---

Efter en del sjov andetsteds, forsøger jeg at gentage succesen
her. Hvis du mener, at du kender opgaven, så læs den en
gang til

I et helt nyt tv-show, der er arrangeret som afslutningen på
en lang række Jeopardy-udsendelser, får den mest vindende
deltager chancen for at vinde en bil.
Bilen er gemt bag en af tre døre, bag hver af de to andre står
der et æsel. Deltageren for lov til at vælge en dør. Værten
(vi kan kalde ham Mads) spørger selvfølgelig om deltageren
er helt sikker, og tilbyder at åbne en af de andre døre for at
vise et æsel. Værten åbner en dør hvor der står et æsel, og
der efter spørger han om deltageren stadig er sikker i sit valg,
eller om han ønsker at gøre sit valg om.

Hvad bør deltageren gøre ?
Stå ved sit valg, vælge om eller er det ligegyldigt ?


Ivar

---

Ivar wrote:
>
> Efter en del sjov andetsteds, forsøger jeg at gentage succesen
> her. Hvis du mener, at du kender opgaven, så læs den en
> gang til
>
> I et helt nyt tv-show, der er arrangeret som afslutningen på
> en lang række Jeopardy-udsendelser, får den mest vindende
> deltager chancen for at vinde en bil.
> Bilen er gemt bag en af tre døre, bag hver af de to andre står
> der et æsel. Deltageren for lov til at vælge en dør. Værten
> (vi kan kalde ham Mads) spørger selvfølgelig om deltageren
> er helt sikker, og tilbyder at åbne en af de andre døre for at
> vise et æsel. Værten åbner en dør hvor der står et æsel, og
> der efter spørger han om deltageren stadig er sikker i sit valg,
> eller om han ønsker at gøre sit valg om.
>
> Hvad bør deltageren gøre ?
> Stå ved sit valg, vælge om eller er det ligegyldigt ?
>
> Ivar

Den opgave er set mange gange før, den er svær, og mange folk
tror ikke svaret, når de hører det.

--
Kasper Dupont -- der bruger for meget tid på usenet.
For sending spam use mailto:razor-report@daimi.au.dk

---

Scripsit "Ivar" <did@[nozpam]oncable.dk>

> Hvis du mener, at du kender opgaven, så læs den en
> gang til

Det er et meget velkendt problem der er gennemanalyseret mange steder
på nettet. Prøv at spørge Google om "Monty Hall Problem"

> Bilen er gemt bag en af tre døre, bag hver af de to andre står
> der et æsel. Deltageren for lov til at vælge en dør. Værten
> (vi kan kalde ham Mads) spørger selvfølgelig om deltageren
> er helt sikker, og tilbyder at åbne en af de andre døre for at
> vise et æsel. Værten åbner en dør hvor der står et æsel, og
> der efter spørger han om deltageren stadig er sikker i sit valg,
> eller om han ønsker at gøre sit valg om.

Hvis det var kendt i forvejen, dvs før deltageren foretager sit valg,
at det er sådan reglerne er, skal man skifte. Det er let at se at

1. Ved strategien "ikke-skift" er sandsynligheden for at vinde 1/3.

2. Hvis man skifter, vil der enten være tale om at man skifter valg
fra ged til bil eller fra bil til ged. Det er umuligt at skifte
fra bil til bil eller fra ged til ged, for når først quizmasteren
har afsløret den ene ged, er der jo ikke to geder tilbage man kunne
tænkes at skifte mellem.

3. Derfor: Hvis man *i forvejen* bestemmer sig for altid at skifte,
uanset hvilken af dørene quizmasteren vælger, vil man ende med at
gå hjem med en bil i netop hvis den dør man peger på først skjuler
en ged. Sandsynligheden for det er 2/3.

4. Resume: Strategien "skift altid" har vinderchancen 2/3, hvilket
er dobbelt så stort som strategien "skift ikke".

Det en del ikke-matematikere har problemer med at indse er at
sandsynlighederne ikke ændrer sig af at man først beslutter sig til om
man vil skifte når man har fået tilbuddet. Nøglen til det hele er at
man ikke egentlig får nogen information ved at vide hvilken dør det
var quizmasteren åbnede - fordi det er et valg mellem to døre som man
ikke i forvejen havde nogensomhelst forskellig information om.


Derimod bliver spillet rigtig meget mere speget hvis quizmasteren selv
kan vælge om han vil give mulighed for at vælge om eller ej. Så
handler det lige pludselig mere om bluff end sandsynlighedsregning...

--
Henning Makholm "`Update' isn't a bad word; in the right setting it is
useful. In the wrong setting, though, it is destructive..."

---

Henning Makholm wrote:

> Hvis det var kendt i forvejen, dvs før deltageren foretager sit valg,
> at det er sådan reglerne er, skal man skifte. Det er let at se at

En mindre matematisk forklaring, som jeg har haft success med, er at
udvide scenariet til 1000 døre. Quizdeltageren peger altså på en dør;
Quizmasteren åbner så 998 døre og spørger deltageren, om han ønsker
at skifte...

Den forklaring gør sandsynlighederne mere intuitive.

-Claus

---

Scripsit Claus Rasmussen <clr@cc-consult.dk>
> Henning Makholm wrote:

> > Hvis det var kendt i forvejen, dvs før deltageren foretager sit valg,
> > at det er sådan reglerne er, skal man skifte. Det er let at se at

> En mindre matematisk forklaring, som jeg har haft success med, er at
> udvide scenariet til 1000 døre. Quizdeltageren peger altså på en dør;
> Quizmasteren åbner så 998 døre og spørger deltageren, om han ønsker
> at skifte...

Min erfaring er at den udvidelse ikke rigtig rykker. Dem der ikke
tænker på den rigtige måde med 3 døre, tænker stadig forker med
1000 døre.

Den almindelige fejlslutning er jo: "se! der er to døre tilbage og vi
ved ikke noget om hvad der er bag dem, for vi har jo kun set alle de
andre døre blive åbnet. Så må sandsynligheden jo være 50%." Og den
fejlslutning er uafhængig af hvor mange døre der er.

--
Henning Makholm "Jeg kunne ikke undgå at bemærke at han gik på hænder."

---

Henning Makholm wrote:

> Scripsit Claus Rasmussen <clr@cc-consult.dk>
>
>> En mindre matematisk forklaring, som jeg har haft success med, er at
>> udvide scenariet til 1000 døre. Quizdeltageren peger altså på en dør;
>> Quizmasteren åbner så 998 døre og spørger deltageren, om han ønsker
>> at skifte...
>
> Min erfaring er at den udvidelse ikke rigtig rykker. Dem der ikke
> tænker på den rigtige måde med 3 døre, tænker stadig forker med
> 1000 døre.

Jo, men når man så kommer med tilføjelsen: "Der er 1/1000 dels chance
for, at du har valgt den rigtige dør. Dvs. at der er 999/1000 deles
chance for, at bilen er blandt een af de andre døre. Når så quizmas-
teren åbner de 999 døre med undtagelse af een...", går pointen som
regel op for de fleste.


> Den almindelige fejlslutning er jo: "se! der er to døre tilbage og vi
> ved ikke noget om hvad der er bag dem, for vi har jo kun set alle de
> andre døre blive åbnet. Så må sandsynligheden jo være 50%." Og den
> fejlslutning er uafhængig af hvor mange døre der er.

Nja. Min fejlslutning var, at det ikke ændre noget som helst på
sandsynlighederne, at der blev åbnet nogle døre. Der var 1/3 ss.
for at bilen var bag den dør, jeg pegede på, og det ville der blive
ved med at være...

Jeg tror, at problemet forvirrer, fordi sandsynlighederne ikke er
så åbenlyse med kun tre døre. Det er først når man kommer op på
et rigtigt stort tal, at ens intuition overdøver ens fejlagtige
logiske resonnementer.

Men det hele afhænger nok af, hvilken slags fejlslutning, man
laver. Og det afhænger meget af ens uddannelsesmæssige baggrund,
tror jeg.

Og husk nu: Selv Erdös gik i vandet på den. Så vi er i fint
selskab

-Claus

---

---

Henning Makholm wrote:

> Scripsit Claus Rasmussen <clr@cc-consult.dk>
>
>> Nja. Min fejlslutning var, at det ikke ændre noget som helst på
>> sandsynlighederne, at der blev åbnet nogle døre. Der var 1/3 ss.
>> for at bilen var bag den dør, jeg pegede på, og det ville der blive
>> ved med at være...
>
> Men det er jo netop *ikke* en fejlslutning. Eftersom der *stadig* er
> 1/3 sandsynlighed for at bilen er bag den dør du peger på, må de
> resterende 2/3 sandsynlighed befinde sig det eneste mulige sted: bag
> den tilbageværende dør.

Ja, ja. Du ved, hvad jeg mener modulo mine klumpede formuleringer


>> Jeg tror, at problemet forvirrer, fordi sandsynlighederne ikke er
>> så åbenlyse med kun tre døre. Det er først når man kommer op på
>> et rigtigt stort tal, at ens intuition overdøver ens fejlagtige
>> logiske resonnementer.
>
> Sandsynlighederne er da meget lettere med blot 3 døre. (I det omfang
> noget kan være lettere når det er præcis samme udregninger man bare
> stopper andre tal ind i).

Det er et typisk trick, jeg bruger, når jeg ikke er sikker på en
udregning: Driv een dimension af problemet ud i det ekstreme og
se på, om der opstår modsigelser/absurditeter.

Det er det, jeg gør ved at øge antallet af døre til 1000. Så er der
en lille rød lampe i mit hovede, der lyser op, når jeg hører mig
selv sige, at "det ikke kan betale sig at skifte dør".

Men det er som sagt nok meget individuelt. Forskellen mellem os
illustreres meget godt af at du taler om "udregningerne". Jeg
regner ikke noget videre på problemet. Jeg visualiserer det. Og
1000 døre er altså nemmere at få øje på end 3

-Claus

---

Henning Makholm wrote:

> Men det er jo netop *ikke* en fejlslutning. Eftersom der *stadig* er
> 1/3 sandsynlighed for at bilen er bag den dør du peger på, må de
> resterende 2/3 sandsynlighed befinde sig det eneste mulige sted: bag
> den tilbageværende dør.

Med fare for at udstille min uvidenhed: Kan I ikke lige forklare det for
en ikke-matematiker? Uanset hvordan jeg vender og drejer det i hovedet,
er det lige meget, om man skifter dør eller ej.

Før havde man 33,3 procents chance for at have valgt den rette dør.
Efter åbningen af den ene dør, må der vel være 50 procents chance, for
at man har valgt den rette dør?

--
Mvh. Kim Ludvigsen

---

Kim Ludvigsen wrote:

> Med fare for at udstille min uvidenhed: Kan I ikke lige forklare det for
> en ikke-matematiker? Uanset hvordan jeg vender og drejer det i hovedet,
> er det lige meget, om man skifter dør eller ej.

Du er hermed udnævnt til forsøgskanin i min og Makholms diskussion om
den mest pædagoiske måde, at forklare problemet på.

Her kommer min forklaring:

Lad os sige, at der i stedet for tre døre er 1000 døre. Du
peger på en dør og der er nu 1/1000 dels chance for, at du har
valgt den rigtige dør. Dvs. at der er 999/1000 deles chance
for, at gevinsten befinder sig blandt een af de andre døre.

Ok ?

Nu åbner quizmasteren så alle de andre døre med undtagelse
af een. Hvad er sandsynligheden for, at gevinsten befinder
sig bag den dør, du oprindeligt pegede på ? Den er stadig
1/1000. Hvad er sandsynligheden for, at gevinsten ikke be-
finder sig bag den dør, du peger på ? Den er stadigvæk
999/1000. Men der er kun to døre tilbage. Den du oprinde-
ligt pegede på, og så den quizmasteren lod tilbage.

Hvad vælger du ?

Hvis jeg har ret i diskussionen skulle du nu nemt kunne svare på
spørgsmålet.

(kom an Makholm

-Claus

---

Claus Rasmussen wrote:
>
> Kim Ludvigsen wrote:
>
>
> Du er hermed udnævnt til forsøgskanin i min og Makholms diskussion om
> den mest pædagoiske måde, at forklare problemet på.
>
> Her kommer min forklaring:
>
> Nu åbner quizmasteren så alle de andre døre med undtagelse
> af een. Hvad er sandsynligheden for, at gevinsten befinder
> sig bag den dør, du oprindeligt pegede på ? Den er stadig
> 1/1000. Hvad er sandsynligheden for, at gevinsten ikke be-
> finder sig bag den dør, du peger på ? Den er stadigvæk
> 999/1000. Men der er kun to døre tilbage. Den du oprinde-
> ligt pegede på, og så den quizmasteren lod tilbage.
>
> Hvad vælger du ?

Mit problem er, at jeg ikke ser løsningen på den måde. Ja, før var der
1/1000 chance for gevinst. Men nu er der altså ikke 1.000 døre tilbage,
kun to, hvor der er henholdsvis et æsel og en bil bag. Jeg ser det som
en ny udregning, hvor der er 50 procents chance for gevinst. Skulle jeg
anskue det ved at fastholde 1/1000-chancen, kan jeg jo lige så godt
sige, at chancen for at der er en bil bag den anden dør også er 1/1000.
Og med 1/1000-chance for hver af de to resterende døre, er vi igen
tilbage ved en fifty-fifty-chance. Måske jeg bare er dum.

I må nok finde en anden forsøgskanin til jeres diskussion.

--
Mvh. Kim Ludvigsen

---

Kim Ludvigsen wrote:

> Claus Rasmussen wrote:
>>
>> Du er hermed udnævnt til forsøgskanin i min og Makholms diskussion om
>> den mest pædagoiske måde, at forklare problemet på.
>>
>> Her kommer min forklaring:

[...]

> Mit problem er, at jeg ikke ser løsningen på den måde. Ja, før var der
> 1/1000 chance for gevinst. Men nu er der altså ikke 1.000 døre tilbage,
> kun to, hvor der er henholdsvis et æsel og en bil bag. Jeg ser det som
> en ny udregning, hvor der er 50 procents chance for gevinst. Skulle jeg
> anskue det ved at fastholde 1/1000-chancen, kan jeg jo lige så godt
> sige, at chancen for at der er en bil bag den anden dør også er 1/1000.
> Og med 1/1000-chance for hver af de to resterende døre, er vi igen
> tilbage ved en fifty-fifty-chance. ...

(Pokkers)

Lad os prøve et tankeeksperiment masse gange. For nemheds skyld
siger vi, at du altid vælger den samme dør - dør nummer et.

I det første eksemperiment placerer jeg bilen bag dør nummer 1000.
Quizmasteren åbner så dør nummer 2 til 998. Hvis du skifter dør
vinder du altså bilen. Hvis du ikke gør vinder du et æsel.

Næste eksperiment: Jeg placerer bilen bag dør nummer 999 og quiz-
masteren åbner dør nummer 2 til 998 og dør nummer 1000. Igen med
samme resultat: Skifter du, vinder du. Skifter du ikke, taber du.

Tredje eksperiment: Jeg placerer bilen bag dør nummer 998 bla.bla.bla.
osv. Samme konklusion.

Efter 999 eksperimenter med samme resultat (skifter du, vinder du),
når vi omsider frem til eksperiment nummer 1000, hvor jeg nu er nået
frem til at placere bilen bag dør nummer 1. Nu sker der for første
gang det, at du taber, hvis du skifter. Og at du vinder, hvis du
ikke skifter.

Efter hele denne forsøgsrække kan vi så gøre resultatet op: Af alle
disse forsøg vinder du i 999 tilfælde, hvis du skifter dør, og kun
i eet tilfælde vinder du, hvis du ikke gør.

På bundlinien er: At sandsynlighederne /ikke/ ændrer sig, fordi
der bliver åbnet døre. Der er stadig den samme sandsynlighed for,
at bilen befinder sig bag den dør, du peger på, og _specielt_ er
der den samme sandsynlighed for, at den ikke befinder sig bag den
dør du peger på.

I mit eksempel er sandsynligheden 1/1000 for at bilen er hvor du
peger, og 999/1000 sandsynlighed for, at den ikke er der. Når
quizmasteren har åbnet de 998 døre har sandsynligheden for at
du ikke peger på den rigtige dør imidlertid samlet sig bag den
dør, quizmasteren ikke åbner. Og så er det klart, at du skal
skifte fra den 1/1000 sandsynlighed du har ved at fastholde dit
valg, til de 999/1000 sandsynlighed, der nu gemmer sig bag quiz-
masterens uåbnede dør.


> ... Måske jeg bare er dum.

Ro på nu. Jeg skulle også have forklaret den adskillige gange, før
jeg fattede det. Og ham Erdös, vi taler om, og som også gik i vandet
på den, er (ups, "var") et af de allermest intelligente mennesker,
der har levet.


> I må nok finde en anden forsøgskanin til jeres diskussion.

Eller også tabte jeg diskussionen

-Claus

---

Claus Rasmussen wrote:
> Kim Ludvigsen wrote:
>
> Lad os prøve et tankeeksperiment masse gange. For nemheds skyld
> siger vi, at du altid vælger den samme dør - dør nummer et.
>
> I det første eksemperiment placerer jeg bilen bag dør nummer 1000.
> Quizmasteren åbner så dør nummer 2 til 998. Hvis du skifter dør
> vinder du altså bilen. Hvis du ikke gør vinder du et æsel.
>
> Næste eksperiment: Jeg placerer bilen bag dør nummer 999 og quiz-
> masteren åbner dør nummer 2 til 998 og dør nummer 1000. Igen med
> samme resultat: Skifter du, vinder du. Skifter du ikke, taber du.

Nu begynder det at hjælpe.

> På bundlinien er: At sandsynlighederne /ikke/ ændrer sig, fordi
> der bliver åbnet døre. Der er stadig den samme sandsynlighed for,

Jeg har nok blandet det sammen med sandsynligheden ved terningekast.

> > ... Måske jeg bare er dum.
>
> Ro på nu. Jeg skulle også have forklaret den adskillige gange, før
> jeg fattede det. Og ham Erdös, vi taler om, og som også gik i vandet
> på den, er (ups, "var") et af de allermest intelligente mennesker,
> der har levet.

Det trøster mig da lidt. Tak til jer alle for jeres forklaringer.

--
Mvh. Kim

---

Kim Ludvigsen wrote:

> Jeg har nok blandet det sammen med sandsynligheden ved terningekast.

Ja. Jeg tror Allan kom med nøglen til problemet med at forstå det:
At man er vant til at der er samme sandsynlighed for hver mulighed.

-Claus

---

Claus Rasmussen wrote:

> Ro på nu. Jeg skulle også have forklaret den adskillige
> gange, før jeg fattede det. Og ham Erdös, vi taler om, og
> som også gik i vandet på den, er (ups, "var") et af de
> allermest intelligente mennesker, der har levet.

Ja, Erdös er bestemt ikke, hvem som helst.
Jeg er forresten imponeret over, at Makholms
Erdöstal er 6.

--
Jens Axel Søgaard

---

Jens Axel Søgaard wrote:

> Jeg er forresten imponeret over, at Makholms
> Erdöstal er 6.

Jeg burde have et honorært Erdöstal på 3. Jeg kender nemlig en mand,
der er /næsten/ lige så gal som Erdös, og som jeg måtte høre på dag-
ligt, da han skrev speciale... om et Erdösproblem selvfølgelig.

Men nej. Der er ingen retfærdighed til

-Claus

---

Jens Axel Søgaard skrev:

>Erdöstal

Hvad er det?

--
Bertel
http://bertel.lundhansen.dk/   FIDUSO: http://fiduso.dk/

---

Bertel Lund Hansen wrote:

> Jens Axel Søgaard skrev:
>
>>Erdöstal
>
> Hvad er det?

Rekursiv definition:

Erdös har Erdöstal nummer 0 (SVJH starter han med 0).

Alle, der har offentliggjort artikler, der er forfattet sammen
med en person med Erdöstallet N får selv Erdöstallet N+1.

Alle andre har et Erdöstal på uendeligt.

Dvs. at Makholm (med Erdöstallet 6) har skrevet en artikel sammen med
en som har skrevet en artikel sammen med en som har skrevet en artikel
sammen med en som har skrevet en artikel sammen med en som har skrevet
en artikel sammen med en som har skrevet en artikel sammen med Erdös.

(som det fremgår er det en hel del nemmere at sige, at Makholm har
Erdöstallet 6

Erdös pointe var at vise noget om i hvor stort et omfang matematikere
samarbejder. Og det gør de ganske meget. De fleste har et Erdöstal
på en 10-20 stykker, og man mener at samtlige matematikere, der nogen-
sinde har levet har et Erdöstal forskelligt fra uendeligt (muligvis
med undtagelse af Gauss).

Der er en masse om det på nettet. Det er gået lidt sport i det blandt
matematikere. Specielt fordi det blot er en af de utallige mærkelige
historier om meget mærkelige matematiker (og dét siger ikke så lidt),
men en historie som alle har en rolle i.

De laveste Erdöstal er registreret her (siden er nede i øjeblikket):

http://www.oakland.edu/~grossman/erdoshp.html

Som en illustration af hvor vidtforgrenet samarbejdet er mellem viden-
skabsfolk er her en side, jeg stødte ind i, da jeg ledte efter et
alternativt link:

http://www.loni.ucla.edu/~thompson/ERDOS/erdo.htm

Manden er vist mediciner eller noget i den stil. Men han har immervæk
et Erdöstal på 9. Hele serien af videnskabelige artikler er vist.

-Claus

---

Claus Rasmussen skrev:

> Alle, der har offentliggjort artikler, der er forfattet sammen
> med en person med Erdöstallet N får selv Erdöstallet N+1.

Hvis man senere skriver en artikel sammen med en der har
Erdöstallet n, får man så Erdöstallet N+1+n+1?

--
Bertel
http://bertel.lundhansen.dk/   FIDUSO: http://fiduso.dk/

---

Bertel Lund Hansen wrote:

> Hvis man senere skriver en artikel sammen med en der har
> Erdöstallet n, får man så Erdöstallet N+1+n+1?

Nej. Det er det laveste tal, der gælder. Og det akkumulerer ikke. Det
"fineste" er at have et lavt Erdöstal.

-Claus

---

Claus Rasmussen <clr@cc-consult.dk> wrote:

>De laveste Erdöstal er registreret her (siden er nede i øjeblikket):
>
> http://www.oakland.edu/~grossman/erdoshp.html

Men den findes i Googles cache:
http://216.239.51.100/search?q=cache:FEKj8dLnnHgC:www.oakland.edu/~grossman/erdoshp.html+&hl=en&ie=UTF-8

Den underside, som indeholder tabellen:
http://216.239.51.100/search?q=cache:3F35KpFzjF4C:www.oakland.edu/~grossman/ErdosA+&hl=da&ie=UTF-8

Indledning, sakset fra siden:
>ErdosA, Version 2002, February 2, 2002
>
>This is a list of all persons with Erdos number
>less than or equal to 2, including Paul Erdos,
>507 people with Erdos number 1, and 6419 people
>with Erdos number 2.

Det er jo lige før, man kunne begynde at mistænke matematikere
for at være skabsanonymister, der ikke er vilde med at lægge navn
til deres meninger, hvis de skal være alene om det...


--
Allan Olesen, Lunderskov.
Danske musikere tjener penge ved ulovlig softwarekopiering.

---

Allan Olesen wrote:

> Det er jo lige før, man kunne begynde at mistænke matematikere
> for at være skabsanonymister, der ikke er vilde med at lægge navn
> til deres meninger, hvis de skal være alene om det...

Njah... Meget matematisk arbejde sker i samarbejde med andre. Der sidder
een matematiker og pusler med noget, men kører fast og beder en anden om
at kigge på hans arbejde med friske øjne. Hvis den anden så ser en løsning
på problemet ud fra den førstes arbejde, vil det jo kun være rimeligt om
han også bliver krediteret.

En anden situation er når en studerende er ved at lave sit speciale eller
en PhD. Så vil der være en vejleder på, som måske sidder med noget halv-
færdigt arbejde, som han ikke selv har tid til at gøre noget ved. Igen
naturligt at kreditere.

Endelig er der selvfølgelig det forhold, at forskere bliver bedømt på
antallet af videnskabelige artikler.

-Claus

---

Claus Rasmussen <clr@cc-consult.dk> wrote:

>Njah

Det var nu også kun en spøg. Anonymitet på usenet har i de
seneste dage været et omdiskuteret emne i andre grupper.


--
Allan Olesen, Lunderskov.
Danske musikere tjener penge ved ulovlig softwarekopiering.

---

Claus Rasmussen wrote:
> Erdös pointe var at vise noget om i hvor stort et omfang
> matematikere samarbejder. Og det gør de ganske meget. De
> fleste har et Erdöstal på en 10-20 stykker, og man mener
> at samtlige matematikere, der nogen- sinde har levet har
> et Erdöstal forskelligt fra uendeligt (muligvis med
> undtagelse af Gauss).

Fordi Gauss ikke ville samarbejde med nogen?

--
Jens Axel Søgaard

I have had my results for a long time: but I do not yet know how I am to arrive at them.
- Gauss, Quoted in A Arber The Mind and the Eye 1954.

---

Claus Rasmussen wrote:

> De laveste Erdöstal er registreret her (siden er nede i
> øjeblikket):
>
> http://www.oakland.edu/~grossman/erdoshp.html

Siden er stadig nede, men Googles cache kan snildt finde
undersider. Her er den ikke rekursive version:

Most practicing mathematicians are familiar with the definition of
one's Erdös number [that is actually a long Hungarian umlaut over
the "o" but we will represent it here by the ordinary two-dot umlaut
available in html]. Paul Erdös (1913-1996), the widely-traveled and
incredibly prolific Hungarian mathematician of the highest caliber, wrote
hundreds of mathematical research papers in many different areas, many
in collaboration with others. His Erdös number is 0. Erdös's co-authors
have Erdös number 1. People other than Erdös who have written a joint
paper with someone with Erdös number 1 but not with Erdös have Erdös
number 2, and so on. If there is no chain of co-authorships connecting
someone with Erdös, then that person's Erdös number is said to be infinite.

--
Jens Axel Søgaard

---

Scripsit "Jens Axel Søgaard" <usenet@soegaard.net>

> Siden er stadig nede, men Googles cache kan snildt finde
> undersider. Her er den ikke rekursive version:

Ordene "and so on" er syntaktisk sukker for rekursion:

> paper with someone with Erdös number 1 but not with Erdös have Erdös
> number 2, and so on. If there is no chain of co-authorships connecting

--
Henning Makholm "Ambiguous cases are defined as those for which the
compiler being used finds a legitimate interpretation
which is different from that which the user had in mind."

---

Henning Makholm wrote:
> Scripsit "Jens Axel Søgaard" <usenet@soegaard.net>
>
>> Siden er stadig nede, men Googles cache kan snildt finde
>> undersider. Her er den ikke rekursive version:
>
> Ordene "and so on" er syntaktisk sukker for rekursion:
>
>> paper with someone with Erdös number 1 but not with
>> Erdös have Erdös number 2, and so on. If there is no
>> chain of co-authorships connecting

Jeg vælger at se det som induktion

--
Jens Axel Søgaard

---

Scripsit "Jens Axel Søgaard" <usenet@soegaard.net>
> Henning Makholm wrote:
> > Scripsit "Jens Axel Søgaard" <usenet@soegaard.net>

> >> Siden er stadig nede, men Googles cache kan snildt finde
> >> undersider. Her er den ikke rekursive version:

> > Ordene "and so on" er syntaktisk sukker for rekursion:

> Jeg vælger at se det som induktion

Same thing.

--
Henning Makholm "Nemo enim fere saltat sobrius, nisi forte insanit."

---

Henning Makholm wrote:

>> Jeg vælger at se det som induktion
>
> Same thing.

Ikke helt EMM. Jeg synes, der er en nuanceforskel. I hvert fald i
daglig tale:

Induktion starter med "basis" og bruger derefter "skridt" til at gå
mod uendeligt. Rekursion starter et sted på vejen mod uendeligt og
bevæger sig derefter nedad mod termineringsbetingelsen (=basis).

Jeg plejer at kalde rekursion en slags omvendt induktion.

Induktion bruges oftest til at producere et resultat, der overholder
reglerne, mens rekursion bruges til at afgøre, om et givet resultat
overholder reglerne i den induktive defitinion.

(Og da jeg kaldte min definition af Erdöstal for den "rekursive
definition" gjorde jeg lige det modsatte af, hvad jeg her siger.
Sådan er der så meget

-Claus

---

Scripsit Claus Rasmussen <clr@cc-consult.dk>
> Henning Makholm wrote:

> >> Jeg vælger at se det som induktion

> > Same thing.

> Ikke helt EMM. Jeg synes, der er en nuanceforskel. I hvert fald i
> daglig tale:
>
> Induktion starter med "basis" og bruger derefter "skridt" til at gå
> mod uendeligt. Rekursion starter et sted på vejen mod uendeligt og
> bevæger sig derefter nedad mod termineringsbetingelsen (=basis).

Det er blot et spørgsmål om hvad side man ser det fra. I en rekursiv
definition bliver det enkelte svar fundet oppefra og ned, men hele den
funktion man definerer bliver opbygget nedefra og op. En rekursiv
definition er den eksakte beregningsmæssige ækvivalent til et
induktivt bevis for funktionens egenskaber.

--
Henning Makholm "I, madam, am the Archchancellor!
And I happen to run this University!"

---

Henning Makholm <henning@makholm.net> writes:

> Det er blot et spørgsmål om hvad side man ser det fra. I en rekursiv
> definition bliver det enkelte svar fundet oppefra og ned, men hele den
> funktion man definerer bliver opbygget nedefra og op. En rekursiv
> definition er den eksakte beregningsmæssige ækvivalent til et
> induktivt bevis for funktionens egenskaber.

Hvad med den rekursive definition af Koch-kurven, Cantors mængde eller
Sierpinskis "trekant" (som hedder noget smartere som jeg ikke kan huske).

Alle tre er definieret rekursivt uden en basis.

Koch-kurven kan defineres som en mængder af linjer (med retning) der
er lukket under en funktion fra en linje til fire.
Cantors mangde er en mængde af intervaller der er lukket under en funktion
der deler et interval op i to og smider midten væk.
Sierpinskis trekant virker på samme måde ved at dele en trekant op i tre
og lave hul i midten.

Man kunne også definere en funktion, f:N->R:

f(x) = 1/2^x + f(x+1)

Så er f rekursivt defineret (f optræder på højresiden) og er matematisk
veldefineret (det er en konvergent række).

Eller man kunne skrive noget rekursivt der ikke er en definition,
f.eks. den rekursive domæneligning for en model for lambda-kalkylen.

U = U -> U

Ligningen er rekursiv (U "recurs" på højresiden). Det var et stort
bevis at der faktisk er en løsning til ligningen inden for domæneteori.

I alle tilfældene er det noget rekursivt uden en basis. Man kan finde
approximationer ved induktivt at følge rekursionen et antal skridt,
i.e., iterere den tilsvarende funktion, men en egentlig løsning får
man kun ved at tage grænseværdien.

Det er det jeg mener er en grundlæggende forskel på rekursion og
induktion. Så længe man arbejder inden for beregnelige funktioner, så
må man nødvendigvis undgå uendelig rekursion, og så bliver rekursion
og induktion det samme, men generelt er induktion begrænset af at være
endelig definerbar, mens rekursion ikke behøver være det.

/L
--
Lasse Reichstein Nielsen - lrn@hotpop.com
'Faith without judgment merely degrades the spirit divine.'

---

Scripsit Lasse Reichstein Nielsen <lrn@hotpop.com>
> Henning Makholm <henning@makholm.net> writes:

> > Det er blot et spørgsmål om hvad side man ser det fra. I en rekursiv
> > definition bliver det enkelte svar fundet oppefra og ned, men hele den
> > funktion man definerer bliver opbygget nedefra og op. En rekursiv
> > definition er den eksakte beregningsmæssige ækvivalent til et
> > induktivt bevis for funktionens egenskaber.

> Hvad med den rekursive definition af Koch-kurven, Cantors mængde eller
> Sierpinskis "trekant" (som hedder noget smartere som jeg ikke kan huske).
>
> Alle tre er definieret rekursivt uden en basis.

Alligevel mener jeg godt man kan opfatte definitionen "nedefra og op"
- idet ligegyldigt hvilken (begrænset, ikke-tom) punktmængde man
bruger som grundtilfælde vil man efter at have itereret forskriften
omega gange nå samme grænseværdi - for en passende definition af
konvergens som jeg ikke vil kaste mig ud i at foreslå nu.

Situationen er klarest med hensyn til Koch-kurven: Hvis man (som det
er normalt) opfatter den som en kurve fra (0,0) til (1,0) kan man
starte med en vilkårlig kurve med de rigtige endepunkter, og
konvergensen vil så være almindelig punktvis konvergens af funktioner
[0;1]->R².

> Man kunne også definere en funktion, f:N->R:

> f(x) = 1/2^x + f(x+1)

> Så er f rekursivt defineret (f optræder på højresiden) og er matematisk
> veldefineret (det er en konvergent række).

Hm... hvad skal jeg nu mene om det? I en vis forstand kan man jo kalde
enhver ligning hvor venstresiden er en ubekendt der også optræder på
højresiden, for rekursiv. Det gør jeg også gladeligt selv, men
spørgsmålet er om der ikke mest er tale om en uformel korrespondence.
Hvis man blot ser på ovenstående som en funktionalligning, er
løsningen jo absolut ikke entydig, idet alle funktionerne

x |-> c + 1/2^(x-1)

er løsninger. For at opnå c=0 må man enten

- have en vedtægt om at en ligning af netop denne form skal forstås
som en række (og så har vi kontakt til en iterativ fortolkning
igen), eller

- søge et fikspunkt i et eller andet ikke-standard gitter, fx
funktioner R->[0;oo] med den punktvise ordning. Så kan man se
at funktionalet er monotont m.h.t. denne ordning og nå et fikspunkt
med Knaster-Tarski. Men så har vi jo også en iterativ fortolkning
i sigte, idet Knaster-Tarski-fikspunktet kan opfattes som
grænseværdien når man itererer funktionalet fra \bot (= K 0)
(men i det generelle tilfælde risikerer man at få brug for at
iterere transfinit længe, så min sag er ikke så velfunderet her).

[...]

> I alle tilfældene er det noget rekursivt uden en basis. Man kan finde
> approximationer ved induktivt at følge rekursionen et antal skridt,
> i.e., iterere den tilsvarende funktion, men en egentlig løsning får
> man kun ved at tage grænseværdien.

Det samme er jo tilfældet med rent elementære rekursioner

dobbelt 0 = 0
dobbelt (n+1) = dobbelt(n) + 1 + 1

Har kan man også kun i endelig tid finde en approximation
(tilstrækkelig god til at finde funtionsværdien for det n man havde i
tankerne fra starten), men den fuldstændige løsning, hele funktionen,
får man kun ved at tage grænseværdien.

> generelt er induktion begrænset af at være endelig definerbar,

Hvad med transfinit induktion?

--
Henning Makholm "*Vi vil ha wienerbrød!*"

---

Henning Makholm <henning@makholm.net> writes:

> Scripsit Lasse Reichstein Nielsen <lrn@hotpop.com>

> > Hvad med den rekursive definition af Koch-kurven, Cantors mængde eller
> > Sierpinskis "trekant" (som hedder noget smartere som jeg ikke kan huske).
> >
> > Alle tre er definieret rekursivt uden en basis.
>
> Alligevel mener jeg godt man kan opfatte definitionen "nedefra og op"
> - idet ligegyldigt hvilken (begrænset, ikke-tom) punktmængde man
> bruger som grundtilfælde vil man efter at have itereret forskriften
> omega gange nå samme grænseværdi - for en passende definition af
> konvergens som jeg ikke vil kaste mig ud i at foreslå nu.

Ja, og det er så netop transfinit induktion, som du nævner senere, hvis man
tillader sig at iterere omega gange. Det er også OK, men ikke det jeg tænkte
med ordet induktion :)

> Situationen er klarest med hensyn til Koch-kurven: Hvis man (som det
> er normalt) opfatter den som en kurve fra (0,0) til (1,0) kan man
> starte med en vilkårlig kurve med de rigtige endepunkter, og
> konvergensen vil så være almindelig punktvis konvergens af funktioner
> [0;1]->R².

Jeg foretrækker normalt at tænke på Cantors mængde i den sammenhæng, den
er simplere.

Det sjove ved Cantors mængde er at punktmængden selv ikke er (ikke transfinit)
induktivt definerbar, men dens komplement er.

Et punkt p er i mængden "Cantor-komplement" hvis det ligger i det
åbne interval ]1/3;2/3[, eller hvis det ligger i intervallet [0;1/3]
og p*3 ligger i Cantor-komplement, eller det ligger i intervallet
[2/3;1] og (p-2/3)*3 ligger i Cantor-komplement.

Det vil sige at medlemskab af Cantor-komplement har endelige beviser,
hvorimod medlemskab af Cantor-mængden selv ikke har.

Min definition af "Induktivt defineret" for mængder er at medlemskab
har endelige beviser.

En induktiv definition er nogle inferensregler, og den tilhørende
induktivt definerede mængde er de elementer for hvilke der findes
en endelig inferens ud fra inferensreglerne.

> Hm... hvad skal jeg nu mene om det? I en vis forstand kan man jo kalde
> enhver ligning hvor venstresiden er en ubekendt der også optræder på
> højresiden, for rekursiv.

Det er den definition jeg bruger på "syntaktisk rekursiv". Det interessante
er så at en rekursiv ligning kan have 0 eller flere løsninger. Induktion
kan bruges til at finde /en/ løsning, den mindste i en eller anden ordning.

> alle funktionerne
>
> x |-> c + 1/2^(x-1)
>
> er løsninger.

Rigtigt, og indrømmet ikke noget jeg havde overvejet.

> For at opnå c=0 må man enten
>
> - have en vedtægt om at en ligning af netop denne form skal forstås
> som en række (og så har vi kontakt til en iterativ fortolkning
> igen), eller

og det ville være lidt snyd :)

> - søge et fikspunkt i et eller andet ikke-standard gitter, fx
> funktioner R->[0;oo] med den punktvise ordning. Så kan man se
> at funktionalet er monotont m.h.t. denne ordning og nå et fikspunkt
> med Knaster-Tarski. Men så har vi jo også en iterativ fortolkning
> i sigte, idet Knaster-Tarski-fikspunktet kan opfattes som
> grænseværdien når man itererer funktionalet fra \bot (= K 0)
> (men i det generelle tilfælde risikerer man at få brug for at
> iterere transfinit længe, så min sag er ikke så velfunderet her).

Enig, det var sådan det var tænkt.

Lidt simplere kunne man definere

x = 1 + 1/2x

som jo kan løses symbolsk. Hvis vi ignorerer det, så er det en
rekursiv funktion, hvor man kan vise at løsningen har en binær
repræsentation hvor den n'te decimal er 1 for ethvert n.
Man kan til gengæld vise det for et givent n i endeligt mange skridt.
Igen har man brug for en grænseovergang for at komme fra de endelige
skridt til at sige noget om hele den uendelige binærrepræsentation.

> Det samme er jo tilfældet med rent elementære rekursioner
>
> dobbelt 0 = 0
> dobbelt (n+1) = dobbelt(n) + 1 + 1
>
> Har kan man også kun i endelig tid finde en approximation
> (tilstrækkelig god til at finde funtionsværdien for det n man havde i
> tankerne fra starten), men den fuldstændige løsning, hele funktionen,
> får man kun ved at tage grænseværdien.

Det er rigtigt. Vi kan give et endeligt bevis for hvad værdien er for
ethvert argument, men for at vise noget om hele funktionen må vi bruge
en grænsovergang (hmm, som den der er indbygget i matematisk
*induktion*!). Derfor er funktionen (set som punktmængde/graf)
induktivt defineret, da hvert punkt i mængden kan vises at være der
med et endeligt bevis.

Nu tabte jeg tråden... Jeg tror lige jeg starter forfra på tråden :)

> > generelt er induktion begrænset af at være endelig definerbar,
>
> Hvad med transfinit induktion?

Det er noget *helt* andet :)
/L
--
Lasse Reichstein Nielsen - lrn@hotpop.com
'Faith without judgment merely degrades the spirit divine.'

---

Lasse Reichstein Nielsen wrote:

> Henning Makholm <henning@makholm.net> writes:
>
> Hvad med den rekursive definition af Koch-kurven, Cantors mængde eller
> Sierpinskis "trekant" (som hedder noget smartere som jeg ikke kan huske).
>
> Alle tre er definieret rekursivt uden en basis.

Induktiv definition af Koch kurven:

Basis: En ret linie er en Koch kurve
Skridt: En Koch kurve, hvor den miderste tredjedel af enhver ret
linie erstattes af to sammenstødende linier af hver en
tredjedels længde af den oprindelige linie er en Koch
kurve.

Hvis du omvendt har en rekursiv funktion til at afgøre om en kurve er
en Koch kurve vil dens termineringsbetingelse være, at du står tilbage
med en ret linie.

-Claus

---

Claus Rasmussen <clr@cc-consult.dk> writes:

> Induktiv definition af Koch kurven:
>
> Basis: En ret linie er en Koch kurve
> Skridt: En Koch kurve, hvor den miderste tredjedel af enhver ret
> linie erstattes af to sammenstødende linier af hver en
> tredjedels længde af den oprindelige linie er en Koch
> kurve.
>
> Hvis du omvendt har en rekursiv funktion til at afgøre om en kurve er
> en Koch kurve vil dens termineringsbetingelse være, at du står tilbage
> med en ret linie.

Det er en anden definition af Koch-kurver end den jeg bruger :)
Jeg ville kun definere Koch kurven som værende den fraktale kurve
der er grænsenværdien efter uendeligt mange skridt. Alle de
Koch kurver du definierer er kun approximationer.


En induktiv definition af den type du her giver kan også ses som en
definition af "den induktivt definerede" løsning, det mindste
fikspunkt for Skridt operationen.

Altså man kan skrive den rekursive ligning

Kurve = Skridt(Kurve)

som har mere end en løsning. Hvis vi siger at kurven skal starte i (0,0)
og slutte i (1,0) så vil Koch kurven nok netop være den simpleste løsning
(det er lettere at sige hvad "simpleste" betyder i andre sammenhænge :)

Generelt tænker jeg på rekursive definitioner som værende åbne i den
forstand at de kan have mere end en løsning, og den induktivt definerede
løsning er så en af disse: den mindste.

/L
--
Lasse Reichstein Nielsen - lrn@hotpop.com
'Faith without judgment merely degrades the spirit divine.'

---

Scripsit Claus Rasmussen <clr@cc-consult.dk>

> Dvs. at Makholm (med Erdöstallet 6) har skrevet en artikel sammen med
> en som har skrevet en artikel sammen med en som har skrevet en artikel
> sammen med en som har skrevet en artikel sammen med en som har skrevet
> en artikel sammen med en som har skrevet en artikel sammen med Erdös.

> (som det fremgår er det en hel del nemmere at sige, at Makholm har
> Erdöstallet 6

Men det er også en smule lettere at overskue hvis man nævner de
forskellige forfattere ved navn (de står på min webside som
dokumentation).

> Erdös pointe var at vise noget om i hvor stort et omfang matematikere
> samarbejder. Og det gør de ganske meget. De fleste har et Erdöstal
> på en 10-20 stykker,

Det ser ud til at være højt sat. Jeg har ikke lige en håndterbar
webbrowser ved hånden, men jeg mener at The Erdös Number project
siger at langt de fleste endelige erdöstal er på 8 eller derunder. Mit
eget sekstal er jeg derfor ikke specielt stolt af (men der er stadig
håb om at det falder, for der er ikke-naboer på vejen mellem mig og
Erdös der laver nært forbundne ting. Og Lars Birkedal med erdöstal 3
som arbejder på IT-højskolen har skrevet en artikel der er meget tæt
på det min kommende ph.d.-afhandling kommer til at handle om (uden at
vi dog har konkrete samarbejdsplaner, og har har siden forladt netop
det felt)).

> og man mener at samtlige matematikere, der nogensinde har levet har
> et Erdöstal forskelligt fra uendeligt (muligvis med undtagelse af
> Gauss).

Det tror jeg er misforstået. En matematiker der skriver alle sine
artikler under eget navn og aldrig samarbejder, vil jo i sagens natur
have erdöstal uendeligt. Og sådanne findes altså, selv om de er
forholdsvis få. ENP har også i deres testdata små kliker på 2-3
matematikere der kun har samarbejdet med hinanden og ikke med folk
udenfor kliken. Deres erdöstal er så også uendelige.

Det bemærkelsesværdige er at NÅR erdöstallet er endeligt, er det
normalt ganske lille.

--
Henning Makholm "De er da bare dumme. Det skal du bare sige til dem."

---

Henning Makholm wrote:

> Scripsit Claus Rasmussen <clr@cc-consult.dk>

>> (som det fremgår er det en hel del nemmere at sige, at Makholm har
>> Erdöstallet 6
>
> Men det er også en smule lettere at overskue hvis man nævner de
> forskellige forfattere ved navn (de står på min webside som
> dokumentation).

Hvor ?


>> Erdös pointe var at vise noget om i hvor stort et omfang matematikere
>> samarbejder. Og det gør de ganske meget. De fleste har et Erdöstal
>> på en 10-20 stykker,
>
> Det ser ud til at være højt sat. Jeg har ikke lige en håndterbar
> webbrowser ved hånden, men jeg mener at The Erdös Number project
> siger at langt de fleste endelige erdöstal er på 8 eller derunder.

Det var også citeret udfra hukommelsen plus en slat sikkerhedsmargin.
Siden var nede, da jeg skrev indlægget.


> Det bemærkelsesværdige er at NÅR erdöstallet er endeligt, er det
> normalt ganske lille.

Ja. Og ekstremt vidtforgrenet jvf. den mediciner, jeg fandt med
Erdöstal 9.

-Claus

---

Claus Rasmussen <clr@cc-consult.dk> wrote:

>Ja. Og ekstremt vidtforgrenet jvf. den mediciner, jeg fandt med
>Erdöstal 9.

Havde han været en omvej over en fysiker?


--
Allan Olesen, Lunderskov.
Danske musikere tjener penge ved ulovlig softwarekopiering.

---

Allan Olesen wrote:

>>Ja. Og ekstremt vidtforgrenet jvf. den mediciner, jeg fandt med
>>Erdöstal 9.
>
> Havde han været en omvej over en fysiker?

Øh, nej. Det ser ud til at det gik den direkte vej via en matematik
for medicinere artikel. Men derefter vandrede den over til computer
videnskab...

Du kan selv se efter her:

http://www.loni.ucla.edu/~thompson/ERDOS/erdo.htm

MVH
-Claus

---

Scripsit Claus Rasmussen <clr@cc-consult.dk>
> Henning Makholm wrote:
> > Scripsit Claus Rasmussen <clr@cc-consult.dk>

> >> (som det fremgår er det en hel del nemmere at sige, at Makholm har
> >> Erdöstallet 6

> > Men det er også en smule lettere at overskue hvis man nævner de
> > forskellige forfattere ved navn (de står på min webside som
> > dokumentation).

> Hvor ?

Lige under postulatet om at mit erdöstal er 6.

--
Henning Makholm "Also, the letters are printed. That makes the task
of identifying the handwriting much more difficult."

---

Henning Makholm wrote:

> Lige under postulatet om at mit erdöstal er 6.

Det var adressen på din hjemmeside, jeg efterlyste

-Claus

---

Scripsit Claus Rasmussen <clr@cc-consult.dk>
> Henning Makholm wrote:

> > Lige under postulatet om at mit erdöstal er 6.

> Det var adressen på din hjemmeside, jeg efterlyste

Den står i mine headers (men er i dagens anledning flyttet ned i kroppen):

X-My-Web-page: http://www.diku.dk/~makholm/

--
Henning Makholm "Hi! I'm an Ellen Jamesian. Do
you know what an Ellen Jamesian is?"

---

Kim Ludvigsen <ludvig@mail.dk> wrote:

>kun to, hvor der er henholdsvis et æsel og en bil bag. Jeg ser det som
>en ny udregning, hvor der er 50 procents chance for gevinst.

Mange mennesker begår den fejl i sandsynlighedsregning, at de
tror, at 2 udfaldsmuligheder betyder 50% sandsynlighed for hver.

Det er ikke den, du er ved at falde i nu?

>I må nok finde en anden forsøgskanin til jeres diskussion.

Ellers kan jeg da prøve med en variant:

Hvis du fra starten har valgt en dør med en ged, befinder der sig
nu med 100% sikkerhed en bil bag den dør, du ikke har valgt.

Hvis du fra starten har valgt en dør med en bil, befinder der sig
nu med 100% sikkerhed en bil bag den dør, du har valgt.

Hvad er sandsynligheden for, at du fra starten har valgt en dør
med en ged?


--
Allan Olesen, Lunderskov.
Danske musikere tjener penge ved ulovlig softwarekopiering.

---

Allan Olesen wrote:
>
> Kim Ludvigsen <ludvig@mail.dk> wrote:
>
> >kun to, hvor der er henholdsvis et æsel og en bil bag. Jeg ser det som
> >en ny udregning, hvor der er 50 procents chance for gevinst.
>
> Mange mennesker begår den fejl i sandsynlighedsregning, at de
> tror, at 2 udfaldsmuligheder betyder 50% sandsynlighed for hver.

Jeps. På en almindelig terning, hvad er sandsynligheden for at slå en
etter? Tja, enten får jeg en etter, eller også gør jeg ikke. Ergo: 50%.


Også kendt som isbjørnelogik: Hvad er sandsynligheden for at du ser en
isbjørn, hvis du stikker hovedet ud af en iglo på Grønland? 50%
selvfølgelig. Enten er den der, eller også er den der ikke.

<snip>

--
Kristian Damm Jensen | Feed the hungry at www.thehungersite.com
kristian-damm.jensen@cgey.com | Two wrongs doesn't make a right,
ICQ# 146728724 | but three lefts do.

---

Kim Ludvigsen skrev:

>Mit problem er, at jeg ikke ser løsningen på den måde. Ja, før var der
>1/1000 chance for gevinst. Men nu er der altså ikke 1.000 døre tilbage,
>kun to, hvor der er henholdsvis et æsel og en bil bag. Jeg ser det som
>en ny udregning, hvor der er 50 procents chance for gevinst. Skulle jeg
>anskue det ved at fastholde 1/1000-chancen, kan jeg jo lige så godt
>sige, at chancen for at der er en bil bag den anden dør også er 1/1000.
>Og med 1/1000-chance for hver af de to resterende døre, er vi igen
>tilbage ved en fifty-fifty-chance. Måske jeg bare er dum.

Det er en fin forklaring på hvorfor det ikke bliver nemmere nmed
1000 eller 1000000 døre.

Og nej, du er ikke dum. Jeg måtte lave en simulation før jeg
begyndte at tro på forklaringen.

--
Bertel
http://bertel.lundhansen.dk/   FIDUSO: http://fiduso.dk/

---

Kim Ludvigsen skrev:

>Med fare for at udstille min uvidenhed: Kan I ikke lige forklare det for
>en ikke-matematiker?

Jeg kan prøve på en anden måde.

>Før havde man 33,3 procents chance for at have valgt den rette dør.

Ja.

Hvad er chancen for at quizmesteren ved at vælge omhyggeligt (og
kikke bag døren) kan finde en dør med en ged bagved?

Den er 100 %.

Fortæller det os noget når han så åbner netop den?

Ja, at han ikke er idiot, men ikke spor andet.

Hvad er der blevet af de 2/3 chance der før var fordelt på to
døre?

Ikke noget nyt, men vi ved nu at den ene dør er værdiløs. Derfor
er der 2/3 chance for gevinst bag den anden.

--
Bertel
http://bertel.lundhansen.dk/   FIDUSO: http://fiduso.dk/

---

Således skrev Kim Ludvigsen <Ludvig@mail.dk>:

---

Scripsit Kim Ludvigsen <Ludvig@mail.dk>

> Før havde man 33,3 procents chance for at have valgt den rette dør.
> Efter åbningen af den ene dør, må der vel være 50 procents chance, for
> at man har valgt den rette dør?

For at se at den tankegang er forkert, kan du prøve med følgende
ræsonnement: Vi ignorerer en overgang hvad der sker hvis man skifter,
og ser i stedet på hvad der sker når man *ikke* skifter. Vi kan så
sammenligne to forskellige scenarier:

A. Du vælger en tilfældig dør. Quizmasteren åbner den og du vinder
hvad der er bagved.

B. Du vælger en tilfældig dør. Quizmasteren åbner en anden dør. Du
lader være med at ændre mening. Quizmasteren åbner den dør du
valgte i første omgang, og du vinder hvad der er bagved.

Vi er forhåbentlig enige om at dine vinderchancer i historie (A) er
1/3. Hvis din intuition siger dig at dine vinderchancer i historie (B)
er 1/2, hvordan kan det så være at du kan forøge dine chancer
udelukkende ved at quizmasteren åbner dørene i en anden rækkefølge?

--
Henning Makholm "The great secret, known to internists and
learned early in marriage by internists' wives, but
still hidden from the general public, is that most things get
better by themselves. Most things, in fact, are better by morning."

---

Kim Ludvigsen skrev:

> Før havde man 33,3 procents chance for at have valgt den rette dør.
> Efter åbningen af den ene dør, må der vel være 50 procents chance, for
> at man har valgt den rette dør?

At æslerne er muteret til geder skyldes at i Monty Hall opgaven er
der gemt 2 geder og en gevinst bag de tre døre.

**

Min forklaring på Monty Hall opgaven er som følger:

Først er mulighederne:

BIL - GED - GED
GED - BIL - GED
GED - GED - BIL

Når deltageren har valgt første gang er de tre muligheder (ligegyldigt
hvilken dør han har valgt)

Bag valgt dør: BIL bag de to ikke valgte: 2 GEDER
Bag valgt dør: GED bag de to ikke valgte: 1 GED og 1 BIL
Bag valgt dør: GED bag de to ikke valgte: 1 BIL og 1 GED

Der var tre mulighed før deltageren valgte, det er der stadig.
Når værten har åbnet en af de to ikke valgte døre, for at vise den
ged han havde lovet, er mulighederne:

Bag valgt dør: BIL bag de ikke valgte: 1 GED
Bag valgt dør: GED bag de ikke valgte: 1 BIL
Bag valgt dør: GED bag de ikke valgte: 1 BIL

Altså 1/3 chance for bil bag valgt dør og 2/3 for bil bag dør
der ikke er valgt.

**

At sandsynligheden for, at der står en bil bag ikke ændre sig når
Monty åbner en anden dør, kan man forsøge at anskueliggøre
på følgende måde:

Når deltageren har gjort sit første valg er der 1/3 chance for
at der er en bil bag. Det ændrer sig ikke til 1/2 når værten
åbner en dør, det ville heller ikke ændre sig til 1/100 hvis
værten i stedet opsatte 97 andre døre med geder bag.
Hvis deltageren glemte hvilken dør han havde valgt først
ville sandsynlighederne være henholdsvis 1/2 og 1/100.


**

Man kunne også spørge deltageren om han helst vil åbne
1 eller 2 døre. Efter Monty har åbnet en dør, har deltageren
mulighed for at vælge den bedste af de to døre han ikke
valgte i første omgang.

Denne forklaring overbeviser nok ikke mange.

**
Der er en Monty simulator på følgende side:
http://www.mste.uiuc.edu/reese/monty/MontyGame5.html


Ivar

---

> At sandsynligheden for, at der står en bil bag ikke ændre sig når
> Monty åbner en anden dør, kan man forsøge at anskueliggøre
> på følgende måde:
>
> Når deltageren har gjort sit første valg er der 1/3 chance for
> at der er en bil bag. Det ændrer sig ikke til 1/2 når værten
> åbner en dør, det ville heller ikke ændre sig til 1/100 hvis
> værten i stedet opsatte 97 andre døre med geder bag.
> Hvis deltageren glemte hvilken dør han havde valgt først
> ville sandsynlighederne være henholdsvis 1/2 og 1/100.

Man kan vel også formulere det sådan at man vælger een af de tre døre. Hvis
man ikke vælger gevinstdøren, så vil værten med garanti vælge denne dør til
en og tilbyde at man kan skifte.
Det er det er forvirer (mig). Man glemmer at værten spiller en aktiv rolle i
udvælgelsen, og aktivt vælger gevinstdøren til en hvis man da ikke selv
havde valgt den i første omgang.

---

Henning Makholm wrote:
>
> Scripsit Claus Rasmussen <clr@cc-consult.dk>
> > Henning Makholm wrote:
>
> > > Hvis det var kendt i forvejen, dvs før deltageren foretager sit valg,
> > > at det er sådan reglerne er, skal man skifte. Det er let at se at
>
> > En mindre matematisk forklaring, som jeg har haft success med, er at
> > udvide scenariet til 1000 døre. Quizdeltageren peger altså på en dør;
> > Quizmasteren åbner så 998 døre og spørger deltageren, om han ønsker
> > at skifte...
>
> Min erfaring er at den udvidelse ikke rigtig rykker. Dem der ikke
> tænker på den rigtige måde med 3 døre, tænker stadig forker med
> 1000 døre.

Hvis man tager et sædvanligt sæt spillekort og instruerer tvivleren
om at det nu gælder om at finde spar es (som svarer til bilen) ...

Man lægger nu alle 52 kort op på én lang række med bagsiden opad idet
man inden man lægger hvert kort, tydeligt betragter det uden at vise
sin modpart det. Man beder nu sin modpart om at gætte på hvilket kort
der er spar es. Han vil sikkert protestere og sige at det kan han ikke
gætte, men han skal jo altså vælge ét. Man starter nu fra en ende af
med at afsløre kortene, idet man undlader at afsløre det kort som var
valgt samt ét andet kort. Man afslører altså 50 af de 52 kort. De to
gange hvor man overspringer et kort skulle gerne være ret spektakulære.

I praksis skal man nok nummerere kortenes pladser for selv at kunne
holde styr på det. Fx ved at sige »én, to, tre, ...« mens man lægger
kortene op i starten (og så huske nummeret på spar es).

Jeg vil vove at påstå at man kan få enhver til at indse at han skal
skifte i dette tilfælde. Han vil tænke: »Hvorfor sprang han netop
disse to kort over?«

Det virker kun når man praktiserer det. Det skal ikke være et tanke-
eksperiment mere (dét får bare folk til at gå helt i sort).

Så er kunsten at få ham til at indse at det faktisk er det samme der
sker når der kun er 3 kort (eller 3 låger). Med meget ulogiske personer
kan dette sikker være vanskeligt.

--
Jeppe Stig Nielsen <URL:http://jeppesn.dk/>. «

"Je n'ai pas eu besoin de cette hypothèse (I had no need of that
hypothesis)" --- Laplace (1749-1827)

---

Claus Rasmussen <clr@cc-consult.dk> writes:

> Henning Makholm wrote:
>
> > Hvis det var kendt i forvejen, dvs før deltageren foretager sit valg,
> > at det er sådan reglerne er, skal man skifte. Det er let at se at
>
> En mindre matematisk forklaring, som jeg har haft success med, er at
> udvide scenariet til 1000 døre. Quizdeltageren peger altså på en dør;
> Quizmasteren åbner så 998 døre og spørger deltageren, om han ønsker
> at skifte...

Aha! Nu forstår jeg også problemet. :)

Mit problem har været at der i opgaven mangler at blive præciseret at
værten _vælger_ en dør med en ged bag. Uden den tilføjelse kom jeg
frem til følgende: "Det er ligegyldigt om man vælger om, men hvis
værten havde åbnet døren ind til bilen burde man vælge den dør han
havde åbnet"

--
Kim Hansen | |\ _,,,---,,_ | Det er ikke
Dalslandsgade 8, A708 | /,`.-'`' -. ;-;;,_ | Jeopardy.
2300 København S | |,4- ) )-,_. ,\ ( `'-' | Svar _efter_
Phone: 32 88 60 86 | '---''(_/--' `-'\_) | spørgsmålet.

---

Kim Hansen wrote:
>
> Aha! Nu forstår jeg også problemet. :)
>
> Mit problem har været at der i opgaven mangler at blive præciseret at
> værten _vælger_ en dør med en ged bag. Uden den tilføjelse kom jeg
> frem til følgende: "Det er ligegyldigt om man vælger om, men hvis
> værten havde åbnet døren ind til bilen burde man vælge den dør han
> havde åbnet"

Netop. Det er værten der ved sit valg af dør giver dig ekstra infor-
mation.

--
Jeppe Stig Nielsen <URL:http://jeppesn.dk/>. «

"Je n'ai pas eu besoin de cette hypothèse (I had no need of that
hypothesis)" --- Laplace (1749-1827)

---

> Det en del ikke-matematikere har problemer med at indse er at

Og en del matematikere. Historien går på at problemet bla. blev stillet
i en spørgespalte bestyret af en af de mennekser som havde den højeste
målte iq. Hun (en ældre kvinde) svarede rigtigt, men fik en del vrede
læserbreve fra matematik proffessorer om at hun intet forstod.

Desværre kan jeg ikke huske navnte på kvinden eller det blad hvori
spalten optrådte (optræder?)

Kasper

---

Kasper Daniel Hansen wrote:

>> Det en del ikke-matematikere har problemer med at indse er at
>
> Og en del matematikere. Historien går på at problemet bla. blev stillet
> i en spørgespalte bestyret af en af de mennekser som havde den højeste
> målte iq. Hun (en ældre kvinde) svarede rigtigt, men fik en del vrede
> læserbreve fra matematik proffessorer om at hun intet forstod.

<rygter>
Historien går, at det resulterede i at to amerikanske universiteter
kom op at skændes om opgaven. Den (tabende) part havde endda hjælp
af Paul Erdöz himself.
</rygter>

-Claus

---

Claus Rasmussen wrote:
> Kasper Daniel Hansen wrote:
>
>>> Det en del ikke-matematikere har problemer med at indse
>>> er at
>>
>> Og en del matematikere. Historien går på at problemet
>> bla. blev stillet i en spørgespalte bestyret af en af de
>> mennekser som havde den højeste målte iq. Hun (en ældre
>> kvinde) svarede rigtigt, men fik en del vrede læserbreve
>> fra matematik proffessorer om at hun intet forstod.

Det drejer sig om Marilyn vos Savants klumme i Parade.
Hendes IQ var målt til 228 og Guinness Book of World
Records havde hende med, som personen med den højeste
målte IQ. Hun er ikke videre populær i matematiske kredse
for kritiserede i bogen "The World's Most Famous Math Problem"
både Wiles bevis for Fermats sidste sætning og Einsteins teori om
relativitet.

> <rygter>
> Historien går, at det resulterede i at to amerikanske
> universiteter kom op at skændes om opgaven. Den
> (tabende) part havde endda hjælp af Paul Erdöz himself.
> </rygter>

Se historien om universiteterne er et rygte (eller i hvert fald
urelateret til Erdös), men hør nu om Erdös.

Bogen "The Man Who Loved Only Numbers" af
Paul Hoffman er en biografi om Erdös. Heri fortælles det, hvordan
Erdös' ven Vázsonyi fortalte Erdös om Monty Hall-problemet.
Den umiddelbare reaktion var "No, that is impossible. It shoul make
no difference". Så kom træet af muligheder på bordet, så man kunne
se svaret. Erdös var dog ikke tilfreds med det bevis, for "You are
not telling me /why/ to switch.".

Vázsonyi lavede en Monte Carlo-simulation (opkaldt efter Ulams onkel,
som var glad for at spille roulette) på sin pc. Man kunne se det var rigtigt,
men den metode var også utilfredsstillende.

Senere fik Graham Erdös til at indse, at det vigtige er, at man i forvejen
ved at værten /altid/ giver dig mulighed for at vælge den anden dør.

Bogen kan i øvrigt varmt anbefales.

--
Jens Axel Søgaard

A Mathematician is a machine for turning coffee into theorems.
- Paul Erdös

---

Jens Axel Søgaard wrote:

> Bogen "The Man Who Loved Only Numbers" af
>
> Senere fik Graham Erdös til at indse, at det vigtige er, at man i forvejen
> ved at værten /altid/ giver dig mulighed for at vælge den anden dør.
>
> Bogen kan i øvrigt varmt anbefales.

Jeg tror faktisk, at det er der, jeg har den del af historien, der
handler om Erdös, fra. Jeg futtede forresten engang rundt på Grahams
hjemmeside. Spændende mand.


> A Mathematician is a machine for turning coffee into theorems.
> - Paul Erdös

Jeg kender et par stykker, dén bemærkning passer helt perfekt på

-Claus

---

Claus Rasmussen wrote:
> Jeg futtede
> forresten engang rundt på Grahams hjemmeside. Spændende
> mand.

Link?

--
Jens Axel Søgaard

---

Henning Makholm wrote:
>

>
> Derimod bliver spillet rigtig meget mere speget hvis quizmasteren selv
> kan vælge om han vil give mulighed for at vælge om eller ej. Så
> handler det lige pludselig mere om bluff end sandsynlighedsregning...

Det er værre endnu, det er faktisk ikke engang sikkert at quizmaterens
bevægegrunde er stabile. Hvis f.eks bil-sponsoren har sagt at han gerne
ser at der ikke er for meget udsving af hensyn til reklamen(en bil om
måneden er bedre end 3 uger i træk eftefulgt af 3 måneder uden).

Det kan også være at produceren har sagt at sympatiske vindere giver
større
seertal.

--
-
Poul-Erik Andreasen
Hvis du mangler nogen til noget eller du kan noget for nogen.
http://linux-freelance.pea.dk

---

Claus Rasmussen <clr@cc-consult.dk> writes:

> Jeg tror faktisk, at det er der, jeg har den del af historien, der
> handler om Erdös, fra. Jeg futtede forresten engang rundt på Grahams
> hjemmeside. Spændende mand.

<http://www-cse.ucsd.edu/users/rgraham/>? Der er da stort set kun et
link til Fan Chung Grahams websider.

--
Peter Makholm | Emacs is the only modern general-purpose
peter@makholm.net | operating system that doesn't multitask
http://hacking.dk |

---

Peter Makholm wrote:

> <http://www-cse.ucsd.edu/users/rgraham/>? Der er da stort set kun et
> link til Fan Chung Grahams websider.

FLOVT. Det var Fan's sider, jeg huskede...

Det bedste forsvar, jeg kan komme op med, må være, at Fans sider også
handler en hel del om Graham.

(det går rigtigt godt i dag)

-Claus

---

"Ivar" <did@[nozpam]oncable.dk> skrev:

>vise et æsel. Værten åbner en dør hvor der står et æsel

Sørgede han for at der stod et æsel bag den dør han åbner (a),
eller var det tilfældigt (b)?

Svarene er ROT'ede:

n)   Una tøe xybtg v ng iæytr qra fvqfgr qøe. Qrg re snxgvfx
   qbooryfg få xybtg fbz ng snfgubyqr qrg søefgr inyt.

o)   Qrg re yvtrtlyqvtg bz una snfgubyqre ryyre iæytre bz.

--
Bertel
http://bertel.lundhansen.dk/   FIDUSO: http://fiduso.dk/

---

Ivar wrote:
> Efter en del sjov andetsteds, forsøger jeg at gentage
> succesen her. Hvis du mener, at du kender opgaven, så læs
> den en gang til

Jeg er interesseret i at høre den opgave, der er risiko for
at forveksle den med.

I øvrigt mener jeg, at du gør opgaven unødigt svær ved at
kalde Lasse for Mads.

--
Jens Axel Søgaard

---

Jens Axel Søgaard skrev:

> > Efter en del sjov andetsteds, forsøger jeg at gentage
> > succesen her. Hvis du mener, at du kender opgaven, så læs
> > den en gang til

Ja, jeg burde have skrevet: Hvis du mener, at du kender opgaven,
så læs min version en gang til

> I øvrigt mener jeg, at du gør opgaven unødigt svær ved at
> kalde Lasse for Mads.

Det betyder ikke så meget om du kalde ham Lasse eller Mads,
blot du ikke kalder ham Monty.


Ivar

---

Ivar wrote:
> Jens Axel Søgaard skrev:
>
>>> Efter en del sjov andetsteds, forsøger jeg at gentage
>>> succesen her. Hvis du mener, at du kender opgaven, så
>>> læs den en gang til
>
> Ja, jeg burde have skrevet: Hvis du mener, at du kender
> opgaven, så læs min version en gang til

Jeg havde forstået, at du var bange for, at vi forvekslede din
version med en en anden version. Men du ville nok bare
have, at vi ikke troede, det var en nem opgave

--
Jens Axel Søgaard

---

Ivar skrev:

> Hvad bør deltageren gøre ?
> Stå ved sit valg, vælge om eller er det ligegyldigt ?

Tillægsspørgsmål:

Hvad bør deltageren i æsel-opgaven gøre, hvis han
ved at værten vil undgå at tabe bilen ?


Ivar

---

Ivar wrote:
> Hvad bør deltageren i æsel-opgaven gøre, hvis han
> ved at værten vil undgå at tabe bilen ?


Det kommer an på hvor god værten er til at bluffe.

--
Jakob Møbjerg Nielsen | "Five exclamation marks, the
jakob@dataloger.dk | sure sign of an insane mind."
http://www.jakobnielsen.dk/ | -- Terry Pratchett, Reaper Man

---

"Ivar" <did@[nozpam]oncable.dk> skrev i en meddelelse
news:3d1c9ec7$0$1459$edfadb0f@dspool01.news.tele.dk...
> Efter en del sjov andetsteds, forsøger jeg at gentage succesen
> her. Hvis du mener, at du kender opgaven, så læs den en
> gang til
>
> I et helt nyt tv-show, der er arrangeret som afslutningen på
> en lang række Jeopardy-udsendelser, får den mest vindende
> deltager chancen for at vinde en bil.
> Bilen er gemt bag en af tre døre, bag hver af de to andre står
> der et æsel. Deltageren for lov til at vælge en dør. Værten
> (vi kan kalde ham Mads) spørger selvfølgelig om deltageren
> er helt sikker, og tilbyder at åbne en af de andre døre for at
> vise et æsel. Værten åbner en dør hvor der står et æsel, og
> der efter spørger han om deltageren stadig er sikker i sit valg,
> eller om han ønsker at gøre sit valg om.
>
> Hvad bør deltageren gøre ?
> Stå ved sit valg, vælge om eller er det ligegyldigt ?
>
>
> Ivar

Jeg har læst alle trådene som der er skrevet indtil nu, jeg kan også sagtens
se hvorfor, men holder det så også i praksis?
Jeg tror jeg må prøve det med en ven her i ferien en gang :)

Brian Lund