gnalle@ruc.dk (Niels L. Ellegaard) writes:
> Jeg har glemt den smule komplekse funktionsanalyse som jeg engang
> laerte, og jeg har et lille problem, som jeg ikke kan loese. Jeg
> starter med en en funktion f: C->C, der skal opfylde foelgende
>
> f(x) = 1 - x for x \in [0:1]
> f(x) = 0 for x \in [1:\infty]
>
> Her angiver [0:1] og [1:\infty] er delmaengder af R og \in betyder "er
> element i". Jeg stiller ikke nogen krav om hvad der sker hvis x er
> kompleks. Nu leder jeg efter en funktion F(s) saaledes at
>
> f(x) = \int_0^\infty F(s) \exp(- s x) ds
>
> Her angiver \int_0^\infty et integral langs den reelle akse fra 0 til
> uendelig. Nu vil jeg gerne finde en F(s).
Mon ikke den nemmeste strategi er at lede efter en lignende funktion,
hvor vi kender den inverse Laplacetransform.
Hmm, i min tabel har de en savtaksfunktion -- dvs. det samme som din
funktion bortset fra at den gentager sig selv med periode 1 i stedet
for at være 0 på [1, ∞]. Lad os kalde savtaksfunktionen g og den
inverse Laplacetransformation G. SÃ¥ er
G(s) = 1/s² - eâ»Ë¢/s(1 - eâ»Ë¢)
Vi kan nu skrive f(x) som:
f(x) = g(x) - U(x - 1)g(x)
hvor U er Heavisides stepfunktion. Da g er periodisk (med periode 1)
kan vi skrive det som:
f(x) = g(x) - U(x - 1)g(x - 1)
Vi kan nu udnytte følgende identitet:
L[e^(-ax)H(x)] = U(x - a)h(x - a)
til at få:
Lâ»Â¹[f(x)] = G(s) - e^(-x)G(x)
= (1 - eâ»Ë¢)/s² - eâ»Ë¢/s
Eller noget i den retning ... du må hellere selv regne det igennem