Hej!
Er der nogle der kender til teoremer omkring
ovenstående, specielt mht. følgende interessante problem:
Jeg er interesseret at rekursivt forbinde strukturer
defineret ved connectivity matricer, for rekursivt
at udregne egenværdi spektraet og det tilhørende
egenvektor rum. Men generelt så uden at på forhånd
definere objekternes struktur.
Grundlæggende hvis man har N nodes, som kan forbindes
med hinanden, så er en connectivity matrix er hvor
element i,j og j,i er -1 hvis node i er koblet til
node j, og hvor i,i er antallet af node i's forbindelser.
Det mest simple eksempel er en matrix der beskriver
en linear polymer, dvs. node 1 er forbundet til 2, 2
til 3, osv. Connectivity matricen har så 2 i diagonalen,
bortset fra endepunkterne i diagonalen der kun har en
forbindelse ligeledes har matricen -1 over og under
diagonalen fordi kun naboer er forbundet.
Generelt har man en række objekter, der er forbundet
internt men uden forbindelser imellem objekterne, så får
man en blok matrix der består connectivity matricerne for
de enkelte objekter i diagonalen, og 0 alle andre steder.
Egenværdierne af matricen er så egenværdierne af
blokkene, og egenrummet det kartesiske produkt af
egenvektorer for de enkelte blokke.
Mit problem er nu hvis man antager at man kender
egenværdispektrummet og egenvektorer for hver blok,
hvordan ændrer dette sig når man begynder at koble
blokke sammen og addere nye blokke rekursivt.
(hvor jeg antager hver blok kun har 1 eller 2
endepunkter at forbinde med).
F.eks ovenstående blok for en linær polymer med
N nodes, og så forbinde to af dem og få en 2N
polymer, en 4N, en 8N .. Eller mere interessant
forbinde 3 linære polymere, og så to i hver ende
af dem, osv. så man får et Cayley træ.
Det lyder som noget matematikere kunne finde sjovt,
og i såfald slipper jeg for at genopfinde hjulet
ved at udregne det selv.
--
Mvh. Carsten Svaneborg
http://www.softwarepatenter.dk