---

Hej -

Pythagoras' sætning bevises således:

I en retvinklet trekant tegnes højden til den rette vinkel C, således c
deles i c1 og c2.
De to nye trekanter er ensvinklede med den første.
Ud fra forholdet mellem trekanternes sider fås:
a/c1 = c/a <=> a^2 = c*c1
b/c2 = c/b <=> b^2 = c*c2

Disse lægges sammen:
a^2 + b^2 = c*c1 + c*c2 = c^2

Hvordan kan jeg ud fra dette bevis se, at også den omvendte sætning gælder -
altså at
en trekant, hvor summen af kateternes kvadrater er lig med hypotenusens
kvadrat, ER retvinklet?


mvh
Anders Abildgaard

---

Anders Abildgaard wrote:
> Hej -
>
> Pythagoras' sætning bevises således:
>
> I en retvinklet trekant tegnes højden til den rette vinkel C, således c
> deles i c1 og c2.
> De to nye trekanter er ensvinklede med den første.
> Ud fra forholdet mellem trekanternes sider fås:
> a/c1 = c/a <=> a^2 = c*c1
> b/c2 = c/b <=> b^2 = c*c2
>
> Disse lægges sammen:
> a^2 + b^2 = c*c1 + c*c2 = c^2
>
> Hvordan kan jeg ud fra dette bevis se, at også den omvendte sætning gælder -
> altså at
> en trekant, hvor summen af kateternes kvadrater er lig med hypotenusens
> kvadrat, ER retvinklet?
Undlad at antage at vinkel C er ret, så kan du ved at bruge pythagoras
på de to små retvinklede trekanter og cosinus på C komme frem til
cosinusrelationen:
c^2=a^2+b^2-2ab*cosC
Heraf følger for a>0 og b>0, at hvis der gælder a^2+b^2=c^2, er
-2ab*cosC=0 => cosC=0 => C = 90deg (da C < 180)


- Martin

---

Det er jo netop det sætningen siger. I en retvinklet trekant er produkt af
kateternes kvadrat lig med kvadratet af hypotenusen! Ergo du behøver ikke
noget yderligere bevis, for det er det du har lavet.

---

Jacob Christiansen wrote:
> Det er jo netop det sætningen siger. I en retvinklet trekant er
> produkt af kateternes kvadrat lig med kvadratet af hypotenusen! Ergo
> du behøver ikke noget yderligere bevis, for det er det du har lavet.
Anders forespørger beviset for det omvendte, altså at hvis a^2+b^2=c^2
er vinkel C ret. Der gælder hvis og kun hvis, men Anders'
bevis viser kun 'hvis' delen.

P.S. gider du ikke medtage det du svarer på..


- Martin

---

Jacob Christiansen wrote:
>
> Det er jo netop det sætningen siger. I en retvinklet trekant er produkt af
> kateternes kvadrat lig med kvadratet af hypotenusen! Ergo du behøver ikke
> noget yderligere bevis, for det er det du har lavet.

Som Martin forklarer, er der to »veje«. Anders kendte kun et bevis for
den ene vej.

PS! Du kom til at skrive »produkt«, men du mener jo »sum«.

--
Jeppe Stig Nielsen <URL:http://jeppesn.dk/>. «

"Je n'ai pas eu besoin de cette hypothèse (I had no need of that
hypothesis)" --- Laplace (1749-1827)