---

Hej!

Vi sidder og regner opgaver til geometrieksamen, og har lidt problemer som
vi håber at få et par hints til her.

Vores største problem er af vise at en funktion mellem to (glatte) flader er
en diffeomorfi. Er man tvunget til at finde den inverse, eller er der en
smartere måde? I dette eksempel er vi helt lost:

Lad X(theta,phi)=(cos theta cos phi, cos theta sin phi, sin phi) være en
parametrisering af kuglefladen S, og lad Y(u,v)=(v cos u,v sin u,lambda u)
være en parametrisering af vindelfladen H. Vis at f: S--> H givet ved f(
X(theta,phi) )=Y(phi, lambda tan theta) er en diffeomorfi.


Hvordan viser man at f er en diffeomorfi? Er der en generel metode til at
vise at den slags funktioner er diffeomorfier?

---
Jes Hansen

---

Jes Hansen wrote:

> Vi sidder og regner opgaver til geometrieksamen, og har lidt problemer som
> vi håber at få et par hints til her.
>
> Vores største problem er af vise at en funktion mellem to (glatte) flader er
> en diffeomorfi. Er man tvunget til at finde den inverse, eller er der en
> smartere måde?

Mon ikke i skal have fat i "invers funktionssætning for flader".

Denne proposition er i Do Carmo s.86:

Proposition 3
--------------
If S and S are regular surfaces and phi : U indeholdt i S -> S
1 2 1 2
er en differentiabel afbildning af en åben møngde U indeholdt i S ,
1
sådan at differentialet d phi af phi i p i U er en isomorfi, så er
p

phi en lokal diffeomorfi i p.


--
Jens Axel Søgaard

---

Jes Hansen wrote:
>
> Hvordan viser man at f er en diffeomorfi?

Når der kræves at det er en (global) diffeomorfi, skal du først tjekke
at det er en bijektion (injektiv og surjektiv). Så skal du sikre at den
er (vilkårligt ofte) differentiabel i ethvert punkt p. Egentlig har det
jo noget at gøre med at betragte et (differentiabelt) kort omkring p
og ét omkring f(p) og så se på afbildningen mellem åbne delmængder af
R². Men her er f jo allerede fastlagt ud fra et kort (eller rettere ud
fra en parametrisering), så det kan jo udnyttes. Med hensyn til at vise
at også den inverse til f er differentiabel skal du, som Jens Axel er
inde på, nok have fat i invers funktionssætning.

--
Jeppe Stig Nielsen <URL:http://jeppesn.dk/>. «

"Je n'ai pas eu besoin de cette hypothèse (I had no need of that
hypothesis)" --- Laplace (1749-1827)

---

Jes Hansen wrote:
>
> Lad X(theta,phi)=(cos theta cos phi, cos theta sin phi, sin phi) være en
> parametrisering af kuglefladen S,

Der må være en eller flere trykfejl.

Skal det ikke være sin theta i sidste koordinat? I så fald para-
metriserer X sfæren ud fra længdegraden phi og breddegraden theta.
phi løber i [0;2pi[ og theta løber i ]-pi/2;pi/2[ eksempelvis.

Men måske skal der også byttes om på theta og phi. Det plejer man da,
se http://mathworld.wolfram.com/SphericalCoordinates.html

> og lad Y(u,v)=(v cos u,v sin u,lambda u)
> være en parametrisering af vindelfladen H.

Her er u en »vindingskoordinat«, mens v giver den radiale koordinat,
altså v er afstanden til z-aksen. Her kan u løbe i ]-oo;oo[ og v kan
løbe i ]0;oo[.

> Vis at f: S--> H givet ved f(
> X(theta,phi) )=Y(phi, lambda tan theta) er en diffeomorfi.

Så knytter f punktet med (breddegrad,længdegrad)=(theta,phi) på sfæren
til punktet på H med u = phi og v = tan theta .

Det er i hvert fald ikke en bijektion, øh ...

--
Jeppe Stig Nielsen <URL:http://jeppesn.dk/>. «

"Je n'ai pas eu besoin de cette hypothèse (I had no need of that
hypothesis)" --- Laplace (1749-1827)

---

> Lad X(theta,phi)=(cos theta cos phi, cos theta sin phi, sin phi) være en
> parametrisering af kuglefladen S, og lad Y(u,v)=(v cos u,v sin u,lambda u)
> være en parametrisering af vindelfladen H. Vis at f: S--> H givet ved f(
> X(theta,phi) )=Y(phi, lambda tan theta) er en diffeomorfi.

Ups! Trykfjel som Jeppe ganske rigtigt siger. Opgaven kan ses i sin helhed
her:http://www.math.ku.dk/~schlicht/3GE/exam/s03.pdf. Det er delspørgsmål 1
i opgave 2.

> Hvordan viser man at f er en diffeomorfi? Er der en generel metode til at
> vise at den slags funktioner er diffeomorfier?

Jeg har kigget vores noter igennem og fundet denne:
http://www.math.ku.dk/~schlicht/3GE/F2004/diff.pdf. Her er det nederst på
side 4 en version af Inv.fkt., MEN hvordan ser differentialet for f ud? f
tager jo en vektor med tre koordinater, så df har vel TRE rææker? På
denanden side, så er f kun afhængig at to parametre, så df har vel kun TO
rækker ?!? I denne sætning er det jo påkrævet at f : R^m --> R^m, men jeg
synes nærmest at f : R^2 --> R^3.

---
Jes Hansen

---

Jes Hansen wrote:
>>Lad X(theta,phi)=(cos theta cos phi, cos theta sin phi, sin phi) være en
>>parametrisering af kuglefladen S, og lad Y(u,v)=(v cos u,v sin u,lambda u)
>>være en parametrisering af vindelfladen H. Vis at f: S--> H givet ved f(
>>X(theta,phi) )=Y(phi, lambda tan theta) er en diffeomorfi.

> Ups! Trykfjel som Jeppe ganske rigtigt siger. Opgaven kan ses i sin helhed
> her:http://www.math.ku.dk/~schlicht/3GE/exam/s03.pdf. Det er delspørgsmål 1
> i opgave 2.

>>Hvordan viser man at f er en diffeomorfi? Er der en generel metode til at
>>vise at den slags funktioner er diffeomorfier?

> Jeg har kigget vores noter igennem og fundet denne:
> http://www.math.ku.dk/~schlicht/3GE/F2004/diff.pdf. Her er det nederst på
> side 4 en version af Inv.fkt., MEN hvordan ser differentialet for f ud? f
> tager jo en vektor med tre koordinater, så df har vel TRE rææker? På
> denanden side, så er f kun afhængig at to parametre, så df har vel kun TO
> rækker ?!? I denne sætning er det jo påkrævet at f : R^m --> R^m, men jeg
> synes nærmest at f : R^2 --> R^3.

Du kan se på afbildningen Y^-1 o f o X : R^2 -> R^2, hvor X og Y er
kort for henholdsvis S og H. Da kortene er diffeomorfier, er ovenstående
sammensætning en diffeomorfi netop når f er en diffeomorfi.

--
Jens Axel Søgaard

---

Jes Hansen wrote:
>
> Ups! Trykfjel som Jeppe ganske rigtigt siger. Opgaven kan ses i sin helhed
> her:http://www.math.ku.dk/~schlicht/3GE/exam/s03.pdf. Det er delspørgsmål 1
> i opgave 2.

Så fremgår det også at man har fjernet polerne og en meridian fra
sfæren, og så passer det fint at f bliver bijektiv. Så giver opgaven
bedre mening.

Resultatet er at man kan tegne et vinkeltro kort over Jorden (fraregnet
en meridian som fx datolinjen) på et stykke (med endelig højde
2·pi·lambda) af vindelfladen.

--
Jeppe Stig Nielsen <URL:http://jeppesn.dk/>. «

"Je n'ai pas eu besoin de cette hypothèse (I had no need of that
hypothesis)" --- Laplace (1749-1827)