|
|
 | Kan matematikken 'falde fra hinanden'
Fra : Jesper Stocholm |
Dato : 06-05-04 08:01 |
|
Jeg sad for nyligt i en diskussion med en bekendt, hvor vi snakkede om
matematik. Min bekendte kategoriserede matematikken som en ufuldstændig
videnskab, og hans argumentation var, at der - ifølge ham - stadig var
uløste problemer i matematikken, hvor en eventuel afvisning af en et eller
flere forhold, simpelthen ville få matematikken til at falde fra hinanden.
Jeg er helt med på en række af begrænsningerne i matematikken, men er det
virkeligt rigtigt, at der findes uløste problemer, hvor et resultat i en
givet retning vil få som konsekvens, at hele matematikken skal revurderes?
--
Jesper Stocholm http://stocholm.dk
Programmer's code comment:
//It probably makes more sense when you're stoned.
| |
 Torkel Franzen (06-05-2004)
| Kommentar
Fra : Torkel Franzen |
Dato : 06-05-04 08:08 |
|
Jesper Stocholm <j@stocholm.invalid> writes:
> Jeg er helt med på en række af begrænsningerne i matematikken, men er det
> virkeligt rigtigt, at der findes uløste problemer, hvor et resultat i en
> givet retning vil få som konsekvens, at hele matematikken skal revurderes?
Nej, några sådana problem finns inte. Däremot finns det olösta
problem där en lösning annan än den förväntade skulle framstå som
omstörtande och överraskande och leda till mycket matematiskt
grubblande. Exempel: ett bevis av P=NP, en vederläggning av
Riemannhypotesen.
| |
Jesper Stocholm (06-05-2004)
| Kommentar
Fra : Jesper Stocholm |
Dato : 06-05-04 08:14 |
|
Torkel Franzen <torkel@sm.luth.se> wrote in
news:vcb7jvq6nkb.fsf@beta19.sm.ltu.se:
> Jesper Stocholm <j@stocholm.invalid> writes:
>
>> Jeg er helt med på en række af begrænsningerne i matematikken, men er
>> det virkeligt rigtigt, at der findes uløste problemer, hvor et
>> resultat i en givet retning vil få som konsekvens, at hele
>> matematikken skal revurderes?
>
> Nej, några sådana problem finns inte. Däremot finns det olösta
> problem där en lösning annan än den förväntade skulle framstå som
> omstörtande och överraskande och leda till mycket matematiskt
> grubblande. Exempel: ett bevis av P=NP, en vederläggning av
> Riemannhypotesen.
Men lige præcist P=NP vil vel ikke forårsage grundlæggende problemer i
andre grene af matematikken - altså P=NP kan vel ikke betyde, at der er
andre dele af matematikken, der er decideret forkerte?
PS: hvad betyder "vederläggning"?
--
Jesper Stocholm http://stocholm.dk
Programmer's code comment:
//It probably makes more sense when you're stoned.
| |
 Torkel Franzen (06-05-2004)
| Kommentar
Fra : Torkel Franzen |
Dato : 06-05-04 08:19 |
|
Jesper Stocholm <j@stocholm.invalid> writes:
> Men lige præcist P=NP vil vel ikke forårsage grundlæggende problemer i
> andre grene af matematikken - altså P=NP kan vel ikke betyde, at der er
> andre dele af matematikken, der er decideret forkerte?
Nej, inte alls
> PS: hvad betyder "vederläggning"?
Gendrivelse.
| |
Bertel Lund Hansen (06-05-2004)
| Kommentar
Fra : Bertel Lund Hansen |
Dato : 06-05-04 10:17 |
|
Jesper Stocholm skrev:
>Jeg sad for nyligt i en diskussion med en bekendt, hvor vi snakkede om
>matematik. Min bekendte kategoriserede matematikken som en ufuldstændig
>videnskab, og hans argumentation var, at der - ifølge ham - stadig var
>uløste problemer i matematikken, hvor en eventuel afvisning af en et eller
>flere forhold, simpelthen ville få matematikken til at falde fra hinanden.
Det kan ikke lae sig gøre. Matematikken opstiller selv sine
forudsætninger, og de korrekte slutninger der kan drages derudaf,
kan aldrig blive ugyldige.
Man kan måske opdage at ande forudsætninger er mere spændende
eller produktive, men det er så blot en anden del af
matematikken.
Eksempel:
1) Vinkelsummen i en trekant i et plan er 180 grader.
Hvis vi snakker om en kugleoverflade, kan vinkelsummen godt blive
over 180 grader, og hvis vi snakker om overfladen på en
hestesaddel, kan summen blive mindre end 180 grader.
Men sætninge 1) er lige sand for det.
--
Bertel
http://bertel.lundhansen.dk/ FIDUSO: http://fiduso.dk/
| |
Torben Ægidius Mogen~ (06-05-2004)
| Kommentar
Fra : Torben Ægidius Mogen~ |
Dato : 06-05-04 10:18 |
|
Jesper Stocholm <j@stocholm.invalid> writes:
> Jeg sad for nyligt i en diskussion med en bekendt, hvor vi snakkede om
> matematik. Min bekendte kategoriserede matematikken som en ufuldstændig
> videnskab, og hans argumentation var, at der - ifølge ham - stadig var
> uløste problemer i matematikken, hvor en eventuel afvisning af en et eller
> flere forhold, simpelthen ville få matematikken til at falde fra hinanden.
>
> Jeg er helt med på en række af begrænsningerne i matematikken, men er det
> virkeligt rigtigt, at der findes uløste problemer, hvor et resultat i en
> givet retning vil få som konsekvens, at hele matematikken skal revurderes?
Matematikken bygger på et sæt af aksiomer (antagelser og regler), som
ikke er bevist sande (og heller ikke kan bevises). Der er flere
konkurrerende sæt af aksiomer, som stort set er ækvivalente, hvilket
vil sige at det er ganske få matematiske resultater, som afhænger af
valget af aksiomer. Et givet sæt aksiomer siges at være inkonsistent,
hvis der findes udsagn der både kan bevises sande og bevises falske ud
fra dette sæt aksiomer. Et sæt aksiomer siges at være ukomplet, hvis
der findes udsagn, som hverken kan bevises sande eller bevises falske
ud fra aksiomerne. Kurt GÖdel viste, at ethvert konsistent sæt
aksiomer, der indeholdt som minimum de almindelige aksiomer om heltal,
vil være ukomplet. Men det fik ikke matematikken til at falde sammen,
kun den overbevisning nogle (f.eks. Hilbert) havde om matematikkens
universalitet.
Derimod vil et bevis for at et sæt aksiomer er inkonsistent få alle
resultater, der bruger dette sæt aksiomer til at være tvivlsomme. Det
er ikke muligt at bevise et ikke-trivielt sæt aksiomer konsistent
udelukkende ved at bruge samme sæt aksiomer, så der findes ikke noget
bevis for at de i matematikken brugte aksiomsæt er konsistente.
Derfor kan det ikke udelukkes, at de rent faktisk er inkonsistente.
Tidligere versioner af mængdelæren viste sig rent faktisk at være
inkonsistente, idet man kunne beskrive paradoksiale mængder
(eksistensen af "mængden af alle mængder, der ikke indeholder sig selv
som element" leder til et udsagn, der er både sandt og falsk). Det er
blevet løst med senere aksiomatiseringer af mængdelæren, hvor sådan
noget som "mængden af alle mængder" ikke er mulige. Men der er ikke
mange, der tror at de nuværende aksiomatiske systemer er
inkonsistente. De fleste er bevist relativt konsistente: Hvis et af
dem er konsistente, så er de andre det også.
Så, ja, der er en teoretisk mulighed for at tæppet kan blive trukket
væk under matematikken, men den er næppe reel. Og hvis det alligevel
skulle vise sig at det aksiomatiske grundlag er inkonsistent, så vil
man nok hurtigt finde et andet sæt, som man stolede mere på, og finde
ud af hvilke af de gamle resultater, der skulle forkastes. Så
matematikken ville måske vakle, men ikke falde.
Torben
| |
Torkel Franzen (06-05-2004)
| Kommentar
Fra : Torkel Franzen |
Dato : 06-05-04 10:25 |
|
torbenm@diku.dk (Torben Ægidius Mogensen) writes:
> Derfor kan det ikke udelukkes, at de rent faktisk er inkonsistente.
Kan du ge ett exempel på ett axiomsystem som används i matematiken
för vilket vi inte att utesluta att det är motsägelsefullt?
> Tidligere versioner af mængdelæren viste sig rent faktisk at være
> inkonsistente, idet man kunne beskrive paradoksiale mængder
> (eksistensen af "mængden af alle mængder, der ikke indeholder sig selv
> som element" leder til et udsagn, der er både sandt og falsk). Det er
> blevet løst med senere aksiomatiseringer af mængdelæren, hvor sådan
> noget som "mængden af alle mængder" ikke er mulige.
Denna historieskrivning är något missvisande! Cantors mängdlära var
inte alls motsägelsefull, men däremot har flera senare axiomatiska
system visat sig motsägelsefulla.
(Märk väl, motsägelsefrihetsfrågor utgör inte olösta matematiska
problem i vanlig bemärkelse.)
| |
Henning Makholm (06-05-2004)
| Kommentar
Fra : Henning Makholm |
Dato : 06-05-04 15:53 |
|
Scripsit Torkel Franzen <torkel@sm.luth.se>
> torbenm@diku.dk (Torben Ægidius Mogensen) writes:
> > Derfor kan det ikke udelukkes, at de rent faktisk er inkonsistente.
> Kan du ge ett exempel på ett axiomsystem som används i matematiken
> för vilket vi inte att utesluta att det är motsägelsefullt?
Tja, for eksempel mængdelærens aksiomer - ZF eller NBG.
(Og for den sags skyld kan man såmænd også tvivle på
Peano-aritmetikken, hvis man har lyst til den slags. Som Gödel viste,
kan man udtrykke forbavsende meget blot ved at bruge den, og det kan
ikke a priori udelukkes at man kan konstruere en modstrid ad den vej.
Det bedste argument for at man *ikke* kan, er at det endnu ikke er
lykkedes.)
> Denna historieskrivning är något missvisande! Cantors mängdlära var
> inte alls motsägelsefull,
Jo. Cantor antog at man kan danne mængden { x | P(x) } for ethvert
åbent udsagn x. Det leder direkte til Russells paradoks.
--
Henning Makholm "Hele toget raslede imens Sjælland fór forbi."
| |
Torkel Franzen (06-05-2004)
| Kommentar
Fra : Torkel Franzen |
Dato : 06-05-04 15:58 |
|
Henning Makholm <henning@makholm.net> writes:
> Tja, for eksempel mængdelærens aksiomer - ZF eller NBG.
Om vi inte kan utesluta att dessa axiom är motsägelsefulla, finns
det någon anledning att tro på några bevis i matematiken?
> (Og for den sags skyld kan man såmænd også tvivle på
> Peano-aritmetikken, hvis man har lyst til den slags.
Visst, man "kan" tvivla på vad som helst. Men om vi betvivlar
motsägelsefriheten hos Peanoaritmetiken finns det ingen anledning
att tro t.ex. på Dirichlets sats.
> Jo. Cantor antog at man kan danne mængden { x | P(x) } for ethvert
> åbent udsagn x.
Nej, det antog han inte alls. Tvärtom sade han att det *inte* är
fallet att {x | P(x) } existerar för varje P(x).
| |
Henning Makholm (06-05-2004)
| Kommentar
Fra : Henning Makholm |
Dato : 06-05-04 17:54 |
|
Scripsit Torkel Franzen <torkel@sm.luth.se>
> Henning Makholm <henning@makholm.net> writes:
> > Tja, for eksempel mængdelærens aksiomer - ZF eller NBG.
> Om vi inte kan utesluta att dessa axiom är motsägelsefulla, finns
> det någon anledning att tro på några bevis i matematiken?
Ja - at der trods ihærdig søgen endnu ikke er *fundet* en måde at
udlede en modstrid fra dem. Men vi kan ikke *vide* at der ikke er en
eller anden der finder en modstrid i morgen.
> Visst, man "kan" tvivla på vad som helst. Men om vi betvivlar
> motsägelsefriheten hos Peanoaritmetiken finns det ingen anledning
> att tro t.ex. på Dirichlets sats.
Du ser for sort-hvidt på tingene. At tvivle på noget er ikke det samme
som aktivt at tro at det er falskt.
> > Jo. Cantor antog at man kan danne mængden { x | P(x) } for ethvert
> > åbent udsagn x.
> Nej, det antog han inte alls. Tvärtom sade han att det *inte* är
> fallet att {x | P(x) } existerar för varje P(x).
Kilde?
--
Henning Makholm "The bread says TOAAAAAST."
| |
Torkel Franzen (06-05-2004)
| Kommentar
Fra : Torkel Franzen |
Dato : 06-05-04 18:02 |
|
Henning Makholm <henning@makholm.net> writes:
> Ja - at der trods ihærdig søgen endnu ikke er *fundet* en måde at
> udlede en modstrid fra dem. Men vi kan ikke *vide* at der ikke er en
> eller anden der finder en modstrid i morgen.
Påståendet att ekvationen x^n+y^n=z^n inte har några positiva
heltalslösningar för n>2 är alltså att betrakta som en statistisk
utsaga. Kanske finns det sådana lösningar.
> Du ser for sort-hvidt på tingene. At tvivle på noget er ikke det samme
> som aktivt at tro at det er falskt.
Naturligtvis inte. Men du kan med samma rätt betvivla Dirichlets
sats som du betvivlar motsägelsefriheten hos matematiken. Finns det
något sådant som matematiska bevis överhuvudtaget? Vad bevisar de i
så fall?
> Kilde?
En standardkälla vad gäller mängdlärans historia:
Cantorian Set Theory and Limitation of Size av Michael Hallett.
| |
Anders Nygaard (07-05-2004)
| Kommentar
Fra : Anders Nygaard |
Dato : 07-05-04 15:20 |
|
Torben Ægidius Mogensen wrote:
> Det
> er ikke muligt at bevise et ikke-trivielt sæt aksiomer konsistent
> udelukkende ved at bruge samme sæt aksiomer
Jo - men kun hvis det er inkonsistent!
Anders.
| |
Per Abrahamsen (21-05-2004)
| Kommentar
Fra : Per Abrahamsen |
Dato : 21-05-04 19:40 |
|
Torkel Franzen <torkel@sm.luth.se> writes:
> Henning Makholm <henning@makholm.net> writes:
>
>> Tja, for eksempel mængdelærens aksiomer - ZF eller NBG.
>
> Om vi inte kan utesluta att dessa axiom är motsägelsefulla, finns
> det någon anledning att tro på några bevis i matematiken?
Ja, hvis vi tager er system fra naturen, overfører det til
matematikken, laver beviser i matematikken, og overfører dem tilbage
til naturen, så viser vores erfaring at de passer. Vi har altså
empirisk belæg for at tro på matematikken. Selv hvis matematikken
viser sig at være inkonsistent, vil den fortsat eksistere som empirisk
videnskab, fordi den virker i naturen.
| |
Torkel Franzen (21-05-2004)
| Kommentar
Fra : Torkel Franzen |
Dato : 21-05-04 19:42 |
|
Per Abrahamsen <abraham@dina.kvl.dk> writes:
> Ja, hvis vi tager er system fra naturen, overfører det til
> matematikken, laver beviser i matematikken, og overfører dem tilbage
> til naturen, så viser vores erfaring at de passer.
Nej då, vår erfarenhet visar inte alls att det exempelvis finns
oändligt många primtal.
| |
Niels L. Ellegaard (30-05-2004)
| Kommentar
Fra : Niels L. Ellegaard |
Dato : 30-05-04 10:15 |
|
Torkel Franzen <torkel@sm.luth.se> writes:
> Per Abrahamsen <abraham@dina.kvl.dk> writes:
>
> > Ja, hvis vi tager er system fra naturen, overfører det til
> > matematikken, laver beviser i matematikken, og overfører dem
> > tilbage til naturen, så viser vores erfaring at de passer.
>
> Nej då, vår erfarenhet visar inte alls att det exempelvis finns
> oändligt många primtal.
Med fare for at genstarte denne thread, så vil jeg nævne at der er
blevet smidt en artikel om emnet på http://arxiv.org. Jeg har ikke
læst artikelen selv, men den er nævnt både Science og på
http//slashdot.org, så den kan ikke være helt gal.
"There Are Infinitely Many Prime Twins"
A proof of the twin-prime conjecture is presented using methods from
classical analytic number theory.
http://arxiv.org/abs/math.NT/0405509
http://science.slashdot.org/article.pl?sid=04/05/28/2012209
http://www.sciencemag.org/cgi/content/summary/304/5674/1095
| |
Jeppe Stig Nielsen (30-05-2004)
| Kommentar
Fra : Jeppe Stig Nielsen |
Dato : 30-05-04 17:06 |
|
"Niels L. Ellegaard" wrote:
>
> Med fare for at genstarte denne thread, så vil jeg nævne at der er
> blevet smidt en artikel om emnet på http://arxiv.org. Jeg har ikke
> læst artikelen selv, men den er nævnt både Science og på
> http//slashdot.org, så den kan ikke være helt gal.
>
> "There Are Infinitely Many Prime Twins"
>
> A proof of the twin-prime conjecture is presented using methods from
> classical analytic number theory.
>
> http://arxiv.org/abs/math.NT/0405509
> http://science.slashdot.org/article.pl?sid=04/05/28/2012209
>[klip]
Meget interessant nyhed. Det skal blive interessant at se om dette
bevis virkelig holder.
Dette vil ikke genåbne den mere »patologiske« del af tråden da den ikke
handlede om hvorvidt der fandtes et »rigtigt« bevis, men om hvorvidt der
var »empiriske beviser« eller lign. for ting i matematik.
--
Jeppe Stig Nielsen <URL: http://jeppesn.dk/>. «
"Je n'ai pas eu besoin de cette hypothèse (I had no need of that
hypothesis)" --- Laplace (1749-1827)
| |
Jeppe Stig Nielsen (30-05-2004)
| Kommentar
Fra : Jeppe Stig Nielsen |
Dato : 30-05-04 17:16 |
| | |
Per Abrahamsen (21-05-2004)
| Kommentar
Fra : Per Abrahamsen |
Dato : 21-05-04 20:18 |
|
Torkel Franzen <torkel@sm.luth.se> writes:
> Per Abrahamsen <abraham@dina.kvl.dk> writes:
>
>> Ja, hvis vi tager er system fra naturen, overfører det til
>> matematikken, laver beviser i matematikken, og overfører dem tilbage
>> til naturen, så viser vores erfaring at de passer.
>
> Nej då, vår erfarenhet visar inte alls att det exempelvis finns
> oändligt många primtal.
Hvilket system er det her du her tager fra naturen? Og hvilke
observationer mener du ikke passer på påstanden om at der er uendelig
mange primtal?
| |
Torkel Franzen (21-05-2004)
| Kommentar
Fra : Torkel Franzen |
Dato : 21-05-04 20:21 |
|
Per Abrahamsen <abraham@dina.kvl.dk> writes:
> Hvilket system er det her du her tager fra naturen?
De naturliga talen är lika mycket "taget från naturen" som någon
del av matematiken överhuvudtaget.
> Og hvilke
> observationer mener du ikke passer på påstanden om at der er uendelig
> mange primtal?
I vilken bemärkelse menar du att "vår erfarenhet visar" att det
finns oändligt många primtal?
| |
Claudio Adam (22-05-2004)
| Kommentar
Fra : Claudio Adam |
Dato : 22-05-04 08:36 |
|
Torkel Franzen <torkel@sm.luth.se> skrev:
>Per Abrahamsen
><abraham@dina.kvl.dk> writes:
>
>> Hvilket system er det her du her
>>tager fra naturen?
>
> De naturliga talen är lika mycket
>"taget från naturen" som någon
>del av matematiken överhuvudtaget.
>
>> Og hvilke
>> observationer mener du ikke
>>passer på påstanden om at der er uendelig
>> mange primtal?
>
> I vilken bemärkelse menar du att
>"vår erfarenhet visar" att det
>finns oändligt många primtal?
Må man som almindelig indianer komme med en tilføjelse:
Naturen er vel uendelig såvel som matematiken.
( Matematiken er vel i sig selv sin egen natur,
så stærk at den får vores fysiske natur til at blegne,
med al respekt for romantikken )
Rimeligvis er dette en primitiv og forenklet forklaring.
Men alligevel vel gangbar?
--
med venlig hilsen
Claudio Adam
www.sitecenter.dk/dannebrog
| |
Per Abrahamsen (26-05-2004)
| Kommentar
Fra : Per Abrahamsen |
Dato : 26-05-04 15:23 |
|
Henning Makholm <henning@makholm.net> writes:
> Herfra løb tråden lidt af sporet, fordi Per overså at Torkels eksempel
> faktisk ikke stred mod den påstand Per var ved at forsvare.
Jeg er enig i alt substantielt du har sagt, og burde holde min kæft,
men jeg bliver lige nødt til at komme med en ligegyldig kommenterar
til ovenstående.
Jeg overså det ikke, jeg skrev faktisk eksplicit flere gange at
matematikken sagtens kan komme med resultater der ikke direkte kan
valideres empirisk (de er stadig valideret indirekte, fordi de stammer
fra en valideret model).
Jeg mener bare ikke at primtalseksemplet er et af dem, jeg ser den
fortsatte jagt på (deterministiske) primtal som en fortsættelse af
bananeksperimentet med mere moderne midler.
Men det var nok en taktisk fejl at nævne, da det ser ud til at Torkel
har set sig sur på netop det eksempel, og ignorerer den større pointe.
På den anden side virker det som om han helt har svært ved at forholde
sig til den her måde at tænke på matematik. Det kan jeg godt forstå,
jeg fandt det også foruroligende første gang jeg stødte på diskussion
af matematikkens grundlagsproblemer, og deres implikationer. Mit
"filosofiske" verdensbillede skulle lige vendes på hovedet. Mit
udgangspunktet er nu empirisk i stedet for rationelt.
Og jeg lover ikke at komme med flere "hvem sagde hvad" bemærkninger.
Jeg ved godt de er inderligt uinteressante.
| |
Torkel Franzen (26-05-2004)
| Kommentar
Fra : Torkel Franzen |
Dato : 26-05-04 16:27 |
|
Per Abrahamsen <abraham@dina.kvl.dk> writes:
> Jeg mener bare ikke at primtalseksemplet er et af dem, jeg ser den
> fortsatte jagt på (deterministiske) primtal som en fortsættelse af
> bananeksperimentet med mere moderne midler.
Att jaga stora primtal är en sak; konstaterandet att det finns
oändligt många primtal - som vi matematiskt bevisat - en annan.
Det jag har hakat upp mig på i denna diskussion är din tes att
detta matematiska teorem empiriskt visat sig stämma.
| |
Per Abrahamsen (22-05-2004)
| Kommentar
Fra : Per Abrahamsen |
Dato : 22-05-04 13:20 |
|
Torkel Franzen <torkel@sm.luth.se> writes:
> Per Abrahamsen <abraham@dina.kvl.dk> writes:
>
>> Hvilket system er det her du her tager fra naturen?
>
> De naturliga talen är lika mycket "taget från naturen" som någon
> del av matematiken överhuvudtaget.
Hvilket system er det her du her tager fra naturen?
Nu skal jeg svare for dig, siden du ikke selv vil: Bananer.
Hvis vi har 4 bananer, så kan vi dele dem i 1, 2 og 4 bunker, hvis
alle bunker skal indeholde lige mange bananer. Men hvis vi har 5
bananer, så må vi enten have alle bananer i en samme bunke, eller kun
1 banan i en bunke. De antal bananer for hvilke det gælder at der kun
er to mulige opdelinger i lige store bunker kalder vi primtal.
>> Og hvilke observationer mener du ikke passer på påstanden om at der
>> er uendelig mange primtal?
>
> I vilken bemärkelse menar du att "vår erfarenhet visar" att det
> finns oändligt många primtal?
Det er din påstand, ikke min. Men som naturvidenskabelig hypotese
står den stærkt: Den er simpel, den forklarer de kendte observationer,
og den giver testbare forudsigelser, nemlig at vi kan finde et primtal
der er større end de hidtil største kendte primtal.
En matematiker ville aldrig anerkende ovenstående som "bevis", men der
er naturvidenskaben i en nødeskal. Naturvidenskaben er bare en
opsamling af erfaring, og alle naturvidenskabelige teorier kan
risikere at blive kasseret hvis nye observationer viser en modstrid.
Så når jeg skriver
Tilbage til min påstand: Hvilke observationer mener du ikke passer
på påstanden om at der er uendelig mange primtal?
er det fordi jeg tænker som en naturvidenskabsmand. Og når du svarer
I vilken bemärkelse menar du att "vår erfarenhet visar" att det
finns oändligt många primtal?
er det fordi du tænker som en matematiker.
Hele pointen er, at selvom matematikken ikke er "bevist" på sine egne
præmisser, er den i høj grad "bevist" på naturvidenskabens præmisser.
| |
Torkel Franzen (22-05-2004)
| Kommentar
Fra : Torkel Franzen |
Dato : 22-05-04 14:10 |
|
Per Abrahamsen <abraham@dina.kvl.dk> writes:
> Så når jeg skriver
>
> Tilbage til min påstand: Hvilke observationer mener du ikke passer
> på påstanden om at der er uendelig mange primtal?
>
> er det fordi jeg tænker som en naturvidenskabsmand. Og når du svarer
>
> I vilken bemärkelse menar du att "vår erfarenhet visar" att det
> finns oändligt många primtal?
>
> er det fordi du tænker som en matematiker.
Inte alls. Det var du själv som sade att när vi "laver beviser i
matematikken, og overfører dem tilbage til naturen, så viser vores
erfaring at de passer." I matematiken bevisar vi att det finns
oändligt många primtal. På vilket sätt visar vår erfarenhet att detta
stämmer?
| |
Per Abrahamsen (22-05-2004)
| Kommentar
Fra : Per Abrahamsen |
Dato : 22-05-04 13:27 |
|
Claudio Adam <breidholdt@OYX0Wprivat.dk> (slet OYX0W) writes:
> Naturen er vel uendelig såvel som matematiken.
Ikke nødvendigvis. Det er muligt at naturen er diskret[1] og
endelig[2]. Men den er ofte lettere at regne på som kontinuær og
uendelig, så det gør vi.
Footnotes:
[1] Planck tid og rum
[2] Omend den nyeste kosmologiske viden tyder på et uendeligt og
evigt ekspanderende univers
| |
Per Abrahamsen (22-05-2004)
| Kommentar
Fra : Per Abrahamsen |
Dato : 22-05-04 18:43 |
|
Torkel Franzen <torkel@sm.luth.se> writes:
> Det var du själv som sade att när vi "laver beviser i matematikken,
> og overfører dem tilbage til naturen, så viser vores erfaring at de
> passer." I matematiken bevisar vi att det finns oändligt många
> primtal. På vilket sätt visar vår erfarenhet att detta stämmer?
Oversat fra matematik til banansprog:
"Det er, trods ihærdige forsøg, ikke lykkedes os at finde et så stort
antal bananer, at det ikke også har været muligt at finde et endnu
større antal bananer som kun kan deles i lige store bunker på to
måder."
Hvis du ikke mener det ovenstående viser at hypotesen passer, så
tænker du som en matematiker, og ikke som en naturvidenskabsmand.
Men ja, bananer overført på matematikken og tilbage igen giver også
anledning til masser af hypoteser der ikke er testbare, hvilket jeg
tror er den pointe du gerne ville frem til. Men det er irrelevant,
der gør relativitetsteorien også (hvis man tager en uendelig lang
roterende cylinder...). Det vigtige er at de begge *også* giver
anledning til masser af hypoteser der *er* testbare.
| |
Torkel Franzen (22-05-2004)
| Kommentar
Fra : Torkel Franzen |
Dato : 22-05-04 18:46 |
|
Per Abrahamsen <abraham@dina.kvl.dk> writes:
> "Det er, trods ihærdige forsøg, ikke lykkedes os at finde et så stort
> antal bananer, at det ikke også har været muligt at finde et endnu
> større antal bananer som kun kan deles i lige store bunker på to
> måder."
>
> Hvis du ikke mener det ovenstående viser at hypotesen passer, så
> tænker du som en matematiker, og ikke som en naturvidenskabsmand.
Några ihärdiga försök har överhuvudtaget inte gjorts! Påståendet
"Det er, trods ihærdige forsøg, ..." är varken matematiskt eller
naturvetenskapligt, utan kort och gott fantasier.
| |
Per Abrahamsen (23-05-2004)
| Kommentar
Fra : Per Abrahamsen |
Dato : 23-05-04 14:21 |
|
Torkel Franzen <torkel@sm.luth.se> writes:
> Per Abrahamsen <abraham@dina.kvl.dk> writes:
>
>> "Det er, trods ihærdige forsøg, ikke lykkedes os at finde et så stort
>> antal bananer, at det ikke også har været muligt at finde et endnu
>> større antal bananer som kun kan deles i lige store bunker på to
>> måder."
>>
>> Hvis du ikke mener det ovenstående viser at hypotesen passer, så
>> tænker du som en matematiker, og ikke som en naturvidenskabsmand.
>
> Några ihärdiga försök har överhuvudtaget inte gjorts!
Det ved du intet om. Men selv hvis forsøget ikke er gjort med
bananer, så er det gjort med andre ting. *Jeg* har gjort det med
andre ting. Og vores erfaring er at tal opfører sig ens uanset om det
er bananer eller andre ting vi har talt. Det er den erfaring vi
opsummerer som begrebet "de naturlige tal".
> Påståendet "Det er, trods ihærdige forsøg, ..." är varken
> matematiskt eller naturvetenskapligt, utan kort och gott fantasier.
Forstår du hvad min pointe er? Er du enig i den? Og har du selv en
pointe?
| |
Torkel Franzen (23-05-2004)
| Kommentar
Fra : Torkel Franzen |
Dato : 23-05-04 14:53 |
|
Per Abrahamsen <abraham@dina.kvl.dk> writes:
> Det ved du intet om.
Jaså, du tror dig känna till sådana enorma bananexperiment?
> Men selv hvis forsøget ikke er gjort med
> bananer, så er det gjort med andre ting. *Jeg* har gjort det med
> andre ting.
Dina eventuella försök att hitta en så stor samling bananer (päron, stenar,
osv) att det inte finns någon större samling som inte låter sig delas
upp i lika stora högar på mer än ett sätt torde vara fullkomligt
försumbara betraktade som tester av utsagan "det finns oändligt många
primtal".
> Og vores erfaring er at tal opfører sig ens uanset om det
> er bananer eller andre ting vi har talt. Det er den erfaring vi
> opsummerer som begrebet "de naturlige tal".
Vår erfarenhet ger oss ingen grund för utsagan "det finns oändligt
många primtal".
> Forstår du hvad min pointe er? Er du enig i den? Og har du selv en
> pointe?
Min poäng är enkel: det är rent svammel att påstå att vi på
empiriska grunder kan hävda att det finns oändligt många primtal.
| |
Christian Andersen (24-05-2004)
| Kommentar
Fra : Christian Andersen |
Dato : 24-05-04 22:01 |
|
Torkel Franzen wrote:
> Min poäng är enkel: det är rent svammel att påstå att vi på
> empiriska grunder kan hävda att det finns oändligt många primtal.
Hvis jeg kan tælle til én, kan jeg lægge én til og få to. Hvis jeg lægger
én til to, får jeg tre. Hvis jeg lægger én til tre, får jeg fire. Hvis
jeg lægger én til fire, får jeg fem. Hvis jeg lægger én til fem, får jeg
seks. Hvis jeg lægger én til seks, får jeg syv.
Skal jeg blive ved? Fordi det kan jeg nemlig godt. Og så længe jeg kan
blive ved, så længe kan jeg finde primtal der er højere end det
foregående.
QED, og forstyr ikke mine cirkler!
--
Party time, excellent, wiuuuu, wiuuuu, wiuuuuuuu!!!
| |
Per Abrahamsen (25-05-2004)
| Kommentar
Fra : Per Abrahamsen |
Dato : 25-05-04 08:53 |
|
Torkel Franzen <torkel@sm.luth.se> writes:
> Vår erfarenhet ger oss ingen grund för utsagan "det finns oändligt
> många primtal".
Ovenstående påstand er forkert (spørg enhver videnskabsteoretiker),
men det kunne være interessant at finde ud af hvor der er kæden
springer af for dig:
Er du uenig i:
1) Man kan teste for om et antal genstandene er et primtal ved at
prøve at dele genstandene op i lige store bunker. Hvis der kun er
to måder at gøre det på, er antallet et primtal.
2) Hvis der ikke er et største primtal, er der uendelig mange primtal
(giver der er mindst et primtal).
3) En naturvidenskabelig test for hypotesen "der er ikke er største
primtal" er at prøve at finde et større primtal end det hidtil
størst kendte primtal.
4) Hypotesen "der er ikke er største primtal" er simpel og nyttig.
5) Der er rigtig mange gange fundet et større primtal end det hidtil
størst kendte primtal.
6) Hvis en naturvidenskabelig hypotese er testet ofte nok og
uafhængigt, og er simpel og nyttig, regnes den for "troværdig",
hvilket er det højeste man kan opnå indenfor naturvidenskab. Vi
vil så sige at "vores erfaring viser <hypotese>" med
naturvidenskaben i ryggen.
7) Hvis udsagn 1 til 6 er rigtige, viser vores erfaring at der er
uendeligt mange primtal.
| |
Torkel Franzen (25-05-2004)
| Kommentar
Fra : Torkel Franzen |
Dato : 25-05-04 09:03 |
|
Per Abrahamsen <abraham@dina.kvl.dk> writes:
> 1) Man kan teste for om et antal genstandene er et primtal ved at
> prøve at dele genstandene op i lige store bunker. Hvis der kun er
> to måder at gøre det på, er antallet et primtal.
Hur testar du på detta vis huruvida det finns något primtal större
än 10^100?
| |
Jeppe Stig Nielsen (25-05-2004)
| Kommentar
Fra : Jeppe Stig Nielsen |
Dato : 25-05-04 09:19 |
|
Torkel Franzen wrote:
>
> > 1) Man kan teste for om et antal genstandene er et primtal ved at
> > prøve at dele genstandene op i lige store bunker. Hvis der kun er
> > to måder at gøre det på, er antallet et primtal.
>
> Hur testar du på detta vis huruvida det finns något primtal större
> än 10^100?
En mulig kandidat er
10000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000267
Så er det bare at gå i gang med at tegne prikker i bunker ...
http://wims.unice.fr/wims/wims.cgi?module=tool/number/primes.en
--
Jeppe Stig Nielsen <URL: http://jeppesn.dk/>. «
"Je n'ai pas eu besoin de cette hypothèse (I had no need of that
hypothesis)" --- Laplace (1749-1827)
| |
Torkel Franzen (25-05-2004)
| Kommentar
Fra : Torkel Franzen |
Dato : 25-05-04 09:25 |
|
Jeppe Stig Nielsen <mail@jeppesn.dk> writes:
> Så er det bare at gå i gang med at tegne prikker i bunker ...
Den sant naturvetenskapligt sinnade emotser resultatet av denna
undersökning innan han tar ställning till huruvida det finns något
primtal större än 10^100.
| |
Per Rønne (25-05-2004)
| Kommentar
Fra : Per Rønne |
Dato : 25-05-04 10:10 |
|
Jeppe Stig Nielsen <mail@jeppesn.dk> wrote:
> Torkel Franzen wrote:
> >
> > > 1) Man kan teste for om et antal genstandene er et primtal ved at
> > > prøve at dele genstandene op i lige store bunker. Hvis der kun er
> > > to måder at gøre det på, er antallet et primtal.
> >
> > Hur testar du på detta vis huruvida det finns något primtal större
> > än 10^100?
>
> En mulig kandidat er
100000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000
00000000000000000000000000267
>
> Så er det bare at gå i gang med at tegne prikker i bunker ...
>
> http://wims.unice.fr/wims/wims.cgi?module=tool/number/primes.en
Ja, jeg startede bare Mathematica op:
PrimeQ[10000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000
000000\
000000000000000000000000000267]
Som returnerer:
True
Og ses på primtallets divisorer ser vi da også følgende:
Divisors[100000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000
000000\
00000000000000000000000000000267]
Som returnerer:
{1,
100000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000
00\
000000000000000000000000267}
Og en lille kontrol:
Divisors[9]
{1, 3, 9}
Så det nævnte tal er altså et primtal. Og hvilket i rækken?
PrimePi[1000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000
00000000000000\
00000000000000000000267]
Ja, her får jeg så at vide at tallet er for stort til min implemantation
af Mathematica [Teacher's Edition med Mathematica 4.2].
--
Per Erik Rønne
| |
Torkel Franzen (25-05-2004)
| Kommentar
Fra : Torkel Franzen |
Dato : 25-05-04 10:26 |
|
spam@husumtoften.invalid (Per Rønne) writes:
> Ja, jeg startede bare Mathematica op:
Pah! För oss naturvetenskapligt sinnade är probabilistiska
matematiska algoritmer irrelevanta i sammanhanget. Vi kräver
uppdelning av bananer i högar.
| |
Jeppe Stig Nielsen (25-05-2004)
| Kommentar
Fra : Jeppe Stig Nielsen |
Dato : 25-05-04 18:30 |
|
Per Rønne wrote:
>
> > En mulig kandidat er
> 100000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000
> 00000000000000000000000000267
> >
[...]
> Så det nævnte tal er altså et primtal. Og hvilket i rækken?
>
> PrimePi[1000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000
> 00000000000000\
> 00000000000000000000267]
>
> Ja, her får jeg så at vide at tallet er for stort til min implemantation
> af Mathematica [Teacher's Edition med Mathematica 4.2].
Jeg tror ikke der er nogen version af nogen software der kan klare det
problem.
http://mathworld.wolfram.com/PrimeCountingFunction.html
--
Jeppe Stig Nielsen <URL: http://jeppesn.dk/>. «
"Je n'ai pas eu besoin de cette hypothèse (I had no need of that
hypothesis)" --- Laplace (1749-1827)
| |
Per Abrahamsen (26-05-2004)
| Kommentar
Fra : Per Abrahamsen |
Dato : 26-05-04 17:23 |
|
jenspolsen@hotmail.com (Jens Olsen) writes:
> Sådan som jeg læser diskussionen, så er vi (uden at de to kombattanter
> har opdaget det) ude i den gamle diskussion om hvorvidt de matematiske
> sandheder eksisterer uafhængigt og derfor opdages af matematikerne,
> eller om de matematiske sandheder defineres af matematikerne idet
> aksiomerne fastlægges. Den sidste udlægning er vist den mest "politisk
> korrekte".
Nej, ovenstående er to helt andre diskussioner mudret ind i hinanden.
1. Den første diskussion er blandt matematisk interesserede om hvor
meget et matematisk system der var udviklet uafhængigt af vores
ville ligne vores.
2. Den anden er nogen humanister der forsøger at anvende en
forskningsmetode udviklet til antropologi (hvor den virker fint) på
andre discipliner (med knap så heldige resultater, specielt fordi
de bruger deres egen terminologi på fremmede felter, og fordi de
drager vidtrækkende politiske konsekvenser deraf).
Når man bedriver antropologi er det en god ide at glemme sine egne
forudfattede meninger om rigtigt og forkert, og acceptere at den
fremmede kulturs mening om rigtigt og forkert er lige så gyldige i
deres egen sammenhæng. Kun på den måde kan man for alvor forstå den
fremmede kultur.
Det udvider de så til den generelle tese at alle ideer om "rigtigt" og
"forkert" er menneskeskabte (socialkonstruktivisme), og
kulturafhængige (kulturrelativisme). Den politiske korrekthed kommer
fra de samme miljøer som ovenstående tese trives i, og er til dels
inspireret deraf.
Der er et svagt link til min diskussion (jeg er ikke helt sikker på at
Torkel på noget tidspunkt deltog i den samme diskussion som mig).
Universalantropologerne peger på matematikkens grundlagsproblemer som
bevis på at matematikken ikke er en universal sandhed, og at den
resultater derfor også er kulturafhængige. Min position er at enhver
fremmed "matematik" i hvert fald må give de samme resultater som
vores, fordi vores matematik er empirisk valideret, og at det er uvist
i hvilken grad en sådan fremmed matematik strukturelt må ligne vores.
Samt at den antropologiske metode kun undtagelsesvis er nyttig anvendt
udenfor antropologi.
| |
Jens Olsen (27-05-2004)
| Kommentar
Fra : Jens Olsen |
Dato : 27-05-04 22:15 |
|
Per Abrahamsen <abraham@dina.kvl.dk> wrote in message news:<rjisejw429.fsf@sheridan.dina.kvl.dk>...
> jenspolsen@hotmail.com (Jens Olsen) writes:
>
> > Sådan som jeg læser diskussionen, så er vi (uden at de to kombattanter
> > har opdaget det) ude i den gamle diskussion om hvorvidt de matematiske
> > sandheder eksisterer uafhængigt og derfor opdages af matematikerne,
> > eller om de matematiske sandheder defineres af matematikerne idet
> > aksiomerne fastlægges. Den sidste udlægning er vist den mest "politisk
> > korrekte".
>
> Nej, ovenstående er to helt andre diskussioner mudret ind i hinanden.
>
> 1. Den første diskussion er blandt matematisk interesserede om hvor
> meget et matematisk system der var udviklet uafhængigt af vores
> ville ligne vores.
>
> 2. Den anden er nogen humanister der forsøger at anvende en
> forskningsmetode udviklet til antropologi (hvor den virker fint) på
> andre discipliner (med knap så heldige resultater, specielt fordi
> de bruger deres egen terminologi på fremmede felter, og fordi de
> drager vidtrækkende politiske konsekvenser deraf).
Jeg må have udtrykt mig uklart. Nu kender jeg ikke så vældigt mange
matematikere (men dog nogle), og det er mit indtryk, at ingen af de to
positioner
"de matematiske sandheder eksisterer uafhængigt"
og "de matematiske sandheder defineres af matematikerne idet
aksiomerne fastlægges"
kan udlægges på anden måde, end at et matematisk system der var
udviklet uafhængigt af vores ville ligne vores. Men rumvæsnerne kunne
selvfølgelig sagtens have udviklet matematiske teorier vi aldrig havde
overejet.
Hvad jeg mener med politisk korrekt er, at det, så vidt jeg har
forstået, opfattes som mere i tråd med den korrekte opfattelse (blandt
matematikere) af matematik som en rent logisk aksiomatisk opbygget
videnskab at sige, at "de matematiske sandheder defineres af
matematikerne idet aksiomerne fastlægges". Men at matematikerne i
enerum og efter midnat snarere mener, at "de matematiske sandheder
eksisterer uafhængigt".
Jens Olsen
| |
Torkel Franzen (28-05-2004)
| Kommentar
Fra : Torkel Franzen |
Dato : 28-05-04 05:38 |
|
jenspolsen@hotmail.com (Jens Olsen) writes:
> Jeg må have udtrykt mig uklart. Nu kender jeg ikke så vældigt mange
> matematikere (men dog nogle), og det er mit indtryk, at ingen af de to
> positioner
> "de matematiske sandheder eksisterer uafhængigt"
> og "de matematiske sandheder defineres af matematikerne idet
> aksiomerne fastlægges"
> kan udlægges på anden måde, end at et matematisk system der var
> udviklet uafhængigt af vores ville ligne vores.
Vad betyder det att "de matematiske sandheder definieres..." osv?
I vilken mening definierar axiomen de matematiska sanningarna?
| |
Per Abrahamsen (25-05-2004)
| Kommentar
Fra : Per Abrahamsen |
Dato : 25-05-04 13:48 |
|
Torkel Franzen <torkel@sm.luth.se> writes:
> Per Abrahamsen <abraham@dina.kvl.dk> writes:
>
>> 1) Man kan teste for om et antal genstandene er et primtal ved at
>> prøve at dele genstandene op i lige store bunker. Hvis der kun er
>> to måder at gøre det på, er antallet et primtal.
>
> Hur testar du på detta vis huruvida det finns något primtal större
> än 10^100?
Man finder en anden testmetode som man af erfaring (med "små" primtal)
ved giver det samme resultat som ovenstående.
| |
Torkel Franzen (25-05-2004)
| Kommentar
Fra : Torkel Franzen |
Dato : 25-05-04 14:22 |
|
Per Abrahamsen <abraham@dina.kvl.dk> writes:
> Man finder en anden testmetode som man af erfaring (med "små" primtal)
> ved giver det samme resultat som ovenstående.
Du syftar på probabilistiska algoritmer för primtalstest? Hur menar
du att man "av erfarenhet" vet att sådana algoritmer ger primtal?
| |
Per Abrahamsen (25-05-2004)
| Kommentar
Fra : Per Abrahamsen |
Dato : 25-05-04 13:54 |
|
Torkel Franzen <torkel@sm.luth.se> writes:
> spam@husumtoften.invalid (Per Rønne) writes:
>
>
>> Ja, jeg startede bare Mathematica op:
>
> Pah! För oss naturvetenskapligt sinnade är probabilistiska
> matematiska algoritmer irrelevanta i sammanhanget.
Nej, det er matematikerne. Naturvidenskabsfolk er tilfredse med alle
metoder de af erfaring ved de giver tilnærmelsesvis samme resultat.
Det er noget vi benytter os af konstant.
(Er Mathematica probabilistisk?)
> Vi kräver uppdelning av bananer i högar.
Når du nu er i gang med at kræve, kan du starte med at kræve evnen til
at abstrahere.
| |
Per Abrahamsen (25-05-2004)
| Kommentar
Fra : Per Abrahamsen |
Dato : 25-05-04 14:40 |
|
Torkel Franzen <torkel@sm.luth.se> writes:
> Per Abrahamsen <abraham@dina.kvl.dk> writes:
>
>> 1) Man kan teste for om et antal genstandene er et primtal ved at
>> prøve at dele genstandene op i lige store bunker. Hvis der kun er
>> to måder at gøre det på, er antallet et primtal.
>
> Hur testar du på detta vis huruvida det finns något primtal större
> än 10^100?
Jeg tror jeg endelig har forstået hvor det er misforståelsen sætter
ind. Det er ikke sådan at vi hopper direkte fra det mest avancerede
matematik til empirisk validering. Troværdigheden opbygges fra bunden
af.
For nu at blive i frugtriget, hvis vi tager to æbler, og lægger to
æbler til, så har vi fire æbler. Den erfaring kan umiddelbart
overførers til pærer, selvom æbler og pærer ellers ikke er
sammenlignelige. På den måde opbygges tilliden til aritmetikken. Vi
får også fra simple situationer en god ide om hvilke typer matematiske
beviser der også holder i den virkelige verden. Tilliden opbygges
langsomt, gennem erfaring. Og så kan vi hele tiden bygge videre på de
skridt allerede er valideret, uden at de også kræver en selvstændig
validering.
På nuværende tidspunkt er der så meget empirisk belæg for matematikken,
at vi ikke tester den direkte (udover i undervisningssituationer, hvor
man faktisk godt kan lave bananeksperimentet). Men den bliver
alligevel testet konstant, fordi vi bare antager den virker.
Sammenlign med det heliocentriske verdensbillede. Det er vi også for
længst holdt op med at teste, der går vi bare ud fra. Men det bliver
alligevel testet indirekte, hver gang vi sender en sonde til en anden
planet.
| |
Torkel Franzen (25-05-2004)
| Kommentar
Fra : Torkel Franzen |
Dato : 25-05-04 14:45 |
|
Per Abrahamsen <abraham@dina.kvl.dk> writes:
> På nuværende tidspunkt er der så meget empirisk belæg for matematikken,
> at vi ikke tester den direkte (udover i undervisningssituationer, hvor
> man faktisk godt kan lave bananeksperimentet).
Att det finns oändligt primtal är ingenting som vi kan hävda med
hänvisning till empiriska belägg. Det är tvivelaktigt om utsagan
överhuvudtaget har någon mening från empiriska utgångspunkter. Det
är inte fråga om att vi avstår från att utföra empiriska tester
eftersom vi anser oss redan ha tillräckligt testat utsagan: vi kan
överhuvudtaget inte utföra några empiriska tester för att undersöka
huruvida det finns något primtal större än k, för stora tal k.
| |
Per Rønne (25-05-2004)
| Kommentar
Fra : Per Rønne |
Dato : 25-05-04 19:40 |
|
Per Abrahamsen <abraham@dina.kvl.dk> wrote:
> Sammenlign med det heliocentriske verdensbillede. Det er vi også for
> længst holdt op med at teste, der går vi bare ud fra.
Gør vi nu også det? Allerede Giordano Bruno var, inden han i Rom i 1600
blev levende brændt på bålet, inde på at universet slet ikke /har/ noget
centrum  .
--
Per Erik Rønne
| |
Per Abrahamsen (25-05-2004)
| Kommentar
Fra : Per Abrahamsen |
Dato : 25-05-04 14:44 |
|
Torkel Franzen <torkel@sm.luth.se> writes:
> Per Abrahamsen <abraham@dina.kvl.dk> writes:
>
>> Man finder en anden testmetode som man af erfaring (med "små" primtal)
>> ved giver det samme resultat som ovenstående.
>
> Du syftar på probabilistiska algoritmer för primtalstest? Hur menar
> du att man "av erfarenhet" vet att sådana algoritmer ger primtal?
Jeg har ikke udtalt mig om probabilistiska algoritmer for primtaltest.
| |
Torkel Franzen (25-05-2004)
| Kommentar
Fra : Torkel Franzen |
Dato : 25-05-04 14:45 |
|
Per Abrahamsen <abraham@dina.kvl.dk> writes:
> Jeg har ikke udtalt mig om probabilistiska algoritmer for
> primtaltest.
Vilken testmetod har du i så fall i tankarna?
| |
Per Abrahamsen (25-05-2004)
| Kommentar
Fra : Per Abrahamsen |
Dato : 25-05-04 14:58 |
|
Torkel Franzen <torkel@sm.luth.se> writes:
> Per Abrahamsen <abraham@dina.kvl.dk> writes:
>
>> Jeg har ikke udtalt mig om probabilistiska algoritmer for
>> primtaltest.
>
> Vilken testmetod har du i så fall i tankarna?
Jeg aner ikke hvilke test de bruger, mine egen interesse for at udføre
tests stoppende med sieve. Men /. rapporterer jævnligt at "nu har man
fundet et endnu større primtal".
| |
Torkel Franzen (25-05-2004)
| Kommentar
Fra : Torkel Franzen |
Dato : 25-05-04 15:01 |
|
Per Abrahamsen <abraham@dina.kvl.dk> writes:
> Jeg aner ikke hvilke test de bruger, mine egen interesse for at udføre
> tests stoppende med sieve. Men /. rapporterer jævnligt at "nu har man
> fundet et endnu større primtal".
Visst, men det betyder inte att vi har något icke-probabilistiskt
primtalstest som vi vet ger resultat inom universums återstående
livstid, för stora värden på k. Även för probabilistiska tester kan vi
förstås specificera så stora k att vi inte inom denna tid får något
användbart resultat. Din tanke att vi med en lämplig "testmetod" kan
hitta primtal större än k, för godtyckligt k, är med andra ord blott
och bart fantasier.
| |
Per Abrahamsen (25-05-2004)
| Kommentar
Fra : Per Abrahamsen |
Dato : 25-05-04 15:11 |
|
Torkel Franzen <torkel@sm.luth.se> writes:
> Att det finns oändligt primtal är ingenting som vi kan hävda med
> hänvisning till empiriska belägg.
Er der andre her end Torkel der på nuværende tidspunkt deler
ovenstående opfattelse?
Jeg har på nuværende tidspunkt rigelig empirisk belæg for at hævde at
mine pædagogiske evner ikke rækker til at få Torkel til at skifte
standpunkt. Så med mindre andre vil blande sig i diskussionen, så vil
jeg overlade ham til hans egen verden.
| |
Torkel Franzen (25-05-2004)
| Kommentar
Fra : Torkel Franzen |
Dato : 25-05-04 15:17 |
|
Per Abrahamsen <abraham@dina.kvl.dk> writes:
> Jeg har på nuværende tidspunkt rigelig empirisk belæg for at hævde at
> mine pædagogiske evner ikke rækker til at få Torkel til at skifte
> standpunkt. Så med mindre andre vil blande sig i diskussionen, så vil
> jeg overlade ham til hans egen verden.
OK, då kan vi sammanfatta. Du tycker dig kunna hävda att det finns
oändligt många primtal på grundval av ett visst räknande där du hittat
ett visst ändligt antal primtal. Oavsett huruvida vi anser sådana
beräkningsresultat vara en tillräcklig grund för att hävda påståendet
eller inte kan vi konstatera att bevis tydligen inte har med saken
att göra. Du hävdade inledningsvis att
Ja, hvis vi tager er system fra naturen, overfører det til
matematikken, laver beviser i matematikken, og overfører dem tilbage
til naturen, så viser vores erfaring at de passer.
Men dina kommentarer gör ingen som helst skillnad mellan sådana fall
då vi har bevisat en utsaga och sådana fall då vi inte med beräkningar
har vederlagt den. Det är alltså höljt i dunkel vad du menar att
"laver beviser i matematikken" har för relevans i sammanhanget.
| |
Henning Makholm (25-05-2004)
| Kommentar
Fra : Henning Makholm |
Dato : 25-05-04 15:48 |
|
Scripsit Per Abrahamsen <abraham@dina.kvl.dk>
> Torkel Franzen <torkel@sm.luth.se> writes:
> > Att det finns oändligt primtal är ingenting som vi kan hävda med
> > hänvisning till empiriska belägg.
> Er der andre her end Torkel der på nuværende tidspunkt deler
> ovenstående opfattelse?
Jeg tror I gik fejl af hinanden allerede ved
PA siger: Vi tror på aritmetik fordi det i praksis viser sig at hver
gang den påstår noget der kan efterprøves empirisk, så
passer det også.
TF siger: Det er noget pladder, for det er ikke alle aritmetikkens
påstande der *kan* efterprøves empirisk.
Torkeln begår her en logisk fejl ved at vende din argumentation på
hovedet. Du har tilsyneladende overset fejlen og fortsat med at
argumentere for at Torkels vilkårlige sætning *har* et meningsfuldt
empirisk indhold.
Så vidt jeg kan se er de uendelig mange primtal egentlig ikke vigtige
for din tillid til aritmetik. Man kan naturligvis omformulere
sætningen til
Ingen endelig mængde af primtal omfatter alle primtal.
og så give sig til at verificere empirisk den ved at tælle
bananer. Men det tror jeg ikke der er mange der faktisk har gjort, og
det er ikke noget særlig vigtigt eksperiment, når først vi af anden
vej har vist at aritmetikkens grundlæggende regler samt de logiske
slutningsregler vi bruger til at deducere nye påstande fra dem, altid
viser sig at gælde i de særtilfælde hvor det er overkommeligt at
efterprøve dem bananometrisk.
--
Henning Makholm "Det er jo svært at vide noget når man ikke ved det, ikke?"
| |
Torkel Franzen (25-05-2004)
| Kommentar
Fra : Torkel Franzen |
Dato : 25-05-04 15:53 |
|
Henning Makholm <henning@makholm.net> writes:
> Men det tror jeg ikke der er mange der faktisk har gjort, og
> det er ikke noget særlig vigtigt eksperiment, når først vi af anden
> vej har vist at aritmetikkens grundlæggende regler samt de logiske
> slutningsregler vi bruger til at deducere nye påstande fra dem, altid
> viser sig at gælde i de særtilfælde hvor det er overkommeligt at
> efterprøve dem bananometrisk.
I samma mening har exempelvis den matematik vi får genom att lägga till
axiomet "det finns oändligt många primtalstvillingar" visat sig gälla,
liksom den matematik vi får genom att lägga till axiomet "det finns
inte oändligt många primtalstvillingar".
| |
Henning Makholm (25-05-2004)
| Kommentar
Fra : Henning Makholm |
Dato : 25-05-04 17:26 |
|
Scripsit Torkel Franzen <torkel@sm.luth.se>
> I samma mening har exempelvis den matematik vi får genom att lägga till
> axiomet "det finns oändligt många primtalstvillingar" visat sig gälla,
Men ingen af de verificerbare konsekvenser af den aritmetik afhænger
af dit hypotetiske aksiom, så erfaringen understøtter ikke gyldigheden
af konsekvenser der afhænger af det.
--
Henning Makholm "Ambiguous cases are defined as those for which the
compiler being used finds a legitimate interpretation
which is different from that which the user had in mind."
| |
Torkel Franzen (25-05-2004)
| Kommentar
Fra : Torkel Franzen |
Dato : 25-05-04 17:28 |
|
Henning Makholm <henning@makholm.net> writes:
> Men ingen af de verificerbare konsekvenser af den aritmetik afhænger
> af dit hypotetiske aksiom, så erfaringen understøtter ikke gyldigheden
> af konsekvenser der afhænger af det.
Den uppenbara konsekvensen av axiomet är axiomet självt. I vilken
bemärkelse menar du att erfarenheten stöder "Det finns oändligt många
primtal" men inte "Det finns oändligt många primtalstvillingar"?
| |
Henning Makholm (25-05-2004)
| Kommentar
Fra : Henning Makholm |
Dato : 25-05-04 17:35 |
|
Scripsit Torkel Franzen <torkel@sm.luth.se>
> Henning Makholm <henning@makholm.net> writes:
> > Men ingen af de verificerbare konsekvenser af den aritmetik afhænger
> > af dit hypotetiske aksiom, så erfaringen understøtter ikke gyldigheden
> > af konsekvenser der afhænger af det.
>
> Den uppenbara konsekvensen av axiomet är axiomet självt. I vilken
> bemärkelse menar du att erfarenheten stöder "Det finns oändligt många
> primtal" men inte "Det finns oändligt många primtalstvillingar"?
Du spørger den forkerte deltager i diskussionen. Jeg har ikke påstået
af de uendelig mange primtal er direkte påviselige empirisk.
--
Henning Makholm "Y'know, I don't want to seem like one of those
hackneyed Jews that you see in heartwarming movies.
But at times like this, all I can say is 'Oy, gevalt!'"
| |
Torkel Franzen (25-05-2004)
| Kommentar
Fra : Torkel Franzen |
Dato : 25-05-04 18:11 |
|
Henning Makholm <henning@makholm.net> writes:
> Du spørger den forkerte deltager i diskussionen. Jeg har ikke påstået
> af de uendelig mange primtal er direkte påviselige empirisk.
Nej, men du tycks mena att erfarenheten stöder vår gängse aritmetik
i någon bemärkelse i vilken erfarenheten inte stöder aritmetik med det
ytterligare axiomet "det finns oändligt många primtalstvillingar". Det
är oklart vilken bemärkelse det skulle vara.
| |
Henning Makholm (25-05-2004)
| Kommentar
Fra : Henning Makholm |
Dato : 25-05-04 21:52 |
|
Scripsit Torkel Franzen <torkel@sm.luth.se>
> Henning Makholm <henning@makholm.net> writes:
> > Du spørger den forkerte deltager i diskussionen. Jeg har ikke påstået
> > af de uendelig mange primtal er direkte påviselige empirisk.
> Nej, men du tycks mena att erfarenheten stöder vår gängse aritmetik
> i någon bemärkelse i vilken erfarenheten inte stöder aritmetik med det
> ytterligare axiomet "det finns oändligt många primtalstvillingar".
Dit yderlikere aksiom har ikke nogen konsekvenser der kan afprøves ved
at tælle bananer.
--
Henning Makholm "The great secret, known to internists and
learned early in marriage by internists' wives, but
still hidden from the general public, is that most things get
better by themselves. Most things, in fact, are better by morning."
| |
Torkel Franzen (26-05-2004)
| Kommentar
Fra : Torkel Franzen |
Dato : 26-05-04 05:30 |
|
Henning Makholm <henning@makholm.net> writes:
> Dit yderlikere aksiom har ikke nogen konsekvenser der kan afprøves ved
> at tælle bananer.
Jodå, i prcis lika hög grad som "det finns oändligt många primtal".
| |
Henning Makholm (26-05-2004)
| Kommentar
Fra : Henning Makholm |
Dato : 26-05-04 06:02 |
|
Scripsit Torkel Franzen <torkel@sm.luth.se>
> Henning Makholm <henning@makholm.net> writes:
> > Dit yderlikere aksiom har ikke nogen konsekvenser der kan afprøves ved
> > at tælle bananer.
> Jodå, i prcis lika hög grad som "det finns oändligt många primtal".
"Der findes uendeligt mange primtal" er ikke et aksiom.
--
Henning Makholm "I've been staying out of family
conversations. Do I get credit for that?"
| |
Torkel Franzen (26-05-2004)
| Kommentar
Fra : Torkel Franzen |
Dato : 26-05-04 06:44 |
|
Henning Makholm <henning@makholm.net> writes:
> > > Dit yderlikere aksiom har ikke nogen konsekvenser der kan afprøves ved
> > > at tælle bananer.
>
> > Jodå, i precis lika hög grad som "det finns oändligt många primtal".
> "Der findes uendeligt mange primtal" er ikke et aksiom.
Mitt ytterligare axiom har konsekvensen "det finns oändligt många
primtalstvillingar". Denna konsekvens kan testas genom bananräkning
i exakt samma bemärkelse (om någon) i vilken "det finns oändligt
många primtal" kan testas genom bananräkning.
| |
Jeppe Stig Nielsen (25-05-2004)
| Kommentar
Fra : Jeppe Stig Nielsen |
Dato : 25-05-04 18:47 |
|
Henning Makholm wrote:
>
> Du spørger den forkerte deltager i diskussionen. Jeg har ikke påstået
> af de uendelig mange primtal er direkte påviselige empirisk.
Jeg melder mig under fanerne for dem der ikke forstår diskussionen. Vi
har jo i forvejen et velkendt argument for at der ikke kun kan være
endeligt mange multiplikativt irreducible naturlige tal.
Euklid: Betragt p1·p2·p3·...·pn + 1
Jeg kan ikke se hvordan denne diskussions skelnen mellem empiriske og
ikkeempiriske begrundelser kan give rigtig mening.
--
Jeppe Stig Nielsen <URL: http://jeppesn.dk/>. «
"Je n'ai pas eu besoin de cette hypothèse (I had no need of that
hypothesis)" --- Laplace (1749-1827)
| |
Henning Makholm (26-05-2004)
| Kommentar
Fra : Henning Makholm |
Dato : 26-05-04 01:24 |
|
Scripsit Jeppe Stig Nielsen <mail@jeppesn.dk>
> Jeg melder mig under fanerne for dem der ikke forstår diskussionen.
Den er også kringlet. Her er et forsøg på en opsummering:
Så vidt jeg husker, startede det med at Torkel blev fortørnet over at
få at vide at mængdelæren i princippet er falsificerbar. Han mente at
samme argument for man kan tvivle på mængdelæren, lige så godt kan
bruges på talteori. Vi gav ham ret, og han forsøger nu at vise at det
er absurd at tvivle på talteorien. Det gør han ved modsætningsvist at
argumentere for at hvis man *ikke* betragter talteoriens gyldighed som
en dogmatisk givet forudsætning, er der slet ikke nogen grund til at
have tillid til den overhovedet.
Per og jeg forsøger nu at forklare Torkel at *selvom* vi i princippet
kan tvivle om hvorvidt talteorien er modsigelsesfri, kan vi stadig
sagtens stole på dens resultater i dagligdagen, fordi de empirisk har
vist sig at virke. Torkel fremdragede så sætningen om primtallenes
uendelighed som et eksempel på et talteoretisk resultat som *ikke*
direkte understøttes af empiri.
Herfra løb tråden lidt af sporet, fordi Per overså at Torkels eksempel
faktisk ikke stred mod den påstand Per var ved at forsvare.
--
Henning Makholm "... not one has been remembered from the time
when the author studied freshman physics. Quite the
contrary: he merely remembers that such and such is true, and to
explain it he invents a demonstration at the moment it is needed."
| |
Jens Olsen (26-05-2004)
| Kommentar
Fra : Jens Olsen |
Dato : 26-05-04 10:03 |
|
Henning Makholm <henning@makholm.net> wrote in message news:<87wu30nihw.fsf@kreon.lan.henning.makholm.net>...
> Scripsit Jeppe Stig Nielsen <mail@jeppesn.dk>
>
> > Jeg melder mig under fanerne for dem der ikke forstår diskussionen.
>
> Den er også kringlet. Her er et forsøg på en opsummering:
>
Sådan som jeg læser diskussionen, så er vi (uden at de to kombattanter
har opdaget det) ude i den gamle diskussion om hvorvidt de matematiske
sandheder eksisterer uafhængigt og derfor opdages af matematikerne,
eller om de matematiske sandheder defineres af matematikerne idet
aksiomerne fastlægges. Den sidste udlægning er vist den mest "politisk
korrekte".
Jens Olsen
| |
Torkel Franzen (26-05-2004)
| Kommentar
Fra : Torkel Franzen |
Dato : 26-05-04 10:15 |
|
jenspolsen@hotmail.com (Jens Olsen) writes:
> Sådan som jeg læser diskussionen, så er vi (uden at de to kombattanter
> har opdaget det) ude i den gamle diskussion om hvorvidt de matematiske
> sandheder eksisterer uafhængigt og derfor opdages af matematikerne,
> eller om de matematiske sandheder defineres af matematikerne idet
> aksiomerne fastlægges.
Vilken relevans menar du att dessa alternativ har för frågan
huruvida vi på grundval av erfarenheten kan hävda att det finns
oändligt många primtal?
| |
Jens Olsen (26-05-2004)
| Kommentar
Fra : Jens Olsen |
Dato : 26-05-04 15:09 |
|
Torkel Franzen <torkel@sm.luth.se> wrote in message news:<vcb1xl7y2gf.fsf@beta19.sm.ltu.se>...
> jenspolsen@hotmail.com (Jens Olsen) writes:
>
> > Sådan som jeg læser diskussionen, så er vi (uden at de to kombattanter
> > har opdaget det) ude i den gamle diskussion om hvorvidt de matematiske
> > sandheder eksisterer uafhængigt og derfor opdages af matematikerne,
> > eller om de matematiske sandheder defineres af matematikerne idet
> > aksiomerne fastlægges.
>
> Vilken relevans menar du att dessa alternativ har för frågan
> huruvida vi på grundval av erfarenheten kan hävda att det finns
> oändligt många primtal?
At spørgsmålet om primtallene er en speciel diskussion der udspringer
af, at man ikke er afklaret omkring det generelle spørgsmål. Men det
var vel oplagt.
Mere generelt vil jeg sige, at jeg synes at begge burde redgøre for
synspunktet om hvad matematik er (et meget langt fra trivielt
spørgsmål). Hvis man er uenige her vil det forklare, hvorfor man ikke
kan blive enige om primtalsdiskussionen.
Jens Olsen
| |
Torkel Franzen (26-05-2004)
| Kommentar
Fra : Torkel Franzen |
Dato : 26-05-04 16:24 |
|
jenspolsen@hotmail.com (Jens Olsen) writes:
> Mere generelt vil jeg sige, at jeg synes at begge burde redgøre for
> synspunktet om hvad matematik er (et meget langt fra trivielt
> spørgsmål).
Vi behöver inte besvara den stora frågan "Vad är matematik?" för att
kunna konstatera att man inte på grundval av erfarenheten kan hävda
att det finns oändligt många primtal.
| |
Henning Makholm (26-05-2004)
| Kommentar
Fra : Henning Makholm |
Dato : 26-05-04 17:16 |
|
Scripsit Torkel Franzen <torkel@sm.luth.se>
> Vi behöver inte besvara den stora frågan "Vad är matematik?" för att
> kunna konstatera att man inte på grundval av erfarenheten kan hävda
> att det finns oändligt många primtal.
Det er omvendt. Så vidt vi forstår, er baggrunden for din besættelse
af spøgsmålet om primtallenes uendelighed, at du forsøger at bruge det
til et eksempel der skal vise noget om matematikkens natur.
Din sætning er efter min mening mindst lige så godt underbygget
empirisk som fx fysikernes påstand om at en planet der kredser om en
stjerne i en fremmede galakser, vil følge en eliptisk bane med
stjernen i det ene brændpunkt.
--
Henning Makholm "Vi skal nok ikke begynde at undervise hinanden i
den store regnekunst her, men jeg vil foreslå, at vi fra
Kulturministeriets side sørger for at fremsende tallene og også
give en beskrivelse af, hvordan man læser tallene. Tak for i dag!"
| |
Torkel Franzen (26-05-2004)
| Kommentar
Fra : Torkel Franzen |
Dato : 26-05-04 17:30 |
|
Henning Makholm <henning@makholm.net> writes:
> Det er omvendt. Så vidt vi forstår, er baggrunden for din besættelse
> af spøgsmålet om primtallenes uendelighed, at du forsøger at bruge det
> til et eksempel der skal vise noget om matematikkens natur.
Nej då, det handlar bara om vad som är rimligt och konsekvent när vi
pratar om matematik.
> Din sætning er efter min mening mindst lige så godt underbygget
> empirisk som fx fysikernes påstand om at en planet der kredser om en
> stjerne i en fremmede galakser, vil følge en eliptisk bane med
> stjernen i det ene brændpunkt.
Och satsen "det finns oändligt många primtalstvillingar" är i samma
mått empiriskt grundad?
| |
Henning Makholm (26-05-2004)
| Kommentar
Fra : Henning Makholm |
Dato : 26-05-04 19:29 |
|
Scripsit Torkel Franzen <torkel@sm.luth.se>
> Henning Makholm <henning@makholm.net> writes:
> > Din sætning er efter min mening mindst lige så godt underbygget
> > empirisk som fx fysikernes påstand om at en planet der kredser om en
> > stjerne i en fremmede galakser, vil følge en eliptisk bane med
> > stjernen i det ene brændpunkt.
> Och satsen "det finns oändligt många primtalstvillingar" är i samma
> mått empiriskt grundad?
Kun hvis man ser bort fra hele det deduktive system der ligger til
grund for sætningerne. Det forstår jeg ikke hvorfor du insisterer på.
--
Henning Makholm "En tapper tinsoldat. En dame i
spagat. Du er en lykkelig mand ..."
| |
Torkel Franzen (27-05-2004)
| Kommentar
Fra : Torkel Franzen |
Dato : 27-05-04 08:38 |
|
Henning Makholm <henning@makholm.net> writes:
> > Och satsen "det finns oändligt många primtalstvillingar" är i samma
> > mått empiriskt grundad?
> Kun hvis man ser bort fra hele det deduktive system der ligger til
> grund for sætningerne. Det forstår jeg ikke hvorfor du insisterer på.
Satsen "Det finns oändligt många primtal" har vi ju ett bevis för,
och alltså behöver vi inte ägna oss åt någon bananräkning
överhuvudtaget för att konstatera att det finns ett primtal större
än k, för godtyckligt k. Om vi bara ser till "empirisk grund" finns det
ingen skillnad mellan den bevisade utsagan "Det finns oändligt många
primtal" och den obevisade "Det finns oändligt många
primtalstvillingar".
Mitt tjatande om detta har utgått från den i diskussionen framförda
tanken att vi har anledning att tro på bevis i matematiken eftersom
hvis vi tager er system fra naturen, overfører det til
matematikken, laver beviser i matematikken, og overfører dem tilbage
til naturen, så viser vores erfaring at de passer. Vi har altså
empirisk belæg for at tro på matematikken.
Mot detta har jag med användning av exemplet ovan anfört att (i) dessa
påstådda "empiriska belägg" är, i empiriskt betraktande, av särdeles
uselt slag, och (ii) i den mån man anser att sådana empiriska belägg
stöder "tro på matematikken" kan man med lika rätt anse att de
stöder tro på alla möjliga obevisade matematiska påståenden.
| |
Henning Makholm (27-05-2004)
| Kommentar
Fra : Henning Makholm |
Dato : 27-05-04 13:27 |
|
Scripsit Torkel Franzen <torkel@sm.luth.se>
> Henning Makholm <henning@makholm.net> writes:
> > Kun hvis man ser bort fra hele det deduktive system der ligger til
> > grund for sætningerne. Det forstår jeg ikke hvorfor du insisterer på.
> Satsen "Det finns oändligt många primtal" har vi ju ett bevis för,
> och alltså behöver vi inte ägna oss åt någon bananräkning
Netop. Derfor forstår jeg ikke hvorfor du er så forhippet på at
diskutere om den kan verificeres uafhængigt af det dekduktive system.
> hvis vi tager er system fra naturen, overfører det til
> matematikken, laver beviser i matematikken, og overfører dem tilbage
> til naturen, så viser vores erfaring at de passer. Vi har altså
> empirisk belæg for at tro på matematikken.
> Mot detta har jag med användning av exemplet ovan anfört att (i) dessa
> påstådda "empiriska belägg" är, i empiriskt betraktande, av särdeles
> uselt slag,
Dit eksempel passer ikke på det argument du bruger det mod. Citatet
siger nemlig ikke (som du åbenbart tror) at *enhver* deduktiv
konsekvens kan afprøves empirisk - tværtimod. Det siger at de
sætninger der *kan* afprøves empirisk viser sig at passe, og det er
noget ganske andet.
--
Henning Makholm "Jeg har tydeligt gjort opmærksom på, at man ved at
følge den vej kun bliver gennemsnitligt ca. 48 år gammel,
og at man sætter sin sociale situation ganske overstyr og, så
vidt jeg kan overskue, dør i dybeste ulykkelighed og elendighed."
| |
Torkel Franzen (27-05-2004)
| Kommentar
Fra : Torkel Franzen |
Dato : 27-05-04 14:09 |
|
Henning Makholm <henning@makholm.net> writes:
> Dit eksempel passer ikke på det argument du bruger det mod. Citatet
> siger nemlig ikke (som du åbenbart tror) at *enhver* deduktiv
> konsekvens kan afprøves empirisk - tværtimod. Det siger at de
> sætninger der *kan* afprøves empirisk viser sig at passe, og det er
> noget ganske andet.
Du vill alltså, till skillnad från Per, inte hävda att satsen "Det
finns oändligt många primtal" kan testas empiriskt. Vilka matematiska
teorem skulle du säga kan testas empiriskt?
| |
Henning Makholm (27-05-2004)
| Kommentar
Fra : Henning Makholm |
Dato : 27-05-04 14:34 |
|
Scripsit Torkel Franzen <torkel@sm.luth.se>
> Henning Makholm <henning@makholm.net> writes:
> > Dit eksempel passer ikke på det argument du bruger det mod. Citatet
> > siger nemlig ikke (som du åbenbart tror) at *enhver* deduktiv
> > konsekvens kan afprøves empirisk - tværtimod. Det siger at de
> > sætninger der *kan* afprøves empirisk viser sig at passe, og det er
> > noget ganske andet.
> Du vill alltså, till skillnad från Per, inte hävda att satsen "Det
> finns oändligt många primtal" kan testas empiriskt.
Det var du længe om at forstå.
> Vilka matematiska teorem skulle du säga kan testas empiriskt?
Tja, fx har jeg lige, mellem jeg skrev ordene "lige" og "mellem",
eftervist at 5*5-1=4*6=3*8 ved at tælle pistacienødder.
I større skala sker der en eftervisning af at de (ganske omfattende)
udregninger der ligger bag designet af min computer, virker, ved at
den opfører sig som forventet når jeg skriver dette.
Jeg taster dette indlæg gennem en ssh-forbindelse. Den anvender
kryptering som afhænger af ikke-triviel talteori. At klarteksten
overhovedet går genkendeligt igennem, er en bekræftelse af at den
pågældende talteori virker.
--
Henning Makholm "Also, the letters are printed. That makes the task
of identifying the handwriting much more difficult."
| |
Torkel Franzen (27-05-2004)
| Kommentar
Fra : Torkel Franzen |
Dato : 27-05-04 14:49 |
|
Henning Makholm <henning@makholm.net> writes:
> Jeg taster dette indlæg gennem en ssh-forbindelse. Den anvender
> kryptering som afhænger af ikke-triviel talteori. At klarteksten
> overhovedet går genkendeligt igennem, er en bekræftelse af at den
> pågældende talteori virker.
Se så, nu undviker du frågan. I vanlig talteori ingår teoremet
"det finns oändligt många primtal" som du inte menar kan testas.
Vad menar du kan testas? Skulle du kanske inskränka de testbara
matematiska teoremen till beräkningsutsagor som i praktiken kan
verifieras eller falsifieras?
| |
Henning Makholm (27-05-2004)
| Kommentar
Fra : Henning Makholm |
Dato : 27-05-04 15:21 |
|
Scripsit Torkel Franzen <torkel@sm.luth.se>
> Henning Makholm <henning@makholm.net> writes:
> > Jeg taster dette indlæg gennem en ssh-forbindelse. Den anvender
> > kryptering som afhænger af ikke-triviel talteori. At klarteksten
> > overhovedet går genkendeligt igennem, er en bekræftelse af at den
> > pågældende talteori virker.
> Se så, nu undviker du frågan.
Nej.
> I vanlig talteori ingår teoremet "det finns oändligt många primtal"
> som du inte menar kan testas.
Ja. Jeg ser ikke nogen grund til at mene at det enten er alle eller
ingen af talteoriens teoremer der kan afprøves i praksis.
> Skulle du kanske inskränka de testbara matematiska teoremen till
> beräkningsutsagor som i praktiken kan verifieras eller falsifieras?
Jeg ser ikke nogen betydningsmæssig forskel på "testbara" og "som i
praktiken kan verifieras eller falsifieras".
--
Henning Makholm "Nej, hvor er vi altså heldige! Længe
leve vor Buxgører Sansibar Bastelvel!"
| |
Torkel Franzen (27-05-2004)
| Kommentar
Fra : Torkel Franzen |
Dato : 27-05-04 15:34 |
|
Henning Makholm <henning@makholm.net> writes:
> > Skulle du kanske inskränka de testbara matematiska teoremen till
> > beräkningsutsagor som i praktiken kan verifieras eller falsifieras?
>
> Jeg ser ikke nogen betydningsmæssig forskel på "testbara" og "som i
> praktiken kan verifieras eller falsifieras".
OK, så en utsaga av formen "Det finns ett primtal mellan k och 2k"
är bara testbar om det i praktiken är möjligt att utföra en beräkning
som hittar ett primtal mellan k och 2k eller visar att det inte finns
något sådant primtal. Är det då riktigt att säga att du ansluter dig
till Pers tes i så måtto att du menar att vi har empiriska grunder för
att tro att alla konsekvenser av vanlig matematik som i denna
bemärkelse är testbara också är giltiga?
| |
Henning Makholm (27-05-2004)
| Kommentar
Fra : Henning Makholm |
Dato : 27-05-04 16:24 |
|
Scripsit Torkel Franzen <torkel@sm.luth.se>
> OK, så en utsaga av formen "Det finns ett primtal mellan k och 2k"
> är bara testbar om det i praktiken är möjligt att utföra en beräkning
> som hittar ett primtal mellan k och 2k eller visar att det inte finns
> något sådant primtal.
Det kan afprøves konkret for et bestemt k ad gangen, med mindre det
pågældende k er større end det forhåndenværende antal bananer.
*Hvis* man anerkender et vist mål af indirektion i afprøvningen kan
man også afprøve det for k som er større end man har bananer til, men
allerede der begynder udsagnet at handle om tegnfølger på papir
snarere end banantælleri.
> Är det då riktigt att säga att du ansluter dig till Pers tes i så
> måtto att du menar att vi har empiriska grunder för att tro att alla
> konsekvenser av vanlig matematik som i denna bemärkelse är testbara
> också är giltiga?
Nej, det er stadig en omvendt formulering.
Det er en *erfaring* at alle konsekvenser af talteori som vi har haft
lejlighed til at prøve i praksis, er gyldige.
Denne erfaring er det empiriske grundlag for at forvente at også de
konsekvenser som ikke har været udtrykkeligt afprøvet, er gyldige -
idet talteorien er den simpleste teori som gør rede for alle de
konsekvenser som *har* været afprøvet.
--
Henning Makholm "De kan rejse hid og did i verden nok så flot
Og er helt fortrolig med alverdens militær"
| |
Henning Makholm (27-05-2004)
| Kommentar
Fra : Henning Makholm |
Dato : 27-05-04 16:29 |
|
Scripsit Henning Makholm <henning@makholm.net>
> Scripsit Torkel Franzen <torkel@sm.luth.se>
> > Är det då riktigt att säga att du ansluter dig till Pers tes i så
> > måtto att du menar att vi har empiriska grunder för att tro att alla
> > konsekvenser av vanlig matematik som i denna bemärkelse är testbara
> > också är giltiga?
> Nej, det er stadig en omvendt formulering.
Ved nøjere eftersyn var den vist ikke omvendt alligevel.
--
Henning Makholm "... a specialist in the breakaway
oxidation phenomena of certain nuclear reactors."
| |
Torkel Franzen (27-05-2004)
| Kommentar
Fra : Torkel Franzen |
Dato : 27-05-04 18:12 |
|
Henning Makholm <henning@makholm.net> writes:
> Det er en *erfaring* at alle konsekvenser af talteori som vi har haft
> lejlighed til at prøve i praksis, er gyldige.
>
> Denne erfaring er det empiriske grundlag for at forvente at også de
> konsekvenser som ikke har været udtrykkeligt afprøvet, er gyldige -
> idet talteorien er den simpleste teori som gør rede for alle de
> konsekvenser som *har* været afprøvet.
Detta är föga övertygande. För det första: det är grovt
ovetenskapligt och icke-empiriskt att dra några slutsatser om de
testbara konsekvenserna av talteorin med mindre än att vi faktiskt
försökt hitta falska konsekvenser av teorin. Talteorin har ett
obestämt antal slutsatser av praktiskt prövbart slag: var hittar vi
några systematiska försök att vederlägga dessa slutsatser? Misstanken
ligger nära till hands att detta prat om empiriska tester är blott och
bart fromma fantasier, att vi i själva verket är övertygade om
sanningen av matematikens prövbara konsekvenser eftersom vi vet att
resultaten har bevisats. För det andra, i den mån man anser det
empiriskt styrkt att våra matematiska teorier endast har korrekta
testbara konsekvenser kan man med exakt samma rätt anse det empiriskt
styrkt att diverse obevisade matematiska påståenden endast har
korrekta testbara konsekvenser. Vad har matematiska bevis
överhuvudtaget för roll att spela?
| |
Henning Makholm (27-05-2004)
| Kommentar
Fra : Henning Makholm |
Dato : 27-05-04 18:18 |
|
Scripsit Torkel Franzen <torkel@sm.luth.se>
> Henning Makholm <henning@makholm.net> writes:
> > Denne erfaring er det empiriske grundlag for at forvente at også de
> > konsekvenser som ikke har været udtrykkeligt afprøvet, er gyldige -
> > idet talteorien er den simpleste teori som gør rede for alle de
> > konsekvenser som *har* været afprøvet.
> Detta är föga övertygande.
Det er din sag.
--
Henning Makholm "Det er jo svært at vide noget når man ikke ved det, ikke?"
| |
Torkel Franzen (27-05-2004)
| Kommentar
Fra : Torkel Franzen |
Dato : 27-05-04 18:26 |
|
Henning Makholm <henning@makholm.net> writes:
> Det er din sag.
Jo, liksom konstaterandet att det är föga övertygande om någon säger
"Min formel för att beräkna en människas återstående livslängd på
grundval av antalet hår på människans huvud har visat sig stämma för
Nixon och Johnson, och alltså har jag god grund för att hävda att den
stämmer för alla människor."
| |
Henning Makholm (26-05-2004)
| Kommentar
Fra : Henning Makholm |
Dato : 26-05-04 17:12 |
|
Scripsit jenspolsen@hotmail.com (Jens Olsen)
> Sådan som jeg læser diskussionen, så er vi (uden at de to kombattanter
> har opdaget det) ude i den gamle diskussion om hvorvidt de matematiske
> sandheder eksisterer uafhængigt og derfor opdages af matematikerne,
> eller om de matematiske sandheder defineres af matematikerne idet
> aksiomerne fastlægges.
Ja. (Men jeg forstår ikke helt hvordan du mener nogen kan have overset
dét).
--
Henning Makholm "They discussed old Tommy Somebody and Jerry Someone Else."
| |
Jeppe Stig Nielsen (26-05-2004)
| Kommentar
Fra : Jeppe Stig Nielsen |
Dato : 26-05-04 15:33 |
|
Henning Makholm wrote:
>
> Herfra løb tråden lidt af sporet, fordi Per overså at Torkels eksempel
> faktisk ikke stred mod den påstand Per var ved at forsvare.
På nuværende tidspunkt er Torkels pointe måske at man ikke kan afgøre
om der er uendeligt mange primtal (eller primtalstvillinger) ved at
sige: Erfaringsmæssigt har vi altid fundet et større, ergo er der ikke
et største.
Den slags går ikke som matematisk bevis. Der kendes som bekendt intet
matematisk bevis for at der er uendeligt mange primtalstvillinger.
Ethvert argument for at der er uendeligt mange primtal som samtidig
virker lige så godt i primtalstvillingetilfældet, må derfor enten
være ugyldigt som matematisk bevis eller et sensationelt gennembrud.
Men det er muligvis en helt tredje diskussion.
--
Jeppe Stig Nielsen <URL: http://jeppesn.dk/>. «
"Je n'ai pas eu besoin de cette hypothèse (I had no need of that
hypothesis)" --- Laplace (1749-1827)
| |
Martin Larsen (26-05-2004)
| Kommentar
Fra : Martin Larsen |
Dato : 26-05-04 16:16 |
|
"Jeppe Stig Nielsen" <mail@jeppesn.dk> skrev i en meddelelse news:40B4AAB6.83521B89@jeppesn.dk...
> Den slags går ikke som matematisk bevis. Der kendes som bekendt intet
> matematisk bevis for at der er uendeligt mange primtalstvillinger.
Nej, men der var et lovende forsøg sidste år. Såeh måske sidder
der nogen et sted og roder med beviset.
http://articles.findarticles.com/p/articles/mi_m1200/is_22_163/ai_103565255
Mvh
Martin
| |
Per Abrahamsen (28-05-2004)
| Kommentar
Fra : Per Abrahamsen |
Dato : 28-05-04 17:51 |
|
jenspolsen@hotmail.com (Jens Olsen) writes:
> Per Abrahamsen <abraham@dina.kvl.dk> wrote in message news:<rj65ah11ek.fsf@sheridan.dina.kvl.dk>...
>> Det sidste er Platons ide om vores verden som en skygge af den ideelle,
>> og går ganske rigtigt noget længere tilbage end dem jeg talte om.
>
> Nu udstrakte Platons ide sig jo (mildt sagt) til noget mere end blot
> matematiske objekter. Så jeg er ikke sikker, på at jeg er særlig enige
> i, at det er samme ide.
Det er nok også for stærkt formuleret, så lad os nøjes med at sige at
det er en platonisk måde at anskue matematikken på.
| |
Henrik (26-05-2004)
| Kommentar
Fra : Henrik |
Dato : 26-05-04 07:37 |
|
Per Abrahamsen <abraham@dina.kvl.dk> wrote in message news:<rj4qq41tsx.fsf@sheridan.dina.kvl.dk>...
> Torkel Franzen <torkel@sm.luth.se> writes:
>
> > Att det finns oändligt primtal är ingenting som vi kan hävda med
> > hänvisning till empiriska belägg.
>
> Er der andre her end Torkel der på nuværende tidspunkt deler
> ovenstående opfattelse?
Ja, jag delar hans uppfattning.
>
> Jeg har på nuværende tidspunkt rigelig empirisk belæg for at hævde at
> mine pædagogiske evner ikke rækker til at få Torkel til at skifte
> standpunkt. Så med mindre andre vil blande sig i diskussionen, så vil
> jeg overlade ham til hans egen verden.
| |
Per Abrahamsen (28-05-2004)
| Kommentar
Fra : Per Abrahamsen |
Dato : 28-05-04 08:01 |
|
jenspolsen@hotmail.com (Jens Olsen) writes:
> Hvad jeg mener med politisk korrekt er, at det, så vidt jeg har
> forstået, opfattes som mere i tråd med den korrekte opfattelse (blandt
> matematikere) af matematik som en rent logisk aksiomatisk opbygget
> videnskab at sige, at "de matematiske sandheder defineres af
> matematikerne idet aksiomerne fastlægges". Men at matematikerne i
> enerum og efter midnat snarere mener, at "de matematiske sandheder
> eksisterer uafhængigt".
Det sidste er Platons ide om vores verden som en skygge af den ideelle,
og går ganske rigtigt noget længere tilbage end dem jeg talte om.
Er matematikkere opfindere eller opdagelsesrejsende? Jeg ser ikke de
to opfattelser som rigtige eller forkerte. Det er mentale
hjælpemidler til at tænke over matematik, som kan være nyttige i
forskellige situationer for forskellige mennesker.
Torkel har derimod ikke bare en anden måde at opfatte samme situation
på. Han tager faktuelt fejl. Matematikken *er* valideret empirisk,
på naturvidenskabens præmisser. Og matematikken er *ikke* valideret
på sine egne præmisser. De to sætninger er sande, uanset om vi anser
matematikken for at eksistere uafhængigt, eller "kun" som konstruktion
af matematikkerne.
| |
Torkel Franzen (28-05-2004)
| Kommentar
Fra : Torkel Franzen |
Dato : 28-05-04 08:44 |
|
Per Abrahamsen <abraham@dina.kvl.dk> writes:
> Matematikken *er* valideret empirisk, på naturvidenskabens præmisser.
Denna tes är sorgligt ovetenskaplig och icke-empirisk. Det är nog
bara när de talar om matematiken som föregivna empiriker kan få för
sig att hävda att man har empiriskt stöd för vittomfattande teorier
utan att ha försökt genomföra någon som helst systematisk testning av
dem.
| |
Jens Olsen (28-05-2004)
| Kommentar
Fra : Jens Olsen |
Dato : 28-05-04 12:51 |
|
Per Abrahamsen <abraham@dina.kvl.dk> wrote in message news:<rj65ah11ek.fsf@sheridan.dina.kvl.dk>...
> Det sidste er Platons ide om vores verden som en skygge af den ideelle,
> og går ganske rigtigt noget længere tilbage end dem jeg talte om.
Nu udstrakte Platons ide sig jo (mildt sagt) til noget mere end blot
matematiske objekter. Så jeg er ikke sikker, på at jeg er særlig enige
i, at det er samme ide.
> Torkel har derimod ikke bare en anden måde at opfatte samme situation
> på. Han tager faktuelt fejl. Matematikken *er* valideret empirisk,
> på naturvidenskabens præmisser. Og matematikken er *ikke* valideret
> på sine egne præmisser. De to sætninger er sande, uanset om vi anser
> matematikken for at eksistere uafhængigt, eller "kun" som konstruktion
> af matematikkerne.
Hmmm, jeg ved snart ikke. Det er vel i hvert tilfælde sandt, at enhver
matematisk teori vil indeholde sætninger (hvor begrænset interessante
de end måtte være), der kan efterprøves ved en "afbildning" af den
matematiske teori i den fysiske verden. Det modsatte ville jo ellers
kræve, at vi var istand til at forestille os et mentale objekt, der
ikke på nogen måde kunne repræsenteres ved en (symbolsk) afbildning i
den fysiske verden.
Men det er vel ikke det samme som, at enhver sætning i en matematisk
teori med tilstrækkelig ihærdighed og tid til rådighed ville kunne
afprøves "imperisk". Særligt kunne det vel f.eks. være et problem når
vi taler om uendeligheder og andre patologiske abstraktioner.
Jens Olsen
| |
Henning Makholm (28-05-2004)
| Kommentar
Fra : Henning Makholm |
Dato : 28-05-04 15:55 |
|
Scripsit jenspolsen@hotmail.com (Jens Olsen)
> Men det er vel ikke det samme som, at enhver sætning i en matematisk
> teori med tilstrækkelig ihærdighed og tid til rådighed ville kunne
> afprøves "imperisk".
Og det er jo netop heller ikke det Per siger. Han siger at hvis de
sætninger der *kan* valideres empirisk, holder i praksis, så er *hele*
teorien også empirisk understøttet, med mindre den indeholder
overflødige antagelser (dvs antagelser der ikke medfører nogen
empirisk validerbare udsagn).
--
Henning Makholm "Unmetered water, dear. Run it deep."
| |
Jens Olsen (06-05-2004)
| Kommentar
Fra : Jens Olsen |
Dato : 06-05-04 13:43 |
|
Jesper Stocholm <j@stocholm.invalid> wrote in message news:<Xns94E15BB6DB226stocholmdk@130.225.247.90>...
> Jeg sad for nyligt i en diskussion med en bekendt, hvor vi snakkede om
> matematik. Min bekendte kategoriserede matematikken som en ufuldstændig
> videnskab, og hans argumentation var, at der - ifølge ham - stadig var
> uløste problemer i matematikken, hvor en eventuel afvisning af en et eller
> flere forhold, simpelthen ville få matematikken til at falde fra hinanden.
Hvad mente din bekendte??? Jeg forstår ikke hvad det er han siger. Det
virker meget, meget vagt og upræcist.
Videnskab er som bekendt en aksiomatisk videnskab. Mener han, at det
slet ikke duer at opbygge en videnskab aksiomatisk? På hvilken måde
ikke duer???
Eller mener han, at der i bestemte matematiske teorier er noget galt
med hvilke aksiomer man har valgt at antage?
Eller mener han, at der er bestemte matematiske teorier der ikke
stemmer overens med den virkelige verden? Hvad det så end måtte
betyde!
Eller har han bare fået ufuldstændighedsteoremet galt i halsen?
Jeg forstår ikke hvad han mener?
Hvad baggrund har din bekendte?
Jens Olsen
| |
Jens Olsen (06-05-2004)
| Kommentar
Fra : Jens Olsen |
Dato : 06-05-04 13:46 |
|
Jeg prøver lige igen med en mere korrekt version
Jesper Stocholm <j@stocholm.invalid> wrote in message news:<Xns94E15BB6DB226stocholmdk@130.225.247.90>...
> Jeg sad for nyligt i en diskussion med en bekendt, hvor vi snakkede om
> matematik. Min bekendte kategoriserede matematikken som en ufuldstændig
> videnskab, og hans argumentation var, at der - ifølge ham - stadig var
> uløste problemer i matematikken, hvor en eventuel afvisning af en et eller
> flere forhold, simpelthen ville få matematikken til at falde fra hinanden.
Hvad mente din bekendte??? Jeg forstår ikke hvad det er han siger. Det
virker meget, meget vagt og upræcist.
Matematik er som bekendt en aksiomatisk videnskab. Mener han, at det
slet ikke duer at opbygge en videnskab aksiomatisk? På hvilken måde
ikke duer???
Eller mener han, at der i bestemte matematiske teorier er noget galt
med hvilke aksiomer man har valgt at antage?
Eller mener han, at der er bestemte matematiske teorier der ikke
stemmer overens med den virkelige verden? Hvad det så end måtte
betyde!
Eller har han bare fået ufuldstændighedsteoremet galt i halsen?
Jeg forstår ikke hvad han mener?
Hvad baggrund har din bekendte?
Jens Olsen
| |
Jesper Stocholm (06-05-2004)
| Kommentar
Fra : Jesper Stocholm |
Dato : 06-05-04 14:22 |
|
jenspolsen@hotmail.com (Jens Olsen) wrote in
news:33ac1086.0405060445.75485f93@posting.google.com:
> Jeg prøver lige igen med en mere korrekt version
>
> Jesper Stocholm <j@stocholm.invalid> wrote in message
> news:<Xns94E15BB6DB226stocholmdk@130.225.247.90>...
>> Jeg sad for nyligt i en diskussion med en bekendt, hvor vi snakkede
>> om matematik. Min bekendte kategoriserede matematikken som en
>> ufuldstændig videnskab, og hans argumentation var, at der - ifølge
>> ham - stadig var uløste problemer i matematikken, hvor en eventuel
>> afvisning af en et eller flere forhold, simpelthen ville få
>> matematikken til at falde fra hinanden.
>
> Hvad mente din bekendte??? Jeg forstår ikke hvad det er han siger. Det
> virker meget, meget vagt og upræcist.
Det var jo netop det irriterende - nemlig at han ikke var så præcis i sin
formulering. Da jeg forklarede at al matematik er udledt af nogle
definerede aksiomer, så mente han, at "man kan ikke bruge et aksiome som
'vinkelsummen i en trekant er 180 grader', da man jo bare kunne have
valgt, at den skulle være på 200 grader". Jeg manglede "blot"
argumentationen for at det var rimeligt at opbygge en videnskab på
aksiomer.
> Matematik er som bekendt en aksiomatisk videnskab. Mener han, at det
> slet ikke duer at opbygge en videnskab aksiomatisk? På hvilken måde
> ikke duer???
se ovenfor.
> Eller mener han, at der i bestemte matematiske teorier er noget galt
> med hvilke aksiomer man har valgt at antage?
Nej, så avanceret var han ikke.
> Eller mener han, at der er bestemte matematiske teorier der ikke
> stemmer overens med den virkelige verden? Hvad det så end måtte
> betyde!
> Eller har han bare fået ufuldstændighedsteoremet galt i halsen?
Hvis jeg skal være helt ærlig, så tror jeg, at han var snublet over en
udgave af Illustreret Videnskab ved frisøren og havde læst en artikel med
overskriften "Matematikkens grundpiller lagt i ruiner" - fx omhandlende
en artikel om historisk matematik om Gödel/Hilbert eller lignende.
> Hvad baggrund har din bekendte?
Datalogi (DIKU) drop-out (er nu Steward ved SAS)
--
Jesper Stocholm http://stocholm.dk
Programmer's code comment:
//It probably makes more sense when you're stoned.
| |
(Per Røn (06-05-2004)
| Kommentar
Fra : (Per Røn |
Dato : 06-05-04 18:11 |
|
Jesper Stocholm <j@stocholm.invalid> wrote:
> > Hvad baggrund har din bekendte?
>
> Datalogi (DIKU) drop-out (er nu Steward ved SAS)
Hvor langt kom han? Dumpede han til dat 0?
--
Per Erik Rønne
| |
Jesper Stocholm (07-05-2004)
| Kommentar
Fra : Jesper Stocholm |
Dato : 07-05-04 08:48 |
|
per.ronne@doesnt.work.spam.filter.invalid (Per Røn ne) wrote in
news:1gddowm.bk4ewm13hyonmN%per.ronne@doesnt.work.spam.filter.invalid:
> Jesper Stocholm <j@stocholm.invalid> wrote:
>
>> > Hvad baggrund har din bekendte?
>>
>> Datalogi (DIKU) drop-out (er nu Steward ved SAS)
>
> Hvor langt kom han? Dumpede han til dat 0?
.... ingen anelse ... På hans udtalelser lød det som, at han enten ikke var
nået så langt - eller at det var meget lang tid siden han havde studeret
det.
--
Jesper Stocholm http://stocholm.dk
Programmer's code comment:
//It probably makes more sense when you're stoned.
| |
(Per Røn (07-05-2004)
| Kommentar
Fra : (Per Røn |
Dato : 07-05-04 10:41 |
|
Jesper Stocholm <j@stocholm.invalid> wrote:
> per.ronne@doesnt.work.spam.filter.invalid (Per Røn ne) wrote in
> news:1gddowm.bk4ewm13hyonmN%per.ronne@doesnt.work.spam.filter.invalid:
>
> > Jesper Stocholm <j@stocholm.invalid> wrote:
> >
> >> > Hvad baggrund har din bekendte?
> >>
> >> Datalogi (DIKU) drop-out (er nu Steward ved SAS)
> >
> > Hvor langt kom han? Dumpede han til dat 0?
>
> ... ingen anelse ... På hans udtalelser lød det som, at han enten ikke var
> nået så langt
Og da dat 0 er det første år af datalogistudiet, så ville det indicere
at han faldt fra allerede inden denne eksamen.
> - eller at det var meget lang tid siden han havde studeret det.
Tjae, steward [tjener på skib eller fly] ligger i hvert fald en del fra
hvad en stud.scient. forventer som fremtidig stilling.
--
Per Erik Rønne
| |
Jens Olsen (07-05-2004)
| Kommentar
Fra : Jens Olsen |
Dato : 07-05-04 12:45 |
|
Jesper Stocholm <j@stocholm.invalid> wrote in message news:<Xns94E19C572BFC4stocholmdk@130.225.247.90>...
> Det var jo netop det irriterende - nemlig at han ikke var så præcis i sin
> formulering. Da jeg forklarede at al matematik er udledt af nogle
> definerede aksiomer, så mente han, at "man kan ikke bruge et aksiome som
> 'vinkelsummen i en trekant er 180 grader', da man jo bare kunne have
> valgt, at den skulle være på 200 grader". Jeg manglede "blot"
> argumentationen for at det var rimeligt at opbygge en videnskab på
> aksiomer.
Du skulle måske anbefale din bekendte at læse bogen "The Mathematical
Experience".
En særdeles interessant og underholdende 500 siders diskussion af
hvad matematik er. Jeg læst den med stor lyst, og den er hermed
anbefalet til alle der endnu ikke har haft den glæde at læse den.
Og så er den tilmed ....hmmmm.... let læst. Dvs. let læst hvis man har
en vis beskeden baggrund.....tror jeg.
Jens Olsen
| |
Jeppe Stig Nielsen (06-05-2004)
| Kommentar
Fra : Jeppe Stig Nielsen |
Dato : 06-05-04 15:21 |
|
Jesper Stocholm wrote:
>
> Jeg sad for nyligt i en diskussion med en bekendt, hvor vi snakkede om
> matematik. Min bekendte kategoriserede matematikken som en ufuldstændig
> videnskab, og hans argumentation var, at der - ifølge ham - stadig var
> uløste problemer i matematikken, hvor en eventuel afvisning af en et eller
> flere forhold, simpelthen ville få matematikken til at falde fra hinanden.
»Stadig uløste problemer« er en misvisende beskrivelse.
Man véd at der findes matematiske udsagn (»sætninger«) som er uafgørlige,
det vil sige som hverken er sande eller falske. Man kan også have sande
sætninger for hvilke der ikke eksisterer noget bevis, tror jeg nok.
Samtidig er det principielt umuligt at være sikker på at matematikken
*ikke* indeholder indre modsigelser. Det er ikke et uløst problem, det
er en egenskab ved matematik at man aldrig kan vide at den er modsi-
gelsesfri. Skulle man opdage at matematikken (dvs. et bestemt aksiom-
system, fx Zermelo-Fraenkel) indeholder en modsigelse, er inkonsistent,
så ramler hele matematikken sammen. Rent formelt, i hvert fald. Thi i
et sådant system kan man »bevise« alt!
I praksis ville det forhåbentlig være muligt at ændre lidt i et par af
aksiomerne sådan at modsigelsen forsvandt. Denne ændring skulle helst
bevare så meget af matematikken som muligt (ellers havde alle de
specialiserede matematikere jo ikke noget at give sig til, og lediggang
er jo roden til alt ondt). Efter en sådan ændring ville man være til-
bage ved den nuværende situation hvor man ikke véd om der er modsigelser
i matematikken eller ej.
Altså: En situation hvor man véd at der *ikke* er modsigelser i mate-
matikken, kan (beviseligt!) aldrig eksistere.
--
Jeppe Stig Nielsen <URL: http://jeppesn.dk/>. «
"Je n'ai pas eu besoin de cette hypothèse (I had no need of that
hypothesis)" --- Laplace (1749-1827)
| |
Torkel Franzen (06-05-2004)
| Kommentar
Fra : Torkel Franzen |
Dato : 06-05-04 15:40 |
|
Jeppe Stig Nielsen <mail@jeppesn.dk> writes:
> Man véd at der findes matematiske udsagn (»sætninger«) som er
> uafgørlige, det vil sige som hverken er sande eller falske.
Nej, det vet man inte alls.
> Man kan også have sande
> sætninger for hvilke der ikke eksisterer noget bevis, tror jeg nok.
Bevis i vilken teori?
> Samtidig er det principielt umuligt at være sikker på at matematikken
> *ikke* indeholder indre modsigelser.
Varför det?
| |
Henning Makholm (06-05-2004)
| Kommentar
Fra : Henning Makholm |
Dato : 06-05-04 15:57 |
|
Scripsit Torkel Franzen <torkel@sm.luth.se>
> Jeppe Stig Nielsen <mail@jeppesn.dk> writes:
> > Man véd at der findes matematiske udsagn (»sætninger«) som er
> > uafgørlige, det vil sige som hverken er sande eller falske.
> Nej, det vet man inte alls.
Har du nogensinde hørt om kontinuumhypotesen. Den er - i den
mængdelære som de fleste matematiskere bruger som grundlag - bevist at
være uafhængig af aksiomerne.
> > Man kan også have sande
> > sætninger for hvilke der ikke eksisterer noget bevis, tror jeg nok.
> Bevis i vilken teori?
En hvilkensomhelst teori der omfatter de naturlige tal, addition,
multiplikation og kvantisering.,
> > Samtidig er det principielt umuligt at være sikker på at matematikken
> > *ikke* indeholder indre modsigelser.
> Varför det?
Fordi et bevis for at et aksiomsystem er modsigelsesfrit, i sig selv
vil føre til en modstrid. Det viste Gödel også.
--
Henning Makholm "Ambiguous cases are defined as those for which the
compiler being used finds a legitimate interpretation
which is different from that which the user had in mind."
| |
Torkel Franzen (06-05-2004)
| Kommentar
Fra : Torkel Franzen |
Dato : 06-05-04 16:00 |
|
Henning Makholm <henning@makholm.net> writes:
> Har du nogensinde hørt om kontinuumhypotesen. Den er - i den
> mængdelære som de fleste matematiskere bruger som grundlag - bevist at
> være uafhængig af aksiomerne.
Hur sluter du dig från oavgörbarheten av kontinuumhypotesen i ZF
till att kontinuumhypotesen är "varken sann eller falsk"?
> En hvilkensomhelst teori der omfatter de naturlige tal, addition,
> multiplikation og kvantisering.,
När du säger att det finns sanna satser A för vilka det icke
"existerar något bevis" menar du inte att det inte finns någon teori
i vilken A är bevisbar. Trivialt finns det teorier i vilka A är
> Fordi et bevis for at et aksiomsystem er modsigelsesfrit, i sig selv
> vil føre til en modstrid. Det viste Gödel også.
Ingalunda. Det finns många axiomsystem för vilka vi kan bevisa att
de är motsägelsefria.
| |
Henning Makholm (06-05-2004)
| Kommentar
Fra : Henning Makholm |
Dato : 06-05-04 17:58 |
|
Scripsit Torkel Franzen <torkel@sm.luth.se>
> Henning Makholm <henning@makholm.net> writes:
> > Har du nogensinde hørt om kontinuumhypotesen. Den er - i den
> > mængdelære som de fleste matematiskere bruger som grundlag - bevist at
> > være uafhængig af aksiomerne.
> Hur sluter du dig från oavgörbarheten av kontinuumhypotesen i ZF
> till att kontinuumhypotesen är "varken sann eller falsk"?
Ved ikke at opfatte mængdelæren som et platonisk givet system med én
kanonisk metafysisk model.
> > En hvilkensomhelst teori der omfatter de naturlige tal, addition,
> > multiplikation og kvantisering.,
> När du säger att det finns sanna satser A för vilka det icke
> "existerar något bevis" menar du inte att det inte finns någon teori
> i vilken A är bevisbar.
Nej, jeg mener at der i en given teori T findes en sætning A som
handler om naturlige tal og er sand i den "naive intuitive model"
for naturlige tal, men som ikke kan bevises i T. Det er det der er
hovedindholdet i Gödels ufuldstændighedssætning.
> > Fordi et bevis for at et aksiomsystem er modsigelsesfrit, i sig selv
> > vil føre til en modstrid. Det viste Gödel også.
> Ingalunda. Det finns många axiomsystem för vilka vi kan bevisa att
> de är motsägelsefria.
Kun ved at antage at det aksiomsystem hvori vi gennemfører
metabeviset, er pålideligt.
--
Henning Makholm "The compile-time type checker for this
language has proved to be a valuable filter which
traps a significant proportion of programming errors."
| |
Torkel Franzen (06-05-2004)
| Kommentar
Fra : Torkel Franzen |
Dato : 06-05-04 18:05 |
|
Henning Makholm <henning@makholm.net> writes:
> Ved ikke at opfatte mængdelæren som et platonisk givet system med én
> kanonisk metafysisk model.
Sluter du dig på samma sätt till att påståendet "ZF är
motsägelsefri" varken är sant eller falskt?
> Nej, jeg mener at der i en given teori T findes en sætning A som
> handler om naturlige tal og er sand i den "naive intuitive model"
> for naturlige tal, men som ikke kan bevises i T.
Att en sats inte kan bevisas i T säger ingenting alls om huruvida
den kan bevisas i betydelsen visas vara sann.
> Kun ved at antage at det aksiomsystem hvori vi gennemfører
> metabeviset, er pålideligt.
Detta är inget antagande som är speciellt för
motsägelsefrihetsbevis. Om du är skeptisk kan du med exakt samma rätt
vara skeptisk när det gäller vilka bevis som helst i matematiken,
exempelvis beviset av Dirichlets sats.
| |
Torben Ægidius Mogen~ (06-05-2004)
| Kommentar
Fra : Torben Ægidius Mogen~ |
Dato : 06-05-04 16:10 |
|
Torkel Franzen <torkel@sm.luth.se> writes:
> Jeppe Stig Nielsen <mail@jeppesn.dk> writes:
>
> > Man véd at der findes matematiske udsagn (»sætninger«) som er
> > uafgørlige, det vil sige som hverken er sande eller falske.
>
> Nej, det vet man inte alls.
Nej, en af de almindeligt (men ikke universalt) brugte logiske
aksiomer er jo "the law of the excluded middle", som siger at ethvert
matematisk udsagn er enten sandt eller falsk. Men der findes (i
ethvert konsistent aksiomatisk system, der indeholder Peanos aksiomer)
udsagn, som hverken er beviselige eller modbeviselige (bemærk
forskellen).
> > Man kan også have sande
> > sætninger for hvilke der ikke eksisterer noget bevis, tror jeg nok.
>
> Bevis i vilken teori?
Som ovenfor: I ethvert konsistent aksiomatisk system, der indeholder
Peanos aksiomer. Det er netop essensen af Goedels bevis.
> > Samtidig er det principielt umuligt at være sikker på at matematikken
> > *ikke* indeholder indre modsigelser.
>
> Varför det?
Fordi intet konsistent aksiomatisk system, der indeholder Peanos
aksiomer, kan bevise sin egen konsistens. Og det hjælper ikke noget
at lave beviset i et andet aksiomatisk system, for da har man ikke
garanti for at dette andet system er konsistent.
Torben
| |
Torkel Franzen (06-05-2004)
| Kommentar
Fra : Torkel Franzen |
Dato : 06-05-04 16:18 |
|
torbenm@diku.dk (Torben Ægidius Mogensen) writes:
> Fordi intet konsistent aksiomatisk system, der indeholder Peanos
> aksiomer, kan bevise sin egen konsistens. Og det hjælper ikke noget
> at lave beviset i et andet aksiomatisk system, for da har man ikke
> garanti for at dette andet system er konsistent.
Att Peanoaritmetiken är motsägelsefri är enkelt bevisbart i vanlig
matematik. Givetvis kan en ivrig skeptiker betvivla detta bevis! Men
då kan man lika gärna betvivla vilket matematiskt bevis som helst.
Det är inget särskilt med motsägelsefrihetsbevis i detta avseende.
| |
N/A (23-05-2004)
| Kommentar
Fra : N/A |
Dato : 23-05-04 08:18 |
|
| |
Claudio Adam (23-05-2004)
| Kommentar
Fra : Claudio Adam |
Dato : 23-05-04 08:18 |
|
Per Abrahamsen <abraham@dina.kvl.dk> skrev:
>Claudio Adam <breidholdt@OYX0Wprivat.dk> (slet OYX0W) writes:
>
>> Naturen er vel uendelig såvel som matematiken.
>
>Ikke nødvendigvis. Det er muligt at naturen er diskret[1] og
>endelig[2]. Men den er ofte lettere at regne på som kontinuær og
>uendelig, så det gør vi.
>
>Footnotes:
>[1] Planck tid og rum
>[2] Omend den nyeste kosmologiske viden tyder på et uendeligt og
> evigt ekspanderende univers
--
Kan man sige at naturen blot er brændstof for matematikken?
ps. spørgsmål og svar der ikke er underskrevet
med for og efternavn vil ikke blive besvaret.
med venlig hilsen
Claudio Adam
www.sitecenter.dk/dannebrog
| |
Claudio Adam (23-05-2004)
| Kommentar
Fra : Claudio Adam |
Dato : 23-05-04 08:26 |
|
Per Abrahamsen <abraham@dina.kvl.dk> skrev:
>Claudio Adam <breidholdt@OYX0Wprivat.dk> (slet OYX0W) writes:
>
>> Naturen er vel uendelig såvel som matematiken.
>
>Ikke nødvendigvis. Det er muligt at naturen er diskret[1] og
>endelig[2]. Men den er ofte lettere at regne på som kontinuær og
>uendelig, så det gør vi.
>
>Footnotes:
>[1] Planck tid og rum
>[2] Omend den nyeste kosmologiske viden tyder på et uendeligt og
> evigt ekspanderende univers
Man kan sige at matematikken bruger naturen som brændstof.
--
med venlig hilsen,
Claudio Adam
www.sitecenter. dk/dannebrog
ps. spørgsmål og svar der ikke er underskrevet
med for og efternavn vil ikke blive besvaret.
| |
Jesper Harder (25-05-2004)
| Kommentar
Fra : Jesper Harder |
Dato : 25-05-04 14:10 |
|
Per Abrahamsen <abraham@dina.kvl.dk> writes:
> (Er Mathematica probabilistisk?)
Primtalstesten PrimeQ er probabilistisk -- Rabin-Miller og Lucas
pseudoprimtalstests.
--
Jesper Harder < http://purl.org/harder/>
| |
Per Rønne (25-05-2004)
| Kommentar
Fra : Per Rønne |
Dato : 25-05-04 14:29 |
|
Jesper Harder <harder@myrealbox.com> wrote:
> Per Abrahamsen <abraham@dina.kvl.dk> writes:
>
> > (Er Mathematica probabilistisk?)
>
> Primtalstesten PrimeQ er probabilistisk -- Rabin-Miller og Lucas
> pseudoprimtalstests.
Vil det sige at den kan give forkerte oplysninger? Og i øvrigt forkerte
divisorer?
--
Per Erik Rønne
| |
Jesper Harder (25-05-2004)
| Kommentar
Fra : Jesper Harder |
Dato : 25-05-04 14:46 |
|
spam@husumtoften.invalid (Per Rønne) writes:
> Jesper Harder <harder@myrealbox.com> wrote:
>
>> Primtalstesten PrimeQ er probabilistisk -- Rabin-Miller og Lucas
>> pseudoprimtalstests.
>
> Vil det sige at den kan give forkerte oplysninger?
Ja. Fra manualen:
PrimeQ[n] uses the Rabin strong pseudoprime test and the Lucas
test. This procedure has been proved correct for all n <
2.5*10E10. As of 1990, however, the procedure has not been proven
correct for larger n, and it is conceivable that it could claim
that a composite number was prime (though not vice-versa) [...]
the package Numbertheory`PrimeQ` contains a much slower PrimeQ
based on a procedure which has been proved corect for all numbers.
--
Jesper Harder < http://purl.org/harder/>
| |
Per Rønne (25-05-2004)
| Kommentar
Fra : Per Rønne |
Dato : 25-05-04 17:10 |
|
Jesper Harder <harder@myrealbox.com> wrote:
> spam@husumtoften.invalid (Per Rønne) writes:
>
> > Jesper Harder <harder@myrealbox.com> wrote:
> >
> >> Primtalstesten PrimeQ er probabilistisk -- Rabin-Miller og Lucas
> >> pseudoprimtalstests.
> >
> > Vil det sige at den kan give forkerte oplysninger?
>
> Ja. Fra manualen:
>
> PrimeQ[n] uses the Rabin strong pseudoprime test and the Lucas
> test. This procedure has been proved correct for all n <
> 2.5*10E10. As of 1990, however, the procedure has not been proven
> correct for larger n, and it is conceivable that it could claim
> that a composite number was prime (though not vice-versa) [...]
> the package Numbertheory`PrimeQ` contains a much slower PrimeQ
> based on a procedure which has been proved corect for all numbers.
Min Teacher's Edition synes kun at indeholde følgende pakke om
nummerteori: NumberTheory`ContinuedFractions`. Og her er ingen PrimeQ.
Jeg ser dog ingen grund til at købe den store Mathematica-udgave af den
grund.
--
Per Erik Rønne
| |
|
|