/ Forside / Karriere / Uddannelse / Højere uddannelser / Nyhedsindlæg
Login
Glemt dit kodeord?
Brugernavn

Kodeord


Reklame
Top 10 brugere
Højere uddannelser
#NavnPoint
Nordsted1 1588
erling_l 1224
ans 1150
dova 895
gert_h 800
molokyle 661
creamygirl 610
berpox 610
jomfruane 570
10  3773 570
Matematisk adspredelse: Meget runde tal
Fra : Jeppe Stig Nielsen


Dato : 10-05-03 10:53

Her er en lille opgave til folk der keder sig, eller som savner et
påskud for ikke at gøre deres sure pligter:

Lad os kalde et naturligt tal n for »meget rundt« hvis det har følgende
egenskab: For ethvert naturligt tal a der er mindre end n, gælder at
hvis a er indbyrdisk primisk med n, så er a enten 1 eller et primtal.

Eksempelvis er 12 et meget rundt tal idet alle tallene 1,5,7,11 er
enten 1 eller primtal.

Opgaven (ikke alt for svær): Bestem samtlige meget runde tal.

Måske kender I allerede svaret?

--
Jeppe Stig Nielsen <URL:http://jeppesn.dk/>. «

"Je n'ai pas eu besoin de cette hypothèse (I had no need of that
hypothesis)" --- Laplace (1749-1827)

 
 
Lasse Reichstein Nie~ (10-05-2003)
Kommentar
Fra : Lasse Reichstein Nie~


Dato : 10-05-03 12:47

Jeppe Stig Nielsen <mail@jeppesn.dk> writes:

> Her er en lille opgave til folk der keder sig, eller som savner et
> påskud for ikke at gøre deres sure pligter:

Jeg vælger den sidste :)

> Lad os kalde et naturligt tal n for »meget rundt« hvis det har følgende
> egenskab: For ethvert naturligt tal a der er mindre end n, gælder at
> hvis a er indbyrdisk primisk med n, så er a enten 1 eller et primtal.
>
> Eksempelvis er 12 et meget rundt tal idet alle tallene 1,5,7,11 er
> enten 1 eller primtal.
>
> Opgaven (ikke alt for svær): Bestem samtlige meget runde tal.

En alternativ beskrivesle af meget runde tal:
Alle tal, hvor kvaratet af det mindste primtal der ikke går op i
tallet, er større end tallet.

(da kvadratet på det primtal er det mindste sammensatte tal der er
indbyrdes primisk med vores tal. Hvis der er noget sammensat tal der
er mindre end og indbyrdesk primisk med det valgte tal, så er det
mindste også)

For at få overblik tjekker vi lige de første tyve tal

2 triviel
3 triviel
4 - ja, 3*3 er større
5 - nej, 2*2 er mindre (gælder alle ulige tal herfra)
6 - ja, < 5*5
8 - ja, < 3*3
10 - nej, > 3*3
12 - ja, < 5*5
14 - nej, > 3*3
16 - nej, > 3*3
18 - ja, < 5*5
20 - nej, > 3*3

Det ser ud til at et krav er at alle primfaktorer er mindre end
alle primtal der ikke er faktorer i tallet. Er det nødvendigt eller
tilstrækkeligt?

Tilstrækkeligt: Nej. 2^4 fejler.
Nødvendigt: Ja. Bevis ved viften med hånden.
hvis x = 2^k_1 + 3^k_2 + ... + p_n^k_n
og k_i (i<n, i minimal) er nul, så er p_i^2 < x.
da 2*3*...*p(i-1) > pi (fordi, viften med hånden, sådan er det bare. Er
det ikke?).

Så vi blev lidt klogere. Er der en grænse hvor det ikke holder mere, hvor
der ikke kan være flere meget runde tal?

2 < 3*3
2*3 = 6 < 5*5
2*3*5 = 30 < 7*7
2*3*5*7 = 210 > 11*11

Så jeg vil vædde med at der ingen meget runde tal er over 49.

Så er der jo bare at fortsætte rækken fra før op til 49.
Vi kan droppe de ulige tal, da de er større end 2*2 og indbyrdes
primisk med det.

22 - nej, >3*3
24 - ja, <5*5
26 - nej, >5*5
28 - nej, >5*5
30 - ja, < 7*7
32,34,36,38 - nej, > 5*5 (og tre af dem også >3*3)
40 - nej, > 3*3
42,44,46,48 - nej, > 5*5

Altså, de meget runde tal er:

[2,3,4,6,8,12,18,30]

Kun lidt viften med hænderne undervejs :)

/L
--
Lasse Reichstein Nielsen - lrn@hotpop.com
Art D'HTML: <URL:http://www.infimum.dk/HTML/randomArtSplit.html>
'Faith without judgement merely degrades the spirit divine.'

Stefan Holm (10-05-2003)
Kommentar
Fra : Stefan Holm


Dato : 10-05-03 13:12

Lasse Reichstein Nielsen <lrn@hotpop.com> writes:

> 24 - ja, <5*5
<snip>
> [2,3,4,6,8,12,18,30]

Du mangler både 1 (der opfylder betingelsen trivielt) og 24 (som du
har med, men har ellers allesammen (dobbelttjekket herfra - helt uden
viften med hænderne).

--
"And let's not forget I'm wearing a rotting finger around my neck."

Stefan Holm (10-05-2003)
Kommentar
Fra : Stefan Holm


Dato : 10-05-03 12:58

Jeppe Stig Nielsen <mail@jeppesn.dk> writes:

> Opgaven (ikke alt for svær): Bestem samtlige meget runde tal.

Lad n være meget rundt.

For et primtal p må der gælde at hvis n>p^2 må p|n og dermed hvis
n>p_k^2 må, idet vi sætter P(k):=p_1p_2...p_k, P(k)|n, idet p_i
betegner det i'te primtal.

Da P(k) vokser hurtigere end p_k (P(k-1)>p_{k-1} for k>2) må vi have
at der for k med P(k)>p_{k+1}^2 må p_{k+1}^2 være en øvre grænse for
n, thi hvis der er et n>p_{k+1}^2 kan vi lade p_l (l=>k) være det største
primtal mindre end n, hvorved P(l)|n, men P(l)>p_(l+1)^2>n, hvilket er
en modstrid.

k 1 2 3 4 5
p_k 2 3 5 7 11
p_k^2 4 9 25 49 121
P(k) 2 6 30 210

Altså er der ingen meget runde tal over 121.

Endvidere må der gælde at n = p_i+1 for et passende i, da n og n-1 er
indbyrdes primiske, så vi har begrænset antallet af kandidater betragteligt.

> Måske kender I allerede svaret?

Nej, men det bør være let at finde.

--
"We now interrupt this hot lesbian sex scene to
bring you footage of an infant with a rattler."

Stefan Holm (10-05-2003)
Kommentar
Fra : Stefan Holm


Dato : 10-05-03 13:25

Stefan Holm <nospam@algebra.dk> writes:

> Da P(k) vokser hurtigere end p_k (P(k-1)>p_{k-1} for k>2)

Der er selvfølgelig P(k-1)>p_k, ellers kan det ikke bruges. Men det
gælder jo også (i hvert fald for k>3) fordi P(k-1)>3*p_{k-1} og det er
velkendt (Chebychev) at p_k <= 3*p_{k-1}. Resten af argumentet bør
holde.

--
"OK, not when you make it sound all dirty like that... It's just tea."

Søg
Reklame
Statistik
Spørgsmål : 177554
Tips : 31968
Nyheder : 719565
Indlæg : 6408852
Brugere : 218888

Månedens bedste
Årets bedste
Sidste års bedste