---

Hej -

Jeg er lidt til grin på kontoret pga. af denne påstand:

En quizdeltager har valget mellem tre låger (1, 2 og 3).
I et af skabene er der en betydelig præmie - de øvrige er tomme.
Værten spørger - og deltageren vælger låge nr. 3.
Værten er flink og standser forløbet og åbner selv låge nr. 2, som er tom.
Deltageren får nu lov til at vælge igen (altså mellem 1 og 3)

Under normale omstændigheder vil sandsynligheden for at vælge
rigtigt være ½ (50%).

Min (eller rettere en amerikansk matematikprofessors) tese er nu:

Da sandsynligheden for, at deltageren valgte korrekt første gang
kun er 1/3 (33,33%), bør han nu vælge låge nr. 1.

Er det helt forkert husket?

Er der nogen der kan bakke mig op - gerne med beviser?

Tak for hjælpen!

- Jan

---

"Jan Bang Jensby" <jbjX@promax.dk> skrev:

> Jeg er lidt til grin på kontoret pga. af denne påstand:
>
> En quizdeltager har valget mellem tre låger (1, 2 og 3).
> I et af skabene er der en betydelig præmie - de øvrige er tomme.
> Værten spørger - og deltageren vælger låge nr. 3.
> Værten er flink og standser forløbet og åbner selv låge nr. 2, som
> er tom. Deltageren får nu lov til at vælge igen (altså mellem 1 og
> 3)
>
> Under normale omstændigheder vil sandsynligheden for at vælge
> rigtigt være ½ (50%).
>
> Min (eller rettere en amerikansk matematikprofessors) tese er nu:
>
> Da sandsynligheden for, at deltageren valgte korrekt første gang
> kun er 1/3 (33,33%), bør han nu vælge låge nr. 1.
>
> Er det helt forkert husket?
>
> Er der nogen der kan bakke mig op - gerne med beviser?

Der er jo tale om to vidt forskellige situationer. At situation 2 er
opstået ved at fjerne den ene valgmulighed må være ligegyldigt.

1)
Når der er 3 låger og 1 præmie er der 1/3 chance for at vælge rigtigt.

2)
Når der er to låger og 1 præmie er der 50% chance for at vælge rigtigt

Situation 2 må være uafhængig af situation 1.

--
Morten http://miljokemi.dk

---

Morten Bjergstrøm wrote:
> "Jan Bang Jensby" <jbjX@promax.dk> skrev:
>
>> Jeg er lidt til grin på kontoret pga. af denne påstand:
>>
>> En quizdeltager har valget mellem tre låger (1, 2 og 3).
>> I et af skabene er der en betydelig præmie - de øvrige er tomme.
>> Værten spørger - og deltageren vælger låge nr. 3.
>> Værten er flink og standser forløbet og åbner selv låge nr. 2, som
>> er tom. Deltageren får nu lov til at vælge igen (altså mellem 1 og
>> 3)
>>
>> Under normale omstændigheder vil sandsynligheden for at vælge
>> rigtigt være ½ (50%).
>>
>> Min (eller rettere en amerikansk matematikprofessors) tese er nu:
>>
>> Da sandsynligheden for, at deltageren valgte korrekt første gang
>> kun er 1/3 (33,33%), bør han nu vælge låge nr. 1.
>>
>> Er det helt forkert husket?
>>
>> Er der nogen der kan bakke mig op - gerne med beviser?
>
> Der er jo tale om to vidt forskellige situationer. At situation 2 er
> opstået ved at fjerne den ene valgmulighed må være ligegyldigt.
>
> 1)
> Når der er 3 låger og 1 præmie er der 1/3 chance for at vælge rigtigt.
>
> 2)
> Når der er to låger og 1 præmie er der 50% chance for at vælge rigtigt
>
> Situation 2 må være uafhængig af situation 1.

Nej, eftersom situation 2 opstår ud fra situation 1. Quiz-værten tilfører
systemet ekstra information idet han åbner en låge.

Hvis du valgte rigtigt første gang (1/3) så er det ligegyldigt hvilken låge
værten vælger.
Hvis du valgte forkert første gang (2/3) så er der kun én mulighed for
værten, og præmie må så være bag den låge værten ikke åbner.

--
Kristian Damm Jensen damm (at) ofir (dot) dk
Vital papers will demonstrate their vitality by spontaneously moving
from where you left them to where you can't find them.

---

On 17 Mar 2004 10:51:03 GMT, "Morten Bjergstrøm"
<nospam01@miljokemi.dk> wrote:


>
>Der er jo tale om to vidt forskellige situationer. At situation 2 er
>opstået ved at fjerne den ene valgmulighed må være ligegyldigt.

Nej

>
>1)
>Når der er 3 låger og 1 præmie er der 1/3 chance for at vælge rigtigt.

Ja.
>
>2)
>Når der er to låger og 1 præmie er der 50% chance for at vælge rigtigt

Nej.

Der er stadig 3 låger. Den ene er bare åben. Så han har 2/3 chance
for gevinst hvis han skifter.

>
>Situation 2 må være uafhængig af situation 1.

Nej. Det er nemmere at forestille sig, hvis man tænker på 1000 låger.
Du vælger en. Værten åbner de 998. Vil du vælge om? Ja, nu er det
pludselig ikke så svært.

/Christian

---

Christian wrote:
> Der er stadig 3 låger. Den ene er bare åben. Så han har 2/3 chance
> for gevinst hvis han skifter.

Jeg vil nu snarere se situationen fra den anden ende - der har aldrig
været tre låger, for uanset hvilken låge du vælger i første omgang,
bliver en af de andre taget væk.

--
Ole Andersen, Copenhagen, DK * http://palnatoke.org *
I have yet to see any problem, however complicated, which, when you
looked at it in the right way, did not become still more complicated.
- Poul Anderson

---

Ole Andersen wrote:
> Christian wrote:
>> Der er stadig 3 låger. Den ene er bare åben. Så han har 2/3 chance
>> for gevinst hvis han skifter.
>
> Jeg vil nu snarere se situationen fra den anden ende - der har aldrig
> været tre låger, for uanset hvilken låge du vælger i første omgang,
> bliver en af de andre taget væk.

Ja, men det er ikke tilfældigt, hvilken låge der bliver taget væk. Det
afhænger af dit første valg. Derfor kan du ikke udelade det første valg af
betragtningen.

--
Kristian Damm Jensen damm (at) ofir (dot) dk
Nothing is so smiple that it can't get messed up.

---

Morten Bjergstrøm wrote:
>
> Der er jo tale om to vidt forskellige situationer. At situation 2 er
> opstået ved at fjerne den ene valgmulighed må være ligegyldigt.

Nej. Dette problem, Monty Hall-problemet, er diskuteret talrige gange
på webben og i bl.a. denne nyhedsgruppe. Se fx:
http://www.google.dk/groups?selm=yah8z4zqn80.fsf%40pc-043.diku.dk
http://www.google.dk/groups?selm=60u4mu%24foh%241%40news.uni-c.dk


--
Jeppe Stig Nielsen <URL:http://jeppesn.dk/>. «

"Je n'ai pas eu besoin de cette hypothèse (I had no need of that
hypothesis)" --- Laplace (1749-1827)

---

"Kristian Damm Jensen" <REdammMOVE@ofir.dk> skrev:

>> 1)
>> Når der er 3 låger og 1 præmie er der 1/3 chance for at vælge
>> rigtigt.
>>
>> 2)
>> Når der er to låger og 1 præmie er der 50% chance for at vælge
>> rigtigt
>>
>> Situation 2 må være uafhængig af situation 1.
>
> Nej, eftersom situation 2 opstår ud fra situation 1. Quiz-værten
> tilfører systemet ekstra information idet han åbner en låge.
>
> Hvis du valgte rigtigt første gang (1/3) så er det ligegyldigt
> hvilken låge værten vælger.
> Hvis du valgte forkert første gang (2/3) så er der kun én mulighed
> for værten, og præmie må så være bag den låge værten ikke åbner.

Jeg kan godt følge argumentation men hvis vi nu vender den lidt om så
får man følgende:
1/3 chance for, at der er valgt rigtigt første gang
2/3 chance for, at der vælges forkert når der fjernes en låge

I øvrigt med de samme argumenter som er brugt på de hjemmesider, der er
henvist til.

--
Morten http://miljokemi.dk

---

Morten Bjergstrøm wrote:
> "Kristian Damm Jensen" <REdammMOVE@ofir.dk> skrev:
>
>>> 1)
>>> Når der er 3 låger og 1 præmie er der 1/3 chance for at vælge
>>> rigtigt.
>>>
>>> 2)
>>> Når der er to låger og 1 præmie er der 50% chance for at vælge
>>> rigtigt
>>>
>>> Situation 2 må være uafhængig af situation 1.
>>
>> Nej, eftersom situation 2 opstår ud fra situation 1. Quiz-værten
>> tilfører systemet ekstra information idet han åbner en låge.
>>
>> Hvis du valgte rigtigt første gang (1/3) så er det ligegyldigt
>> hvilken låge værten vælger.
>> Hvis du valgte forkert første gang (2/3) så er der kun én mulighed
>> for værten, og præmie må så være bag den låge værten ikke åbner.
>
> Jeg kan godt følge argumentation men hvis vi nu vender den lidt om så
> får man følgende:
> 1/3 chance for, at der er valgt rigtigt første gang
> 2/3 chance for, at der vælges forkert når der fjernes en låge

Den bliver du sgu nødt til at skære ud i pap. Første halvdel er identisk
med første halvdel af min fremlægning. Anden halvdel er ... hvad?

Hvad mener du med at fjerne en låge? Du kan ikke bare fjerne en låge, og så
påstå at problemet er det samme. I al fald ikke uden yderligere
argumentation.

> I øvrigt med de samme argumenter som er brugt på de hjemmesider, der
> er henvist til.

Nej.

--
Kristian Damm Jensen damm (at) ofir (dot) dk
They had the best school for those whose social rank is rather higher
than their intelligence. -- Terry Pratchett

---

Jeppe Stig Nielsen <mail@jeppesn.dk> skrev:

>> Der er jo tale om to vidt forskellige situationer. At situation 2 er
>> opstået ved at fjerne den ene valgmulighed må være ligegyldigt.
>
> Nej.

Prøv at vend argumenterne om. Dvs. 1/3 chance for, at der blev valgt
rigtigt i første omgang og 2/3 chance for, at den tilbageværende ikke
valgte låge er uden gevinst.

Men den argumentation holder nok ikke.


--
Morten http://miljokemi.dk

---

Morten Bjergstrøm wrote:
>
> Prøv at vend argumenterne om. Dvs. 1/3 chance for, at der blev valgt
> rigtigt i første omgang og 2/3 chance for, at den tilbageværende ikke
> valgte låge er uden gevinst.
>
> Men den argumentation holder nok ikke.

Jo, det gør den faktisk.

Det vigtige er at værten er omhyggelig med ikke at afsløre gevinsten
når han åbner en »irrelevant« låge. Derved udpeger værten indirekte
gevinstens placering i de tilfælde hvor det første gæt var galt.

Lad os sige at én af de tre låger sprang op ved en tilfældighed (uden
at det var meningen). Så kan det være ligemeget hvilken af de to
resterende låger man vælger (forudsat at præmien ikke lå bag den låge
der allerede var gået op).

--
Jeppe Stig Nielsen <URL:http://jeppesn.dk/>. «

"Je n'ai pas eu besoin de cette hypothèse (I had no need of that
hypothesis)" --- Laplace (1749-1827)

---

"Jeppe Stig Nielsen" <mail@jeppesn.dk> wrote in message
news:40585E98.2FE695D7@jeppesn.dk...
> Lad os sige at én af de tre låger sprang op ved en tilfældighed (uden
> at det var meningen). Så kan det være ligemeget hvilken af de to
> resterende låger man vælger (forudsat at præmien ikke lå bag den låge
> der allerede var gået op).
>

Nej

Sandsynligheden afhænger ikke af om døren bliver åbnet af en med viden om
indholdet.

A priori er der 2/3 sandsynlighed for at gevinsten er bag en af de to døre
du ikke har valgt.

Det er denne fordeling som ændrer sandsynligheden ved situation 2.

Når en af dørene åbnes uden at afsløre gevinsten, så bliver mængden af din
information forøget, og det er dette som giver den skæve sandsynlighed.

/Søren

---

Scripsit "Søren Kongstad" <kongstad@kongstad.net>

> Sandsynligheden afhænger ikke af om døren bliver åbnet af en med viden om
> indholdet.

Jo.

> A priori er der 2/3 sandsynlighed for at gevinsten er bag en af de to døre
> du ikke har valgt.

Ja. Men hvis lågen springer op tilfældigt er der - hvis du har valgt
en nitte - 1/2 chance for at du derved får gevinsten at se. 1/2 gang
2/3 er 1/3, og når du ser at du *ikke* er i den situation, forsvinder
de 1/3 ud af billedet. Tilbage er

1/3 sandsynlighed for at vinde ved at skifte
1/3 sandsynlighed for at vinde ved ikke at skifte
1/3 sandsynlighed som vi nu ved vi ikke befinder os i, fordi vi netop
*ikke* fik gevinsten at se da den tilfældige låge sprang op.

Hvis vi ser bort fra de umulige udfald kan vi renormalisere
sandsynlighedsrummet og få

1/2 sandsynlighed for at vinde ved at skifte
1/2 sandsynlighed for at vinde ved ikke at skifte

--
Henning Makholm "Larry wants to replicate all the time ... ah, no,
all I meant was that he likes to have a bang everywhere."

---

Henning Makholm wrote:
> Scripsit "Søren Kongstad" <kongstad@kongstad.net>
>
>> Sandsynligheden afhænger ikke af om døren bliver åbnet af en med
>> viden om indholdet.
>
> Jo.

Hm. Den må undersøges...

>> A priori er der 2/3 sandsynlighed for at gevinsten er bag en af de
>> to døre du ikke har valgt.
>
> Ja. Men hvis lågen springer op tilfældigt er der - hvis du har valgt
> en nitte - 1/2 chance for at du derved får gevinsten at se. 1/2 gang
> 2/3 er 1/3, og når du ser at du *ikke* er i den situation, forsvinder
> de 1/3 ud af billedet. Tilbage er
>
> 1/3 sandsynlighed for at vinde ved at skifte
> 1/3 sandsynlighed for at vinde ved ikke at skifte
> 1/3 sandsynlighed som vi nu ved vi ikke befinder os i, fordi vi
> netop *ikke* fik gevinsten at se da den tilfældige låge sprang
> op.
>
> Hvis vi ser bort fra de umulige udfald kan vi renormalisere
> sandsynlighedsrummet og få
>
> 1/2 sandsynlighed for at vinde ved at skifte
> 1/2 sandsynlighed for at vinde ved ikke at skifte

Hvis det er tilfældigt, hvilken af de to tilbageværende låger der bliver
åbnet, kan vi betragte fire forskellige situationer:

A: Dit første valg var korrekt (1/3)
B: Dit første valg var forkert (2/3)

1. Den låge der springer op viser gevinsten
2. Den låge der springer op viser ikke gevinsten

Hvis A, har 1 og 2 hhv. sandsynlighed 0 og 1.
Hvis B, har 1 og 2 hhv. sandsynlighed 1/2 og 1/2.

A1. Sandsynlighed 1/3 * 0 = 0
A2. Sandsynlighed 1/3 * 1 = 1/3
B1. Sandsynlighed 2/3 * 1/2 = 1/3
B2. Sandsynlighed 2/3 * 1/2 = 1/3

A1 er umulig og ved B1 kan jeg *se* gevinsten og ved derfor med sikkerhed
at det kan betale sig at skifte.

Hvis jeg derfor ikke kan se gevinsten er jeg i situation A2 eller B2, der
har samme sandsynlighed og der er derfor ligegyldigt om jegt skifter eller
ej.

Men for slutresultatet er sandsynligheden for at jeg ender med at stå med
gevinsten stadig 2/3, det kræver blot en anden strategi. Eller rettere: nu
er det uafhængigt af strategi.

--
Kristian Damm Jensen damm (at) ofir (dot) dk
First they ignore you. Then they laugh at you. Then they fight you.
Then you win. -- Mohandas Mahatma Gandhi

---

"Søren Kongstad" wrote:
>
> > Lad os sige at én af de tre låger sprang op ved en tilfældighed (uden
> > at det var meningen). Så kan det være ligemeget hvilken af de to
> > resterende låger man vælger (forudsat at præmien ikke lå bag den låge
> > der allerede var gået op).
> >
>
> Nej
>
> Sandsynligheden afhænger ikke af om døren bliver åbnet af en med viden om
> indholdet.
>
> A priori er der 2/3 sandsynlighed for at gevinsten er bag en af de to døre
> du ikke har valgt.
>
> Det er denne fordeling som ændrer sandsynligheden ved situation 2.
>
> Når en af dørene åbnes uden at afsløre gevinsten, så bliver mængden af din
> information forøget, og det er dette som giver den skæve sandsynlighed.

Det er jeg uenig i. Hvis en tilfældig af de tre døre springer op, så
kan det ske at det er døren du havde valgt der springer op, og det kan
også ske at det er døren med gevinsten. Men *hvis* det tilfældigvis
var en dør som du ikke havde valgt, og *hvis* der viser sig en ged bag
ved døren, så er der fifty-fifty på de resterende to døre.

Faktisk er sandsynligheden (1/3)/(2/3) = 1/2 vha. betingede sandsynlig-
heder.

Man kan sige at den ekstra information i dette tilfælde bestyrker hypo-
tesen om at man har valgt rigtigt fra starten.

--
Jeppe Stig Nielsen <URL:http://jeppesn.dk/>. «

"Je n'ai pas eu besoin de cette hypothèse (I had no need of that
hypothesis)" --- Laplace (1749-1827)

---

"Jeppe Stig Nielsen" <mail@jeppesn.dk> wrote in message
news:40587683.53BD8BE6@jeppesn.dk...
> "Søren Kongstad" wrote:
> >
> > > Lad os sige at én af de tre låger sprang op ved en tilfældighed (uden
> > > at det var meningen). Så kan det være ligemeget hvilken af de to
> > > resterende låger man vælger (forudsat at præmien ikke lå bag den låge
> > > der allerede var gået op).
> > >
> >
> > Nej
> >
> > Sandsynligheden afhænger ikke af om døren bliver åbnet af en med viden
om
> > indholdet.
> >
> > A priori er der 2/3 sandsynlighed for at gevinsten er bag en af de to
døre
> > du ikke har valgt.
> >
> > Det er denne fordeling som ændrer sandsynligheden ved situation 2.
> >
> > Når en af dørene åbnes uden at afsløre gevinsten, så bliver mængden af
din
> > information forøget, og det er dette som giver den skæve sandsynlighed.
>
> Det er jeg uenig i. Hvis en tilfældig af de tre døre springer op, så
> kan det ske at det er døren du havde valgt der springer op, og det kan
> også ske at det er døren med gevinsten. Men *hvis* det tilfældigvis
> var en dør som du ikke havde valgt, og *hvis* der viser sig en ged bag
> ved døren, så er der fifty-fifty på de resterende to døre.
>
> Faktisk er sandsynligheden (1/3)/(2/3) = 1/2 vha. betingede sandsynlig-
> heder.
>
> Man kan sige at den ekstra information i dette tilfælde bestyrker hypo-
> tesen om at man har valgt rigtigt fra starten.
>
> --
> Jeppe Stig Nielsen <URL:http://jeppesn.dk/>. «
>
> "Je n'ai pas eu besoin de cette hypothèse (I had no need of that
> hypothesis)" --- Laplace (1749-1827)

Det er ikke så svært:

Sandsynligheden er 1/3 for at der er gevinst bag den låge du peger på først,
og 2/3 sandsynlighed for at den er bag en af de to andre.

Dette ændre sig ikke ved at den ene låge åbnes.

Lad os sige at du peger på nr. 1
Der er 1/3 sandsynlighed for at gevinsten er der.
Der er 2/3 sandsynlighed for at gevinsten er bag enten nr. 2 eller 3.
Værten åbner låge nr. 2 (og det viser sig at der var gevinsten ikke).
Der er stadig 2/3 sandsynlighed for at gevinsten er bag enten nr. 2 eller 3.
Da du nu ved at den ikke er bag nr. 2, er der 2/3 sandsynlighed for at
gevinsten er bag nr. 3.

Du bør derfor tage imod tilbuddet om at vælge om.

Bjørn

---

"Kristian Damm Jensen" <REdammMOVE@ofir.dk> skrev:

> Den bliver du sgu nødt til at skære ud i pap. Første halvdel er
> identisk med første halvdel af min fremlægning. Anden halvdel er
> ... hvad?

Noget vrøvl tror jeg.

Det er klart, at der vil være 1/3 risiko for at vælge en låge uden
gevinst uanset hvad og derved følger naturligvis, at chancen for
gevinst er 2/3 set over hele "systemet". Men det er nemt at falde i med
begge ben som jeg gjorde, da det ikke umiddelbart er intuitivt klart.


>> I øvrigt med de samme argumenter som er brugt på de hjemmesider,
>> der er henvist til.
>
> Nej.

Jo men det hjælper ikke noget når mit udsagn ikke er korrekt i
udgangspunktet.

--
Morten http://miljokemi.dk

---

"Bjørn Lassen" <b-lassenwithoutthis@dadlnet.dk> writes:


[Monty Hall hvor tilfældig dør åbnes, ikke nødvendigvis en uden gevinst]

> Det er ikke så svært:
>
> Sandsynligheden er 1/3 for at der er gevinst bag den låge du peger på først,
> og 2/3 sandsynlighed for at den er bag en af de to andre.
>
> Dette ændre sig ikke ved at den ene låge åbnes.

Det ændrer sig betydeligt hvis han åbner lågen med gevinsten bag.
Hvis det er tilfældigt hvilken låge der åbnes (af de to du ikke
valgte), så er det muligt at dette sker. Det påvirker de mulige
udfald, og derfor også sandsynlighederne.

Hvis du valgte forkert fra start, så er der faktisk 50% chance for at
Monty viser dig gevinsten. Det er, før du vælger, en forventet 1/3
chance for at gevinsten vil blive vist. Den 1/3 mister du, når du går
over til at se på betingede sandsynligheder betinget af at han ikke
valgte en låge med en bil bag.

> Lad os sige at du peger på nr. 1
> Der er 1/3 sandsynlighed for at gevinsten er der.

Rigtigt.

> Der er 2/3 sandsynlighed for at gevinsten er bag enten nr. 2 eller 3.
> Værten åbner låge nr. 2 (og det viser sig at der var gevinsten ikke).

Hvis han vælger lågen tilfældigt, så er der også muligheden for at
gevinsten var der, men kun hvis du havde valg forkert fra start. Den
mulighed har vi så udelukket. Tilbage er 1/3 chance for at vælge
rigtigt (og derfor ingen gevinst vist) og 1/3 chance for at vælge
forkert og at Monty åbner en låge uden gevinst. Den sidste 1/3 har
vi udelukket, så de betingede sansynligheder bliver 1/2 vs. 1/2.

> Der er stadig 2/3 sandsynlighed for at gevinsten er bag enten nr. 2 eller 3.

Nej. Ikke hvis du kender Montys strategi, og den er at vælge en
tilfældig af de to tilbageblevne låger.


Jeg troede heller ikke på det før jeg regnede efter.
/L
--
Lasse Reichstein Nielsen - lrn@hotpop.com
DHTML Death Colors: <URL:http://www.infimum.dk/HTML/rasterTriangleDOM.html>
'Faith without judgement merely degrades the spirit divine.'

---

"Lasse Reichstein Nielsen" <lrn@hotpop.com> wrote in message
news:ad2fruy3.fsf@hotpop.com...
> "Bjørn Lassen" <b-lassenwithoutthis@dadlnet.dk> writes:
>
>
> [Monty Hall hvor tilfældig dør åbnes, ikke nødvendigvis en uden gevinst]
>
> > Det er ikke så svært:
> >
> > Sandsynligheden er 1/3 for at der er gevinst bag den låge du peger på
først,
> > og 2/3 sandsynlighed for at den er bag en af de to andre.
> >
> > Dette ændre sig ikke ved at den ene låge åbnes.
>
> Det ændrer sig betydeligt hvis han åbner lågen med gevinsten bag.
> Hvis det er tilfældigt hvilken låge der åbnes (af de to du ikke
> valgte), så er det muligt at dette sker. Det påvirker de mulige
> udfald, og derfor også sandsynlighederne.
>
> Hvis du valgte forkert fra start, så er der faktisk 50% chance for at
> Monty viser dig gevinsten. Det er, før du vælger, en forventet 1/3
> chance for at gevinsten vil blive vist. Den 1/3 mister du, når du går
> over til at se på betingede sandsynligheder betinget af at han ikke
> valgte en låge med en bil bag.
>
> > Lad os sige at du peger på nr. 1
> > Der er 1/3 sandsynlighed for at gevinsten er der.
>
> Rigtigt.
>
> > Der er 2/3 sandsynlighed for at gevinsten er bag enten nr. 2 eller 3.
> > Værten åbner låge nr. 2 (og det viser sig at der var gevinsten ikke).
>
> Hvis han vælger lågen tilfældigt, så er der også muligheden for at
> gevinsten var der, men kun hvis du havde valg forkert fra start. Den
> mulighed har vi så udelukket. Tilbage er 1/3 chance for at vælge
> rigtigt (og derfor ingen gevinst vist) og 1/3 chance for at vælge
> forkert og at Monty åbner en låge uden gevinst. Den sidste 1/3 har
> vi udelukket, så de betingede sansynligheder bliver 1/2 vs. 1/2.
>
> > Der er stadig 2/3 sandsynlighed for at gevinsten er bag enten nr. 2
eller 3.
>
> Nej. Ikke hvis du kender Montys strategi, og den er at vælge en
> tilfældig af de to tilbageblevne låger.
>

Jo. Hvis vi forudsætter at det fra starten er tilfældigt hvilken af de tre
låger der giver gevinst, vil der altid være 2/3 sandsynlighed for at
gevinsten er bag enten nr. 2 eller 3.

Men det er rigtigt at jeg efterfølgende forudsætter at Monty bevidst udpeger
en låge uden gevinst.

Hvis han vælger tilfældigt og åbner lågen med gevinst, hvad sker der så? Har
jeg så vundet eller tabt?

Hvis han vælger tilfældigt og åbner en låge uden gevinst, er der stadig kun
1/3 sandsynlighed for at den låge jeg først pegede på, giver gevinst. Jeg
skal altså vælge om.

Bjørn

---

"Bjørn Lassen" wrote:
>
> Jo. Hvis vi forudsætter at det fra starten er tilfældigt hvilken af de tre
> låger der giver gevinst, vil der altid være 2/3 sandsynlighed for at
> gevinsten er bag enten nr. 2 eller 3.
>
> Men det er rigtigt at jeg efterfølgende forudsætter at Monty bevidst udpeger
> en låge uden gevinst.

I dét tilfælde er alle her vist enige. Det er ellers den »svære«
situation.

>
> Hvis han vælger tilfældigt og åbner lågen med gevinst, hvad sker der så? Har
> jeg så vundet eller tabt?
>
> Hvis han vælger tilfældigt og åbner en låge uden gevinst, er der stadig kun
> 1/3 sandsynlighed for at den låge jeg først pegede på, giver gevinst. Jeg
> skal altså vælge om.

Niks. I det tilfælde er de to resterende låger symmetriske. Du behøver
ikke engang at fortælle Monty hvilken låge du tænker på (eller at have
valgt én overhovedet), thi Monty åbner jo tilfældigt alligevel. Derfor
er der samme sandsynlighed på de to låger.

Fra starten er der tre lige sandsynlige muligheder for hvor præmien
ligger. Når nu Monty åbner en tilfældig dør, kan to ting ske:

i: Monty afslører præmien. Så er der ligesom ikke så meget spænding ved
legen mere.

ii: Monty afslører blot en ged. Derved er du nede på to af de oprindelige
tre muligheder. Der er fortsat fuld symmetri mellem de to resterende
muligheder. Hver af dem har sandsynlighed 1/2.

Lad A være hændelsen at bilen er bag første låge, B at den er bag nr. 2,
og C at den er bag den tredje. Lad os sige at Monty åbner dør nr. 3, og
der er en ged. Så véd du at ¢C er indtruffet hvor ¢ betegner komplemen-
tærhændelser. Hvis du kender betingede sandsynligheder, kan du så ud-
regne sandsynligheden

P(A | ¢C) = P(A og ¢C)/P(¢C) = P(A)/P(¢C) = (1/3)/(2/3) = 1/2

hvor vi har brugt at A og C er disjunkte (så A er en delmængde af ¢C).
http://mathworld.wolfram.com/ConditionalProbability.html

Det hér er det lette tilfælde. Det svære er når Monty åbner en låge som
afhænger af hvad du har sagt til ham.

--
Jeppe Stig Nielsen <URL:http://jeppesn.dk/>. «

"Je n'ai pas eu besoin de cette hypothèse (I had no need of that
hypothesis)" --- Laplace (1749-1827)

---

Jan Bang Jensby wrote:


> En quizdeltager har valget mellem tre låger (1, 2 og 3).

Det er det velkendte "Monty Hall Problem" - problemet gennemgås
adskillige steder på nettet, se f.eks.
http://math.rice.edu/~ddonovan/montyurl.html


--
Ole Andersen, Copenhagen, DK * http://palnatoke.org *
It is better to suffer wrong than to do it, and happier to be sometimes
cheated than not to trust. - Samuel Johnson (1709-1784)

---

Jan Bang Jensby wrote:
> Hej -
>
> Jeg er lidt til grin på kontoret pga. af denne påstand:
>
> En quizdeltager har valget mellem tre låger (1, 2 og 3).
> I et af skabene er der en betydelig præmie - de øvrige er tomme.
> Værten spørger - og deltageren vælger låge nr. 3.
> Værten er flink og standser forløbet og åbner selv låge nr. 2, som er
> tom. Deltageren får nu lov til at vælge igen (altså mellem 1 og 3)
>
> Under normale omstændigheder vil sandsynligheden for at vælge
> rigtigt være ½ (50%).
>
> Min (eller rettere en amerikansk matematikprofessors) tese er nu:
>
> Da sandsynligheden for, at deltageren valgte korrekt første gang
> kun er 1/3 (33,33%), bør han nu vælge låge nr. 1.
>
> Er det helt forkert husket?

Nej. Se andre indlæg for argumenter og henvisninger.

> Er der nogen der kan bakke mig op - gerne med beviser?

Foreslå dem at spille. Forlang at der skal spilles minimum 30 spil. Du
lægger 100 kr og din modstander lægger 100 kr. Du vælger en æske (brug en
terning e.l., så din modspiller ikke kan gætte dig ud efter et par spil) at
gemme pengene i. Spil så spillet. Hvis din modspiller finder pengene får
han dem, ellers får du dem. Du vil vinde 2 ud af tre gange, dvs. du tjener
100 kr pr 3 spil.

Efter 30 spil vil du have vundet omkring 1000 kr. Så tror jeg ikke du er
til grin længere

Din modpart vil natuligvis hævde, at han ikke kan vinde, da hans præmis er
at der er 50% chance. Så tilbud ham 2-300 kr som startgebyr og forlang til
gengæld et lidt længere spil, så du kan vinde dem hjem igen

(Du kan selvfølgelig være uheldig, eller du kan være en så dårlig
pokerspiller, at din modpart kan se på dig om han skal vælge om eller ej.)

--
Kristian Damm Jensen damm (at) ofir (dot) dk
If you can't be bothered making your message readable, why should I be
bothered reading it?

---

Jan Bang Jensby wrote:
> En quizdeltager har valget mellem tre låger (1, 2 og 3).
> I et af skabene er der en betydelig præmie - de øvrige er tomme.
> Værten spørger - og deltageren vælger låge nr. 3.
> Værten er flink og standser forløbet og åbner selv låge nr. 2, som er tom.
> Deltageren får nu lov til at vælge igen (altså mellem 1 og 3)
>
> Under normale omstændigheder vil sandsynligheden for at vælge
> rigtigt være ½ (50%).
>
> Min (eller rettere en amerikansk matematikprofessors) tese er nu:
>
> Da sandsynligheden for, at deltageren valgte korrekt første gang
> kun er 1/3 (33,33%), bør han nu vælge låge nr. 1.
>

The devil is in the detail, som man siger på engelse. Det hele baseres
på forudsætningerne for spillet. Hvis spilleren vælger først og værten
derefter kun må vælge en dør uden gevinst og ikke samme dør som
spilleren har valgt, så er det korrekt at det er fordelagtigt at skifte,
da problemet nu er usymmetrisk. Hvis værten gerne måtte vælge den dør
spilleren havde valgt, såfremt der ikke var gevinst her, ville der
stadigt være 50% change.

Rent matematisk er det betinget sandsynlighed. Det usymmetriske ligger i
den sidste af 3 nedenstående sætninger:

The probability that Monty Hall opens door B if the prize were behind A,
P(Monty opens B|A) = 1/2

The probability that Monty Hall opens door B if the prize were behind B,
P(Monty opens B|B) = 0

The probability that Monty Hall opens door B if the prize were behind C,
P(Monty opens B|C) = 1

Hvis Monty Hall måtte vælge dør A i det sidste tilfælde var
sandsynligheden nu også 1/2 ligesome i tilfælde 1, men det må han ikke
(og derfor er sandsynligheden 1).

Du kan følge resten af argumentet på
http://astro.uchicago.edu/rranch/vkashyap/Misc/mh.html

MVH
Allan

---

Allan Rasmussen wrote:
>
> The devil is in the detail, som man siger på engelse. Det hele baseres
> på forudsætningerne for spillet. Hvis spilleren vælger først og værten
> derefter kun må vælge en dør uden gevinst og ikke samme dør som
> spilleren har valgt, så er det korrekt at det er fordelagtigt at skifte,
> da problemet nu er usymmetrisk. Hvis værten gerne måtte vælge den dør
> spilleren havde valgt, såfremt der ikke var gevinst her, ville der
> stadigt være 50% change.

Jep!

--
Jeppe Stig Nielsen <URL:http://jeppesn.dk/>. «

"Je n'ai pas eu besoin de cette hypothèse (I had no need of that
hypothesis)" --- Laplace (1749-1827)

---

"Jan Bang Jensby" <jbjX@promax.dk> writes:

> Værten er flink og standser forløbet og åbner selv låge nr. 2, som er tom.

Det er et klassisk problem. Svaret afhænger af om værten ved hvilken
låge der er den rigtige, og ud fra den viden vælger en tom, eller om
han bare vælger en låge tilfældigt.

> Under normale omstændigheder vil sandsynligheden for at vælge
> rigtigt være ½ (50%).

Det svarer til at værten valgte en låge tilfældigt.

> Da sandsynligheden for, at deltageren valgte korrekt første gang
> kun er 1/3 (33,33%), bør han nu vælge låge nr. 1.

Det svarer til at værten ved hvilken låge der er den rigtige, og
vælger en tom.