---

Hej

Jeg mangler lige de sidste skridt for at kunne løse følgende ligning
er der nogen der kan give et hint eller løsning på hvad jeg mangler på
forhånd tak:

100n^2 = 2^n <=>
lg 100n^2 = n <=> (vi antager at lg = logarithm med basen 2)
lg 100 + lg n^2 = n<=>
lg 100 = n - lg n^2 <=>
lg 100 = n - (lg n + lg n) <=>
lg 100 = n - 2 lg n <=> hvordan får man fjernet 2 lg n?

mvh

aimat

---

> Jeg mangler lige de sidste skridt for at kunne løse følgende ligning
> er der nogen der kan give et hint eller løsning på hvad jeg mangler på
> forhånd tak:
>

Ligningen kan ikke løses analytisk.

Du kan bruge en nummerisk metode istedet for (iteration)

---

On Thu, 25 Mar 2004 09:37:25 +0100, "bamse" <bamse@kyllingen.dkkkk>
wrote:

Nå men jeg læste et eller andet sted en løsning på et lignende problem
at ligningen er transcendental funktion. Hvilket i sig selv er et
stort fremmedord for mig... Men det korte og det lange er at
ligningen, som du siger ikke kan løse algebraisk.

Åndsvag skoleopgave :ppp

>> Jeg mangler lige de sidste skridt for at kunne løse følgende ligning
>> er der nogen der kan give et hint eller løsning på hvad jeg mangler på
>> forhånd tak:
>>
>
>Ligningen kan ikke løses analytisk.
>
>Du kan bruge en nummerisk metode istedet for (iteration)
>
>
>
>

---

aimat wrote:
>
> Jeg mangler lige de sidste skridt for at kunne løse følgende ligning
> er der nogen der kan give et hint eller løsning på hvad jeg mangler på
> forhånd tak:
>
> 100n^2 = 2^n <=>

Man kan ikke umiddelbart isolere den ubekendte i sådan en ligning. Man
kan ikke skrive løsningen op med de sædvanlige funktioner (potenser,
rødder, logaritmer, trigonometriske funktioner mv.).

Jeg har løst ligningen med en numerisk metode:
{ -0,0967 ; 0,1037 ; 14,32 }

--
Jeppe Stig Nielsen <URL:http://jeppesn.dk/>. «

"Je n'ai pas eu besoin de cette hypothèse (I had no need of that
hypothesis)" --- Laplace (1749-1827)

---

"Jeppe Stig Nielsen" <mail@jeppesn.dk> skrev i en meddelelse news:4062A735.D3AF7D78@jeppesn.dk...
>
> Jeg har løst ligningen med en numerisk metode:
> { -0,0967 ; 0,1037 ; 14,32 }
>
Det ser rigtigt ud. Hvilken metode var det? aimat finder
ikke den negative løsning, hvis ikke han sætter abs(n) i
logaritmen.

Mvh
Martin

---

Martin Larsen wrote:
>
> "Jeppe Stig Nielsen" <mail@jeppesn.dk> skrev i en meddelelse news:4062A735.D3AF7D78@jeppesn.dk...
> >
> > Jeg har løst ligningen med en numerisk metode:
> > { -0,0967 ; 0,1037 ; 14,32 }
> >
> Det ser rigtigt ud. Hvilken metode var det?

En relativt manuel én. Jeg tegnede graferne for Y=100*X^2 og Y=2^X på
en TI-83-regnemaskine. Umiddelbart var det tydeligt at grafen for den
eksponentielle funktion skar parablen to steder nær andenaksen, og
jeg fik koordinatsættene med TI-83's indbyggede funktion.

At der måtte være et tredje skæringspunkt, var klart da jeg vidste at
eksponentialfunktionen ville overhale potensfunktionen. Ved at ændre
visningsvinduet fik jeg dette sidste skæringspunkt frem.

Når man betænker den asymptotisk opførsel af de to funktioner, for X
gående mod plus/minus uendelig, er det klart at der ikke er flere
reelle løsninger end mine tre.

Jeg har ikke overvejet imaginære løsninger (komplekse tal).

--
Jeppe Stig Nielsen <URL:http://jeppesn.dk/>. «

"Je n'ai pas eu besoin de cette hypothèse (I had no need of that
hypothesis)" --- Laplace (1749-1827)

---

"Jeppe Stig Nielsen" <mail@jeppesn.dk> skrev i en meddelelse news:406455C2.1EAE25C2@jeppesn.dk...
> Martin Larsen wrote:
> >
> > "Jeppe Stig Nielsen" <mail@jeppesn.dk> skrev i en meddelelse news:4062A735.D3AF7D78@jeppesn.dk...
> > >
> > > Jeg har løst ligningen med en numerisk metode:
> > > { -0,0967 ; 0,1037 ; 14,32 }
> > >
> > Det ser rigtigt ud. Hvilken metode var det?
>
> En relativt manuel én.

Nå, jeg troede det var noget smart.

> At der måtte være et tredje skæringspunkt, var klart da jeg vidste at
> eksponentialfunktionen ville overhale potensfunktionen. Ved at ændre
> visningsvinduet fik jeg dette sidste skæringspunkt frem.

Ja, den er vanskelig at se. Tager du logaritmen bliver det nemmere.

Mvh
Martin

---

Scripsit Jeppe Stig Nielsen <mail@jeppesn.dk>

> > > Jeg har løst ligningen med en numerisk metode:
> > > { -0,0967 ; 0,1037 ; 14,32 }

[...]

> Når man betænker den asymptotisk opførsel af de to funktioner, for X
> gående mod plus/minus uendelig, er det klart at der ikke er flere
> reelle løsninger end mine tre.

> Jeg har ikke overvejet imaginære løsninger (komplekse tal).

Den reelle løsning z=14,32 hører til en hel stribe komplekse løsninger
med realdel lige under 15 [1]. De følger af at eksponentialfunktionen
dér begynder at dominere over potensfunktionen.

Plottet <http://henning.makholm.net/misc/nulpunkter.png> viser hvordan

f(z) = 2^z - 100z²

opfører sig for z med real- og imaginærdele mellem -3 og 25. Den blå
kanal af billedet viser brøkdelen af ln(|f(z)|); den røde viser
Arg(f(z)), og den grønne hvilket kvadrant f(z) ligger i.


[1] For meget store imaginærdele begynder nulpunkternes realdele at
kravle op over 15, og de kan vel i princippet blive så store det skal
være, hvis man går langt nok op af den imaginære akse.

Løseligt set må nulpunkterne vel ligge "i nærheden af" kurven givet ved
100(x²+y²)=2^x/100
<=>
y = ±sqrt(2^x/100 - x²)

--
Henning Makholm "Det nytter ikke at flygte
der er henna overalt"

---

Scripsit Henning Makholm <henning@makholm.net>

> Den reelle løsning z=14,32 hører til en hel stribe komplekse løsninger
> med realdel lige under 15 [1].

Ups, det skulle være "fra 14,32 og opefter". Jeg har ikke aflæst
præcis hvor de tre viste nulpunkter ligger, men min vurdering

> Løseligt set må nulpunkterne vel ligge "i nærheden af" kurven givet ved
> 100(x²+y²)=2^x/100
> <=>
> y = ±sqrt(2^x/100 - x²)

antyder at der nok kun er få (1 eller 3) af nulpunkterne i striben der
har realdele under 15.

Lidt nøjere analyse viser at langt fra den reelle akse nærmer
sekvensen af nulpunkter sig asymptotisk

Z[n] = ln100/ln2 + (2/ln2)ln(y[n]) + iy[n] hvor y[n] = (2n+1)*pi/ln2

--
Henning Makholm "However, the fact that the utterance by
Epimenides of that false sentence could imply the
existence of some Cretan who is not a liar is rather unsettling."

---

Henning Makholm wrote:
>
> Plottet <http://henning.makholm.net/misc/nulpunkter.png> viser hvordan
>
> f(z) = 2^z - 100z²
>
> opfører sig for z med real- og imaginærdele mellem -3 og 25. Den blå
> kanal af billedet viser brøkdelen af ln(|f(z)|); den røde viser
> Arg(f(z)), og den grønne hvilket kvadrant f(z) ligger i.

Vældig kunstnerisk! Det anede mig at der ville være uendeligt mange
komplekse løsninger (fordi 2^z = exp[(log2)·z] er periodisk med rent
imaginær periode).

--
Jeppe Stig Nielsen <URL:http://jeppesn.dk/>. «

"Je n'ai pas eu besoin de cette hypothèse (I had no need of that
hypothesis)" --- Laplace (1749-1827)

---

aimat <meang@post.com> writes:

> Hej
>
> Jeg mangler lige de sidste skridt for at kunne løse følgende ligning
> er der nogen der kan give et hint eller løsning på hvad jeg mangler på
> forhånd tak:
>
> 100n^2 = 2^n

Maple siger at man udtrykke løsningen ved hjælp af Lamberts W-funktion.

xsvar:=solve(100*x^2=2^x);

LambertW(- 1/20 ln(2)) LambertW(-1, - 1/20 ln(2))
xsvar := -2 ----------------------, -2 --------------------------,
ln(2) ln(2)

LambertW(1/20 ln(2))
-2 --------------------
ln(2)

W(x) er defineret som den inverse af følgende funktion:
f(x) = x exp(x).

Se i øvrigt mathworld:
http://mathworld.wolfram.com/LambertW-Function.html

Jeg kan ikke helt forstå det andet af de tre resultater. Her er der to
argumenter til W. Mon ikke løsningen er et komplekst tal? (Min xserver
er død igen, så jeg kan ikke check på google lige nu)

Jeg har ikke fuld kontrol over maple, men det lykkedes mig at få det
ene resultat med fsolve:

xsvar:=fsolve(100*x^2=2^x);

xsvar := .1036578164

Niels

PS: Prøv i forresten at søge på groups.google.com efter Lambert og
dk.videnskab. Emnet har været oppe et par gange før.

--
Niels L Ellegaard http://dirac.ruc.dk/~gnalle/

---

Jeg plejer at benytte excel til at løse lidt kompliceret ligining. 100n^2 =
2^n har 3 løsninger som ML opgav.


"Niels L. Ellegaard" <gnalle@ruc.dk> wrote in message
news:7wk718g7r3.fsf@i19.ruc.dk...
> aimat <meang@post.com> writes:
>
> > Hej
> >
> > Jeg mangler lige de sidste skridt for at kunne løse følgende ligning
> > er der nogen der kan give et hint eller løsning på hvad jeg mangler på
> > forhånd tak:
> >
> > 100n^2 = 2^n
>
> Maple siger at man udtrykke løsningen ved hjælp af Lamberts W-funktion.
>
> xsvar:=solve(100*x^2=2^x);
>
> LambertW(- 1/20 ln(2)) LambertW(-1, - 1/20 ln(2))
> xsvar := -2 ----------------------, -2 --------------------------,
> ln(2) ln(2)
>
> LambertW(1/20 ln(2))
> -2 --------------------
> ln(2)
>
> W(x) er defineret som den inverse af følgende funktion:
> f(x) = x exp(x).
>
> Se i øvrigt mathworld:
> http://mathworld.wolfram.com/LambertW-Function.html
>
> Jeg kan ikke helt forstå det andet af de tre resultater. Her er der to
> argumenter til W. Mon ikke løsningen er et komplekst tal? (Min xserver
> er død igen, så jeg kan ikke check på google lige nu)
>
> Jeg har ikke fuld kontrol over maple, men det lykkedes mig at få det
> ene resultat med fsolve:
>
> xsvar:=fsolve(100*x^2=2^x);
>
> xsvar := .1036578164
>
> Niels
>
> PS: Prøv i forresten at søge på groups.google.com efter Lambert og
> dk.videnskab. Emnet har været oppe et par gange før.
>
> --
> Niels L Ellegaard http://dirac.ruc.dk/~gnalle/