Ivar wrote:
>
> > Ingen quiz kan have kuverter hvor alle beløbsstørrelser mellem nul
> > og uendelig er lige »typiske«.
>
> Næ, men det er også ligegyldigt. Du har åbnet en kuvert med
> 100 kr, så spørgsmålet er blot om der er lige stor sandsynlighed
> for at den anden kuvert er med 50 eller 200 kr. At sige at den
> ikke er, er at tillægge opgaven et nyt aspekt.
Det kan godt være. Men så får vi et paradoks.
Betegn beløbet i den venstre kuvert med X. Så får man naturligvis X hvis
man vælger den venstre kuvert. Men middelværdien på den højre kuvert er
(2X+(1/2)X)/2 = (5/4)X. Derfor skal man altid vælge den højre. Men et
tilsvarende argument viser at man altid skal vælge den venstre.
~~
Formalisering:
For nøjere at undersøge paradokset har jeg formaliseret situationen.
Lad A være en positiv ( P(A>0)=1 ) stokastisk variabel. Betragt også
den stokastiske variabel 2A.
Meningen er at A og 2A skal være beløbene.
Lad M være en stokastisk variabel der har følgende fifty-fifty-
fordeling: P(M=0)=½ og P(M=1)=½. Så er jo middelværdien af M givet ved
E[M]=1/2.
Nu kommer en afgørende forudsætning: Lad A og M være stokastisk
*uafhængige* variable.
Så definerer vi to variable X og Y ved:
X = M·A + (1-M)·2A (definition)
Y = (1-M)·A + M·2A (definition)
Her betegner X beløbet i den venstre konvolut, og Y beløbet i den højre.
Vi kan udregne middelværdierne som
E[X] = E[M·A] + E[(1-M)·2A]
= E[M]·E[A] + E[1-M]·E[2A] = (1/2)·E[A]+(1/2)·2·E[A] = (3/2)·E[A]
E[Y] = E[(1-M)·A] + E[M·2A]
= E[1-M]·E[A] + E[M]·E[2A] = (1/2)·E[A]+(1/2)·2·E[A] = (3/2)·E[A]
*Bemærk* at vi i hver udregning benyttede at A og M er stokastisk uaf-
hængige. Thi generelt gælder der jo ikke E[B·C]=E[B]·E[C].
Resultaterne er helt som forventet, og X og Y har samme middelværdi.
Men nu forsøger vi at nærme os paradokset. Lad os sige at vi tænker på
at åbne X-konvolutten. Vi ser så at Y opfylder identiteten
Y = M·2X + (1-M)·½X
Alt efter hvad M er, er Y jo enten dobbelt eller halvt så stor som X.
At denne identitet faktisk er sand, kan enhver forvisse sig om ved at
indsætte definitionerne på Y og X.
For at følge paradokset, skulle vi nu konkludere at E[Y] = (5/4)·E[X].
Men det kan vi ikke, for M og X er *ikke* uafhængige! Problemet ligger
i at E[-] ikke er multiplikativ.
Hvis der skal være symmetri mellem de to konvolutter, kan den variabel
M der beskriver rækkefølgen, ikke være uafhængig af den variabel X der
beskriver beløbet i *den venstre* konvolut.
~~
Foregår quizzen på en anden måde, nemlig sådan at beløbet X til den
venstre konvolut først vælges tilfældigt, og man dernæst trakker lod
(M) om hvorvidt den højre konvolut skal indeholde Y=2X eller Y=½X, ja
så skal M og X opfattes som uafhængige. Og så *skal* man vælge den
højre konvolut! For så er virkelig E[Y] = (5/4)·E[X].
Dette er intet paradoks, for når beløbene konstrueres sådan, er der
ingen symmetri mellem højre og venstre konvolut. Her er det A=min{X,Y}
og M der ikke er uafhængige.
Dette er lækkert at vide hvis det er en skødesløs datalog der har lavet
computerlodtrækning: Der kan være en signifikant fordel ved den højre
konvolut.
--
Jeppe Stig Nielsen <URL:
http://jeppesn.dk/>. «
"Je n'ai pas eu besoin de cette hypothèse (I had no need of that
hypothesis)" --- Laplace (1749-1827)