---

Hej,

Et par spørgsmål ang. subj.: Findes der kendte mængder med større
kardinaltal end aleph? Hvordan vises, at et interval
(åbent/halvåbent/lukket) i R har samme kardinalitet som R, altså aleph?

Mvh.

Victor

---

Victor wrote:
>
> Hej,
>
> Et par spørgsmål ang. subj.: Findes der kendte mængder med større
> kardinaltal end aleph? Hvordan vises, at et interval
> (åbent/halvåbent/lukket) i R har samme kardinalitet som R, altså aleph?

Lige gyldigt hvilken kardinalitet du nævner, findes der mængder der
har større kardinalitet end den nævnte.

aleph-0 er kardinaliteten af de naturlige tal eller af de rationale
tal. Det er *ikke* kardinaliteten af R eller et interval. Kardinaliteten
af R er 2^(aleph-0) , altså »to opløftet til aleph-nul'te«.

For at vise at et åbent begrænset interval ]a;b[ har samme kardina-
litet som hele R, kan du betragte funktionen

f(x) = 1/(b-x) - 1/(x-a) for x tilhørende ]a;b[

Vís at denne funktion er strengt voksende (dermed injektiv) og har
hele R som værdimængde (den er kontinuert).

--
Jeppe Stig Nielsen <URL:http://jeppesn.dk/>. «

"Je n'ai pas eu besoin de cette hypothèse (I had no need of that
hypothesis)" --- Laplace (1749-1827)

---

"Jeppe Stig Nielsen" <mail@jeppesn.dk> skrev i en meddelelse
news:3CCBE2AF.F854F48A@jeppesn.dk...

>
> aleph-0 er kardinaliteten af de naturlige tal eller af de rationale
> tal. Det er *ikke* kardinaliteten af R eller et interval. Kardinaliteten
> af R er 2^(aleph-0) , altså »to opløftet til aleph-nul'te«.

Jeg skrev nu heller ikke aleph-0, men bare aleph...Det er SVJV sådan, man
plejer at betegne de reelle tals kardinalitet.

> For at vise at et åbent begrænset interval ]a;b[ har samme kardina-
> litet som hele R, kan du betragte funktionen
>
> f(x) = 1/(b-x) - 1/(x-a) for x tilhørende ]a;b[
>
> Vís at denne funktion er strengt voksende (dermed injektiv) og har
> hele R som værdimængde (den er kontinuert).

Mange tak! Men hvad de lukkede og halvåbne intervaller?

---

On Sun, 28 Apr 2002 15:49:09 +0200, Victor wrote:

> Jeg skrev nu heller ikke aleph-0, men bare aleph...Det er SVJV sådan,
> man plejer at betegne de reelle tals kardinalitet.

De reelle tals kardinalitet betegnes c, og kaldes kontinuum.

> Mange tak! Men hvad de lukkede og halvåbne intervaller?

Prøv selv at lave et argument som Jeppes, hvor du f.eks. bruger tangens.

-> Michael Knudsen

---

"Victor" <victorzander@hotmail.com> writes:

> "Jeppe Stig Nielsen" <mail@jeppesn.dk> skrev i en meddelelse
> news:3CCBE2AF.F854F48A@jeppesn.dk...
>
> >
> > aleph-0 er kardinaliteten af de naturlige tal eller af de rationale
> > tal. Det er *ikke* kardinaliteten af R eller et interval. Kardinaliteten
> > af R er 2^(aleph-0) , altså »to opløftet til aleph-nul'te«.
>
> Jeg skrev nu heller ikke aleph-0, men bare aleph...Det er SVJV sådan, man
> plejer at betegne de reelle tals kardinalitet.

Det er set før, men jeg vil ikke kalde det standard. Der er derimod
ingen tvivl hvis man skriver 2^{aleph_0} som Jeppe gjorde den. Det
ændrer heller ikke på det korrekt i Jeppes første udsagn at lige meget
hvilken kardinalitet en mængde har, så findes der en mængde med større
kardinalitet (f.eks. mængden af delmængder af den givne mængde).

..Henirk

--
"Det er fundamentalt noget humanistisk vås, at der er noget,
der hedder blød matematik."
--- citat Henrik Jeppesen, dekan for det naturvidenskabelige fakultet

---

Således skrev "Victor" <victorzander@hotmail.com>:

> Mange tak! Men hvad de lukkede og halvåbne intervaller?

De må have samme eller højere kardinalitet som et passende åbent
interval og samme eller lavere kardinalitet som de reelle tal. Klem
dem inde.

--
"Hov, hov! Stop! ... jeg er død! Det hele er forbi."

---

Stefan Holm wrote:
>
> Således skrev "Victor" <victorzander@hotmail.com>:
>
> > Mange tak! Men hvad de lukkede og halvåbne intervaller?
>
> De må have samme eller højere kardinalitet som et passende åbent
> interval og samme eller lavere kardinalitet som de reelle tal. Klem
> dem inde.

Ja, sådan kan man bare gøre.

Det er dog også muligt eksplicit at opstille en bijektion. For eksempel
kan man lave en bijektion mellem ]a;b[ og ]a;b] ved at starte med
inklusionens-afbildningen og så rette en passende *følge* af funktions-
værdier.

--
Jeppe Stig Nielsen <URL:http://jeppesn.dk/>. «

"Je n'ai pas eu besoin de cette hypothèse (I had no need of that
hypothesis)" --- Laplace (1749-1827)

---

> f(x) = 1/(b-x) - 1/(x-a) for x tilhørende ]a;b[
>
> Vís at denne funktion er strengt voksende (dermed injektiv)

Er det tilstrækkeligt, at vise, at f '(x) > 0 for alle x tilhørende ]a;b[ ?

---

Victor wrote:
>
> > f(x) = 1/(b-x) - 1/(x-a) for x tilhørende ]a;b[
> >
> > Vís at denne funktion er strengt voksende (dermed injektiv)
>
> Er det tilstrækkeligt, at vise, at f '(x) > 0 for alle x tilhørende ]a;b[ ?

Jep.

--
Jeppe Stig Nielsen <URL:http://jeppesn.dk/>. «

"Je n'ai pas eu besoin de cette hypothèse (I had no need of that
hypothesis)" --- Laplace (1749-1827)

---

Således skrev "Victor" <victorzander@hotmail.com>:

> Et par spørgsmål ang. subj.: Findes der kendte mængder med større
> kardinaltal end aleph?

Mængden af delmænger af de reelle tal.

--
"Stop eating our young! And it's pronounced GUACAMOLE!"