---

Hej igen NG...

Mine elever giver mig grå hår i hovedet! Nu har de lært at finde forskriften
for en ret linie i et koordinatsystem. Nogle af dem er gået videre til at
bestemme toppunkt og nulpunkter for typen ax^2+bx+c - og tegne enkelte ind i
koordinatsystemet også.

Så kom det "kan jeg ikke finde forskriften for parablen ud fra
koordinatsystemet??"

"øhh.-..jooo...c er vist nok der hvor den skærer y aksen og...øhh...???"

Nogen som kan hjælpe?

-LC

---

> Så kom det "kan jeg ikke finde forskriften for parablen ud fra
> koordinatsystemet??"
>
> "øhh.-..jooo...c er vist nok der hvor den skærer y aksen og...øhh...???"
Joo... det skulle da være muligt :)
Du kan enten lave 3 ligninger med tre ubekendte, ved at kende 3 punkter, som
parablen går igennem.
Du indsætter så dine X og Y værdier i hver sin ligning. Eksempel, hvor du
kender punkterne (1,2), (3,8) og (5,4).
Det bliver:
2=a1^2+b1+c
8=3a^2+b3+c
4=5x^2+b5+c
De kan ordnes og løses og så har du værdien for a, b og c som du så sætter
ind i forskriften ax^2+bx+c

Du kan også finde forskriften ud fra toppunktet og et andet skæringspunkt,
men så bevæger du dig lidt væk fra at opgive parablen som f(x)=ax^2+bx+c.

--
Thomas

---

Thomas Demant
> Du indsætter så dine X og Y værdier i hver sin ligning. Eksempel, hvor du
kender punkterne (1,2), (3,8) og (5,4).
> Det bliver:
> 2=a1^2+b1+c
> 8=3a^2+b3+c
> 4=5x^2+b5+c

Du mener vel :

y = a·x² + b·x + c

2 = a·1² + b·1 + c
8 = a·3² + b·3 + c
4 = a·5² + b·5 + c


--
Hilsen
Regnar Simonsen

---

> Du mener vel :
>
> y = a·x² + b·x + c
>
> 2 = a·1² + b·1 + c
> 8 = a·3² + b·3 + c
> 4 = a·5² + b·5 + c
Jaa... jeg beklager - det gik lige lidt for hurtigt...

--
Thomas

---

"Thomas Demant" <thomas.demant@adslhome.dk> skrev i en meddelelse news:404972f1$0$27370$edfadb0f@dread16.news.tele.dk...
> > Så kom det "kan jeg ikke finde forskriften for parablen ud fra
> > koordinatsystemet??"
> >
> > "øhh.-..jooo...c er vist nok der hvor den skærer y aksen og...øhh...???"
> Joo... det skulle da være muligt :)
> Du kan enten lave 3 ligninger med tre ubekendte, ved at kende 3 punkter, som
> parablen går igennem.
> Du indsætter så dine X og Y værdier i hver sin ligning. Eksempel, hvor du
> kender punkterne (1,2), (3,8) og (5,4).
> Det bliver:
> 2=a1^2+b1+c
> 8=3a^2+b3+c
> 4=5x^2+b5+c
> De kan ordnes og løses og så har du værdien for a, b og c som du så sætter
> ind i forskriften ax^2+bx+c
>
Noget sjusket. Men pointen er at man sætter punkterne ind i ligningen
for et 2. gradspolynomium og løser ligningssystemet (3 lign m 3 ubekendte).
http://mathworld.wolfram.com/LagrangeInterpolatingPolynomial.html

Mvh
Martin

---

Carlsen wrote:

> Mine elever giver mig grå hår i hovedet! Nu har de lært at finde forskriften
> for en ret linie i et koordinatsystem. Nogle af dem er gået videre til at
> bestemme toppunkt og nulpunkter for typen ax^2+bx+c - og tegne enkelte ind i
> koordinatsystemet også.
>
> Så kom det "kan jeg ikke finde forskriften for parablen ud fra
> koordinatsystemet??"
>
> "øhh.-..jooo...c er vist nok der hvor den skærer y aksen og...øhh...???"

Skæringspunktet mellem parablen og y-aksen er et punkt, hvorimod c er
et tal. Bedre formuleringer er derfor:

Parablen skærer y-aksen i et punkt med koordinater (0,c).

eller

Tallet c er andenkoordinaten af skæringspunktet mellem parablen og y-aksen.

> Nogen som kan hjælpe?

Indtegn tangenten til grafen i punktet (0,c). Tallet b kan nu aflæses
som tangentens hældning.

[Bevis: f'(x)=2ax+b så f'(0)=b]


Toppunktets førstekoordinat x_top er x_top = -b/(2a). Dermed kan a udregnes
således:

-b
a = --------
2 x
top


Kender du Preben Møller Henriksens matematiksider? Parabelopgaverne
er ganske fine, og eleverne kan godt lidt afveksling.

<http://home3.inet.tele.dk/pmh/Ommatm.htm>

--
Jens Axel Søgaard

---

> Mine elever giver mig grå hår i hovedet! Nu har de lært at finde
> forskriften for en ret linie i et koordinatsystem. Nogle af dem er
> gået videre til at bestemme toppunkt og nulpunkter for typen
> ax^2+bx+c - og tegne enkelte ind i koordinatsystemet også.
> Så kom det "kan jeg ikke finde forskriften for parablen ud fra
> koordinatsystemet??"
> Nogen som kan hjælpe?

Hvis parablen har en eller to skæringspunkter med x-aksen, så er det
rimeligt let af finde forskriften for den ud fra skæringspunkterne.

Hvis x-værdien for de to skæringspunkter er benævnt x1 og x2, så er
forskriften for parablen givet ved

(x-x1)*(x-x2)=0

Derefter skal man blot gange paranteserne sammen og reducere udtrykket for
at komme frem til et udtryk på formen ax^2+bx+c=0.

Dvs. udtrykket er:
x^2 - x2*x - x1*x + x1*x2 = 0

a = 1
b = -(x2 + x1)
c = x1 * x2

Hvis der kun er et skæringspunkt, så betyder det blot at der er to ens
skæringspunkter, så x1=x2.

Er der slet ingen skæringspunkter, så har parablen stadig en forskrift, men
så er rødderne komplekse tal, og er nok lidt uden for folkeskoleniveau at
udregne, og rødderne kan heller ikke umiddelbart aflæses på en graf.

--
signing off.. Martin Sørensen

---

"Martin Sørensen" <mos@laxity.invalid> skrev i en meddelelse
news:c2cui0$2o0h$1@news.cybercity.dk...
> Hvis x-værdien for de to skæringspunkter er benævnt x1 og x2, så er
> forskriften for parablen givet ved
>
> (x-x1)*(x-x2)=0
Du glemmer at gange med a...


> Derefter skal man blot gange paranteserne sammen og reducere udtrykket for
> at komme frem til et udtryk på formen ax^2+bx+c=0.
>
> Dvs. udtrykket er:
> x^2 - x2*x - x1*x + x1*x2 = 0
>
> a = 1

Det er jo galt. Hvis a er 1 i et eksempel som burde være sandt for alle
2gradsligninger hvis graf har 2 rødder, er noget forkert.
Det er en meget normalt og ofte set fejl at glemme a'et


--
Mvh
Anders Lund
Anders@GEDzaim.dk
Fjern geden fra min email adresse

---

>> Hvis x-værdien for de to skæringspunkter er benævnt x1 og x2, så er
>> forskriften for parablen givet ved
>> (x-x1)*(x-x2)=0
> Du glemmer at gange med a...

Hvorfor? Hvad er a?

>> Dvs. udtrykket er:
>> x^2 - x2*x - x1*x + x1*x2 = 0
>> a = 1
> Det er jo galt. Hvis a er 1 i et eksempel som burde være sandt for
> alle 2gradsligninger hvis graf har 2 rødder, er noget forkert.

Næh, man kan altid normere en 2. gradsligning til at a=1. Man dividerer blot
igennem med a.

> Det er en meget normalt og ofte set fejl at glemme a'et

Jeg kan ikke gennemskue hvad du mener, men jeg mener stadig at hvad jeg
skrev er korrekt.

Eksempel med en tilfældig 2. gradsligning 3x^2-4x-2=0:

Plottes denne, fås skæringspunkter med x-aksen til
x1=-0.387 og x2=1.721

Udformes 2. gradsligningen ud fra hvad jeg skrev med disse to værdier så
fås:
a = 1
b = -(x2 + x1) = -(1.721 + (-0.387)) = -1.333
c = -0.387 * 1.721 = -0.667

Altså: x^2 - 1.333x - 0.667 = 0. Det oprindeligt udtryk fås ved at gange
igennem med 3 på begge sider. På højre side giver det jo stadigvæk 0.

3 * (x^2 - 1.333x - 0.667) = 3 * 0 -> 3x^2 - 3.999x - 2.001 = 0
Den lille fejl kommer på grund af afrundingen.

--
signing off.. Martin Sørensen

---

In article <c2d4t7$2vt7$1@news.cybercity.dk>, mos@laxity.invalid says...

> Næh, man kan altid normere en 2. gradsligning til at a=1. Man dividerer blot
> igennem med a.

Her var der ikke tale om en andengradsligning, men om at finde et
andengradspolynomium.

Du bruger to punkter (rødderne) til at finde dit polynomium. Det er ikke
nok. Der skal tre punkter til.

Med venlig hilsen Sven.

---

Sven Nielsen wrote:
>
> > Næh, man kan altid normere en 2. gradsligning til at a=1. Man dividerer blot
> > igennem med a.
>
> Her var der ikke tale om en andengradsligning, men om at finde et
> andengradspolynomium.

Ja. Hvis man har en andengradsligning af typen ax²+bx+c=0 kan man
vælge at dividere med a på *begge* sider for at få en ligning der er
ækvivalent.

Men hvis man har et udtryk i to variable x og y, nemlig ligningen
y=ax²+bx+c, så gør det naturligvis en forskel hvis man dividerer med
a på kun den højre side. Så får man y=x²+(b/a)x+c/a, og dette er en
ikke den samme ligning (fordi man ikke også har divideret på venstre
side). Det grafiske billede af disse to ligninger er to ikkekongruente
parabler. De to parabler har dog samme skæringspunkter med førsteaksen.

--
Jeppe Stig Nielsen <URL:http://jeppesn.dk/>. «

"Je n'ai pas eu besoin de cette hypothèse (I had no need of that
hypothesis)" --- Laplace (1749-1827)

---

"Jeppe Stig Nielsen" <mail@jeppesn.dk> skrev i en meddelelse news:404B0ED6.49A0DF2@jeppesn.dk...

> side). Det grafiske billede af disse to ligninger er to ikkekongruente
> parabler. De to parabler har dog samme skæringspunkter med førsteaksen.
>
Forsåvidt at de skærer.

Mvh
Martin

---

Martin Larsen wrote:
>
> > side). Det grafiske billede af disse to ligninger er to ikkekongruente
> > parabler. De to parabler har dog samme skæringspunkter med førsteaksen.
> >
> Forsåvidt at de skærer.

Ja.

--
Jeppe Stig Nielsen <URL:http://jeppesn.dk/>. «

"Je n'ai pas eu besoin de cette hypothèse (I had no need of that
hypothesis)" --- Laplace (1749-1827)

---

"Martin Sørensen" <mos@laxity.invalid> skrev i en meddelelse
news:c2d4t7$2vt7$1@news.cybercity.dk...
> >> Dvs. udtrykket er:
> >> x^2 - x2*x - x1*x + x1*x2 = 0
> >> a = 1
> > Det er jo galt. Hvis a er 1 i et eksempel som burde være sandt for
> > alle 2gradsligninger hvis graf har 2 rødder, er noget forkert.
>
> Næh, man kan altid normere en 2. gradsligning til at a=1.

Øh nej.

>Man dividerer blot igennem med a.

Hvis du dividerer igennem med a, får du:
x^2+bx/a+c/a=y/a Altså afænger denne også af værdien af a. Den har samme
rødder som
x^2+bx/a+c/a=y men grafen har ikke samme forløb.



> Jeg kan ikke gennemskue hvad du mener, men jeg mener stadig at hvad jeg
> skrev er korrekt.
> Eksempel med en tilfældig 2. gradsligning 3x^2-4x-2=0:

Dette er en andengradsligning:
y=ax^2+bx+c
Det du snakker om er et andengradspolynomie:
ax^2+bx+c=0

Man kan ikke tegne et polynomie, så det er ingen relavans i denne
sammenhæng.

Det eneste du kan få ud af ovenstående er et par rødder (x0 og x1), og der
findes jo uendelig mange parabler med rødderne x0 og x1.



>
> Plottes denne, fås skæringspunkter med x-aksen til
> x1=-0.387 og x2=1.721
>
> Udformes 2. gradsligningen ud fra hvad jeg skrev med disse to værdier så
> fås:
> a = 1
> b = -(x2 + x1) = -(1.721 + (-0.387)) = -1.333
> c = -0.387 * 1.721 = -0.667
>
> Altså: x^2 - 1.333x - 0.667 = 0. Det oprindeligt udtryk fås ved at gange
> igennem med 3 på begge sider. På højre side giver det jo stadigvæk 0.
>
> 3 * (x^2 - 1.333x - 0.667) = 3 * 0 -> 3x^2 - 3.999x - 2.001 = 0
> Den lille fejl kommer på grund af afrundingen.


Igen det et polynomie du har fundet og ikke en ligning. Polynomiet (lad os
kalde det g(x) for nemheds skyld) fortæller intet om hvordan grafen ser ud,
udover at grafen har rødderne for hvilke det gæller g(x)=0. Hvis du så
vælger at y=g(x) får du en 2.gradsligning, som ser ud som følger:
y=3x^2-4x-2

Hvis vi kikker på det oprindelige problem, altså at man har en graf for en
parabel, må vi starte med at finde 2 rødder:
Dem har du fundet som løsningerne for polynomiet 3x^2-4x-2=0. Altså
x1=-0.387 og x2=1.721.
Nu skal vi altså så have lavet en ligning:
Min formel siger:
y=a(x-x1)(x-x2)

Dvs at vi får y=a(x+0.387)(x-1.721). For at finde a (som i øvrigt er
koefficeint til 2.gradsledet) skal vi bruge et punkt på grafen. Altså skal
man bruge 3 punkter for at bestemme en 2.gradsligning udfra dens graf. Det
gæller i øvrigt generalt at man skal bruge n+1 punkter for at bestemme en
n-gradsligning udfra dens graf.

Jeg kan fx aflæse punktet (3,13).
Dvs 13=a(3+0.387)(3-1.721)<=>a=13/(3+0.387)(3-1.721)=3 (lille
afrundingsfejl)

dvs at min 2.gradsligninger er:
y=3(x+0.387)(x-1.721).


Din grundlæggende misforståelse ligger i forskellen mellem en
2.gradslingning og et 2.gradspolynomie. Håber du er med.

Mvh
Anders Lund

---

> Din grundlæggende misforståelse ligger i forskellen mellem en
> 2.gradslingning og et 2.gradspolynomie. Håber du er med.

Jeps, nu er jeg.

--
signing off.. Martin Sørensen

---

"Carlsen" <carlsens@webspeed.dk> skrev i en meddelelse
news:4048ffbd$0$27367$edfadb0f@dread16.news.tele.dk...
> Så kom det "kan jeg ikke finde forskriften for parablen ud fra
> koordinatsystemet??"
>


Hvis der er rødder er det let.
Hvis der ikke er rødder, må du forskyde grafen i y.aksens retning, og
korrigere for det bagefter. Forskyder du evt. grafen 5 op, må du trække 5
fra den forskrift du finder, for at den passer på den oprindelige graf.
Du finder de to rødder; x0 og x1
Ligningen for en parabel er da gvet ved: y=a(x-x0)(x-x1)

a kan bestemmes ved at aflæse et punkt (x,y) og indsætte det i formlen.

--
Mvh
Anders Lund
3.g elev
Anders@GEDzaim.dk
Fjern geden fra min email adresse

---

"Anders Lund" <anders@GEDzaim.dk> skrev i en meddelelse news:c2d3fk$cdu$1@sunsite.dk...

> Hvis der er rødder er det let.
> Hvis der ikke er rødder, må du forskyde grafen i y.aksens retning, og
> korrigere for det bagefter. Forskyder du evt. grafen 5 op, må du trække 5
> fra den forskrift du finder, for at den passer på den oprindelige graf.
> Du finder de to rødder; x0 og x1
> Ligningen for en parabel er da gvet ved: y=a(x-x0)(x-x1)
>
> a kan bestemmes ved at aflæse et punkt (x,y) og indsætte det i formlen.
>
Hvis man skal løse problemet med Georg Gearløs-princippet, som
du foreslår, hvorfor så ikke bruge en formel:

(r,s) er toppunktet
c = skæringen med y-aksen
b= 2(s-c)/r
a= (c-s)/r²

(Hvis r=0 må ma tænke sig til en nemmere løsning)

Mvh
Martin