Henning Makholm <henning@makholm.net> writes:
> Huh? Er der en standard-kapacitans for en kugle af ukendt materiale
> og størrelse der hænger i ukendte omgivelser?
Der er et problem med de ukendte omgivelser. Men hvis steffens
fysikbog ikke beskriver omgivelserne, så må man gå ud fra at kuglen
hænger i det tomme rum. Ellers ville opgave også blive for svært at
løse.... (Baglæns didaktisk analyse)
Jeg har går ud fra at systemet er kuglesymmetrisk og at kuglen er
ledende. Dette medfører at ladningerne fordeler sig sig pænt på
overfladen of kuglen og det leketriske felt peger væk fra kuglens
centrum. Da systemet er kuglesymmetrisk fortæller gausses lov os at
feltet uden for kuglen er givet ved
Q/epsilon = int_{en kugle med radius r} E * n dx = |E| /(4 pi r)
Her er Q ladningen. epsilon0 er dielektricitetskonstanten for det
tomme rum. E angiver det elektriske felt, og n er en vektor der peger
væk fra kuglens centrum (måske burde vi kalde n for en vektorfunktion,
men pyt nu med det). Vi får altså
E = n Q/(4 pi r epsilon0)
Det skægge ved opgaven er at feltet uden for kuglen er uafhænguig af
kuglens dielektricitetskonstant. Det svarer til at hvis jorden var
kuglesymmetrisk, så ville man ikke kunne bruge tyngdekraften til at
gætte udtale sig om hvordan massen var fordelt. man kunne altså ikke
bruge tyngdekraften til at sige nogen om hvorvidt jordens masse var
samlet i en lille hård kerne i centrum. (Det kan man sikkert ikke
alligevel)
Nu kan man finde potentialet phi ved at integrere E-feltet langs en
halvinie, der er vinkelret på kuglen og har et endepunkt på kuglens
overflade. Det svarer til at finde den potentielle energi af en person
på jordens overfladen. Så vidt jeg kan regne ud giver dette
phi(R) = - Q / (4 pi R^2 epsilon0)
Her angiver R kuglens radius. Hvis du vil udvide opgaven, så du kan
bruge den til at regne på en kapacitor, så kan du regne på et system
med to kugler, der befinder sig meget langt væk fra hinanden. Nu kan
du spørge hvor meget energi der koster at flytte ladningen Q fra den
ene kugle til den anden. Det svarer altså til at udregne forskellen i
potentiel energi for en person på jordens overflade og samme person på
månens overflade. Dette burde give følgende kapacitans
C = 1 / (2 pi R^2 epsilon0)
Hvis du vil forbedre denne kapacitor, så kan du kan vi placere de to
kugler i et medium med en høj dieletricitetskonstant. Lad os kalde
denne elektricitetskonstant epsilon1. Jeg antager stadig at kuglerne
er meget langt fra hinanden. Nu får du følgende kapacitans:
C = 1 / (2 pi R^2 epsilon1)
Niels
--
Niels L Ellegaard
http://dirac.ruc.dk/~gnalle/