---

Hej

Kan man finde to positive tal a og b så man uendeligt mange gange kan sætte
max{a,b} := max{a,b}-min{a,b} uden nogensinde at ramme nul? I givet fald
hvilke?

/Andreas

---

Scripsit "Andreas Andersen" <andreasa@daimi.au.dk>

> Kan man finde to positive tal a og b så man uendeligt mange gange kan sætte
> max{a,b} := max{a,b}-min{a,b} uden nogensinde at ramme nul?

Det du beskriver er Euklids algoritme for største fælles divisor.

Så hvis du vælger to tal som ikke har nogen fælles divisor, fx 1 og
kvadratroden af 2, fortsætter algoritmen i det uendelige.

Et par hvor det er let at se umiddelbart (uden at anvende
inkommensurabilitet) at algoritmen vil fortsætte i det uendelige er
1 og ½(1+sqrt 5), idet forholdet mellem det største og det
mindste tal vil være det samme efter hvert trin i algoritmen.

--
Henning Makholm "Make it loud, make it complicated, make it long,
and make it up if you have to, but it'll work all right."

---

Henning Makholm <henning@makholm.net> writes:

> Scripsit "Andreas Andersen" <andreasa@daimi.au.dk>
>
> > Kan man finde to positive tal a og b så man uendeligt mange gange kan sætte
> > max{a,b} := max{a,b}-min{a,b} uden nogensinde at ramme nul?
>
> Det du beskriver er Euklids algoritme for største fælles divisor.
>
> Så hvis du vælger to tal som ikke har nogen fælles divisor, fx 1 og
> kvadratroden af 2, fortsætter algoritmen i det uendelige.
>
> Et par hvor det er let at se umiddelbart (uden at anvende
> inkommensurabilitet) at algoritmen vil fortsætte i det uendelige er
> 1 og ½(1+sqrt 5), idet forholdet mellem det største og det
> mindste tal vil være det samme efter hvert trin i algoritmen.

Henning har ret, men det er nu meningen, at du selv skal løse dine
teoretiske øvelser i det kursus.

Med venlig hilsen

/trold, Andreas' instruktor

--
Be strong, and remember: be yourself, 'cause you have to be
someone, and everyone else is already taken.
Troels Bjerre Sorensen - stud.scient.dat, office: 540.013
email: trold@daimi.au.dk web: http://www.daimi.au.dk/~trold

---

Scripsit trold@daimi.au.dk (Troels Sørensen)

> Henning har ret, men det er nu meningen, at du selv skal løse dine
> teoretiske øvelser i det kursus.

> /trold, Andreas' instruktor

Undskyld. Jeg så godt Daimi i adressen, men endte med at antage at det
ikke var lektier alligevel (især på grund af den camuflerede
formulering: Brug af "max{a,b}" som lvalue - der må være tale om perl
eller C++).

--
Henning Makholm "Panic. Alarm. Incredulity.
*Thing* has not enough legs. Topple walk.
Fall over not. Why why why? What *is* it?"

---

"Troels Sørensen" <trold@daimi.au.dk> skrev i en meddelelse
news:wzr65rh619w.fsf@horse02.daimi.au.dk...
> Henning har ret, men det er nu meningen, at du selv skal løse dine
> teoretiske øvelser i det kursus.
>
> Med venlig hilsen
>
> /trold, Andreas' instruktor

Hehe. Det var nu da ingen afleveringsopgave - jeg havde siddet med den i et
stykke tid uden at komme videre og kunne ikke vente til fredag med at få
stillet min nysgerrighed

/Andreas

---

"Andreas Andersen" <andreasa@daimi.au.dk> writes:

> "Troels Sørensen" <trold@daimi.au.dk> skrev i en meddelelse
> news:wzr65rh619w.fsf@horse02.daimi.au.dk...
> > Henning har ret, men det er nu meningen, at du selv skal løse dine
> > teoretiske øvelser i det kursus.
> >
> > Med venlig hilsen
> >
> > /trold, Andreas' instruktor
>
> Hehe. Det var nu da ingen afleveringsopgave - jeg havde siddet med
> den i et stykke tid uden at komme videre og kunne ikke vente til
> fredag med at få stillet min nysgerrighed

Men hintet var jo et billede af en tændstikæske, hvis sider var i
forhold til hinanden som det gyldne snit.

Med venlig hilsen

/trold

--
Be strong, and remember: be yourself, 'cause you have to be
someone, and everyone else is already taken.
Troels Bjerre Sorensen - stud.scient.dat, office: 540.013
email: trold@daimi.au.dk web: http://www.daimi.au.dk/~trold

---

trold@daimi.au.dk (Troels Sørensen) writes:

> Men hintet var jo et billede af en tændstikæske, hvis sider var i
> forhold til hinanden som det gyldne snit.

Er der nogensinde nogen der har gættet det hint?

/L 'ex-instruktor, dog ikke i det fag'
--
Lasse Reichstein Nielsen - lrn@brics.dk

---

Lasse Reichstein Nielsen <lrn@hotpop.com> writes:

> trold@daimi.au.dk (Troels Sørensen) writes:
>
> > Men hintet var jo et billede af en tændstikæske, hvis sider var i
> > forhold til hinanden som det gyldne snit.
>
> Er der nogensinde nogen der har gættet det hint?

Ja. Mig.

> /L 'ex-instruktor, dog ikke i det fag'

/trold, én af Lasses studerende, da Lasse selv var instruktor.

--
Be strong, and remember: be yourself, 'cause you have to be
someone, and everyone else is already taken.
Troels Bjerre Sorensen - stud.scient.dat, office: 540.013
email: trold@daimi.au.dk web: http://www.daimi.au.dk/~trold

---

Lasse Reichstein Nielsen wrote:
> trold@daimi.au.dk (Troels Sørensen) writes:
>
>> Men hintet var jo et billede af en tændstikæske, hvis sider var i
>> forhold til hinanden som det gyldne snit.
>
> Er der nogensinde nogen der har gættet det hint?

Hvordan var det nu? Var det fra Faktas etbindsleksikon?

I øvrigt gør det ikke noget, at man ikke kender tricket med det gyldne snit.

Man kan bruge et vilkåligt naturligt tal a og et vilkårligt (positivt) irrationalt
tal b. Betragt kædebrøksfremstillingen for a/b. Da a/b er irrationel er
fremstillingen ikke endelig. Da tallene i kædebrøksfremstillingen fremkommer
under udførelsen af Euklids algoritme, kan Euklids algoritme ikke terminere
(for det ville medføre en endelig kødebrøksfremstilling, altså at a/b var rational).


--
Jens Axel Søgaard

---

Scripsit "Jens Axel Søgaard" <usenet@soegaard.net>

> Man kan bruge et vilkåligt naturligt tal a og et vilkårligt
> (positivt) irrationalt tal b. Betragt kædebrøksfremstillingen for
> a/b. Da a/b er irrationel er fremstillingen ikke endelig. Da tallene
> i kædebrøksfremstillingen fremkommer under udførelsen af Euklids
> algoritme, kan Euklids algoritme ikke terminere (for det ville
> medføre en endelig kødebrøksfremstilling, altså at a/b var
> rational).

Det er da en omvej at begynde at snakke om kædebrøker. Hvorfor ikke
bare: Hvis algoritmen terminerer, har man fundet et fælles mål for de
to oprindelige tal, og derfor må deres forhold være rationelt.
Kontraponer nu.

(Ihvertfald bygger det bevis for at irrationale tal har uendelige
kædebrøksfremstillinger, jeg kender, på at Euklids algoritme ikke
terminerer for irrationale tal, og så er dit argument ihvertfald en
omvej).

--
Henning Makholm "Nej, hvor er vi altså heldige! Længe
leve vor Buxgører Sansibar Bastelvel!"

---

Henning Makholm wrote:
> Scripsit "Jens Axel Søgaard" <usenet@soegaard.net>
>
>> Man kan bruge et vilkåligt naturligt tal a og et vilkårligt
>> (positivt) irrationalt tal b. Betragt kædebrøksfremstillingen for
>> a/b. Da a/b er irrationel er fremstillingen ikke endelig. Da tallene
>> i kædebrøksfremstillingen fremkommer under udførelsen af Euklids
>> algoritme, kan Euklids algoritme ikke terminere (for det ville
>> medføre en endelig kødebrøksfremstilling, altså at a/b var
>> rational).
>
> Det er da en omvej at begynde at snakke om kædebrøker. Hvorfor ikke
> bare: Hvis algoritmen terminerer, har man fundet et fælles mål for de
> to oprindelige tal, og derfor må deres forhold være rationelt.
> Kontraponer nu.

Ja, det er en omvej.

Forresten så kan man nemt se udfra kædebrøksfremstillingen, at det
er smart at vælge a=det gyldne snit og b=1, for det gyldne snit
er den simpleste af de uendelige kædebrøker, så tallene i Euklids
algoritme bliver simple. Dermed er det længere et mysterium, at se
hvordan idéen til hintet med det gyldne snit er opstået.

--
Jens Axel Søgaard

---

"Jens Axel Søgaard" wrote:
>
> Forresten så kan man nemt se udfra kædebrøksfremstillingen, at det
> er smart at vælge a=det gyldne snit og b=1, for det gyldne snit
> er den simpleste af de uendelige kædebrøker, så tallene i Euklids
> algoritme bliver simple. Dermed er det længere et mysterium, at se
> hvordan idéen til hintet med det gyldne snit er opstået.

Det gyldne snit opfylder at det lille stykke x-1 forholder sig til
det store stykke 1 på samme måde som det store stykke 1 forholder
sig til det hele x, altså

(x-1)/1 = 1/x

eller lignende. Dette betyder at

x-1 = 1/x

eller

x = 1 + 1/x

Ved hele tiden at indsætte denne formel i sig selv får man

x = 1 + 1/x = 1 + 1/(1 + 1/x) = 1 + 1/(1 + 1/(1 + 1/x)) = ...

hvilket antyder (uden konvergensovervejelse) hvilken pæn kædebrøks-
fremstilling x har.

--
Jeppe Stig Nielsen <URL:http://jeppesn.dk/>. «

"Je n'ai pas eu besoin de cette hypothèse (I had no need of that
hypothesis)" --- Laplace (1749-1827)

---

"Troels Sørensen" <trold@daimi.au.dk> skrev i en meddelelse
news:wzrheb1o7hm.fsf@horse07.daimi.au.dk...

> Men hintet var jo et billede af en tændstikæske, hvis sider var i
> forhold til hinanden som det gyldne snit.
>
> Med venlig hilsen
>
> /trold
Ok... - burde jeg vide hvad det gyldne snit er???

/Andreas

---

"Andreas Andersen" <andreasa@daimi.au.dk> writes:

> "Troels Sørensen" <trold@daimi.au.dk> skrev i en meddelelse
> news:wzrheb1o7hm.fsf@horse07.daimi.au.dk...
>
> > Men hintet var jo et billede af en tændstikæske, hvis sider var i
> > forhold til hinanden som det gyldne snit.
> >
> > Med venlig hilsen
> >
> > /trold
> Ok... - burde jeg vide hvad det gyldne snit er???

Ja, hvis du har gået i et matematisk gymnasium.

Med venlig hilsen

/trold

--
Be strong, and remember: be yourself, 'cause you have to be
someone, and everyone else is already taken.
Troels Bjerre Sorensen - stud.scient.dat, office: 540.013
email: trold@daimi.au.dk web: http://www.daimi.au.dk/~trold

---

Troels Sørensen skrev:

>> Ok... - burde jeg vide hvad det gyldne snit er???

> Ja, hvis du har gået i et matematisk gymnasium.

Eller folkeskole.

--
Mvh. Peter
"Rumours of my assimilation have been greatly exagerrated."

---

Peter Bjerre Rosa wrote:
>
> >> Ok... - burde jeg vide hvad det gyldne snit er???
>
> > Ja, hvis du har gået i et matematisk gymnasium.
>
> Eller folkeskole.

Det er næppe obligatorisk pensum at lære om det gyldne snit (men
utvivlsomt ret almindeligt).

--
Jeppe Stig Nielsen <URL:http://jeppesn.dk/>. «

"Je n'ai pas eu besoin de cette hypothèse (I had no need of that
hypothesis)" --- Laplace (1749-1827)

---

Jeppe Stig Nielsen skrev:

>>> Ja, hvis du har gået i et matematisk gymnasium.

>> Eller folkeskole.

> Det er næppe obligatorisk pensum at lære om det gyldne snit (men
> utvivlsomt ret almindeligt).

Det er sandt. Jeg husker dog det gyldne snit fra både formnings-, dansk-
og matematiktimerne i folkeskolen.

Men lad mig bare modere det oprindelige udsagn til "gymnasiet". Vi
sproglige slap skam ikke for snittet i naturfag. (Og det var faktisk
også med i musiktimerne, men nok mest som en kuriositet).

--
Mvh. Peter
"To alcohol! The cause of - and solution to - all of life's problems!"

---

Scripsit "Peter Bjerre Rosa" <peter@filmsvar.dk>

[det gyldne snit]

> (Og det var faktisk også med i musiktimerne, men nok mest som en
> kuriositet).

Hvordan kan man få det gyldne snit passet ind i musik? Som den
ultimative dissonans?

--
Henning Makholm (Og det er vasketøjet tit.)

---

"Henning Makholm" <henning@makholm.net> skrev i en meddelelse news:yahbs19m3rm.fsf@pc-043.diku.dk...
> Scripsit "Peter Bjerre Rosa" <peter@filmsvar.dk>
>
> [det gyldne snit]
>
> > (Og det var faktisk også med i musiktimerne, men nok mest som en
> > kuriositet).
>
> Hvordan kan man få det gyldne snit passet ind i musik? Som den
> ultimative dissonans?
>
En lille sekst (8/5)

Mvh
Martin

---

Scripsit "Martin Larsen" <mlarsen@post7.tele.dk>
> "Henning Makholm" <henning@makholm.net> skrev

> > Hvordan kan man få det gyldne snit passet ind i musik? Som den
> > ultimative dissonans?

> En lille sekst (8/5)

Tja, når nu jeg regner efter, er det gyldne snit vist ikke særlig
meget længere fra en ren lille sekst end en lille sekst i ligesvævende
temperatur er. Købt.

--
Henning Makholm "Monarki, er ikke noget materielt ... Borger!"

---

Hej

Jeppe Stig Nielsen <mail@jeppesn.dk> writes:
> Det er næppe obligatorisk pensum at lære om det gyldne snit (men
> utvivlsomt ret almindeligt).

Nu er jeg ikke _helt_ sikker på at det er hvad jeg tænker på, men hvis
det er, så havde jeg aldrig hørt om det gyldne snit før jeg i 1. eller
2.g så filmen "Pi" af Darren Aronofsky, hvilket fik mig til at læse lidt
om Fibonacci-rækken, og derefter frem til det gyldne snit... (hvor jeg
her afslører min uvidenhed, hvis det ikke er ±0,6180339887 og
±1,6180339887 der er tale om...)

--
Ulrik Jensen
ulrik@qcom.dk - http://www.minefilm.tk
"It's only a movie, and, after all, we're all grossly overpaid."

---

Ulrik Jensen <ulrik@qcom.dk> writes:

> (hvor jeg her afslører min uvidenhed, hvis det ikke er ±0,6180339887
> og ±1,6180339887 der er tale om...)

Det er det. Jeg husker dem som (sqrt(5)+/-1)/2. Det gyldne snit er vel
egentlig *forholdet* 1:1.61803... (eller 0.61803...:1, som er det samme).

/L
--
Lasse Reichstein Nielsen - lrn@brics.dk
Ph.D. i datalogi søger stilling som software-udvikler i Øst- eller
Nordjylland. Curriculum Vitae: <URL:http://www.brics.dk/~lrn/cv.html>

---

Scripsit Ulrik Jensen <ulrik@qcom.dk>

> (hvor jeg her afslører min uvidenhed, hvis det ikke er ±0,6180339887
> og ±1,6180339887 der er tale om...)

Vær blot rolig. Det er også den vi andre taler om. (Dog hovedsageligt
som positive tal).

--
Henning Makholm "It's kind of scary. Win a revolution and
a bunch of lawyers pop out of the woodwork."

---

Henning Makholm wrote:
>
> > Kan man finde to positive tal a og b så man uendeligt mange gange kan sætte
> > max{a,b} := max{a,b}-min{a,b} uden nogensinde at ramme nul?
>
> Det du beskriver er Euklids algoritme for største fælles divisor.

Det er faktisk rigtigt, men den er camoufleret lidt.

>
> Så hvis du vælger to tal som ikke har nogen fælles divisor, fx 1 og
> kvadratroden af 2, fortsætter algoritmen i det uendelige.

Man kan også beskrive dobbeltfølgen på denne måde: Lad de to positive
start-tal hedde u_1 og v_1 hvor u_1 > v_1. Brug så rekursionen

u_{n+1} := max{ u_n - v_n , v_n }
v_{n+1} := min{ u_n - v_n , v_n }

Så forbliver u_n det største af de to tal u_n og v_n (for alle n).

Et bevis for at betingelsen at u_1/v_1 er irrational, er tilstrækkelig
til at sikre at u_n/v_n aldrig bliver én, er ikke svært. Thi hvis vi
allerede véd at u_n/v_n er irrational, så er ét af tallene
u_{n+1}/v_{n+1} eller v_{n+1}/u_{n+1} givet ved

( u_n - v_n ) / v_n = u_n/v_n - 1 (irrationalt)

og dermed forbliver forholdet mellem u'erne og v'erne irrationalt.

Hvis man starter med u_1 og v_1 som *naturlige* tal ( u_1 > v_1 ),
må v_n nødvendigvis blive nul fra et vist trin. Thi ellers var
følgen {u_n} en strengt aftagende følge af naturlige tal hvilket
ikke kan eksistere.

--
Jeppe Stig Nielsen <URL:http://jeppesn.dk/>. «

"Je n'ai pas eu besoin de cette hypothèse (I had no need of that
hypothesis)" --- Laplace (1749-1827)

---

Henning Makholm <henning@makholm.net> writes:

> Scripsit "Andreas Andersen" <andreasa@daimi.au.dk>
>
> > Kan man finde to positive tal a og b så man uendeligt mange gange kan sætte
> > max{a,b} := max{a,b}-min{a,b} uden nogensinde at ramme nul?
>
> Det du beskriver er Euklids algoritme for største fælles divisor.

Det er korrekt at man kan finde største fælles divisor sådan, men i
Euklids algoritme er det resten ved heltalsdivision man erstatter det
største tal med.

> Et par hvor det er let at se umiddelbart (uden at anvende
> inkommensurabilitet) at algoritmen vil fortsætte i det uendelige er
> 1 og ½(1+sqrt 5), idet forholdet mellem det største og det
> mindste tal vil være det samme efter hvert trin i algoritmen.

Jeg vil godt acceptere at du kan foretage vilkårligt mange skridt, men
uendeligt mange? Det ville jeg umiddelbart mene skulle betyde at man
tager grænseværdien, og den er altså 0.

Et (lidt kluntet) bevis for at grænseværdien altid er 0:

Jeg ændrer lige lidt på notationen.
Vi har givet to positive reelle tal a_0 og b_0 med a_0>=b_0.
Så definerer vi for n>=0: c_n = a_n-b_n og
a_{n+1}=max{c_n,b_n}, b_{n+1}=min{c_n,b_n}. Således vil der altid gælde
a_n>=b_n.

Følgen c_n er helt klart aftagende for alle a_0,b_0, den er også helt
tydeligt nedad begrænset (af 0) og derfor konvergent.

Antag c_n -> d>0. Fra et vist trin (n>N) vil c_n<2d, fra dette trin må b_n
være en konstant mindre end d, thi hvis den var større ville vi komme under,
og hvis b_{k+1}!=b_k så er c_k<b_k<d hvilket er en modstrid. Men så er
c_k>b_k for k>N og derfor vil c_{N+j}=c_N-j*b_N, men for j>d/b_n er det
negativt hvilket er en modstrid.

..Henrik

--
"The ultimate goal of mathematics is to eliminate all need for
intelligent though" - Graffiti af ukendt i 'Concrete Mathematics'

---

Scripsit Henrik Christian Grove <grove@sslug.dk>
> Henning Makholm <henning@makholm.net> writes:

> > Et par hvor det er let at se umiddelbart (uden at anvende
> > inkommensurabilitet) at algoritmen vil fortsætte i det uendelige er
> > 1 og ½(1+sqrt 5), idet forholdet mellem det største og det
> > mindste tal vil være det samme efter hvert trin i algoritmen.

> Jeg vil godt acceptere at du kan foretage vilkårligt mange skridt, men
> uendeligt mange?

Ja, nærmere bestemt omega mange: Der findes en funktion fra N til R²
som til hvert naturligt tal i giver talparret efter trin i.

> Det ville jeg umiddelbart mene skulle betyde at man tager grænseværdien,

Nej, det er først *efter* omega trin.

--
Henning Makholm "Den nyttige hjemmedatamat er og forbliver en myte.
Generelt kan der ikke peges på databehandlingsopgaver af
en sådan størrelsesorden og af en karaktér, som berettiger
forestillingerne om den nye hjemme- og husholdningsteknologi."

---

Henning Makholm <henning@makholm.net> writes:

> Scripsit Henrik Christian Grove <grove@sslug.dk>

> > Jeg vil godt acceptere at du kan foretage vilkårligt mange skridt, men
> > uendeligt mange?

> Ja, nærmere bestemt omega mange: Der findes en funktion fra N til R²
> som til hvert naturligt tal i giver talparret efter trin i.

Det svarer til vilkårligt mange, ikke omega mange. For ethvert
(vilkårligt) tal kan du sige hvad resultatet er efter det antal
skridt. Ingen af disse talpar svarer til uendeligt/omega mange skridt.

> > Det ville jeg umiddelbart mene skulle betyde at man tager grænseværdien,
>
> Nej, det er først *efter* omega trin.

Netop. Værdien efter at have taget omega skridt er grænseværdien.
Hvis man tager omega skridt, så står man med grænseværdien.

/L
--
Lasse Reichstein Nielsen - lrn@brics.dk
Ph.D. i datalogi søger stilling som software-udvikler i Øst- eller
Nordjylland. Curriculum Vitae: <URL:http://www.brics.dk/~lrn/cv.html>

---

Scripsit Lasse Reichstein Nielsen <lrn@hotpop.com>

> > Ja, nærmere bestemt omega mange: Der findes en funktion fra N til R²
> > som til hvert naturligt tal i giver talparret efter trin i.

> Det svarer til vilkårligt mange, ikke omega mange.

Jo, det er omega mange.

Du synes at tænke på omega+1 mange.

> Netop. Værdien efter at have taget omega skridt er grænseværdien.
> Hvis man tager omega skridt, så står man med grænseværdien.

Nej, det er først i skridtet *efter* man har taget omega skridt
at man tager en grænseværdi.

--
Henning Makholm "*Tak* for de ord. *Nu* vinker nobelprisen forude."

---

Henning Makholm <henning@makholm.net> writes:

> Scripsit Lasse Reichstein Nielsen <lrn@hotpop.com>

> > Det svarer til vilkårligt mange, ikke omega mange.
>
> Jo, det er omega mange.

Din funktion gav mange resultater, et for hvert naturligt tal,
repræsenterende resultatet efter et vilkårligt endeligt antal skridt.

Hvad er resultatet efter omega skridt?

> Du synes at tænke på omega+1 mange.

nej, omega+1 gange er *en* gang mere end omega. Omega er det første
uendelige ordinaltal, så at gøre noget omega gange er at gøre det
uendeligt mange gange ... i praksis er resultatet en grænseværdi.

> Nej, det er først i skridtet *efter* man har taget omega skridt
> at man tager en grænseværdi.

Man får ikke nogen grænseværdi af et skridt.

/L
--
Lasse Reichstein Nielsen - lrn@brics.dk
Ph.D. i datalogi søger stilling som software-udvikler i Øst- eller
Nordjylland. Curriculum Vitae: <URL:http://www.brics.dk/~lrn/cv.html>

---

Scripsit Lasse Reichstein Nielsen <lrn@hotpop.com>

> Din funktion gav mange resultater, et for hvert naturligt tal,
> repræsenterende resultatet efter et vilkårligt endeligt antal skridt.

> Hvad er resultatet efter omega skridt?

Der er kun et "resultat efter omega skridt", hvis man har omega+1
resultater i alt.

En følge med 0 resultater er en funktion med
definitionsmængde 0 = Ø = {}.

En følge med 1 resultat er en funktion med
definitionsmængde 1 = {0}.

En følge med 2 resultater er en funktion med
definitionsmængde 2 = {0,1}.

En følge med omega resultater er en funktion med
definitionsmængde omega = {0,1,2,...} = N.

En følge med omega+1 resultater en funktion med
definitionsmængde omega+1 = succ(omega) = N u {omega} = {0,1,2,... ,omega}

Først i sidste tilfælde er der tale om at tage grænseværdi for at man
kan definere funktionen.

> > Du synes at tænke på omega+1 mange.

> nej, omega+1 gange er *en* gang mere end omega.

Netop. Og det vil sige at gang nummer omega medtages.

> Omega er det første uendelige ordinaltal,

Ja. Derfor må "omega mange gange" være den mindste måde man kan have
mere end endeligt mange punkter i definitionsmængden. Og den måde jeg
snakker om (ved at tage *alle* de naturlige tal men *ikke* deres
grænseværdi) er mindre end den du snakker om. Eftersom de begge er
uendelige, kan din måde ikke være omega.

> så at gøre noget omega gange er at gøre det uendeligt mange gange

Ja.

> ... i praksis er resultatet en grænseværdi.

Nej, grænseværdien kommer kun ind i billedet når omega *tilhører*
definitionsmængden, ikke allerede når omega *er* definitionsmængden.

> > Nej, det er først i skridtet *efter* man har taget omega skridt
> > at man tager en grænseværdi.

> Man får ikke nogen grænseværdi af et skridt.

Jo, hvis det skridtet tilføjer, er en grænseordinal.

--
Henning Makholm "However, the fact that the utterance by
Epimenides of that false sentence could imply the
existence of some Cretan who is not a liar is rather unsettling."

---

Henning Makholm <henning@makholm.net> writes:

> Scripsit Lasse Reichstein Nielsen <lrn@hotpop.com>

> > Hvad er resultatet efter omega skridt?
>
> Der er kun et "resultat efter omega skridt", hvis man har omega+1
> resultater i alt.

> En følge med 0 resultater er en funktion med
> definitionsmængde 0 = Ø = {}.
....

Ok, det er *der* vi snakker forbi hinanden.

Du snakker om at bygge en følge af resultater af at iterere en
funktion på en startværdi, jeg taler kun om at finde et endelige
esultat af at iterere funktionen.
(Funktionen er her (x,y)|->(max(x,y)-min(x,y),min(x,y)) )

Efter at have tilføjet omega mange elementer til følgen, så er den
netop defineret på N, så du har ret.

Efter at have itereret funktionen omega gange (startende fra det
første/nulte element) så når man (såfremt det er veldefineret)
grænseværdien.

Hvis F er en kontinuert funktion (fx f(x)=x/2), så er resultatet af at
iterere f omega gange på et valgt startelement (fx 1) netop
f^{\omega}(1) = 0, hvor f^{\omega) er grænseværdien (målt med punktvis
konvergens) for f^i med i->oo.

Så jeg har ret.

/L :)
--
Lasse Reichstein Nielsen - lrn@brics.dk
Ph.D. i datalogi søger stilling som software-udvikler i Øst- eller
Nordjylland. Curriculum Vitae: <URL:http://www.brics.dk/~lrn/cv.html>

---

Scripsit Lasse Reichstein Nielsen <lrn@hotpop.com>
> Henning Makholm <henning@makholm.net> writes:

> > En følge med 0 resultater er en funktion med
> > definitionsmængde 0 = Ø = {}.

> Ok, det er *der* vi snakker forbi hinanden.

> Du snakker om at bygge en følge af resultater af at iterere en
> funktion på en startværdi, jeg taler kun om at finde et endelige
> esultat af at iterere funktionen.

Hm, tja. Eftersom deltråden startede med hvorvidt min formulering
"algoritmen kører uendelig længe" (eller noget i den henretning) var
akkurat eller ej, mener jeg sådan set at det vel må være mit
privillegium at forklare hvad jeg mener med det.

Og med "algoritmen kører uendelig længe" mener jeg at hvis man sætter
en passende indrettet (abstrakt) maskine til at køre den, vil der
findes en fremtid på omega skridt, hvor maskinens tilstand i hvert
skridt afhænger af tilstanden i det foregående skridt på den måde
algoritmen angiver.

> Hvis F er en kontinuert funktion (fx f(x)=x/2), så er resultatet af at
> iterere f omega gange på et valgt startelement

Der er ikke tale om "resultatet af kørslen". Eftersom den kører omega
mange skridt og omega ikke *har* noget største element, er der ikke
noget "resultat".

--
Henning Makholm "I Guds Faders namn, och Sonens, och den Helige
Andes! Bevara oss från djävulens verk och från Muhammeds,
den förbannades, illfundigheter! Med dig är det värre än med
någon annan, ty att lyssna till Muhammed är det värsta av allt."

---

trold@daimi.au.dk (Troels Sørensen) writes:

>> /L 'ex-instruktor, dog ikke i det fag'
>
> /trold, én af Lasses studerende, da Lasse selv var instruktor.

Sikke indspiste I er. Her er så vidt jeg ved kun én af mine tidligere
instruktorer og vist ingen jeg har været instruktor for.

--
"Thanks for the Dadaist pep talk,
I feel much more abstract now."

---

Stefan Holm <nospam@algebra.dk> writes:

> Sikke indspiste I er. Her er så vidt jeg ved kun én af mine tidligere
> instruktorer og vist ingen jeg har været instruktor for.

Det nærmeste jeg vist kan komme en af mine instruktorer er Henning (det
kan han så spekulere lidt over). Til gengæld har jeg set mindst to
personer jeg har været instruktor for herinde.

..Henrik (der har både har været instruktor for og sammen med Stefan)



Og eftersom Henning næppe er klar over hvad jeg tænker på, kan jeg vel
ligeså godt med det samme afsløre at det drejer sig om at jeg var til
den spørgetime han holdt i Dat 1E(-sprog) i januar 1998.

--
"Og jeg troede UENDELIG var et stort tal!"
-sagt efter en matematikforelæsning om transfinitte kardinaltal

---

Scripsit Henrik Christian Grove <grove@sslug.dk>

> Det nærmeste jeg vist kan komme en af mine instruktorer er Henning (det
> kan han så spekulere lidt over).

Tja, jeg har andre ting at bruge min tid på end at spekulere over den
slags. I min tid har jeg vist været instruktor på det meste af
datalogisk førstedel. Samlet har der vel været knap en snes studerende
der har mødt op til mere end én af mine forestillinger, mens der i
tidens løb må have været mindst 100 der har været skrevet op på et
hold jeg stod for. Det siger vel noget om min pædagogiske begavelse
(eller mangel på samme).

> Og eftersom Henning næppe er klar over hvad jeg tænker på, kan jeg vel
> ligeså godt med det samme afsløre at det drejer sig om at jeg var til
> den spørgetime han holdt i Dat 1E(-sprog) i januar 1998.

Nåh, jamen det forklarer jo alt. Måske. Øhm, altså, hvis du siger at
jeg har holdt en spørgetime i januar 1998, så skal det nok være
rigtigt. Whatever.

--
Henning Makholm "Punctuation, is? fun!"