---

Findes der en generel definition af en vektor, der virker for alle typer af
vektorer, dvs. både for fx. de "alm." vektorer i R^3 og for vektorerne i L^2
og alle de andre typer vektorer?


--
Med venlig hilsen
Jes Hansen

---

On Sat, 28 Sep 2002 17:32:19 +0200, Jes Hansen wrote:

> Findes der en generel definition af en vektor, der virker for alle typer
> af vektorer, dvs. både for fx. de "alm." vektorer i R^3 og for
> vektorerne i L^2 og alle de andre typer vektorer?

Hvad med: "En vektor er en størrelse som både har en længde og en
retning".

Martin
--
De anede ikke en hujende fis om det, og der er aldrig nogen der
for alvor har troet på at man behøvede æde jord eller affald for
at holde sig sund og rask.
- Bertel Lund Hansen

---

Martin Ehmsen wrote:
> Hvad med: "En vektor er en størrelse som både har en længde og en
> retning".

Det ville nu være interessant at have en 3.5 dimensional vektor.
Men det er svært at specificere en retning i et 2.5 dimensionalt
rum.

Dette kunne give en ganske nifty algoritme til at ekvilibrere
simulationer af polymersmelter, hvor man starter simulationen
i 4D hvor vekselvirkningen er ganske svag og langsomt og
kontinuert "køler" dimensionen ned i 3D, hvor vekselvirkningen
er stærk.

--
Mvh. Carsten Svaneborg
http://www.softwarepatenter.dk where you do not
want to go in the future!

---

On Sat, 28 Sep 2002 17:55:58 +0200, Martin Ehmsen <thames@get2net.dk>
wrote:

>On Sat, 28 Sep 2002 17:32:19 +0200, Jes Hansen wrote:
>
>> Findes der en generel definition af en vektor, der virker for alle typer
>> af vektorer, dvs. både for fx. de "alm." vektorer i R^3 og for
>> vektorerne i L^2 og alle de andre typer vektorer?
>
>Hvad med: "En vektor er en størrelse som både har en længde og en
>retning".

Det dækker vel netop ikke vektorerne i L^2, hvor f.eks. en funktion f
defineret ved f(x) = cos(x) kan være en vektor. Den almindelige
definition af vektorrum (se andetssteds i tråden) dækker også dette.

Med venlig hilsen Sven.

"Creation as literally depicted in Genesis is indeed supported by
faith and needs to be, since it is not supported by anything else.
Evolution, on the other hand, is supported by evidence."
(Richard Dawkins)

---

Martin Ehmsen <thames@get2net.dk> writes:

> Hvad med: "En vektor er en størrelse som både har en længde og en
> retning".

Retning giver vel kun mening for geometriske vektorer, og længde har
man kun i normerede rum.

--
"Helvede er gentagelsen. Mangler du saft?"

---

Stefan Holm wrote:
>
> > Hvad med: "En vektor er en størrelse som både har en længde og en
> > retning".
>
> Retning giver vel kun mening for geometriske vektorer, og længde har
> man kun i normerede rum.

Ja. Hvad med: "Vektorer er sådan nogle der kan lægges sammen og skaleres
ved at multiplicere med et »tal«."

--
Jeppe Stig Nielsen <URL:http://jeppesn.dk/>. «

"Je n'ai pas eu besoin de cette hypothèse (I had no need of that
hypothesis)" --- Laplace (1749-1827)

---

Jeppe Stig Nielsen wrote:
> Ja. Hvad med: "Vektorer er sådan nogle der kan lægges sammen
> og skaleres ved at multiplicere med et »tal«."

(f+g)(x)=f(x)+g(x)
(c*f)(x)=c*f(x)

Dvs. funktioner er vektorer. Men det er der ikke noget som
helst galt i, spørgsmålet er blot om vi diskutere egenskaber
af et vektor rum, eller det som folk normalt associere med
begrebet vektor, dvs. en pil.

--
Mvh. Carsten Svaneborg
http://www.softwarepatenter.dk where you do not
want to go in the future!

---

"Jes Hansen" <jzsuf001@sneakemail.com> writes:

> Findes der en generel definition af en vektor, der virker for alle
> typer af vektorer, dvs. både for fx. de "alm." vektorer i R^3 og for
> vektorerne i L^2 og alle de andre typer vektorer?

En vektor bare er et element i et vektorrum.

Et vektorrum er en mængde V med to operationer '+' og skalar-
multiplikation mht. til et felt C (fx de reelle eller komplekse tal),
som opfylder de sædvanlige vektorrumsaksiomer:

* V er en abelsk grupper under operationen +.

* V er lukket under skalarmultiplikation:

au ∈ V ∀a ∈ C, u ∈ V

* skalarmultiplikation er distributiv:

a(u + v) = au + av
(a + b)u = au + bu

* og associativ:

a(bu) = (ab)u

* der eksisterer et neutralelement, 1, så

1u = u

---

Jesper Harder wrote:
>
> En vektor bare er et element i et vektorrum.
>
> Et vektorrum er en mængde V med to operationer '+' og skalar-
> multiplikation mht. til et felt C (fx de reelle eller komplekse tal),
> som opfylder de sÃævanlige vektorrumsaksiomer:

Et felt?! Det hedder altså et legeme.

Men ellers har du helt ret. En vektor er altså karakteriseret ved at
den kan adderes med andre vektorer eller skaleres med et »tal« fra det
aktuelle legeme, og at disse operationer opfører sig som de »skal«.

--
Jeppe Stig Nielsen <URL:http://jeppesn.dk/>. «

"Je n'ai pas eu besoin de cette hypothèse (I had no need of that
hypothesis)" --- Laplace (1749-1827)

---

On Sat, 28 Sep 2002 18:34:01 +0200, Jesper Harder wrote:

> En vektor bare er et element i et vektorrum.
>
> Et vektorrum er en mængde V med to operationer '+' og skalar-
> multiplikation mht. til et felt C (fx de reelle eller komplekse tal),

Jeg vil lige tilføje, at det ikke hedder felt, men legeme, på dansk. Du
har nok ladet dig inspirere af det engelske "field". På andre sprog
harmonerer det bedre med det danske. F.eks. hedder det "Körper" på tysk
og "krop" (srkiver man substantiver med stort på norsk?) på norsk.


> * V er lukket under skalarmultiplikation:

Det ligger vel gemt i, at V er udstyret med skalar multiplikation?

/Michael Knudsen

---

Michael Knudsen wrote:
>
> (srkiver man substantiver med stort på norsk?)

Nej da.

--
Jeppe Stig Nielsen <URL:http://jeppesn.dk/>. «

"Je n'ai pas eu besoin de cette hypothèse (I had no need of that
hypothesis)" --- Laplace (1749-1827)

---

On Sat, 28 Sep 2002 19:21:24 +0200, Jeppe Stig Nielsen wrote:

> Nej da.

Jeg er ikke fra "Lindströmtiden", så hvad ved jeg?

/Michael Knudsen

---

Michael Knudsen wrote:
>
> > Nej da.
>
> Jeg er ikke fra "Lindströmtiden", så hvad ved jeg?

Dansk var det eneste nordiske sprog der skrev almindelige substantiver
(appellativer) med stort indtil reformen. Den matematikforfatter du
tænker på, staves Lindstrøm med gennemstregt ø.

Det norske alfabet er identisk med det danske (men forskelligt fra det
svenske).

Symbolet Ø for den tomme mængde blev med denne betydning indført af
Bourbaki med inspiration fra det norske bogstav Ø.

--
Jeppe Stig Nielsen <URL:http://jeppesn.dk/>. «

"Je n'ai pas eu besoin de cette hypothèse (I had no need of that
hypothesis)" --- Laplace (1749-1827)

---

On Sat, 28 Sep 2002 19:29:37 +0200, Jeppe Stig Nielsen wrote:

> Dansk var det eneste nordiske sprog der skrev almindelige substantiver
> (appellativer) med stort indtil reformen. Den matematikforfatter du
> tænker på, staves Lindstrøm med gennemstregt ø.

Hmmm...det kører ikke rigtigt for mig i dag

> Symbolet Ø for den tomme mængde blev med denne betydning indført af
> Bourbaki med inspiration fra det norske bogstav Ø.

Hvem af dem? Nu er jeg vel ikke galt på den, når jeg mener, at Bourbaki
er et pseudonym, som op til flere franske matematikere skrev under?

/Michael Knudsen

---

Michael Knudsen wrote:
>
> > Symbolet Ø for den tomme mængde blev med denne betydning indført af
> > Bourbaki med inspiration fra det norske bogstav Ø.
>
> Hvem af dem? Nu er jeg vel ikke galt på den, når jeg mener, at Bourbaki
> er et pseudonym, som op til flere franske matematikere skrev under?

Nej, det er helt korrekt. Den Store Danske Encyklopædi skriver:

Ø, i matematik den tomme mængde, dvs. mængden uden
elementer. Betegnelsen er hentet fra det norske
alfabet af André Weil til Bourbakis fremstilling af
matematikken.


--
Jeppe Stig Nielsen <URL:http://jeppesn.dk/>. «

"Je n'ai pas eu besoin de cette hypothèse (I had no need of that
hypothesis)" --- Laplace (1749-1827)

---

[Michael Knudsen]

| og "krop" (srkiver man substantiver med stort på norsk?) på norsk.

Nei, ikke stor forbokstav, men angjeldende ord skrives "kropp".
--
Stein Arild Strømme +47 55584825, +47 95801887
Universitetet i Bergen Fax: +47 55589672
Matematisk institutt www.mi.uib.no/~stromme
Johs Brunsg 12, N-5008 BERGEN stromme@mi.uib.no

---

Michael Knudsen <knudsen@imf.au.dk> writes:

> On Sat, 28 Sep 2002 18:34:01 +0200, Jesper Harder wrote:
>
>> Et vektorrum er en mængde V med to operationer '+' og skalar-
>> multiplikation mht. til et felt C (fx de reelle eller komplekse tal),
>
> Jeg vil lige tilf.je, at det ikke hedder felt, men legeme, p. dansk.

Jep.

>> * V er lukket under skalarmultiplikation:
>
> Det ligger vel gemt i, at V er udstyret med skalar multiplikation?

Gør det? Hvis V = R^3, så er multiplikation med komplekse tal
veldefineret, men V er ikke lukket under operationen.

---

On Sat, 28 Sep 2002 19:45:42 +0200, Jesper Harder wrote:

>> Det ligger vel gemt i, at V er udstyret med skalar multiplikation?
>
> Gør det? Hvis V = R^3, så er multiplikation med komplekse tal
> veldefineret, men V er ikke lukket under operationen.

Jeg troede, at du bare var lidt upræcis, da du nævnte de to operationer,
addition og skalar multiplikation. Oftest støder man på den definition,
at et vektorrum er en mængde V, med to operationer

addition V x V -> V
skalar multiplikation F x V -> V (F legeme),

som opfylder (...), hvori der jo står, at V er lukket under skalar
multiplikation.

/Michael Knudsen

---

Michael Knudsen wrote:
>
> On Sat, 28 Sep 2002 19:45:42 +0200, Jesper Harder wrote:
>
> >> Det ligger vel gemt i, at V er udstyret med skalar multiplikation?
> >
> > Gør det? Hvis V = R^3, så er multiplikation med komplekse tal
> > veldefineret, men V er ikke lukket under operationen.
>
> Jeg troede, at du bare var lidt upræcis, da du nævnte de to operationer,
> addition og skalar multiplikation. Oftest støder man på den definition,
> at et vektorrum er en mængde V, med to operationer
>
> addition V x V -> V
> skalar multiplikation F x V -> V (F legeme),

Alt afhænger jo af hvor hightech man vil være. Det er klart at hvis
man siger at multiplikation med skalarer er en abstrakt afbildning
F×V -> V , så ligger lukketheden i at man sætter kodomænet til V.

Nu kigger jeg lige i nogle gamle algebra-noter og ser at man kan
definere en modul over ringen F som en (additivt skrevet) abelsk
gruppe V udstyret med en ringhomomorfi mellem F og ringen af gruppe-
endomorfier på V.

For at præcisere: Når V er en abelsk gruppe, er End(V) på naturligvis
måde en ring (idet summen er den punktvise sum, og »produktet« er kompo-
sition af gruppeendomorfier). Hvis vi så kalder den ovenfor nævnte
ringhomomorfi for g

g: F -> End(V)

og lader a tilhøre F, og u tilhøre V, så er (g(a))(u) det element
i V som vi normalt kalder au .

(Når ringen F faktisk er et legeme, taler man om et F-vektorrum i
stedet for en F-modul.)

--
Jeppe Stig Nielsen <URL:http://jeppesn.dk/>. «

"Je n'ai pas eu besoin de cette hypothèse (I had no need of that
hypothesis)" --- Laplace (1749-1827)