---

Hej NG,

Har jeg ret, hvis jeg påstår at funktionen
f: D -> R , hvor D = [0,1] x [0,1]
givet ved forskriften

f(x,y) =
0 for (x,y) tilhører D\{Q^2 fraregnet D}
1 for (x,y) tilhører {Q^2 fraregnet D}

har den største undersum s = 1 og den mindste oversum S = 0 og følgelig ikke
er planintegrabel?

--
Jens Pedersen

---

"Jens Pedersen" <osterejen@hotmail.com> skrev i en meddelelse
news:3dfccb6c$0$226$edfadb0f@dread16.news.tele.dk...
> Hej NG,
>
> Har jeg ret, hvis jeg påstår at funktionen
> f: D -> R , hvor D = [0,1] x [0,1]
> givet ved forskriften
>
> f(x,y) =
> 0 for (x,y) tilhører D\{Q^2 fraregnet D}
> 1 for (x,y) tilhører {Q^2 fraregnet D}

Sludder - jeg var vist lige lidt for hurtig... funktionen er selvfølgelig
givet ved forskriften

f(x,y) =
0 for (x,y) tilhører D\{Q^2 "fælles med" D}
1 for (x,y) tilhører {Q^2 "fælles med" D}

--
Jens Pedersen

---

"Jens Pedersen" <osterejen@hotmail.com> writes:

> f(x,y) =
> 0 for (x,y) tilhører D\{Q^2 "fælles med" D}
> 1 for (x,y) tilhører {Q^2 "fælles med" D}

Ja, den er ikke riemann-integrabel. Du bør kunne argumentere udfra at
ethvert interval indeholder et rationalt og et irrationalt tal.

--
"Because it's a killer snot monster from outer space."

---

Scripsit Stefan Holm <nospam@algebra.dk>
> "Jens Pedersen" <osterejen@hotmail.com> writes:

> > f(x,y) =
> > 0 for (x,y) tilhører D\{Q^2 "fælles med" D}
> > 1 for (x,y) tilhører {Q^2 "fælles med" D}

> Ja, den er ikke riemann-integrabel.

Til gengæld er det (næsten) det prototypiske eksempel på en
Lebesgue-integrabel funktion der ikke er Riemann-integrabel.
Lebesgue-integralet er 0.

--
Henning Makholm "I didn't even know you *could* kill chocolate ice-cream!"

---

"Henning Makholm" <henning@makholm.net> skrev i en meddelelse
news:yahof7nrs1k.fsf@tyr.diku.dk...

> Til gengæld er det (næsten) det prototypiske eksempel på en
> Lebesgue-integrabel funktion der ikke er Riemann-integrabel.
> Lebesgue-integralet er 0.

Og så er det, jeg spørger: Hvad er et Lebesgue-integral, og hvordan
definerer man "Lebesgue-integrabilitet"? Jeg går ud fra, at
Riemann-integralet svarer til det "almindelige" integral, som man (i hvert
fald jeg) lærer om i gymnasiet.

--
Jens Pedersen

---

"Stefan Holm" <nospam@algebra.dk> skrev i en meddelelse
news:uznr7f7bq.fsf@nynne.aub.dk...

> Ja, den er ikke riemann-integrabel. Du bør kunne argumentere udfra at
> ethvert interval indeholder et rationalt og et irrationalt tal.

Er enhver funktion (f*g)(x,y) hvor g: D -> R er en funktion forskellig fra 0
for alle (x,y) i D og f(x,y) er den før omtalte funktion så heller ikke
(Riemann) integrabel?

--
Jens Pedersen

---

Scripsit "Jens Pedersen" <osterejen@hotmail.com>

> Er enhver funktion (f*g)(x,y) hvor g: D -> R er en funktion forskellig fra 0
> for alle (x,y) i D og f(x,y) er den før omtalte funktion så heller ikke
> (Riemann) integrabel?

Hvis g yderligere er kontinuert, har du ret. Ellers tvivler jeg. Sæt

g(x) = { 1/h(q) for x=p/q uforkortelig
{ 1 for x irrational

Hvis nu h: N->N vokser "hurtigt nok", må f*g være Riemann-integrabel
med integral 0.

--
Henning Makholm "No one seems to know what
distinguishes a bell from a whistle."

---

Scripsit Henning Makholm <henning@makholm.net>

> g(x) = { 1/h(q) for x=p/q uforkortelig
> { 1 for x irrational

> Hvis nu h: N->N vokser "hurtigt nok", må f*g være Riemann-integrabel
> med integral 0.

Et h der vokser hurtigt nok er

h(q) = q*2^q

hvilket giver

(f*g)(x) = { 1/(q*2^q) for x=p/q uforkortelig
{ 0 for x irrationel

En Riemann-sum med største intervallængde d kan herefter vurderes til

sum over I af længde(I)*(f*g)(x) for et x i I

=< sum over I af d*(f*g)(x) for et x i I

=< d * sum over visse x'er i [0;1] af (f*g)(x)

=< d * sum over visse rationale x'er i [0;1] af (f*g)(x)

= d * sum over visse q i N af sum over visse p < q af 1/(q*2^q)

=< d * sum over visse q i N af sum over alle p < q af 1/(q*2^q)

=< d * sum over visse q i N af 2^(-q)

=< d * sum over alle q i N af 2^(-q)

= 2d --> 0 for d --> 0. Altså Riemann-integrabel.

--
Henning Makholm "This imposes the restriction on any
procedure statement that the kind and type
of each actual parameter be compatible with the
kind and type of the corresponding formal parameter."

---

"Jens Pedersen" <osterejen@hotmail.com> writes:

> Og så er det, jeg spørger: Hvad er et Lebesgue-integral,

Det er et målteori-baseret integral-begreb, der har et par væsentlige
fordele fremfor Riemann-integralet.

Først og fremmest kan det, takket være roden i målteori, generaliseres
til meget forskellige situationer - altså integration af funktioner
fra mange forskellige mængder, hvor Riemann-integralet er bundet til
R^n. Derudover viser det sig at være et stærkere integralbegreb på
R^n. Altså at alle Riemann-integrable funktioner er
Lebesgue-integrable med samme integral, og at der findes
Lebesgue-integrable funktioner, der ikke er Riemann-integrable.

Jeg har undladt at fortælle, hvad målteori er, fordi det er et meget
teknisk begreb. Idéen er, at det er en metode til at tildele et
størrelsesbegreb til visse pæne mængder (for en passende definition af
pænhed). Det kan f.eks. være længde, areal, rumfang, antal elementer
osv. Målet er normalt et ikke-negativt reelt tal eller uendelig.

> Jeg går ud fra, at Riemann-integralet svarer til det "almindelige"
> integral, som man (i hvert fald jeg) lærer om i gymnasiet.

Det er korrekt.

--
"She speaks with a strange evenness and
selects her words a shade too precisely."

---

Scripsit Stefan Holm <nospam@algebra.dk>

> Jeg har undladt at fortælle, hvad målteori er, fordi det er et meget
> teknisk begreb.

Jeg mener at huske at man i praksis kan karakterisere
Lebesgue-integralet på R med ca. følgende aksiomer:

1. For alle a =< b er funktionen

f(x) = 1 hvis a < x < b; ellers 0

integrabel med integralet b-a

2. Integralet er et lineært funktional: Hvis f og g er integrable
med integralerne a henholdsvis b, er

h(x) = k*f(x)+g(x)

integrabel med integralet ka+b

3. Hvis en følge af integrable funktioner konvergerer "tilstrækkelig
pænt", er grænsefunktionen integrabel med grænseværdien af
integralerne som integral.

Desværre kan jeg ikke på stående fod huske præcis hvad "tilstrækkelig
pænt" i (3) er. Uniform konvergens er skrappere end nødvendigt, men
punktvis er ikke helt nok.

--
Henning Makholm "Monsieur, vous êtes fou."

---

Henning Makholm wrote:
> Jeg mener at huske at man i praksis kan karakterisere
> Lebesgue-integralet på R med ca. følgende aksiomer:

> 3. Hvis en følge af integrable funktioner konvergerer "tilstrækkelig
> pænt", er grænsefunktionen integrabel med grænseværdien af
> integralerne som integral.
>
> Desværre kan jeg ikke på stående fod huske præcis hvad "tilstrækkelig
> pænt" i (3) er. Uniform konvergens er skrappere end nødvendigt, men
> punktvis er ikke helt nok.

Min hukommelse rakte heller ikke til de nærmere detaljer, men intuitionen
er klart, at "tilstrækkelig pænt" meget tæt på punktvis konvergens.

Et opslag i Royden gav hurtigt nedenstående version af 3. Selve følgen
skal konvergere punktvis (næsten overalt). Det eneste krav er, at
funktionerne skal være dominerede af en anden følge af integrable
funktioner - det er nok til at sikre, at grænsefunktionen så bliver integrabel.


Sætning

Lad g_n være en følge af integrable funktioner, som konvergererer
næsten over alt mod en integrabel funktion g.

Lad f_n være en følge af målelige funktioner som er domineret af g_n,
altstå |f_n|<=g_n, og f_n konvergerer næsten overalt mod f.

Hvis
int g = lim int g_n
er
int f = lim int f_n


--
Jens Axel Søgaard

---

Scripsit "Jens Axel Søgaard" <usenet@soegaard.net>
> Henning Makholm wrote:

> > Jeg mener at huske at man i praksis kan karakterisere
> > Lebesgue-integralet på R med ca. følgende aksiomer:

> > 3. Hvis en følge af integrable funktioner konvergerer "tilstrækkelig
> > pænt", er grænsefunktionen integrabel med grænseværdien af
> > integralerne som integral.

> > Desværre kan jeg ikke på stående fod huske præcis hvad "tilstrækkelig
> > pænt" i (3) er.

> Et opslag i Royden gav hurtigt nedenstående version af 3.

Aha, tak. Det er desværre ikke kraftigt nok til at hive mit postulat
om at de tre punkter karakteriserer Lebesgue-inegralet, hjem. De kan
nemlig opfyldes uden at ubegrænsede funktioner er integrable, mens fx

f(x) = 1/sqrt(x) for x i ]0;1[ (0 ellers)

velkendt er Lebesgue-integrabel med integral 2.

Det ser så ud som om at mit aksiom 3 må splittes i to versioner:

(a) "Tilstrækkelig pænt" = punktvis + domineret af en følge som i
forvejen opfylder "lim int = int lim"

(b) "Tilstrækkelig pænt" = punktvis + ikke-aftagende i hvert punkt

hvor (b) er er en anden formulering af den velkendte "tællelig
additivitet af ikke-negative funktioner".

--
Henning Makholm "Jeg kunne ikke undgå at bemærke at han gik på hænder."

---

Jens Pedersen wrote:
>
> har den største undersum s = 1 og den mindste oversum S = 0 og følgelig ikke
> er planintegrabel?

Jo, noget i den stil. Uanset inddelingen af kvadratet D vil oversummen
vel blive 1, og undersummen 0, således at disse ikke kan have en fælles
grænseværdi når finheden konvergerer mod nul (alt dette afhænger jo
lidt af detaljerne i éns beskrivelse af Riemann-integralet).

--
Jeppe Stig Nielsen <URL:http://jeppesn.dk/>. «

"Je n'ai pas eu besoin de cette hypothèse (I had no need of that
hypothesis)" --- Laplace (1749-1827)