(x) = exp(ln(x)), så
> vil de stemme overens på de positive reelle tal, men g er ikke
> defineret i 0.
g(x) = exp(ln(x)),
Ja det er jo et glimrende eksempel...
Lige netop en variant af dette eksempel bliver ofte brugt sådan:
a^x = (e^ln(a))^x = e^(x*ln(a)) [eksempel fra Gads matematik]
" a kan også skrives som exp(ln(a)).... osv. "
- og dette er jo forkert med mindre man husker at tiløje: for reelle tal R,
a > 0, eller for komplekse tal C, a <> 0
--
Med venlig hilsen
Torben W. Hansen
-------------------------------------------------------------------------
>> Her skulle stå et checket citat, men kunne ikke lige finde på noget <<
Monty Phyton
-------------------------------------------------------------------------
| |
Henrik Christian Gro~ (03-07-2004)
| Kommentar
Fra : Henrik Christian Gro~ |
Dato : 03-07-04 13:32 |
|
"Torben W. Hansen" <nospam@cybercity.dk> writes:
> Tag feks. funktionerne:
> f(x) = (sqrt(x)-2)/(x-4)
> g(x) = 1/(sqrt(x)+2)
>
> der begge har grænseværdien 1/4 for x->4.
>
> Desuden er:
> f(x) ikke defineret for x = 4
> g(x) = 1/4 for x = 4
>
> Dette synes jeg er forvirrende da
>
> f(x) = (sqrt(x)-2)/(x-4) = (sqrt(x)-2)/((sqrt(x)+2)*(sqrt(x)-2)) =
> 1/(sqrt(x)+2) = g(x)
Eftersom f ikke er defneret i x=4, gælder den udregning ikke i x=4.
> Dvs. at f(x) = g(x),
for x!=4.
> men det er kun g(x) der er defineret for x = 4.
Ja. Du har indset at g er en analytisk udvidelse af f.
> Hvad gik galt i min matematikundervisning ?
Du opfangede ikke at du ikke kan udvide definitionsmængden for et udtryk
ved at skrive om på det.
..Henrik
--
"Gud har skabt de hele tal, alt andet er menneskeværk" - Kronecker
"Gud har 'INTET' skabt. Alt andet er menneskeværk" - Flemming Topsøe
| |
Torben W. Hansen (03-07-2004)
| Kommentar
Fra : Torben W. Hansen |
Dato : 03-07-04 14:49 |
|
"Henrik Christian Grove" <grove@sslug.dk> skrev i en meddelelse
news:7gy8m1e0gl.fsf@serena.fsr.ku.dk...
> "Torben W. Hansen" <nospam@cybercity.dk> writes:
> Ja. Du har indset at g er en analytisk udvidelse af f.
>
> > Hvad gik galt i min matematikundervisning ?
>
> Du opfangede ikke at du ikke kan udvide definitionsmængden for et udtryk
> ved at skrive om på det.
Altså mener I, at hvis en omskrivning ændrer på definitionsmængden, så er
der i virkligheden tale om en anden funktion eller en
udvidelse/indskrænkning af oprindelig funktion ?
--
Med venlig hilsen
Torben W. Hansen
-------------------------------------------------------------------------
>> Her skulle stå et checket citat, men kunne ikke lige finde på noget <<
Monty Phyton
-------------------------------------------------------------------------
| |
Kristian Damm Jensen (05-07-2004)
| Kommentar
Fra : Kristian Damm Jensen |
Dato : 05-07-04 07:22 |
|
"Torben W. Hansen" <nospam@cybercity.dk> wrote in message news:<cc6dhh$ask$1@news.cybercity.dk>...
> "Henrik Christian Grove" <grove@sslug.dk> skrev i en meddelelse
> news:7gy8m1e0gl.fsf@serena.fsr.ku.dk...
> > "Torben W. Hansen" <nospam@cybercity.dk> writes:
>
>
> > Ja. Du har indset at g er en analytisk udvidelse af f.
> >
> > > Hvad gik galt i min matematikundervisning ?
> >
> > Du opfangede ikke at du ikke kan udvide definitionsmængden for et udtryk
> > ved at skrive om på det.
>
> Altså mener I, at hvis en omskrivning ændrer på definitionsmængden, så er
> der i virkligheden tale om en anden funktion eller en
> udvidelse/indskrænkning af oprindelig funktion ?
Præcis.
To funktioner f og g er identiske, hvis og kun hvis de har samme
definitionsmængde og det for alle x i definitionsmængden gælder at
f(x) = g(x).
Ændrer man på det udtryk, der beskriver f, således at udtrykket nu er
veldefineret på en lidt anden definitionsmængde, ændrer man altså på
f. f(x)=x/x er altså ikke den samme funktion som g(x)=1.
I daglig tale bruger man ikke så meget krudt på at præcisere
definitionsmængden for en funktion - endnu et eksempel på den sjusk i
notationen jeg omtalte tidligere: Det gør ikke noget, hvis man har
styr på, hvad der foregår, men kan give anledning til misforståelser,
når det ikke er tilfældet.
Venlig hilsen
Kristian
| |
Torben W. Hansen (05-07-2004)
| Kommentar
Fra : Torben W. Hansen |
Dato : 05-07-04 07:37 |
|
"Kristian Damm Jensen" <damm@ofir.dk> skrev i en meddelelse
news:2c9e2992.0407042221.34ad9c36@posting.google.com...
> I daglig tale bruger man ikke så meget krudt på at præcisere
> definitionsmængden for en funktion - endnu et eksempel på den sjusk i
> notationen jeg omtalte tidligere: Det gør ikke noget, hvis man har
> styr på, hvad der foregår, men kan give anledning til misforståelser,
> når det ikke er tilfældet.
Det må jeg jo give dig ret i...
Mit oprindelige problem er en brøk:
u = (a-b)/( a+b - 2c )
hvor a, b og c er masser i [kg]
og u er dimensionsløs
problemet vil opstå hvis a = b = c.
Hvilke generelle regler kan man benytte for at tage stilling til, hvad man
skal gøre i denne situation ?
--
Med venlig hilsen
Torben W. Hansen
-------------------------------------------------------------------------
>> Her skulle stå et checket citat, men kunne ikke lige finde på noget <<
Monty Phyton
-------------------------------------------------------------------------
| |
Kristian Damm Jensen (05-07-2004)
| Kommentar
Fra : Kristian Damm Jensen |
Dato : 05-07-04 11:33 |
|
"Torben W. Hansen" <nospam@cybercity.dk> wrote in message news:<ccasts$1aso$1@news.cybercity.dk>...
> "Kristian Damm Jensen" <damm@ofir.dk> skrev i en meddelelse
> news:2c9e2992.0407042221.34ad9c36@posting.google.com...
> > I daglig tale bruger man ikke så meget krudt på at præcisere
> > definitionsmængden for en funktion - endnu et eksempel på den sjusk i
> > notationen jeg omtalte tidligere: Det gør ikke noget, hvis man har
> > styr på, hvad der foregår, men kan give anledning til misforståelser,
> > når det ikke er tilfældet.
> Det må jeg jo give dig ret i...
>
> Mit oprindelige problem er en brøk:
>
> u = (a-b)/( a+b - 2c )
>
> hvor a, b og c er masser i [kg]
>
> og u er dimensionsløs
>
> problemet vil opstå hvis a = b = c.
>
> Hvilke generelle regler kan man benytte for at tage stilling til, hvad man
> skal gøre i denne situation ?
jeg er hverken sikker på, at jeg forstår, hvor du vil hen med dit
spørgsmål, eller hvordan jeg skal forsøge at besvare det, men
alligevel:
For det første a, b og c er masser. Ergo er de positive.
u er en funktion af 3 variable u(a, b, c) = ... R^3 -> R, der ikke er
defineret langs linien a=b=c i R^3. Man kan yderligere gå udledningen
af formlen efter med en tættekam - det kan af og til give nogen ideer
om, hvilke antagelser, der ligger skjult.
Jeg håber, at det delvis besvarer dit spørgsmål.
VH
Kristian
| |
Torben W. Hansen (06-07-2004)
| Kommentar
Fra : Torben W. Hansen |
Dato : 06-07-04 13:56 |
|
"Kristian Damm Jensen" <damm@ofir.dk> skrev i en meddelelse
news:2c9e2992.0407050233.38b668e9@posting.google.com...
> jeg er hverken sikker på, at jeg forstår, hvor du vil hen med dit
> spørgsmål, eller hvordan jeg skal forsøge at besvare det, men
> alligevel:
Jeg ville gerne, men kan ikke komme ind på den fulde model, da den er så
stor, at jeg ikke ville kunne overkomme at skrive udtrykkene og give en
tilstrækkelig forklaring. Udtrykket u = (a-b)/( a+b - 2c ) er en lille del i
ovenævnte model, der beskiver en friktionskoefficient i et mekanisk system.
Formlen ovenfor er ikke en approksimation ud over hvad der naturligvis
fremkommer ved decimal-afrunding og eventuelle målefejl. a, b og c, der er
masser, og er alle større end eller lig med 0 kg. Ud fra målte værdier for
a, b og c udregnes friktionskoefficienten u efter formlen ovenfor.
> For det første a, b og c er masser. Ergo er de positive.
Jep...
> u er en funktion af 3 variable u(a, b, c) = ... R^3 -> R, der ikke er
> defineret langs linien a=b=c i R^3.
Nemlig - jeg er netop i tvivl om hvad værdien af u skal være i praksis for
a=b=c. Jeg er næsten lige ved at tro at den skal være 1, og hvis dette er
tilfældet, så står der jo 0/0 = 1. Efter vor lange debat her i tråden er jeg
virkelig blevet i tvivl. Omvendt så nævner Martin Larsen noget om
Kronecker Delta d0, x http://mathworld.wolfram.com/KroneckerDelta.html som
jeg så kiggede på, hvor det gik op for mig at funktionen returnerer værdien
1 for lige store argumenter svarende til u = (a-b)/( a+b - 2c ) = 1 for
a=b=c.
<snip>
"Torben W. Hansen" <nospam@cybercity.dk> skrev i en meddelelse
news:cbsphr$2ooj$1@news.cybercity.dk...
> "Martin Larsen" <mlarsen@post7.tele.dk> skrev i en meddelelse
> > Det ser jo fornuftigt ud og ligner Kroneckers delta d0,x
> Hvad er så det for en - er der et sted på nettet hvor man kan se den ?
Ja da. Fx
http://mathworld.wolfram.com/KroneckerDelta.html
Mvh
Martin
<snip>
> Man kan yderligere gå udledningen
> af formlen efter med en tættekam - det kan af og til give nogen ideer
> om, hvilke antagelser, der ligger skjult.
Det er netop det, som jeg er igang med ...
--
Med venlig hilsen
Torben W. Hansen
-------------------------------------------------------------------------
>> Her skulle stå et checket citat, men kunne ikke lige finde på noget <<
Monty Phyton
-------------------------------------------------------------------------
| |
Jonas Møller Larsen (29-06-2004)
| Kommentar
Fra : Jonas Møller Larsen |
Dato : 29-06-04 16:48 |
|
Kristian Damm Jensen wrote:
> (sin x)/x for x->0. her kan man ikke blot forkorte
> sin x med x, bare fordi de begge går mod 0; man er *nødt* til at
> udregne den afledte.
Men når man prøver det, (ved brug af additionsformlen for sinus og
lim_h->0 cosh = 1)
sin'(x) = lim_h->0 (sin(x+h)-sin(x))/h
= lim_h->0 (sinx cosh + sin h cosx - sinx)/h
= lim_h->0 sinh/h cosx,
opdager man, at man ikke kan differentiere sinus uden at kende
grænseværdien sinh/h for h->0, hvilket netop var det oprindelige problem.
--
Jonas Møller Larsen
| |
Kristian Damm Jensen (30-06-2004)
| Kommentar
Fra : Kristian Damm Jensen |
Dato : 30-06-04 13:26 |
|
Jonas Møller Larsen <nospam@nospam.invalid> wrote in message news:<40e18f1a$0$12547$ba624c82@nntp03.dk.telia.net>...
> Kristian Damm Jensen wrote:
> > (sin x)/x for x->0. her kan man ikke blot forkorte
> > sin x med x, bare fordi de begge går mod 0; man er *nødt* til at
> > udregne den afledte.
>
> Men når man prøver det, (ved brug af additionsformlen for sinus og
> lim_h->0 cosh = 1)
>
> sin'(x) = lim_h->0 (sin(x+h)-sin(x))/h
> = lim_h->0 (sinx cosh + sin h cosx - sinx)/h
> = lim_h->0 sinh/h cosx,
>
> opdager man, at man ikke kan differentiere sinus uden at kende
> grænseværdien sinh/h for h->0, hvilket netop var det oprindelige problem.
Nu husker jeg ikke præcis - det er trods alt 20 år siden - men man
bruger vist ikke l'Hôpital til at finde den afledte af sin og cos.
Det betyder, at jeg ikke forfalder til en cirkelslutning, når jeg blot
slår op i min formelsamling og finder sin'(x) = cos(x)
VH
Kristian
| |
Jonas Møller Larsen (30-06-2004)
| Kommentar
Fra : Jonas Møller Larsen |
Dato : 30-06-04 17:57 |
|
Kristian Damm Jensen wrote:
> Det betyder, at jeg ikke forfalder til en cirkelslutning, når jeg blot
> slår op i min formelsamling og finder sin'(x) = cos(x)
Rigtigt. Men når man har vist, at sin'(x) = cos(x), har man også [i
hvert som det normalt fremstilles med geometriske definitioner af sinus
og cosinus] allerede vist, at sinh/h->1, når h->0. Derfor er det lidt
bagvendt logik (men ikke forkert) at bruge hospitalsreglen på sinh/h.
--
Jonas Møller Larsen
| |
Henning Makholm (01-07-2004)
| Kommentar
Fra : Henning Makholm |
Dato : 01-07-04 05:29 |
|
Scripsit Jonas Møller Larsen <nospam@nospam.invalid>
> opdager man, at man ikke kan differentiere sinus uden at kende
> grænseværdien sinh/h for h->0, hvilket netop var det oprindelige
> problem.
Kan man ikke bare definere sinus og cosinus som deres potensrækker og
så vise [1] at de konvergerer pænt nok til at man må differentiere ledvis?
[1] Fx ved at udnytte at leddene i potensrækken for sin(x) eller
cos(x) fra og med trin N>x bliver overgået af en geometrisk
aftagende række.
--
Henning Makholm "Larry wants to replicate all the time ... ah, no,
all I meant was that he likes to have a bang everywhere."
| |
Jonas Møller Larsen (01-07-2004)
| Kommentar
Fra : Jonas Møller Larsen |
Dato : 01-07-04 16:14 |
|
Henning Makholm wrote:
> Kan man ikke bare definere sinus og cosinus som deres potensrækker og
> så vise [1] at de konvergerer pænt nok til at man må differentiere ledvis?
Jo, det er vel sådan man gør i videregående calculus? Min
calculus-grundbog definerer sinus og cosinus geometrisk og giver et
geometrisk bevis for, at sinx/x -> 1 for x -> 0.
--
Jonas Møller Larsen
| |
Jens Axel Søgaard (03-07-2004)
| Kommentar
Fra : Jens Axel Søgaard |
Dato : 03-07-04 10:35 |
|
Jonas Møller Larsen wrote:
> Henning Makholm wrote:
>
>> Kan man ikke bare definere sinus og cosinus som deres potensrækker og
>> så vise [1] at de konvergerer pænt nok til at man må differentiere
>> ledvis?
Heh. Det har jeg set Rudin gøre. Han definerer først eksponential-
funktionen ud fra potensrækken og viser den er holomorf. Derefter
definerer han sinus og cosinus (og pi!) udfra eksponentialfunktionen.
> Jo, det er vel sådan man gør i videregående calculus? Min
> calculus-grundbog definerer sinus og cosinus geometrisk og giver et
> geometrisk bevis for, at sinx/x -> 1 for x -> 0.
Jeg begynder at få deja vu.
Gør din analysebog noget ud af at definere dels længde af cirkelbuer
dels areal af cirkelskiveudsnit? Det er som regel, der man snyder i
beviset.
--
Jens Axel Søgaard
| |
Jonas Møller Larsen (04-07-2004)
| Kommentar
Fra : Jonas Møller Larsen |
Dato : 04-07-04 12:59 |
|
Jens Axel Søgaard wrote:
> Gør din analysebog noget ud af at definere dels længde af cirkelbuer
> dels areal af cirkelskiveudsnit?
Ja, det gør James Stewart: "Calculus -- Concepts and Contexts". Men
først længe efter at den har (pseudo-?)bevist lim_x->0 sinx/x = 1.
I beviset bruges, at en centervinkel af størrelse x i en enhedscirkel
udspænder en cirkelbue, der også har længden x. Dette giver
vurderingerne sinx < x og x < tanx, der så leder til det ønskede.
Det er det samme bevis som i Kristensen & Rindung: "matematik 2.1"
(tidligere brugt i gymnasiet).
> Det er som regel, der man snyder i
> beviset.
Hvordan?
--
Jonas Møller Larsen
| |
Jesper Harder (05-07-2004)
| Kommentar
Fra : Jesper Harder |
Dato : 05-07-04 12:01 |
|
"Torben W. Hansen" <nospam@cybercity.dk> writes:
> Mit oprindelige problem er en brøk:
>
> u = (a-b)/( a+b - 2c )
>
> hvor a, b og c er masser i [kg]
>
> og u er dimensionsløs
>
> problemet vil opstå hvis a = b = c.
>
> Hvilke generelle regler kan man benytte for at tage stilling til,
> hvad man skal gøre i denne situation ?
Se på fysikken i problemet! Du fortæller ikke noget om, hvad det *er*
for et system du modelerer. Men en model er altid en forsimpling --
hvilke antagelser og approksimationer har du brugt? Hvornår er de
gyldige? Hvad forventer du at der fysisk vil ske når a=b=c?
--
Jesper Harder < http://purl.org/harder/>
| |
Jeppe Stig Nielsen (06-07-2004)
| Kommentar
Fra : Jeppe Stig Nielsen |
Dato : 06-07-04 18:15 |
|
"Torben W. Hansen" wrote:
>
> Er der nogen der har et bud på værdien af x/x for x = 0 ?
Meget godt er sagt i denne tråd, men lad mig supplere.
Lad os vende tilbage til hvordan division egentlig indføres. Hvad skal
fx divisionsstykket 54/6 betyde. Det skal betyde det tal q (kvotienten)
der opfylder at 6·q=54. Division er altså en slags omvendt multi-
plikation.
Hvad skal så fx 54/0 betyde? Det skal være et q således at 0·q=54. Men
et sådan tal eksisterer ikke (vi opererer ikke med uendeligt store tal).
Derfor forbliver 54/0 udefineret.
Hvad skal 0/0 betyde? Et tal q med 0·q=0. Men *alle* tal q opfylder jo
at 0·q=0. Derfor er *alle* tal lige gode kandidater til at være facit
til divisionsstykket 0/0. Af den grund lader vi 0/0 forblive udefineret.
Man kan altså aldrig dividere med nul!
Nu går vi til et ganske andet spørgsmål. Lad f og g være »pæne«
funktioner af x, der opfylder at f(a)=0 og g(a)=0 for et bestemt fælles
a. Man kan så spørge om brøken
q(x) = f(x)/g(x)
har en grænseværdi når x løber mod a. Hvis den har det, er det naturligt
at lade som om q(a) faktisk er lig med denne grænseværdi, selvom dette
er at udvide definitionsmængden for funktionen q.
Stort set alt kan ske i denne situation. Eksempler:
(sin x)/(pi - x) går mod 1 når x går mod pi
(42·sin x)/(pi - x) går mod 42 når x går mod pi
((sin x)²)/(pi - x) går mod 0 når x går mod pi
(sin x)/((pi - x)²) går mod plus/minus uendelig når x går mod pi
Hvis eksempelvis
{ x·sin(1/x) for x forskellig fra nul
f(x)={
{ 0 for x=0
og
g(x)=x² for alle x
så er både f og g kontinuerte (også i 0), men
(f(x))/(g(x)) opfører sig »vildt« når x går mod 0
--
Jeppe Stig Nielsen <URL: http://jeppesn.dk/>. «
"Je n'ai pas eu besoin de cette hypothèse (I had no need of that
hypothesis)" --- Laplace (1749-1827)
| |
Torben W. Hansen (07-07-2004)
| Kommentar
Fra : Torben W. Hansen |
Dato : 07-07-04 08:57 |
|
> "Jeppe Stig Nielsen" <mail@jeppesn.dk> skrev i en meddelelse
news:40EADE31.8E00B792@jeppesn.dk...
> "Torben W. Hansen" wrote:
Tak for det uddybende svar,
Dette emne tilhører vist den philosofiske del af matematikken.
> Hvad skal 0/0 betyde? Et tal q med 0·q=0. Men *alle* tal q opfylder jo
> at 0·q=0. Derfor er *alle* tal lige gode kandidater til at være facit
> til divisionsstykket 0/0. Af den grund lader vi 0/0 forblive udefineret.
>
> Man kan altså aldrig dividere med nul!
Hvis man betragter 0·q = 0 som en ligning,
- har den så ingen eller har den uendelig mange løsninger ?
1) Umiddelbart ville jeg sige uendelig mange.
men ifølge kriteriet :
" Derfor er *alle* tal lige gode kandidater til at være facit til
divisionsstykket 0/0.
Af den grund lader vi 0/0 forblive udefineret "
2) så er løsningen udefineret - altså har 0·q = 0 ingen løsning.
Hvilket af ovenstående to udsagn er så sandt ?
--
Med venlig hilsen
Torben W. Hansen
-------------------------------------------------------------------------
>> Her skulle stå et checket citat, men kunne ikke lige finde på noget <<
Monty Phyton
-------------------------------------------------------------------------
| |
Jeppe Stig Nielsen (07-07-2004)
| Kommentar
Fra : Jeppe Stig Nielsen |
Dato : 07-07-04 11:27 |
|
"Torben W. Hansen" wrote:
>
> Hvis man betragter 0·q = 0 som en ligning,
>
> - har den så ingen eller har den uendelig mange løsninger ?
>
> 1) Umiddelbart ville jeg sige uendelig mange.
>
> men ifølge kriteriet :
> " Derfor er *alle* tal lige gode kandidater til at være facit til
> divisionsstykket 0/0.
> Af den grund lader vi 0/0 forblive udefineret "
>
> 2) så er løsningen udefineret - altså har 0·q = 0 ingen løsning.
>
> Hvilket af ovenstående to udsagn er så sandt ?
Ligningen 0·q = 0 har som du er inde på uendeligt mange løsninger.
Faktisk er ethvert tal q jo løsning.
Derfor skulle 0/0 være lig med samtlige tal på én gang. Vi kan dog ikke
acceptere at ét divisionsstykke giver mange facitter, og da der ikke er
nogen god måde at udvælge én blandt de uendeligt mange løsninger, kan
0/0 ikke opfattes som et tal.
Hverken »alle tal« eller »ingen tal« er »et tal«.
--
Jeppe Stig Nielsen <URL: http://jeppesn.dk/>. «
"Je n'ai pas eu besoin de cette hypothèse (I had no need of that
hypothesis)" --- Laplace (1749-1827)
| |
Torben W. Hansen (07-07-2004)
| Kommentar
Fra : Torben W. Hansen |
Dato : 07-07-04 14:36 |
|
"Jeppe Stig Nielsen" <mail@jeppesn.dk> skrev i en meddelelse
news:40EBCFFF.2E64C34E@jeppesn.dk...
> "Torben W. Hansen" wrote:
> Ligningen 0·q = 0 har som du er inde på uendeligt mange løsninger.
> Faktisk er ethvert tal q jo løsning.
Ja
> Derfor skulle 0/0 være lig med samtlige tal på én gang. Vi kan dog ikke
> acceptere at ét divisionsstykke giver mange facitter,
Nej.... men hvis alle andre tal, med undtagelse af et enkelt, kunne
udelukkes som løsning - hvad så ?
> og da der ikke er nogen god måde at udvælge én blandt de uendeligt mange
løsninger,
Der er så her, at grænseværdien 1 måske kunne spille en rolle ?
eller måske Kronecker Delta d0, x
http://mathworld.wolfram.com/KroneckerDelta.html som
Martin Larsen nævner noget om ?
Jeg vil lige understrege at jeg i dagligdagen opfatter 0/0 som udefineret,
men sådan lidt i smug kan jeg ikke lade være med at undre mig over
problemstillingen - også fordi jeg mener at have hørt, at i en eller anden
sammenhæng at 0/0 = 1.
--
Med venlig hilsen
Torben W. Hansen
-------------------------------------------------------------------------
>> Her skulle stå et checket citat, men kunne ikke lige finde på noget <<
Monty Phyton
-------------------------------------------------------------------------
| |
Kristian Damm Jensen (07-07-2004)
| Kommentar
Fra : Kristian Damm Jensen |
Dato : 07-07-04 19:55 |
|
"Torben W. Hansen" <nospam@cybercity.dk> wrote in message news:<ccgacb$2vln$1@news.cybercity.dk>...
> > "Jeppe Stig Nielsen" <mail@jeppesn.dk> skrev i en meddelelse
> news:40EADE31.8E00B792@jeppesn.dk...
> > "Torben W. Hansen" wrote:
>
> Tak for det uddybende svar,
>
> Dette emne tilhører vist den philosofiske del af matematikken.
Bestemt ikke. Det er ret ligetil. Men vi er nede at rode i
fundamentet, hvor man skal passe meget på med, hvilke ting man tager
for givet. Man kommer nemt til at lave cirkelslutniger.
> > Hvad skal 0/0 betyde? Et tal q med 0·q=0. Men *alle* tal q opfylder jo
> > at 0·q=0. Derfor er *alle* tal lige gode kandidater til at være facit
> > til divisionsstykket 0/0. Af den grund lader vi 0/0 forblive udefineret.
> >
> > Man kan altså aldrig dividere med nul!
>
> Hvis man betragter 0·q = 0 som en ligning,
>
> - har den så ingen eller har den uendelig mange løsninger ?
Lad os starte med at slå fast, hvad der menes med at et tal er en
løsning til ligningen: Et tal er løsning til en ligning (i en
variabel), hvis det ved indsættelse på variablens plads bevarer
ligheden.
> 1) Umiddelbart ville jeg sige uendelig mange.
Hvilket er korrekt.
> men ifølge kriteriet :
> " Derfor er *alle* tal lige gode kandidater til at være facit til
> divisionsstykket 0/0.
> Af den grund lader vi 0/0 forblive udefineret "
>
> 2) så er løsningen udefineret - altså har 0·q = 0 ingen løsning.
Nej. At 0/0 er udefineret er *en følge* af at 0·q = 0 har uendelig
mange løsninger.
Du laver en cirkelslutning.
Argumentet er
1) *Hvis* 0/0 er veldefineret og har en entydig værdi q, så kan vi
opskrive ligningen 0/0=q.
2) Men hvis q opfylder q=0/0, så må q lige så vel opfylde 0·q = 0.
3) Men der er uendelig mange tal, der opfylder 0·q = 0, hvilket er i
modstrid med med antagelsen om at q (og dermed 0/0) er entydig.
VH
Kristian
| |
Torben W. Hansen (08-07-2004)
| Kommentar
Fra : Torben W. Hansen |
Dato : 08-07-04 10:35 |
|
"Kristian Damm Jensen" <damm@ofir.dk> skrev i en meddelelse
news:2c9e2992.0407071054.1e7eab27@posting.google.com...
> "Torben W. Hansen" <nospam@cybercity.dk> wrote in message
news:<ccgacb$2vln$1@news.cybercity.dk>...
> Nej. At 0/0 er udefineret er *en følge* af at 0·q = 0 har uendelig
> mange løsninger.
Forstået
> Argumentet er
> 1) *Hvis* 0/0 er veldefineret og har en entydig værdi q, så kan vi
> opskrive ligningen 0/0=q.
Ja
> 2) Men hvis q opfylder q=0/0, så må q lige så vel opfylde 0·q = 0.
Ja
> 3) Men der er uendelig mange tal, der opfylder 0·q = 0, hvilket er i
> modstrid med med antagelsen om at q (og dermed 0/0) er entydig.
Ja
Men hvor mange tal opfylder 0·q = 0 og som giver grænseværdien lim_x->0, x/x
= 1 ?
(NB! Jeg påstår *ikke* at dette er et bevis for 0/0 = 1)
--
Med venlig hilsen
Torben W. Hansen
-------------------------------------------------------------------------
>> Her skulle stå et checket citat, men kunne ikke lige finde på noget <<
Monty Phyton
-------------------------------------------------------------------------
| |
Rasmus Villemoes (10-07-2004)
| Kommentar
Fra : Rasmus Villemoes |
Dato : 10-07-04 22:57 |
|
Jeppe Stig Nielsen <mail@jeppesn.dk> writes:
> Martin Larsen wrote:
>>
>> Det er også forkert at skrive (X\{0},*), for derved antages
>> at nulreglen gælder, hvilket ikke behøver at være tilfældet
>> for en ring.
>
> Ja, det ville have været mere logisk at skrive at (X,*) skulle være en
> monoide. Men så alligevel ikke, der er jo ikke noget forkert i at se på
> (X\{0},*) selvom den kan indeholde singulære elementer (ikke-enheder).
Jo, der er det forkerte at hvis X indeholder en nuldivisor (fx et
nilpotent element) er * ikke en afbildning X\{0} × X\{0} --> X\{0}.
Mvh Rasmus
--
| |
Jeppe Stig Nielsen (10-07-2004)
| Kommentar
Fra : Jeppe Stig Nielsen |
Dato : 10-07-04 23:22 |
|
Rasmus Villemoes wrote:
>
> > Ja, det ville have været mere logisk at skrive at (X,*) skulle være en
> > monoide. Men så alligevel ikke, der er jo ikke noget forkert i at se på
> > (X\{0},*) selvom den kan indeholde singulære elementer (ikke-enheder).
>
> Jo, der er det forkerte at hvis X indeholder en nuldivisor (fx et
> nilpotent element) er * ikke en afbildning X\{0} × X\{0} --> X\{0}.
Det er jo rigtigt!
--
Jeppe Stig Nielsen <URL: http://jeppesn.dk/>. «
"Je n'ai pas eu besoin de cette hypothèse (I had no need of that
hypothesis)" --- Laplace (1749-1827)
| |
Lasse Reichstein Nie~ (07-07-2004)
| Kommentar
Fra : Lasse Reichstein Nie~ |
Dato : 07-07-04 15:55 |
|
"Torben W. Hansen" <nospam@cybercity.dk> writes:
>> og da der ikke er nogen god måde at udvælge én blandt de uendeligt mange
>> løsninger,
> Der er så her, at grænseværdien 1 måske kunne spille en rolle ?
men grænseværdien for x/x, x->0, er ikke den eneste mulighed. Hvad med
grænseværdien for 0/x, x->0. Eller hvad med 42x/x, x->0?
> eller måske Kronecker Delta d0, x
Noget arbitrær. Hvad med delta_2?
> Jeg vil lige understrege at jeg i dagligdagen opfatter 0/0 som udefineret,
Godt valg!
> men sådan lidt i smug kan jeg ikke lade være med at undre mig over
> problemstillingen - også fordi jeg mener at have hørt, at i en eller anden
> sammenhæng at 0/0 = 1.
Men det er det ikke. Det *er* udefineret.
/L
--
Lasse Reichstein Nielsen - lrn@hotpop.com
DHTML Death Colors: <URL: http://www.infimum.dk/HTML/rasterTriangleDOM.html>
'Faith without judgement merely degrades the spirit divine.'
| |
Torben W. Hansen (07-07-2004)
| Kommentar
Fra : Torben W. Hansen |
Dato : 07-07-04 17:06 |
|
"Lasse Reichstein Nielsen" <lrn@hotpop.com> skrev i en meddelelse
news:658zrho2.fsf@hotpop.com...
> "Torben W. Hansen" <nospam@cybercity.dk> writes:
>
> >> og da der ikke er nogen god måde at udvælge én blandt de uendeligt
mange
> >> løsninger,
> > Der er så her, at grænseværdien 1 måske kunne spille en rolle ?
>
> men grænseværdien for x/x, x->0, er ikke den eneste mulighed. Hvad med
> grænseværdien for 0/x, x->0. Eller hvad med 42x/x, x->0?
Hvorfor er disse relavnte ?
grænseværdien for 0/x, x->0 = 0
grænseværdien for 42x/x, x->0 = 42
grænseværdien for x/x, x->0 = 1
hvilket var sidstnævnte jeg hentydede til.
> > men sådan lidt i smug kan jeg ikke lade være med at undre mig over
> > problemstillingen - også fordi jeg mener at have hørt, at i en eller
anden
> > sammenhæng at 0/0 = 1.
> Men det er det ikke. Det *er* udefineret.
Man har vel lov at philosofere lidt ikke ?
Tilsyneladende drøftes værdien af 0^0, hvilket ligeså absurd.
--
Med venlig hilsen
Torben W. Hansen
-------------------------------------------------------------------------
>> Her skulle stå et checket citat, men kunne ikke lige finde på noget <<
Monty Phyton
-------------------------------------------------------------------------
| |
Lasse Reichstein Nie~ (07-07-2004)
| Kommentar
Fra : Lasse Reichstein Nie~ |
Dato : 07-07-04 18:12 |
|
"Torben W. Hansen" <nospam@cybercity.dk> writes:
> "Lasse Reichstein Nielsen" <lrn@hotpop.com> skrev i en meddelelse
> news:658zrho2.fsf@hotpop.com...
>> "Torben W. Hansen" <nospam@cybercity.dk> writes:
>>
>> >> og da der ikke er nogen god måde at udvælge én blandt de uendeligt
> mange
>> >> løsninger,
>> > Der er så her, at grænseværdien 1 måske kunne spille en rolle ?
>>
>> men grænseværdien for x/x, x->0, er ikke den eneste mulighed. Hvad med
>> grænseværdien for 0/x, x->0. Eller hvad med 42x/x, x->0?
>
> Hvorfor er disse relavnte ?
>
> grænseværdien for 0/x, x->0 = 0
> grænseværdien for 42x/x, x->0 = 42
> grænseværdien for x/x, x->0 = 1
>
> hvilket var sidstnævnte jeg hentydede til.
Netop. Hvorfor er den sidste mere relevant end de foregående?
For alle værdier, n, kan man finde en funktion, f(x)=g(x)/h(x), så
lim_{x->0} f(x) = n
og
g(x)->0 og h(x)->0 for x->0
> Tilsyneladende drøftes værdien af 0^0, hvilket ligeså absurd.
Der kan man igen ramme vilkårlige værdier ved at vælge en funktion
der "går mod 0^0" (f(x)=g(x)^h(x), g(x)->0 og h(x)->0 for x->0)
De mest åbenlyser er
1) 0^x, x->0,
2) x^0, x->0, og
3) x^x, x->0
som har græseværdierne 0, 1 og 1.
/L
--
Lasse Reichstein Nielsen - lrn@hotpop.com
DHTML Death Colors: <URL: http://www.infimum.dk/HTML/rasterTriangleDOM.html>
'Faith without judgement merely degrades the spirit divine.'
| |
Torben W. Hansen (08-07-2004)
| Kommentar
Fra : Torben W. Hansen |
Dato : 08-07-04 10:05 |
|
"Lasse Reichstein Nielsen" <lrn@hotpop.com> skrev i en meddelelse
news:1xjnrbbe.fsf@hotpop.com...
> "Torben W. Hansen" <nospam@cybercity.dk> writes:
> Netop. Hvorfor er den sidste mere relevant end de foregående?
Jeg er ikke sikker på at jeg har fanget din pointe, men vi drøftede x/x for
x->0.
--
Med venlig hilsen
Torben W. Hansen
-------------------------------------------------------------------------
>> Her skulle stå et checket citat, men kunne ikke lige finde på noget <<
Monty Phyton
-------------------------------------------------------------------------
| |
Jeppe Stig Nielsen (07-07-2004)
| Kommentar
Fra : Jeppe Stig Nielsen |
Dato : 07-07-04 20:01 |
|
Lasse Reichstein Nielsen wrote:
>
> men grænseværdien for x/x, x->0, er ikke den eneste mulighed. Hvad med
> grænseværdien for 0/x, x->0. Eller hvad med 42x/x, x->0?
Betragt division som en funktion
f(x,y) = x/y
Så er definitionsmængden for f lig med planen R² fraregnet førsteaksen
y=0.
Betragt en lille cirkelskive med centrum i (0,0). Uanset hvor lille
cirkelskiven er, antager f alle reelle værdier inden for den. Det viser
hvor »vild« f er nær (0,0).
Betragt derefter et punkt (a,0) hvor a ikke er nul. Hvis man vælger
tilstrækkeligt små cirkelskiver om (a,0), kan man opnå at f kun antager
numerisk meget store værdier. Man kan derfor på sin vis sige at a/0 er
plus/minus uendelig når a *ikke* er nul.
--
Jeppe Stig Nielsen <URL: http://jeppesn.dk/>. «
"Je n'ai pas eu besoin de cette hypothèse (I had no need of that
hypothesis)" --- Laplace (1749-1827)
| |
Lasse Reichstein Nie~ (08-07-2004)
| Kommentar
Fra : Lasse Reichstein Nie~ |
Dato : 08-07-04 11:01 |
|
"Torben W. Hansen" <nospam@cybercity.dk> writes:
> Men hvor mange tal opfylder 0·q = 0
(alle tal, som værdier af q, opfylder ligningen, altså uendeligt mange)
> og som giver grænseværdien lim_x->0, x/x = 1 ?
Men q optræder slet ikke i den lighed ... så alle værdier af q
giver den grænseværdi.
Ligningen "0·q = 0" er en *åben* ligning, da den har en "fri"
variabel: q. For åbne ligninger spekulerer man på hvilke værdier man
kan tildele til de frie variable for at gøre ligningen sand. Mængden
af disse tildelinger, løsningsmængden, er derfor interessant.
Ligheden "lim_x->0, x/x = 1" er lukket. Der er ingen frie variable
(x'et i "x/x" henviser til det x'et i "lim_x->0"). Så enten er
ligheden rigtig eller forkert. I dette tilfælde er den rigtig (det
var derfor vi skrev den), hvorimod "2+2=5" ville være falsk.
Det giver altså ikke særlig god mening at snakke om løsningsmængden
for ligheden, i.e., de tal der opfylder den.
/L
--
Lasse Reichstein Nielsen - lrn@hotpop.com
DHTML Death Colors: <URL: http://www.infimum.dk/HTML/rasterTriangleDOM.html>
'Faith without judgement merely degrades the spirit divine.'
| |
Torben W. Hansen (08-07-2004)
| Kommentar
Fra : Torben W. Hansen |
Dato : 08-07-04 12:16 |
|
"Lasse Reichstein Nielsen" <lrn@hotpop.com> skrev i en meddelelse
news:4qoi6cnj.fsf@hotpop.com...
> "Torben W. Hansen" <nospam@cybercity.dk> writes:
>
>
> > Men hvor mange tal opfylder 0·q = 0
>
> (alle tal, som værdier af q, opfylder ligningen, altså uendeligt mange)
Men hvis q skal opfylde q=x/x og x·q = x for alle værdier af x, inklusive
0,
dvs også q=0/0 og 0·q = 0
så er der vel kun *een* værdi q =1, der gør det ?
(NB! Jeg påstår stadig *ikke* at 0/0 = 1)
--
Med venlig hilsen
Torben W. Hansen
-------------------------------------------------------------------------
>> Her skulle stå et checket citat, men kunne ikke lige finde på noget <<
Monty Phyton
-------------------------------------------------------------------------
| |
Kristian Damm Jensen (08-07-2004)
| Kommentar
Fra : Kristian Damm Jensen |
Dato : 08-07-04 19:59 |
|
"Torben W. Hansen" <nospam@cybercity.dk> wrote in message news:<ccjaei$2orr$1@news.cybercity.dk>...
> "Lasse Reichstein Nielsen" <lrn@hotpop.com> skrev i en meddelelse
> news:4qoi6cnj.fsf@hotpop.com...
> > "Torben W. Hansen" <nospam@cybercity.dk> writes:
> >
> >
> > > Men hvor mange tal opfylder 0·q = 0
> >
> > (alle tal, som værdier af q, opfylder ligningen, altså uendeligt mange)
>
> Men hvis q skal opfylde q=x/x og x·q = x for alle værdier af x,
Men hvorfor ønsker du nu at finde en løsning for q for begge disse
ligninger?
Hvis det er fordi du generaliserer fra 0/0 til x/x og fra 0·q = 0 til
x·q = x, så må jeg spørge: Hvorfor netop denne generalisering? Som
Jeppe har været inde på, så bør du snarere betragte x/y og y·q = x.
Det gør ikke 0/0 mere meningsfuld, men det giver et klarere billede
af, hvor problemet ligger.
lim_x->0 x/x = 1 (det har vi allerede etableret)
lim_x->0 x/y = 0/y (hvilket for y=0 er udefineret)
lim_y->0 x/y er udefineret (eller om du vil uendelig, men uendelig er
ikke et tal)
Hvis du nu ønsker at lade *både* x og y gå mod nul må du gøre det
langs en mere eller mindre tilfældig kurve i R^2. De to simpleste, x=0
og y=0, svarer til først at lade den ene gå mod nul og dernæste den
anden. Men du vil få et forskelligt svar, afhængig af, hvilken kurve
du følger:
y=0 svarer til først at lade y gå mod nul og dernæst x. Men x/y->oo
for y->0, så du ender med "at dividere uendelig med 0", hvilket er
noget vås.
x=0 svarer til først at lade x gå mod nul og dernæst y. Men så har du
reduceret stillingen til at finde lim_y->0 0/y, hvilket er 0.
Endelig kan du følge x=y, hvilket svarer til at finde lim_x->0 x/x,
der som allerede konstateret er 1.
Andre kurver vil give andre resultater - formodentlig kan du finde
ethvert tænkeligt resultat, hvis du vil.
Hvilken værdi vil du da vælge for lim_x->0,y->0 x/y ?
> inklusive
> 0,
> dvs også q=0/0 og 0·q = 0
> så er der vel kun *een* værdi q =1, der gør det ?
Denne del har Lasse vist givet et fyldestgørende svar på.
> (NB! Jeg påstår stadig *ikke* at 0/0 = 1)
Næh, men det virker på mig, som om du desperat forsøger at tildele en
værdi.
Hvad er det egentlig du prøver, med dine argumenter?
VH
Kristian
| |
Torben W. Hansen (08-07-2004)
| Kommentar
Fra : Torben W. Hansen |
Dato : 08-07-04 21:53 |
|
"Kristian Damm Jensen" <damm@ofir.dk> skrev i en meddelelse
news:2c9e2992.0407081058.61d67bde@posting.google.com...
> > (NB! Jeg påstår stadig *ikke* at 0/0 = 1)
>
> Næh, men det virker på mig, som om du desperat forsøger at tildele en
> værdi.
Næ bestemt ikke, tværtimod - selv om du og andre synes at det er indlysende
at 0/0 er udefineret, så kan jeg "sku' it gjøre for" at jeg synes der var
noget at drøfte, derfor - villig til at løbe risikoen for at blive buuh'et
ud - spurgte jeg på gruppen her, og jeg sætter iøvrigt stor pris på de mange
svar.
> Hvad er det egentlig du prøver, med dine argumenter?
Ganske enkelt, at få de bedste forklaringer, men netop et sådant spørgsmål
(x/x for x =0) er lidt "asking for trouble", og måske særlig på en udmærket
videnskabgruppe som denne, hvor det kan være ganske vanskeligt at signalere
præcis hvad det egentlig er man ønsker at få svar på / forstå. Jeg har på
intet tidspunkt haft til hensigt at provokere - kun at stille spørgsmål -
men emnet i sig selv kan måske virke provokerende/meningsløst på nogen.
Iøvrigt har jeg ikke fået læst alle svar så grundigt som jeg gerne ville,
men når debatten her formodentlig slutter nu, kan jeg få tid til at gennemgå
dem endnu engang.
--
Med venlig hilsen
Torben W. Hansen
-------------------------------------------------------------------------
>> Her skulle stå et checket citat, men kunne ikke lige finde på noget <<
Monty Phyton
-------------------------------------------------------------------------
| |
Kristian Damm Jensen (09-07-2004)
| Kommentar
Fra : Kristian Damm Jensen |
Dato : 09-07-04 09:48 |
|
"Torben W. Hansen" <nospam@cybercity.dk> wrote in message news:<cckc7f$1ca2$1@news.cybercity.dk>...
> "Kristian Damm Jensen" <damm@ofir.dk> skrev i en meddelelse
> news:2c9e2992.0407081058.61d67bde@posting.google.com...
>
> > > (NB! Jeg påstår stadig *ikke* at 0/0 = 1)
> >
> > Næh, men det virker på mig, som om du desperat forsøger at tildele en
> > værdi.
> Næ bestemt ikke, tværtimod - selv om du og andre synes at det er indlysende
> at 0/0 er udefineret, så kan jeg "sku' it gjøre for" at jeg synes der var
> noget at drøfte, derfor - villig til at løbe risikoen for at blive buuh'et
> ud - spurgte jeg på gruppen her, og jeg sætter iøvrigt stor pris på de mange
> svar.
Jeg håber da ikke, at du føler dig buuh'et ud. Jeg har efter bedste
evne forsøgt at give meningsfulde svar. Jeg mener, at andre har gjort
det samme.
Spørgsmålet er nemlig ikke meningsløst og heller ikke fuldkommen
trivielt. Det rammer bare i en eller anden forstand under det niveau,
hvor man sædvanligvis udøver matematik. (Ikke fagligt - det er ikke
fordi jeg mener at det er børnehavestof - men det ligger i fundamentet
af matematikken, hvor man ikke kommer så tit.)
Det er i den forstand i klasse med spørgsmål som: "Hvad er værdien af
0^0?" og "Er 0,9999.... = 1,0000000...?"
Det sidste spørgsmål er godt nok lettere at svare på, fordi der *er*
et entydigt svar. Det er straks lidt vanskelige, når man skal
forklare, hvorfor der *ikke* findes nogen værdi for udtrykket 0/0.
>
> > Hvad er det egentlig du prøver, med dine argumenter?
> Ganske enkelt, at få de bedste forklaringer, men netop et sådant spørgsmål
> (x/x for x =0) er lidt "asking for trouble", og måske særlig på en udmærket
> videnskabgruppe som denne, hvor det kan være ganske vanskeligt at signalere
> præcis hvad det egentlig er man ønsker at få svar på / forstå. Jeg har på
> intet tidspunkt haft til hensigt at provokere - kun at stille spørgsmål -
> men emnet i sig selv kan måske virke provokerende/meningsløst på nogen.
Jeg har på intet tidspunkt opfattet dine indlæg og spørgsmål som
provokerende - i så fald havde du entet fået det at vide, eller også
var jeg holdt op med at svare
Men jeg undrer mig over at du bliver ved. Der er nu givet adskillige
forskellige forklaringer på, hvorfor 0/0 ikke har en værdi, men de kan
alle reduceres til: Hvis 0/0 har en værdi, skal både udtrykket og
værdien overholde de almindelige regneregler - og det gør 0/0 ikke.
Man kan opstille mange argumenter for at 0/0 har en værdi. Problemet
er bare, at man kan opstille dem sådan så man kan få 0/0 til at få en
vilkårlig værdi, hvilket netop viser, at det ikke har en værdi.
<snip>
VH
Kristian
| |
Torben W. Hansen (09-07-2004)
| Kommentar
Fra : Torben W. Hansen |
Dato : 09-07-04 12:20 |
|
"Kristian Damm Jensen" <damm@ofir.dk> skrev i en meddelelse
news:2c9e2992.0407090048.2d38561d@posting.google.com...
> "Torben W. Hansen" <nospam@cybercity.dk> wrote in message
news:<cckc7f$1ca2$1@news.cybercity.dk>...
> Jeg håber da ikke, at du føler dig buuh'et ud. Jeg har efter bedste
> evne forsøgt at give meningsfulde svar. Jeg mener, at andre har gjort
> det samme.
Jeg føler mig bestemt ikke buuh'et ud, hvilket jeg heller ikke skrev, og der
er givet gode og ihærdige svar, som jeg også har givet udtryk for,
- men jeg forsøgte blot at svare på dit spørgsmål: "Hvad er det egentlig du
prøver, med dine argumenter? "
> men det ligger i fundamentet af matematikken, hvor man ikke kommer så
tit.)
Netop - derfor er det måske et "ikke særlig endevendt" emne - ihvertfald for
mit vedkommende.
> Jeg har på intet tidspunkt opfattet dine indlæg og spørgsmål som
> provokerende - i så fald havde du entet fået det at vide, eller også
> var jeg holdt op med at svare
Det var rart ...det ligger nok i min natur, at der nogle gange skal
mere end een forklaring til, for at "skrotte" en ide, der har sat sig lidt
fast.
> Men jeg undrer mig over at du bliver ved. Der er nu givet adskillige
> forskellige forklaringer på, hvorfor 0/0 ikke har en værdi,
Faktisk forsøgte jeg at give indtryk af ikke at blive ved med at tærske
langhalm på emnet og skrev i tråden oven
<snip>
Det har været en spændende debat og jeg holder selvfølgelig også fast i at
0/0 er udefineret, men jeg er måske lettere at overtale til tro på, at det
kunne have værdien 1 end de fleste af jer andre. Som også nævnt tidligere er
der jo også nogle som synes 0^0 er af interesse.
- Tak til jer alle for de mange svar...
<snip>
- men min "opdragelse" (-: Bornholmske - du ved, der hvor vi skærer af
kosteskaftet, når mønterne er sluppet op forbyder mig dog at undlade at
besvare efterfølgende respons heriblandt dit...
Kristian - og til alle jer andre
Tak for svarene !!!
--
Med venlig hilsen
Torben W. Hansen
-------------------------------------------------------------------------
>> Her skulle stå et checket citat, men kunne ikke lige finde på noget <<
Monty Phyton
-------------------------------------------------------------------------
| |
Lasse Reichstein Nie~ (08-07-2004)
| Kommentar
Fra : Lasse Reichstein Nie~ |
Dato : 08-07-04 11:06 |
|
"Torben W. Hansen" <nospam@cybercity.dk> writes:
> Jeg er ikke sikker på at jeg har fanget din pointe, men vi drøftede x/x for
> x->0.
Det er 1, det har der ikke værer den store diskussion om.
Vi snakker også om hvorvidt man kan tildele "0/0" en værdi. Det er
blevet sagt at "1" måske er et rimeligt forslag.
("Der er så her, at grænseværdien 1 måske kunne spille en rolle ?",
<URL:news:ccgu95$egu$1@news.cybercity.dk>)
Jeg vil bare pointere at "1" ikke er bedre end "42" på nogen måde (ud
over at være kortere at skrive :).
/L
--
Lasse Reichstein Nielsen - lrn@hotpop.com
DHTML Death Colors: <URL: http://www.infimum.dk/HTML/rasterTriangleDOM.html>
'Faith without judgement merely degrades the spirit divine.'
| |
Lasse Reichstein Nie~ (08-07-2004)
| Kommentar
Fra : Lasse Reichstein Nie~ |
Dato : 08-07-04 15:21 |
|
"Torben W. Hansen" <nospam@cybercity.dk> writes:
> "Lasse Reichstein Nielsen" <lrn@hotpop.com> skrev i en meddelelse
> news:4qoi6cnj.fsf@hotpop.com...
[opfylder 0·q = 0]
>> (alle tal, som værdier af q, opfylder ligningen, altså uendeligt mange)
> Men hvis q skal opfylde q=x/x og x·q = x for alle værdier af x, inklusive
> 0,
Udtrykket x/x giver ikke mening for x=0. Intet tal opfylder noget der
ikke giver mening.
Hvis et tal, q, skal opfylde
for alle x: x·q = x
så skal q være 1. Det er vi ikke ueneige om (1 er den mulitiplikative
enhed i vores normale talsystemer).
> dvs også q=0/0
Intet tal er lig med 0/0, for 0/0 er ikke et udtryk der beskriver et tal.
> og 0·q = 0
> så er der vel kun *een* værdi q =1, der gør det ?
Nej, der er ingen tal q der opfylder "q=0/0". Lige så lidt som der er tal
der opfylder "q=flødeskumskage".
> (NB! Jeg påstår stadig *ikke* at 0/0 = 1)
Men du lader som om "0/0" kan behandles som om det var et tal. Det kan
det ikke.
Udtrykket "0/0" er bare tegn på en skærm/bits i en computer/kridt på
en tavle (alt efter hvor man skriver det). Det har ikke en værdi,
specielt ikke en der er et tal.
Hvis du skriver udtrykket "2+2" så er vi enige om at almindelige
regneregler tillader dig at sige at *udtrykket* har *værdien* 4. Men
*udtrykket* "0/0" har ikke nogen værdi overhovedet. Det er et
meningsløst udtryk.
/L
--
Lasse Reichstein Nielsen - lrn@hotpop.com
DHTML Death Colors: <URL: http://www.infimum.dk/HTML/rasterTriangleDOM.html>
'Faith without judgement merely degrades the spirit divine.'
| |
Torben W. Hansen (08-07-2004)
| Kommentar
Fra : Torben W. Hansen |
Dato : 08-07-04 16:23 |
|
"Lasse Reichstein Nielsen" <lrn@hotpop.com> skrev i en meddelelse
news:r7rm4m23.fsf@hotpop.com...
> "Torben W. Hansen" <nospam@cybercity.dk> writes:
> [opfylder 0·q = 0]
> >> (alle tal, som værdier af q, opfylder ligningen, altså uendeligt mange)
>
> > Men hvis q skal opfylde q=x/x og x·q = x for alle værdier af x,
inklusive
> > 0,
>
> Udtrykket x/x giver ikke mening for x=0. Intet tal opfylder noget der
> ikke giver mening.
Her synes jeg til gengæld at du foretager en cirkelslutning, fordi du som
udgangspunkt anvender argumentet "x/x for x=0" er meningsløst (hvilket jo er
det som vi er ved at undersøge og dermed ikke kan have en slutning på) til
at bevise "x/x ikke giver mening for x=0".
> Nej, der er ingen tal q der opfylder "q=0/0". Lige så lidt som der er tal
> der opfylder "q=flødeskumskage".
Mmmm.... sådan een kunne jeg godt spise lige nu
Det har været en spændende debat og jeg holder selvfølgelig også fast i at
0/0 er udefineret, men jeg er måske lettere at overtale til tro på, at det
kunne have værdien 1 end de fleste af jer andre. Som også nævnt tidligere er
der jo også nogle som synes 0^0 er af interesse.
Tak til jer alle for de mange svar...
(NB! Selvom det kunne se sådan ud, så påstår jeg stadig *ikke* at 0/0 = 1)
--
Med venlig hilsen
Torben W. Hansen
-------------------------------------------------------------------------
>> Her skulle stå et checket citat, men kunne ikke lige finde på noget <<
Monty Phyton
-------------------------------------------------------------------------
| |
Henrik Christian Gro~ (08-07-2004)
| Kommentar
Fra : Henrik Christian Gro~ |
Dato : 08-07-04 17:08 |
|
"Torben W. Hansen" <nospam@cybercity.dk> writes:
> Det har været en spændende debat og jeg holder selvfølgelig også fast i at
> 0/0 er udefineret, men jeg er måske lettere at overtale til tro på, at det
> kunne have værdien 1
Det har ingen værdi!
> end de fleste af jer andre. Som også nævnt tidligere er
> der jo også nogle som synes 0^0 er af interesse.
Det var mig der bragte det op, så jeg må hellere lige prøve at redde
den. Der er ingen (med forstand på tingene) der mener 0^0 kunne have en
værdi. De "diskussioner" der "foregår" udspringer ikke af et ønske om at
tildele en værdi til udtrykket 0^0. Hvis de har et formål ud over at få
lidt tid til at gå, er det nok at demonstrere hvor mange forskellige
steder man kan få 0^0 til at dukke op.
..Henrik
--
Portland cement, see Concrete (in another book).
-- fra indexet i "Concrete Mathematics"
| |
Torben W. Hansen (08-07-2004)
| Kommentar
Fra : Torben W. Hansen |
Dato : 08-07-04 17:57 |
|
"Henrik Christian Grove" <grove@sslug.dk> skrev i en meddelelse
news:7geknmcwin.fsf@serena.fsr.ku.dk...
> "Torben W. Hansen" <nospam@cybercity.dk> writes:
> Det har ingen værdi!
Måske en lille bitte smule ?
værdi = lim_{lille bitte smule -> ingenting} (lille bitte smule / lille
bitte smule)
> Det var mig der bragte det op, så jeg må hellere lige prøve at redde
> den.
Okay da
--
Med venlig hilsen
Torben W. Hansen
-------------------------------------------------------------------------
>> Her skulle stå et checket citat, men kunne ikke lige finde på noget <<
Monty Phyton
-------------------------------------------------------------------------
| |
Jeppe Stig Nielsen (09-07-2004)
| Kommentar
Fra : Jeppe Stig Nielsen |
Dato : 09-07-04 19:59 |
|
Henrik Christian Grove wrote:
>
> Det var mig der bragte det op, så jeg må hellere lige prøve at redde
> den. Der er ingen (med forstand på tingene) der mener 0^0 kunne have en
> værdi.
Jo da. 0^0 (nul i nulte) er da lig med 1 (én).
--
Jeppe Stig Nielsen <URL: http://jeppesn.dk/>. «
"Je n'ai pas eu besoin de cette hypothèse (I had no need of that
hypothesis)" --- Laplace (1749-1827)
| |
Stefan Holm (09-07-2004)
| Kommentar
Fra : Stefan Holm |
Dato : 09-07-04 20:20 |
|
Jeppe Stig Nielsen <mail@jeppesn.dk> writes:
> Jo da. 0^0 (nul i nulte) er da lig med 1 (én).
Hørt. Et tomt produkt skal selvfølgelig være lig den multiplikative
enhed.
--
Stefan Holm
"Yeah... that could be one reason there's a lynch mob after me."
| |
Jeppe Stig Nielsen (09-07-2004)
| Kommentar
Fra : Jeppe Stig Nielsen |
Dato : 09-07-04 20:38 |
|
Stefan Holm wrote:
>
> > Jo da. 0^0 (nul i nulte) er da lig med 1 (én).
>
> Hørt. Et tomt produkt skal selvfølgelig være lig den multiplikative
> enhed.
For ethvert element a (singulært eller ej) i en multiplikativ monoide
kan man definere potenser af a ved at sætte
a^0 = 1 (monoidens neutral-element)
og rekusrsivt
a^n = a·a^{n-1}
således at alle ikkenegative, heltallige potenser af a er definerede.
--
Jeppe Stig Nielsen <URL: http://jeppesn.dk/>. «
"Je n'ai pas eu besoin de cette hypothèse (I had no need of that
hypothesis)" --- Laplace (1749-1827)
| |
Torben W. Hansen (10-07-2004)
| Kommentar
Fra : Torben W. Hansen |
Dato : 10-07-04 09:45 |
|
"Jeppe Stig Nielsen" <mail@jeppesn.dk> skrev i en meddelelse
news:40EEF40F.2C5DA6EA@jeppesn.dk...
> For ethvert element a (singulært eller ej) i en multiplikativ monoide
> kan man definere potenser af a ved at sætte
>
> a^0 = 1 (monoidens neutral-element)
>
> og rekusrsivt
>
> a^n = a·a^{n-1}
>
> således at alle ikkenegative, heltallige potenser af a er definerede.
Hvad er en multiplikativ monoide ?
--
Med venlig hilsen
Torben W. Hansen
-------------------------------------------------------------------------
>> Her skulle stå et checket citat, men kunne ikke lige finde på noget <<
Monty Phyton
-------------------------------------------------------------------------
| |
Jeppe Stig Nielsen (10-07-2004)
| Kommentar
Fra : Jeppe Stig Nielsen |
Dato : 10-07-04 11:55 |
|
"Torben W. Hansen" wrote:
>
> Hvad er en multiplikativ monoide ?
En monoide er en mængde S udstyret med en regneoperation »gange« således
at for alle a og b fra S er a·b et veldefineret element i S, og der
gælder associativitet
(a·b)·c = a·(b·c) for alle a, b og c fra S
Endelig skal der være et ét-element kaldet 1 således at
1·a = a = a·1 for alle a tilhørende S
Når jeg skrev multiplikativ monoide og ikke bare monoide, var det for at
understrege at vi omtaler og noterer operationen · som »gange«.
--
Jeppe Stig Nielsen <URL: http://jeppesn.dk/>. «
"Je n'ai pas eu besoin de cette hypothèse (I had no need of that
hypothesis)" --- Laplace (1749-1827)
| |
Torben W. Hansen (10-07-2004)
| Kommentar
Fra : Torben W. Hansen |
Dato : 10-07-04 12:11 |
|
"Jeppe Stig Nielsen" <mail@jeppesn.dk> skrev i en meddelelse
news:40EFCAF5.46398922@jeppesn.dk...
> "Torben W. Hansen" wrote:
> >
> > Hvad er en multiplikativ monoide ?
>
> En monoide er en mængde S udstyret med en regneoperation »gange« således
> at for alle a og b fra S er a·b et veldefineret element i S, og der
> gælder associativitet
>
> (a·b)·c = a·(b·c) for alle a, b og c fra S
>
> Endelig skal der være et ét-element kaldet 1 således at
>
> 1·a = a = a·1 for alle a tilhørende S
>
> Når jeg skrev multiplikativ monoide og ikke bare monoide, var det for at
> understrege at vi omtaler og noterer operationen · som »gange«.
Kan man sige at en monoide er en delmængde (den del der har med
multiplikation at gøre) af definitionen for et tallegeme ?
--
Med venlig hilsen
Torben W. Hansen
-------------------------------------------------------------------------
>> Her skulle stå et checket citat, men kunne ikke lige finde på noget <<
Monty Phyton
-------------------------------------------------------------------------
| |
Stefan Holm (10-07-2004)
| Kommentar
Fra : Stefan Holm |
Dato : 10-07-04 12:50 |
|
"Torben W. Hansen" <nospam@cybercity.dk> writes:
> Kan man sige at en monoide er en delmængde (den del der har med
> multiplikation at gøre) af definitionen for et tallegeme ?
Jeg ville formulere det sådan at et legemes multiplikation (og for den
sags skyld osse dets addition) opfylder monoide-aksiomerne. Der findes
monoider der på ingen måde kan gøres til legemer, så derfor finder jeg
din formulering lidt farlig.
--
Stefan Holm
"She raised her head. She was still trembling. She swallowed."
| |
Torben W. Hansen (10-07-2004)
| Kommentar
Fra : Torben W. Hansen |
Dato : 10-07-04 13:12 |
|
"Stefan Holm" <nospam@algebra.dk> skrev i en meddelelse
news:u4qogytcx.fsf@banach.algebra.dk...
> "Torben W. Hansen" <nospam@cybercity.dk> writes:
>
> > Kan man sige at en monoide er en delmængde (den del der har med
> > multiplikation at gøre) af definitionen for et tallegeme ?
>
> Jeg ville formulere det sådan at et legemes multiplikation (og for den
> sags skyld osse dets addition) opfylder monoide-aksiomerne. Der findes
> monoider der på ingen måde kan gøres til legemer, så derfor finder jeg
> din formulering lidt farlig.
OK - dvs. at monoider strækker sig ud over det at definere et tallegeme ?
--
Med venlig hilsen
Torben W. Hansen
-------------------------------------------------------------------------
>> Her skulle stå et checket citat, men kunne ikke lige finde på noget <<
Monty Phyton
-------------------------------------------------------------------------
| |
Rasmus Villemoes (10-07-2004)
| Kommentar
Fra : Rasmus Villemoes |
Dato : 10-07-04 13:48 |
|
"Torben W. Hansen" <nospam@cybercity.dk> writes:
> "Stefan Holm" <nospam@algebra.dk> skrev i en meddelelse
> news:u4qogytcx.fsf@banach.algebra.dk...
>> "Torben W. Hansen" <nospam@cybercity.dk> writes:
>>
>> > Kan man sige at en monoide er en delmængde (den del der har med
>> > multiplikation at gøre) af definitionen for et tallegeme ?
>>
>> Jeg ville formulere det sådan at et legemes multiplikation (og for den
>> sags skyld osse dets addition) opfylder monoide-aksiomerne. Der findes
>> monoider der på ingen måde kan gøres til legemer, så derfor finder jeg
>> din formulering lidt farlig.
>
> OK - dvs. at monoider strækker sig ud over det at definere et tallegeme ?
Ja, det kan man godt sige. Et hvert tallegeme er, som Stefan påpegede,
også en monoide, men en monoide kommer ikke nødvendigvis fra et
tallegeme.
Lad A være en mængde, og lad # være en binær operation på A (givet to
elementer a og b i A er a#b et nyt element i A). Vi kan så påstå
forskellige ting:
(1) For alle a,b,c i A gælder a#(b#c) = (a#b)#c [associativitet]
(2) Der findes et neutralelement for #, altså et element e der
opfylder e#a = a#e = a for ethvert a i A
(3) Alle elementer har et inverst element, altså for ethvert element a
findes et element b således at a#b = e.
(4) For alle a, b i A er a#b = b#a [kommutativitet].
Et par (A, #) der opfylder (1) og (2) kaldes altså en monoide. Hvis
tillige (3) er opfyldt kalder vi det en gruppe. Et eksempel er mængden
Z = {..., -2, -1, 0, 1, 2, ...} af hele tal; det er en gruppe under
operationen +. En gruppe (altså et par (A, #) som opfylder 1, 2 og 3)
som tillige opfylder (4) kaldes en abelsk [eller kommutativ]
gruppe. Fx er (Z, +) en abelsk gruppe.
Mvh Rasmus
--
| |
Torben W. Hansen (10-07-2004)
| Kommentar
Fra : Torben W. Hansen |
Dato : 10-07-04 14:14 |
|
"Rasmus Villemoes" <burner+usenet@imf.au.dk> skrev i en meddelelse
news:u0leknkjaff.fsf@legolas.imf.au.dk...
> Ja, det kan man godt sige. Et hvert tallegeme er, som Stefan påpegede,
> også en monoide, men en monoide kommer ikke nødvendigvis fra et
> tallegeme.
>
> Lad A være en mængde, og lad # være en binær operation på A (givet to
> elementer a og b i A er a#b et nyt element i A). Vi kan så påstå
> forskellige ting:
>
> (1) For alle a,b,c i A gælder a#(b#c) = (a#b)#c [associativitet]
> (2) Der findes et neutralelement for #, altså et element e der
> opfylder e#a = a#e = a for ethvert a i A
> (3) Alle elementer har et inverst element, altså for ethvert element a
> findes et element b således at a#b = e.
> (4) For alle a, b i A er a#b = b#a [kommutativitet].
>
> Et par (A, #) der opfylder (1) og (2) kaldes altså en monoide. Hvis
> tillige (3) er opfyldt kalder vi det en gruppe. Et eksempel er mængden
> Z = {..., -2, -1, 0, 1, 2, ...} af hele tal; det er en gruppe under
> operationen +. En gruppe (altså et par (A, #) som opfylder 1, 2 og 3)
> som tillige opfylder (4) kaldes en abelsk [eller kommutativ]
> gruppe. Fx er (Z, +) en abelsk gruppe.
En abelsk gruppe (1,2,3,4 er opfyldt), med binær operatorer # svarende
(gange) og (+) er altså det, der definerer et tallegeme ?
--
Med venlig hilsen
Torben W. Hansen
-------------------------------------------------------------------------
>> Her skulle stå et checket citat, men kunne ikke lige finde på noget <<
Monty Phyton
-------------------------------------------------------------------------
| |
Henning Makholm (10-07-2004)
| Kommentar
Fra : Henning Makholm |
Dato : 10-07-04 14:43 |
|
Scripsit "Torben W. Hansen" <nospam@cybercity.dk>
> En abelsk gruppe (1,2,3,4 er opfyldt), med binær operatorer # svarende
> (gange) og (+) er altså det, der definerer et tallegeme ?
Sådan cirka. Mere præcist er et legeme en mængde X der har
a) En operator skrevet + således at (X,+) udgør en abelsk gruppe.
Gruppens neutralelement skrives 0.
b) En operator skrevet * således at (X\{0},*) udgør en abelsk gruppe.
c) De to operatorer opfylder den distributive lov: a*(b+c) = (a*b)+(a*c)
Hvis (X\{0},*) ikke er en abelsk gruppe men kun en kommutativ monoide,
udgør X en *ring*.
--
Henning Makholm "Monsieur, vous êtes fou."
| |
Jeppe Stig Nielsen (10-07-2004)
| Kommentar
Fra : Jeppe Stig Nielsen |
Dato : 10-07-04 15:05 |
|
Henning Makholm wrote:
>
> Sådan cirka. Mere præcist er et legeme en mængde X der har
>
> a) En operator skrevet + således at (X,+) udgør en abelsk gruppe.
> Gruppens neutralelement skrives 0.
>
> b) En operator skrevet * således at (X\{0},*) udgør en abelsk gruppe.
>
> c) De to operatorer opfylder den distributive lov: a*(b+c) = (a*b)+(a*c)
>
> Hvis (X\{0},*) ikke er en abelsk gruppe men kun en kommutativ monoide,
> udgør X en *ring*.
Den behøver endda ikke at være kommutativ. Hvis den ikke er kommutativ,
skal punkt c) vist udvides med en højredistributiv lov.
Visse folk kalder det også en ring hvis (X\{0},*) kun er en semigruppe,
altså hvis der ikke er noget ét-element, men de folk er vist i mindre-
tal.
Hmm, Weisstein opererer med ringe uden »1«, se:
http://mathworld.wolfram.com/Ring.html
http://mathworld.wolfram.com/UnitRing.html
--
Jeppe Stig Nielsen <URL: http://jeppesn.dk/>. «
"Je n'ai pas eu besoin de cette hypothèse (I had no need of that
hypothesis)" --- Laplace (1749-1827)
| |
Martin Larsen (10-07-2004)
| Kommentar
Fra : Martin Larsen |
Dato : 10-07-04 15:17 |
|
"Jeppe Stig Nielsen" <mail@jeppesn.dk> skrev i en meddelelse news:40EFF783.7968F0C1@jeppesn.dk...
>
> Den behøver endda ikke at være kommutativ. Hvis den ikke er kommutativ,
> skal punkt c) vist udvides med en højredistributiv lov.
>
Ja. Og ikke kommutative legemer betegnes også skævlegeme eller
divisionsring.
Mvh
Martin
| |
Stefan Holm (10-07-2004)
| Kommentar
Fra : Stefan Holm |
Dato : 10-07-04 15:32 |
|
Jeppe Stig Nielsen <mail@jeppesn.dk> writes:
> Visse folk kalder det også en ring hvis (X\{0},*) kun er en
> semigruppe, altså hvis der ikke er noget ét-element, men de folk er
> vist i mindre- tal.
Det er mit indtryk at det afhænger af området. I C*-algebra-teori er
det fx meget almindeligt at se på ikke-unitale algebraer - der er for
mange interessante eksempler i denne kategori til at man kan se bort
fra dem.
--
Stefan Holm
"Deres kødøkser, Ed?"
| |
Martin Larsen (10-07-2004)
| Kommentar
Fra : Martin Larsen |
Dato : 10-07-04 21:15 |
|
"Jeppe Stig Nielsen" <mail@jeppesn.dk> skrev i en meddelelse news:40EFF783.7968F0C1@jeppesn.dk...
>
> Visse folk kalder det også en ring hvis (X\{0},*) kun er en semigruppe,
> altså hvis der ikke er noget ét-element, men de folk er vist i mindre-
> tal.
>
> Hmm, Weisstein opererer med ringe uden »1«, se:
> http://mathworld.wolfram.com/Ring.html
Det er også forkert at skrive (X\{0},*), for derved antages
at nulreglen gælder, hvilket ikke behøver at være tilfældet
for en ring.
Mvh
Martin
| |
Jeppe Stig Nielsen (10-07-2004)
| Kommentar
Fra : Jeppe Stig Nielsen |
Dato : 10-07-04 22:22 |
|
Martin Larsen wrote:
>
> > Visse folk kalder det også en ring hvis (X\{0},*) kun er en semigruppe,
> > altså hvis der ikke er noget ét-element, men de folk er vist i mindre-
> > tal.
> >
> > Hmm, Weisstein opererer med ringe uden »1«, se:
> > http://mathworld.wolfram.com/Ring.html
>
> Det er også forkert at skrive (X\{0},*), for derved antages
> at nulreglen gælder, hvilket ikke behøver at være tilfældet
> for en ring.
Ja, det ville have været mere logisk at skrive at (X,*) skulle være en
monoide. Men så alligevel ikke, der er jo ikke noget forkert i at se på
(X\{0},*) selvom den kan indeholde singulære elementer (ikke-enheder).
--
Jeppe Stig Nielsen <URL: http://jeppesn.dk/>. «
"Je n'ai pas eu besoin de cette hypothèse (I had no need of that
hypothesis)" --- Laplace (1749-1827)
| |
Henning Makholm (11-07-2004)
| Kommentar
Fra : Henning Makholm |
Dato : 11-07-04 09:28 |
|
Scripsit Jeppe Stig Nielsen <mail@jeppesn.dk>
> Henning Makholm wrote:
> > Hvis (X\{0},*) ikke er en abelsk gruppe men kun en kommutativ monoide,
> > udgør X en *ring*.
> Den behøver endda ikke at være kommutativ. Hvis den ikke er kommutativ,
> skal punkt c) vist udvides med en højredistributiv lov.
Det varierer vist fra forfatter til forfatter. Den bog jeg lærte om
ringe efter, krævede at multiplikationen er kommutativ, men oplyste
loyalt at det ikke er alle der gør det.
Martin havde derimod ret i at det var forkert af mig at undtage 0 fra
monoidestukturen.
--
Henning Makholm "Det er sympatisk du håner dig selv. Fuldt
berettiget. Men det gør dig ikke til en kristen."
| |
Jeppe Stig Nielsen (11-07-2004)
| Kommentar
Fra : Jeppe Stig Nielsen |
Dato : 11-07-04 17:38 |
|
Henning Makholm wrote:
>
> > Den behøver endda ikke at være kommutativ. Hvis den ikke er kommutativ,
> > skal punkt c) vist udvides med en højredistributiv lov.
>
> Det varierer vist fra forfatter til forfatter. Den bog jeg lærte om
> ringe efter, krævede at multiplikationen er kommutativ, men oplyste
> loyalt at det ikke er alle der gør det.
Hvis det er rigtigt, er der åbenbart vældig mange definitioner på en
ring. I så fald er hverken kvaternionerne eller 2×2-matricerne over R
ringe!
Personligt kan jeg tilslutte mig denne definition:
http://en.wikipedia.org/wiki/Ring_%28mathematics%29
De nævner at man kan udelade kravet om associativitet og/eller om
eksistens af ét-element, men de nævner ikke at man yderligere kan kræve
kommutativitet. De opremser derimod indlysende eksempler på ikkekommu-
tative ringe.
--
Jeppe Stig Nielsen <URL: http://jeppesn.dk/>. «
"Je n'ai pas eu besoin de cette hypothèse (I had no need of that
hypothesis)" --- Laplace (1749-1827)
| |
Stefan Holm (11-07-2004)
| Kommentar
Fra : Stefan Holm |
Dato : 11-07-04 18:05 |
|
Jeppe Stig Nielsen <mail@jeppesn.dk> writes:
> De nævner at man kan udelade kravet om associativitet
Gør man egentlig nogensinde det uden at have yderligere struktur til
gengæld? Jeg kan ikke umiddelbart komme på andre interessante[1]
ikke-associative ringe end lie-algebraer, i hvert fald.
1) Umiddelbart heller ikke uinteressante, men det er nok til at
konstruere
--
Stefan Holm
"She raised her head. She was still trembling. She swallowed."
| |
Jeppe Stig Nielsen (11-07-2004)
| Kommentar
Fra : Jeppe Stig Nielsen |
Dato : 11-07-04 18:27 |
|
Stefan Holm wrote:
>
> Jeppe Stig Nielsen <mail@jeppesn.dk> writes:
>
> > De nævner at man kan udelade kravet om associativitet
>
> Gør man egentlig nogensinde det uden at have yderligere struktur til
> gengæld? Jeg kan ikke umiddelbart komme på andre interessante[1]
> ikke-associative ringe end lie-algebraer, i hvert fald.
Lie-parentesen (Lie-produktet) er da også et godt eksempel.
Andre eksempler hos Weisstein kan findes således:
http://mathworld.wolfram.com/search/?as_lq=http://mathworld.wolfram.com/NonassociativeAlgebra.html
Men det er algebraer, ikke blot ringe.
Jeg ser på Wikipedia at man kalder en mængde udstyret med en binær
operation (om hvilken ingen betingelser stilles) for en (et?) »magma«.
--
Jeppe Stig Nielsen <URL: http://jeppesn.dk/>. «
"Je n'ai pas eu besoin de cette hypothèse (I had no need of that
hypothesis)" --- Laplace (1749-1827)
| |
Stefan Holm (11-07-2004)
| Kommentar
Fra : Stefan Holm |
Dato : 11-07-04 18:43 |
|
Jeppe Stig Nielsen <mail@jeppesn.dk> writes:
> Lie-parentesen (Lie-produktet) er da også et godt eksempel.
Ja, klart.
> Men det er algebraer, ikke blot ringe.
Nu er alle ringe jo sådan set algebraer ... men ja, det lader til at
være svært at finde interessante eksempler, hvor selve ringstrukturen
er mere interessant end en evt. struktur som algebra.
Måske oktonionerne?
--
Stefan Holm
"Her sidder man ganske tilforladeligt og oversætter oldaramæisk ..."
| |
Jeppe Stig Nielsen (11-07-2004)
| Kommentar
Fra : Jeppe Stig Nielsen |
Dato : 11-07-04 23:21 |
|
Stefan Holm wrote:
>
> > Men det er algebraer, ikke blot ringe.
>
> Nu er alle ringe jo sådan set algebraer ...
Øh, er de?
Jeg troede at en algebra skulle være et vektorrum over et legeme? Men
det er måske nok at det er en modul over en ring?
Jeg tænker mest på en algebra over R.
>
> Måske oktonionerne?
Ja, de er jo ikkeassociative. Det er vist dem Weisstein også kalder
for Cayley-algebraen.
--
Jeppe Stig Nielsen <URL: http://jeppesn.dk/>. «
"Je n'ai pas eu besoin de cette hypothèse (I had no need of that
hypothesis)" --- Laplace (1749-1827)
| |
Stefan Holm (11-07-2004)
| Kommentar
Fra : Stefan Holm |
Dato : 11-07-04 23:43 |
|
Jeppe Stig Nielsen <mail@jeppesn.dk> writes:
> Jeg troede at en algebra skulle være et vektorrum over et legeme? Men
> det er måske nok at det er en modul over en ring?
Den opfattelse er vist ganske udbredt indenfor ren algebra, i hvert
fald. Jeg er vist især stødt på det hos folk der laver homologisk
algebra (i form af differentialgraduerede algebraer).
> Jeg tænker mest på en algebra over R.
Mine er normalt komplekse.
> > Måske oktonionerne?
>
> Ja, de er jo ikkeassociative. Det er vist dem Weisstein også kalder
> for Cayley-algebraen.
Nemlig.
--
Stefan Holm
"Don't warn the tadpoles!"
| |
Henning Makholm (13-07-2004)
| Kommentar
Fra : Henning Makholm |
Dato : 13-07-04 09:08 |
|
Scripsit Jeppe Stig Nielsen <mail@jeppesn.dk>
> Henning Makholm wrote:
> > Det varierer vist fra forfatter til forfatter. Den bog jeg lærte om
> > ringe efter, krævede at multiplikationen er kommutativ, men oplyste
> > loyalt at det ikke er alle der gør det.
> Hvis det er rigtigt, er der åbenbart vældig mange definitioner på en
> ring. I så fald er hverken kvaternionerne eller 2×2-matricerne over R
> ringe!
Næh, og det er de heller ikke i mit hoved.
Den bog jeg henviste til, er _Algebra_ af Michael Artin (Prentice
Hall). Den skriver bl.a. (i begyndelsen af kapitel 10)
| The terminology used is not completely standardized. Some people do
| not require the existence of a multiplicative identity in a ring. We
| will study _commutative rings_ in most of this book, that is, rings
| satisfying the commutative law ab=ba for multiplication. So let us
| agree that the word _ring_ will mean _commutative ring with
| identity_, unless we explicitly mention noncommutativity. ...
Og det har jeg så været enig i siden.
--
Henning Makholm "... and that Greek, Thucydides"
| |
Martin Larsen (13-07-2004)
| Kommentar
Fra : Martin Larsen |
Dato : 13-07-04 10:38 |
|
"Henning Makholm" <henning@makholm.net> skrev i en meddelelse news:87658s9vp4.fsf@kreon.lan.henning.makholm.net...
> Og det har jeg så været enig i siden.
Det er da meget praktisk hvis du kun læser den bog.
Mvh
Martin
| |
Torben W. Hansen (10-07-2004)
| Kommentar
Fra : Torben W. Hansen |
Dato : 10-07-04 15:08 |
|
"Henning Makholm" <henning@makholm.net> skrev i en meddelelse
news:87fz80asg2.fsf@kreon.lan.henning.makholm.net...
> a) En operator skrevet + således at (X,+) udgør en abelsk gruppe.
> Gruppens neutralelement skrives 0.
>
> b) En operator skrevet * således at (X\{0},*) udgør en abelsk gruppe.
Og denne har neutralelementet 1 ?
>
> c) De to operatorer opfylder den distributive lov: a*(b+c) = (a*b)+(a*c)
> Hvis (X\{0},*) ikke er en abelsk gruppe men kun en kommutativ monoide,
> udgør X en *ring*.
Ja så ...
Betyder (X\{0},*) følgende: mængden af X undtagen 0, med operatoren *
?
--
Med venlig hilsen
Torben W. Hansen
-------------------------------------------------------------------------
>> Her skulle stå et checket citat, men kunne ikke lige finde på noget <<
Monty Phyton
-------------------------------------------------------------------------
| |
Henning Makholm (11-07-2004)
| Kommentar
Fra : Henning Makholm |
Dato : 11-07-04 09:29 |
|
Scripsit "Torben W. Hansen" <nospam@cybercity.dk>
> "Henning Makholm" <henning@makholm.net> skrev i en meddelelse
> > b) En operator skrevet * således at (X\{0},*) udgør en abelsk gruppe.
> Og denne har neutralelementet 1 ?
Ja. (Eller rettere: "1" er den vedtagne notation for det
multiplikative neutralelement i en ring eller et legeme).
> > Hvis (X\{0},*) ikke er en abelsk gruppe men kun en kommutativ monoide,
> > udgør X en *ring*.
> Betyder (X\{0},*) følgende: mængden af X undtagen 0, med operatoren *
Ja, men Martin havde ret i at jeg i ringtilfældet ikke burde have
undtaget 0.
--
Henning Makholm "What the hedgehog sang is not evidence."
| |
Torben W. Hansen (11-07-2004)
| Kommentar
Fra : Torben W. Hansen |
Dato : 11-07-04 11:06 |
|
"Henning Makholm" <henning@makholm.net> skrev i en meddelelse
news:87pt73c5gg.fsf@kreon.lan.henning.makholm.net...
> Scripsit "Torben W. Hansen" <nospam@cybercity.dk>
> > "Henning Makholm" <henning@makholm.net> skrev i en meddelelse
> > Og denne har neutralelementet 1 ?
>
> Ja. (Eller rettere: "1" er den vedtagne notation for det
> multiplikative neutralelement i en ring eller et legeme).
> > Betyder (X\{0},*) følgende: mængden af X undtagen 0, med operatoren *
>
> Ja, men Martin havde ret i at jeg i ringtilfældet ikke burde have
> undtaget 0.
OK -og tak til jer alle ...
--
Med venlig hilsen
Torben W. Hansen
-------------------------------------------------------------------------
>> Her skulle stå et checket citat, men kunne ikke lige finde på noget <<
Monty Phyton
-------------------------------------------------------------------------
| |
Jeppe Stig Nielsen (10-07-2004)
| Kommentar
Fra : Jeppe Stig Nielsen |
Dato : 10-07-04 14:55 |
|
Rasmus Villemoes wrote:
>
> (3) Alle elementer har et inverst element, altså for ethvert element a
> findes et element b således at a#b = e.
I dette punkt skal du vist kræve at også b#a = e. Ellers kan man
risikere at b kun er en højreinvers, ikke en rigtig invers.
--
Jeppe Stig Nielsen <URL: http://jeppesn.dk/>. «
"Je n'ai pas eu besoin de cette hypothèse (I had no need of that
hypothesis)" --- Laplace (1749-1827)
| |
|
|