"Jes Hansen" <jzsuf001@sneakemail.com> wrote in message
news:KWwG8.13313$4f4.633759@news000.worldonline.dk...
> Jeg har en ret god idé om, at ethvert reelt tal er enten positivt,
> negativt eller nul. Det må man da kunne bevise? Nogen der kan skitsere
> et sådant bevis?
Du kan enten bare tro på det, eller også holde på hat og briller i det
følgende.
(jeg forventer ikke at du nødvendigvis forstår beviset - bare tag det som et
kuriosum
Beviset vil fuldstændigt afhænge af hvordan man definerer de reelle tal, og
hvordan man definerer positive og negative reelle tal. Jo mere formelt man
definerer de reelle tal, desto mere formelt vil kravet til dit bevis
selvfølgelig også være. Hvis man er gammel græker, tegner man bare en linie
i sandet og siger "Se, her er tallene - og her er "midtpunktet". Alle de
punkter der ikke er midtpunktet, er enten på den ene eller den anden side".
Okay, *helt* så naivt ville de måske ikke gøre det - men de havde ikke nogen
definition af de reelle tal, som en matematiker ville kunne leve med idag.
Faktisk var de lige ved at gå i koma da de fik det første snært af
irrationale tal (sqrt(2)). Deres verdensforestilling brød sammen, og de gik
vist mere eller mindre over til geometri som afløser for "tal".
Så let slipper vi ikke i vore dage.
Jeg betragter dit spørgsmål som en udfordring, så nu kommer alle de pinlige
detaljer (pånær visse "hjælperesultater" som jeg ikke gider pensle ud
.
Lad mig nu se - jeg læste sådan noget for 12 år siden i et
1.års-universitetetskursus
.
En mulig definition er følgende. Der findes selvfølgelig andre, ækvivalente,
"realiseringer" (om jeg så må sige
end denne:
Et reelt tal er en Cauchy-følge af rationale tal "modulo en
ækvivalensrelation". En Cauchy-følge er en følge hvor forskellene mellem
elementerne bliver vilkårligt små (hvis bare man er langt nok ude i følgen).
Ækvivalensrelationen er den, at to følger {x_i} og {y_i} er ækvivalente hvis
x_i-y_i konvergerer mod 0 (i Q! for vi er jo stadig ved at definere R).
Uformelt kan man forestille sig at følgen {x_i} repræsenterer det reelle
tal, x, den "konvergerer imod" (men det kan jo ikke være en definition af R,
da vi så benytter R i definitionen).
Nu kan man definere +, *, negation, og inversion på de reelle tal ud fra de
tilsvarende operationer på de rationale tal i følgerne. Derefter kan man
bevise de almindelige regneregler for disse operationer. Men det gider vi
ikke idag
, da vi ikke skal bruge det. Vi skal blot bruge at negationen
af {x_i} er {-x_i} (negation af hvert enkelt element i følgen).
Vi vil definere de positive reelle tal, de negative reelle tal, og det
reelle tal 0.
0 defineres som den ækvivalensklasse af følger, som indeholder følgen (0, 0,
....).
Et reelt tal {x_i} *defineres* som positivt, hvis der eksisterer et positivt
rationalt tal, q, og et n, sådan at x_i>=q for alle i>=n. Så skal man
selvfølgelig lige bevise at det er ligegyldigt hvilken repræsentant {x_i}
for ækvivalensklassen man vælger. Det gider jeg ikke idag.
.
Hvis du vil vide hvad et "positivt rationalt tal er" må du spørge igen - det
kan jeg så skrive lidt om en anden dag :).
Et reelt tal x={x_i} defineres som negativt, hvis -x er positivt.
Det var definitionerne. Nu til beviset for at et reelt tal, {x_i} er enten
positivt, negativt eller 0.
Antag at {x_i} ikke er nul. Ifølge definitionen (ækvivalensrelationen)
betyder det at {x_i} udgør en Cauchy-følge, der ikke konvergerer imod 0.
Siden følgen ikke konvergerer mod 0, kan vi finde et q, sådan at uanset m
vil der altid være et x_i, med i>=m og |x_i|>=q. Og siden følgen er en
cauchy-følge, kan vi så finde et n så enten x_i>=q/2 for alle i>=n
eller -x_i>=q/2 for alle i>=n (her kan godt fyldes nogle flere detaljer på).
I det første tilfælde er {x_i} pr. definition positiv, i det andet tilfælde
er {x_i} pr. definition positiv negativ.
Det var det. Ganske simpelt
Man kan også nemt bevise at disse tre tilfælde faktisk udelukker hinanden
(dvs. 0 er hverken positivt eller negativt, og et tal kan ikke være både
positivt og negativt).
Mvh. Bjarke