---

Hey NG,
Jeg er stødt på noget sjovt:
Div. matematikprogrammer kan "simplificere" (f.eks.) Sin((Pi/4)/2) til at
være det samme som sqrt(1/2 - sqrt(2)/4)

Ved efterregning er dette naturligvis det samme, men jeg har tænkt meget
over det, og jeg kan simpelthen ikke se hvordan det eksakte tal udledes.

Kan i?

--
Mvh., Jesper J. Madsen

---

Plazm0id wrote:
>
> Div. matematikprogrammer kan "simplificere" (f.eks.) Sin((Pi/4)/2) til at
> være det samme som sqrt(1/2 - sqrt(2)/4)

Da der bl.a. gælder at

cos(2x) = 2(cos x)² - 1

kan man finde cos(pi/2), cos(pi/4), cos(pi/8), cos(pi/16), ... eksakt
ved hjælp af kvadratrødder.

Faktisk giver dette en metode til at finde cos((k/2^n)·pi) for alle
hele k og n. Start nemlig fra cos(k·pi) der er (-1)^k.

Da endvidere

(cos x)² + (sin x)² = 1

kan man let udtrykke sin x hvis man kender cos x.

I begge tilfælde skal man naturligvis overveje om det er den positive
eller den negative kvadratrod man skal bruge (hvilken kvadrant er man
i?).

--
Jeppe Stig Nielsen <URL:http://jeppesn.dk/>. «

"Je n'ai pas eu besoin de cette hypothèse (I had no need of that
hypothesis)" --- Laplace (1749-1827)

---

"Jeppe Stig Nielsen" <mail@jeppesn.dk> skrev i en meddelelse
news:3DFF52CB.DD4EBA9E@jeppesn.dk...
>
> Da der bl.a. gælder at
>
> cos(2x) = 2(cos x)² - 1
> Da endvidere
>
> (cos x)² + (sin x)² = 1


Okay okay. Idiotformlen? :)
Jeg er dog standig ikke helt med.
Hvis vi bare tager udgangspunkt i eksemplet jeg startede med:

x = (Pi/4)/2

sin(x) = sqrt( 1 - (cos(x)^2 )
sin(x) = sqrt( 1 - (cos2x + 1)/2 )

Men nu er jeg jo ikke meget nærmere mit eksakt-tal...?

--
Mvh., Jesper J. Madsen

---

Plaz
> x = (Pi/4)/2

Brug dobbelt vinkel formlen 3 gange, så du udtrykker
cos(pi/8) vha. cos(Pi), hvilket ikke burde være svær
at indsætte værdien for.

--
Mvh. Carsten Svaneborg
http://www.softwarepatenter.dk

---

"Carsten Svaneborg" <zqex@nowhere.on.the.net> skrev i en meddelelse
news:tnnnta.dk3.ln@0.0.0.0...
> Brug dobbelt vinkel formlen 3 gange, så du udtrykker
> cos(pi/8) vha. cos(Pi), hvilket ikke burde være svær
> at indsætte værdien for.

:x = (Pi/4)/2
:
:sin(x) = sqrt( 1 - (cos(x)^2 )
:sin(x) = sqrt( 1 - (cos2x + 1)/2 )

Ok. Fortsætter:
sin(x) = sqrt( 1 - ( 2(cosx)^2 - 1+ 1)/2 )
= sqrt( 1 - ( 2(cosx)^2 )/2 )
= sqrt( 1 - ( 2(cos2x + 1))/4 )

<=>
sin((Pi/4)/2) = sqrt( 1 - ( 2(cos(Pi/4) + 1))/4 )
= sqrt( 1 - ( 2cos(Pi/4) + 2)/4 )
= sqrt( 1 - ( cos(Pi/4) + 1)/2 )

Ehm, hvorfor giver det ikke cos(Pi) som du får det til?

--
Mvh., Jesper J. Madsen

---

min fejl selvfølgelig:
sådan skulle det have været
Ok. Fortsætter:
sin(x) = sqrt( 1 - ( 2(cosx)^2 - 1+ 1)/2 )
= sqrt( 1 - ( 2(cosx)^2 )/2 )
= sqrt( 1 - ( 2(cos2x + 1))/4 )
= sqrt( 1 - ( 2(2(cosx)^2 -1 + 1))/4 )

<=>
sin((Pi/4)/2) = sqrt( 1 - ( 2(2(cos((Pi/4)/2))^2 -1 + 1))/4 )
= sqrt( 1 - ( 2(2(cos((Pi/4)/2))^2))/4 )
= sqrt( 1 - ( 2(2cos((Pi/4)/2))^2)/4 )
= sqrt( 1 - ( 4cos((Pi/4)/2))^2/4 )
= sqrt( 1 - ( cos((Pi/4)/2))^2 )


men er cos((Pi/4)/2))^2 = cos(Pi)...?hvordan?

---

Har fundet ud af det nu. Tak.

---

"Plazm0id" <Plazm0id@phreaker.net> writes:

> "Jeppe Stig Nielsen" <mail@jeppesn.dk> skrev i en meddelelse
> news:3DFF52CB.DD4EBA9E@jeppesn.dk...
> >
> > Da der bl.a. gælder at
> >
> > cos(2x) = 2(cos x)² - 1
> > Da endvidere
> >
> > (cos x)² + (sin x)² = 1
>
>
> Okay okay. Idiotformlen? :)
> Jeg er dog standig ikke helt med.
> Hvis vi bare tager udgangspunkt i eksemplet jeg startede med:
>
> x = (Pi/4)/2
>
> sin(x) = sqrt( 1 - (cos(x)^2 )
> sin(x) = sqrt( 1 - (cos2x + 1)/2 )
>
> Men nu er jeg jo ikke meget nærmere mit eksakt-tal...?

Jo, du er. I det sidste udtryk indgår kun cos(Pi/4), enten er det en
kendt værdi, eller også kan du bruge dobbeltvinkelformlen for cos en gang
ting, og få et udtryk der kun indeholder cos(Pi/2). Enten er det kendt
(det bør det være), eller også kan du gentage endnu engang og få noget
der kun indeholder cos af Pi.

..Henrik

--
"Gud har skabt de hele tal, alt andet er menneskeværk" - Kronecker
"Gud har 'INTET' skabt, alt andet er menneskeværk" - Flemming Topsøe

---

Scripsit Henrik Christian Grove <grove@sslug.dk>

> "Gud har skabt de hele tal, alt andet er menneskeværk" - Kronecker
> "Gud har 'INTET' skabt, alt andet er menneskeværk" - Flemming Topsøe

Det bliver en kedelig matematik uden uendelighedsaksiomet.

--
Henning Makholm "Y'know, I don't want to seem like one of those
hackneyed Jews that you see in heartwarming movies.
But at times like this, all I can say is 'Oy, gevalt!'"

---

> "Gud har skabt de hele tal, alt andet er menneskeværk" - Kronecker
> "Gud har 'INTET' skabt, alt andet er menneskeværk" - Flemming Topsøe

Er det i grunden onkel Topper der oprindeligt er kommet med det citat?

-----
Jes Hansen

---

> "Gud har skabt de hele tal, alt andet er menneskeværk" - Kronecker
> "Gud har 'INTET' skabt, alt andet er menneskeværk" - Flemming Topsøe

Er det i grunden onkel Topper der oprindeligt er kommet med det citat?

-----
Jes Hansen

---

"Jes Hansen" <eq0y4q5qvpbfvv8tyylmwxj02@sneakemail.com> writes:

> > "Gud har skabt de hele tal, alt andet er menneskeværk" - Kronecker
> > "Gud har 'INTET' skabt, alt andet er menneskeværk" - Flemming Topsøe
>
> Er det i grunden onkel Topper der oprindeligt er kommet med det citat?

Jeg har det fra artiklen "Matematikkens natur -- naturens matematik", en
artikel af Topsøe i Tidsskriftet Veritas 2/94. Et lille citat:

Tidligere valgte man et højere udgangspunkt for matematikken end
mængdelæren. Forskerne hæftede sig især ved de naturlige tal. Således
kunne den tyske matematiker Leopold Kronecker i 1886 udtale: "Den kære
Gud har givet os de naturlige tal, alt andet er menneskeværk", se
[4]. Med det moderne grundlag for matematikken kan vi skærpe udtalelsen
betydeligt:

TESE. Gud har intet skabt. Alt andet er menneskeværk.

Her skal "intet" naturligvis forstås som et noget, nemlig den tomme
mængde, vi har givet, hvorefter mere komplicerede mængder bygges op
alene ud fra den tomme mængde."

Referencen [4] er D.J. Striuk: A concise History of Mathematics,
3rd. ed., Dover, 1967.

Inden min kopi er taget er ordet 'intet' blevet understreget, og
eftersom det er Topsøe der udleverede kopien i Mat Y, mener jeg det er
rimeligt at fremhæve ordet. At det er blevet til én sætning skyldes
formentlig at jeg ikke slog efter da jeg lavede signaturen, det ændrer
jeg straks.

Man kan se at Topsøe bruger en anden oversættelse af Kroneckers udsagn
end mig, en lille søgning på Google[1] fandt følgende udgave på tysk:
"Die ganzen Zahlen hat der liebe Gott gemacht, alles andere
ist Menschenwerk", som er lidt tættere på Topsøes udgave end min.
Som forsvar vil jeg anføre at den udgave jeg bruger kan stå på en linie
inkl. attribution, og at den ligner Topsøes citat så meget som det nok
lader sig gøre.

..Henrik

[1] Jeg er desværre lige netop[2] ikke gammel nok til at have Struik, men
har derimod Victor J. Katz: "A history of mathematics - an
introduction", hvor jeg ikke kan finde citatet.

[2] For en passende definition af 'lige netop'. Jeg fulgte kurset første
gang man brugte Katz, men da var jeg kun andetårsstuderende, og kurset
ligger på tredje år.

--
"Og jeg troede UENDELIG var et stort tal!"
-sagt efter en matematikforelæsning om transfinitte kardinaltal

---

Scripsit Henrik Christian Grove <grove@sslug.dk>

> Tidligere valgte man et højere udgangspunkt for matematikken end
> mængdelæren. Forskerne hæftede sig især ved de naturlige tal. Således
> kunne den tyske matematiker Leopold Kronecker i 1886 udtale: "Den kære
> Gud har givet os de naturlige tal, alt andet er menneskeværk", se
> [4]. Med det moderne grundlag for matematikken kan vi skærpe udtalelsen
> betydeligt:

> TESE. Gud har intet skabt. Alt andet er menneskeværk.

Jeg er ikke enig i tesen. Først og fremmest er der (som jeg tidligere
har skrevet) uendelighedsaksiomet, som forærer os en overmængde til N
uden at vi selv behøver at konstruere den.

Mere alvorligt er det efter min mening at man ikke kommer nogen vegne
hvis man starter med mængdelærens aksiomer og ikke i forvejen har
nogen heltal. For at kombinere aksiomerne til en teori, er vi nødt til
at have en bevisteori, og det forudsætter at vi i forvejen har styr på
manipulation af symbolstrenge - hvilket indebærer at vi også har
naturlige tal, i det mindste i unær notation.

--
Henning Makholm "What a hideous colour khaki is."