---

Jeg er faldet over denne opgave:
http://www.emu.dk/gym/fag/ma/opgavehjoernet/opgaver/208.pdf
Jeg forstår slet ikke hvad jeg skal.

Fra gymnasiet er jeg jo vand til at finde løsninger som (x,0),

Kan løsningen være så let som

(x,sqrt(1+x+x^2+x^3+x^4))
og
(x,-sqrt(1+x+x^2+x^3+x^4))

Det findes jo ikke et endeligt antal talpar (x,y) der opfylder ligningen.

--
Mvh
Anders Lund
Anders@GEDzaim.dk
Fjern geden fra min email adresse

---

"Anders Lund" <anders@GEDzaim.dk> wrote in news:c4rql7$rd8$1@sunsite.dk:

> Jeg er faldet over denne opgave:
> http://www.emu.dk/gym/fag/ma/opgavehjoernet/opgaver/208.pdf
> Jeg forstår slet ikke hvad jeg skal.

Du skal finde alle par af hele tal der opfylder ligningen.
(x, y) = (0, 1) opfylder fx. ligningen


> Kan løsningen være så let som
> (x,sqrt(1+x+x^2+x^3+x^4))
> (x,-sqrt(1+x+x^2+x^3+x^4))

Nej, for sqrt(1 + x + ... + x^4) er jo ikke altid et heltal


> Det findes jo ikke et endeligt antal talpar (x,y) der opfylder
> ligningen.

Nu har jeg ikke kigget specielt meget på opgaven; men det skulle ikke
undre mig om der kun er meget få løsninger.

Mit gæt er, at 1 + x + ... + x^4 skal omskrives til noget 'smart'.

---

Claus Christiansen wrote:
>
> > http://www.emu.dk/gym/fag/ma/opgavehjoernet/opgaver/208.pdf
>
> Mit gæt er, at 1 + x + ... + x^4 skal omskrives til noget 'smart'.

Hvis man kender kvotientrækker, tænker man straks:

1 + x + x^2 + x^3 + x^4 = (1 - x^5)/(1 - x)

hvilket kan bevises ved at gange med (1-x). Men nytter det noget?

Polynomiet 1 + x + x^2 + x^3 + x^4 er irreducibelt (det er det femte
cyklotomiske polynomium). Men derfor kan det jo godt omskrives på anden
vis, fx til

1 + x + x^2 + x^3 + x^4 = 1 + x(1+x)(1+x²)

Hmm... Måske skulle vi vente med at løse opgaven til svarfristen er
udløbet, se http://www.emu.dk/gym/fag/ma/opgavehjoernet/

--
Jeppe Stig Nielsen <URL:http://jeppesn.dk/>. «

"Je n'ai pas eu besoin de cette hypothèse (I had no need of that
hypothesis)" --- Laplace (1749-1827)

---

"Anders Lund" <anders@GEDzaim.dk> skrev i en meddelelse news:c4rql7$rd8$1@sunsite.dk...
> Jeg er faldet over denne opgave:
> http://www.emu.dk/gym/fag/ma/opgavehjoernet/opgaver/208.pdf
> Jeg forstår slet ikke hvad jeg skal.
>
> Fra gymnasiet er jeg jo vand til at finde løsninger som (x,0),
>
> Kan løsningen være så let som
>
> (x,sqrt(1+x+x^2+x^3+x^4))
> og
> (x,-sqrt(1+x+x^2+x^3+x^4))
>
> Det findes jo ikke et endeligt antal talpar (x,y) der opfylder ligningen.
>
Det skal være heltalsløsninger, fx (-1,1),(-1,-1)

Mvh
Martin

---

"Anders Lund" <anders@GEDzaim.dk> writes:

> Det findes jo ikke et endeligt antal talpar (x,y) der opfylder ligningen.

Som der står skal ligningen løses 'inden for de hele tal', det betyder
at x og y skal være hele tal, og så er der sandsynligvis (jeg har ikke
regnet efter) kun et endeligt antal løsninger.

..Henrik

--
"Gud har skabt de hele tal, alt andet er menneskeværk" - Kronecker
"Gud har 'INTET' skabt. Alt andet er menneskeværk" - Flemming Topsøe

---

Henrik Christian Grove wrote:
> "Anders Lund" <anders@GEDzaim.dk> writes:
>
>> Det findes jo ikke et endeligt antal talpar (x,y) der opfylder
>> ligningen.
>
> Som der står skal ligningen løses 'inden for de hele tal', det betyder
> at x og y skal være hele tal, og så er der sandsynligvis (jeg har ikke
> regnet efter) kun et endeligt antal løsninger.

Det er indlysende at der kun er endeligt mange. Ser vi bort fra værdier i
nærheden af 0 må y være større end x^2, da x^4 bidrager til summen. Men x^4
vokser så hurtigt at de andre til sidst ikke vil kunne levere et bidrag,
der gør (x, x^2+1) til en mulig løsning.

Et hurtigt eksperiment med Excel finder tre løsninger. Men *hvorfor* er der
kun de tre løsninger?

(Man kan selvfølgelig i sin løsning fortsætte ovennævnte argument og finde
ud af præcis hvor stor x skal være for at x^4 vokser for hurtigt - og så
udregne summen for alle værdier x herunder. Men ville det ikke næsten være
snyd?)

--
Kristian Damm Jensen damm (at) ofir (dot) dk
"I do not love the bright sword for its sharpness, nor the arrow for
its swiftness, nor the warrior for his glory. I love only that which
they defend" -- J.R.R. Tolkien

---

Kristian Damm Jensen wrote:
>
> Det er indlysende at der kun er endeligt mange. Ser vi bort fra værdier i
> nærheden af 0 må y være større end x^2, da x^4 bidrager til summen. Men x^4
> vokser så hurtigt at de andre til sidst ikke vil kunne levere et bidrag,
> der gør (x, x^2+1) til en mulig løsning.

Det er da ikke indlysende. Faktisk tror jeg ikke dit argument kan bringes
til at virke.

>
> Et hurtigt eksperiment med Excel finder tre løsninger.

Det er vel de her: (-1,±1) og (0,±1) og (3,±11)?

--
Jeppe Stig Nielsen <URL:http://jeppesn.dk/>. «

"Je n'ai pas eu besoin de cette hypothèse (I had no need of that
hypothesis)" --- Laplace (1749-1827)

---

Jeppe Stig Nielsen wrote:
> Kristian Damm Jensen wrote:
>>
>> Det er indlysende at der kun er endeligt mange. Ser vi bort fra
>> værdier i nærheden af 0 må y være større end x^2, da x^4 bidrager
>> til summen. Men x^4 vokser så hurtigt at de andre til sidst ikke vil
>> kunne levere et bidrag, der gør (x, x^2+1) til en mulig løsning.
>
> Det er da ikke indlysende. Faktisk tror jeg ikke dit argument kan
> bringes til at virke.

Du har ret. Nok vokser x^4 hurtigt, men differencen mellem (x^2)^2 og
(x^2+1)^2 er 2x^2+1 - der oplagt vokser langsommere end x^3.

>
>>
>> Et hurtigt eksperiment med Excel finder tre løsninger.
>
> Det er vel de her: (-1,±1) og (0,±1) og (3,±11)?

"Et hurtigt eksperiment" finder "naturligvis" ikke de negative y-værdier


--
Kristian Damm Jensen damm (at) ofir (dot) dk
The single best predictor of long life is not whether a person smokes
or how often he sees a doctor, but the extent to which he is satified
with his job. -- Alexander et. al.: A Pattern Language

---

"Anders Lund" <anders@GEDzaim.dk> skrev i en meddelelse
news:c4rql7$rd8$1@sunsite.dk...
> Jeg er faldet over denne opgave:
> http://www.emu.dk/gym/fag/ma/opgavehjoernet/opgaver/208.pdf
> Jeg forstår slet ikke hvad jeg skal.
>
> Fra gymnasiet er jeg jo vand til at finde løsninger som (x,0),


hihi. Opgaverne bliver så meget lettere hvis man læser dem rigtigt.


--
Mvh
Anders Lund
Anders@GEDzaim.dk
Fjern geden fra min email adresse