---

der findes denne historie, der bruges ti lat vise noget om uendelighed:

Der findes en lang gang med uendelig mange værelser. Hvordan får man plads
til en mere. Svar ved at bede alle rykke et værelse længere ned ad gangen.

Mit spørgsmål er så hvem der lavede denne teori. Jeg mener, at det enten er
Cantor eller Hilbert, men jeg vil gerne have præciseret det nærmere.


venlig hilsen

BS

---

> Mit spørgsmål er så hvem der lavede denne teori. Jeg mener, at det enten
er
> Cantor eller Hilbert, men jeg vil gerne have præciseret det nærmere.

Så vidt jeg husker går den under navnet "Hilberts hotel".

--
Med venlig hilsen
Andreas Kryger Jensen
http://xylo.myip.org

---

Scripsit BroderSalsa <BroderSalsa@mandrilfan.zzn.com>

> Der findes en lang gang med uendelig mange værelser. Hvordan får man plads
> til en mere. Svar ved at bede alle rykke et værelse længere ned ad gangen.

> Mit spørgsmål er så hvem der lavede denne teori. Jeg mener, at det enten er
> Cantor eller Hilbert, men jeg vil gerne have præciseret det nærmere.

Konstruktionen kaldes populært for "Hilberts Hotel", men allerede
Cantor ydede store bidrag til teorien om uendelighed (han grundlagde
den faktisk) og han har været ganske klar over at en uendelig mængde
ikke ændrer kardinalitet ved at få tilføjet ét element.

--
Henning Makholm "Larry wants to replicate all the time ... ah, no,
all I meant was that he likes to have a bang everywhere."

---

Henning Makholm <henning@makholm.net> wrote in
news:yahadskeq5i.fsf@tyr.diku.dk:

> Scripsit BroderSalsa <BroderSalsa@mandrilfan.zzn.com>
>
>> Der findes en lang gang med uendelig mange værelser. Hvordan får man
>> plads til en mere. Svar ved at bede alle rykke et værelse længere ned
>> ad gangen.
>
>> Mit spørgsmål er så hvem der lavede denne teori. Jeg mener, at det
>> enten er Cantor eller Hilbert, men jeg vil gerne have præciseret det
>> nærmere.
>
> Konstruktionen kaldes populært for "Hilberts Hotel", men allerede
> Cantor ydede store bidrag til teorien om uendelighed (han grundlagde
> den faktisk) og han har været ganske klar over at en uendelig mængde
> ikke ændrer kardinalitet ved at få tilføjet ét element.
>

Men den omtalte teori er altså lavet af Hilbert?

---

> Men den omtalte teori er altså lavet af Hilbert?

Det kan man ikke vide noget om bare fordi den er
opkaldt efter ham...

Kasper

---

Kasper Daniel Hansen wrote:
>
> > Men den omtalte teori er altså lavet af Hilbert?
>
> Det kan man ikke vide noget om bare fordi den er
> opkaldt efter ham...

Et gæt kunne være at Cantor vidste alt hvad der er værd at vide om
dette, men at det var Hilbert der fandt på det populære billede med
et hotel (i stedet for mere matematiske termer som fx en mængde eller
et kardinaltal).

--
Jeppe Stig Nielsen <URL:http://jeppesn.dk/>. «

"Je n'ai pas eu besoin de cette hypothèse (I had no need of that
hypothesis)" --- Laplace (1749-1827)

---

Scripsit Jeppe Stig Nielsen <mail@jeppesn.dk>

> Et gæt kunne være at Cantor vidste alt hvad der er værd at vide om
> dette, men at det var Hilbert der fandt på det populære billede med
> et hotel

Enig. Det var det jeg forsøgte at give udtryk for.

--
Henning Makholm "Ligger Öresund stadig i Middelfart?"

---

Det har også været min opfattelse, indtil jeg læste følgende i "Frøken
Smillas fornemmelse for sne":

"Cantor illustrerede uendelighedsbegrebet for sine elever ved at fortælle,
at der engang var en mand der havde et hotel med et uendeligt antal
værelser, og hotellet var fuldt belagt. Så kom der en gæst til. Værten
gjorde da det, at han rykkede gæsten i værelse nummer ét til nummer to, ham
i nummer to til tre, ham i tre til fire, og så fremdeles. Således blev
værelse nummer ét ledigt til den ny gæst."

Peter Høeg kan naturligvis tag fejl, men han plejer at udføre sin research
grundigt, så jeg er stadig i tvivl om billedets ophavsmand.

Anders


"Henning Makholm" <henning@makholm.net> skrev i en meddelelse
news:yahy9g3g55y.fsf@tyr.diku.dk...
> Scripsit Jeppe Stig Nielsen <mail@jeppesn.dk>
>
> > Et gæt kunne være at Cantor vidste alt hvad der er værd at vide om
> > dette, men at det var Hilbert der fandt på det populære billede med
> > et hotel
>
> Enig. Det var det jeg forsøgte at give udtryk for.
>
> --
> Henning Makholm "Ligger Öresund stadig i
Middelfart?"

---

Scripsit "Anders Hougaard" <anderx@mail1.stofanet.dk>

> Smillas fornemmelse for sne":

> "Cantor illustrerede uendelighedsbegrebet for sine elever ved at fortælle,
> at der engang var en mand der havde et hotel med et uendeligt antal

> Peter Høeg kan naturligvis tag fejl, men han plejer at udføre sin research
> grundigt, så jeg er stadig i tvivl om billedets ophavsmand.

Jo, men han skal også have sin roman til at fungere fortællemæssigt,
og det forekommer mig ganske sandsynligt at han har ment det ville
være for mange detaljer at snuske rundt i hvis han skulle have
introduceret både Cantor og Hilbert.

> "Henning Makholm" <henning@makholm.net> skrev i en meddelelse

Det ville gøre dine indlæg lettere at læse hvis du svarer *under*
citatet af det du svarer på - efter du har klippet citatet ned til det
minimum der er nødvendigt for at fange tråden igen.

--
Henning Makholm "... not one has been remembered from the time
when the author studied freshman physics. Quite the
contrary: he merely remembers that such and such is true, and to
explain it he invents a demonstration at the moment it is needed."

---

"Anders Hougaard" <anderx@mail1.stofanet.dk> wrote in
news:3cb07ed2$0$5193$ba624c82@nntp01.dk.telia.net:

> Det har også været min opfattelse, indtil jeg læste følgende i "Frøken
> Smillas fornemmelse for sne":
>
> "Cantor illustrerede uendelighedsbegrebet for sine elever ved at
> fortælle, at der engang var en mand der havde et hotel med et
> uendeligt antal værelser, og hotellet var fuldt belagt. Så kom der en
> gæst til. Værten gjorde da det, at han rykkede gæsten i værelse nummer
> ét til nummer to, ham i nummer to til tre, ham i tre til fire, og så
> fremdeles. Således blev værelse nummer ét ledigt til den ny gæst."
>
> Peter Høeg kan naturligvis tag fejl, men han plejer at udføre sin
> research grundigt, så jeg er stadig i tvivl om billedets ophavsmand.
>
> Anders

Det var præcist, derfor jeg ville undersøge sagen. Nogen der ved om han,
har lavet "fejlen" med vilje eller hvad?





>
>
> "Henning Makholm" <henning@makholm.net> skrev i en meddelelse
> news:yahy9g3g55y.fsf@tyr.diku.dk...
>> Scripsit Jeppe Stig Nielsen <mail@jeppesn.dk>
>>
>> > Et gæt kunne være at Cantor vidste alt hvad der er værd at vide om
>> > dette, men at det var Hilbert der fandt på det populære billede med
>> > et hotel
>>
>> Enig. Det var det jeg forsøgte at give udtryk for.
>>
>> --
>> Henning Makholm "Ligger Öresund stadig i
> Middelfart?"
>
>

---

BroderSalsa <BroderSalsa@mandrilfan.zzn.com> writes:

> "Anders Hougaard" <anderx@mail1.stofanet.dk> wrote in
> news:3cb07ed2$0$5193$ba624c82@nntp01.dk.telia.net:
>
> > Det har også været min opfattelse, indtil jeg læste følgende i "Frøken
> > Smillas fornemmelse for sne":
> >
> > "Cantor illustrerede uendelighedsbegrebet for sine elever ved at
> > fortælle, at der engang var en mand der havde et hotel med et
> > uendeligt antal værelser, og hotellet var fuldt belagt. Så kom der en
> > gæst til. Værten gjorde da det, at han rykkede gæsten i værelse nummer
> > ét til nummer to, ham i nummer to til tre, ham i tre til fire, og så
> > fremdeles. Således blev værelse nummer ét ledigt til den ny gæst."
> >
> > Peter Høeg kan naturligvis tag fejl, men han plejer at udføre sin
> > research grundigt, så jeg er stadig i tvivl om billedets ophavsmand.
> >
> > Anders
>
> Det var præcist, derfor jeg ville undersøge sagen. Nogen der ved om han,
> har lavet "fejlen" med vilje eller hvad?

Om det er med vilje ved jeg ikke, men jeg ved at der er mindst én
anden research-fejl i "Frøken Smillas fornemmelse for sne", så det er
da tænkeligt at der er flere ting, han bare har husket forkert.

Den anden fejl, jeg tænker på er placeringen af den gyldne trekant
mellem diverse sydøst-asiatiske lande. Jeg kan ikke lige huske, hvad
han skriver, men det irriterede mig da jeg læste bogen.

Venligst

Simon

--
The good Christian should beware of mathematicians, and all those who
make empty prophecies. The danger already exists that the
mathematicians have made a covenant with the devil to darken the
spirit and to confine man in the bonds of Hell. -- St. Augustin

---

BroderSalsa <BroderSalsa@mandrilfan.zzn.com> skrev i artiklen
<Xns91E5AE1D350A1BroderSalsamandrilfa@193.88.15.201>...
> der findes denne historie, der bruges ti lat vise noget om uendelighed:
>
> Der findes en lang gang med uendelig mange værelser. Hvordan får man
plads
> til en mere. Svar ved at bede alle rykke et værelse længere ned ad
gangen.

Men hvad er det særlige ved denne fortælling egentlig? Hvad er det, man
skulle kunne forstå bedre, ved at få det forklaret på denne måde?

---

Scripsit "Christian R. Larsen" <crlarsen@hotmail.com>

> Men hvad er det særlige ved denne fortælling egentlig? Hvad er det, man
> skulle kunne forstå bedre, ved at få det forklaret på denne måde?

Det er mest egnet til en illustration af at den intuition vi har om
"meget store men endelige tal" ikke kan udstrækkes til uendelige
mængder. Historien går ud på at en (tælleligt) uendelig mængde står i
bijektiv korrespondence med sig selv udvidet med et nyt element - det
gælder ikke for selv nok så store endelige mængder.

Om man "forstår det bedre" end ved at få skrevet bijektionen op på
symbolsk matematiksprog:

Definer f: N u {*} -> N ved
f(n) = n+1 for n i N
f(*) = 0
Voila! f er nu en bijektion.

er selvsagt mest et temperamentsspørgsmål.

--
Henning Makholm "Jeg forstår mig på at anvende sådanne midler på
folks legemer, at jeg kan varme eller afkøle dem,
som jeg vil, og få dem til at kaste op, hvis det er det,
jeg vil, eller give afføring og meget andet af den slags."

---

Henning Makholm <henning@makholm.net> skrev i artiklen
<yah3cy65jup.fsf@gefion.diku.dk>...
> bijektiv korrespondence

Og det betyder? Vi er jo desværre ikke alle matematikere...

---

"Christian R. Larsen" <crlarsen@hotmail.com> skrev i en meddelelse
news:01c1df04$7f74aa60

> Og det betyder?

Det samme, formoder jeg.

---

David A. D. Konrad <david_konrad@hotmail.com> skrev i artiklen
<a8s7ds$jbv$1@sunsite.dk>...
> "Christian R. Larsen" <crlarsen@hotmail.com> skrev i en meddelelse
> news:01c1df04$7f74aa60
>
> > Og det betyder?
>
> Det samme, formoder jeg.

Jamen hvad er det? Jeg forstår kender ordenes betydning i en matematisk
kontekst, og det hjælper næppe at slå dem op.

---

"Christian R. Larsen" <crlarsen@hotmail.com> skrev i en meddelelse
news:01c1df05$18716640

> Jamen hvad er det?

Ja, jeg er jo, som du ved, absolut heller ikke matematiker. Helt
uvidenskabeligt og sekulært sagt vil jeg mene, at begge ting blot beskriver
det, helt almindelige mennesker kan sige sig selv vha ½ sekunds
tankevirksomhed.

Mennesket *kan* imho ikke _forstå_ uendelighed, det er uden for dets
rækkevidde, men det kan nemt forstå, at uendelighed er "noget man altid kan
addere med en", som der gøres her. Det gør nemlig uendelighed til en
relativ størrelse, og det kan mennesket forstå.

---

"David A. D. Konrad" <david_konrad@hotmail.com> writes:

> Mennesket *kan* imho ikke _forstå_ uendelighed, det er uden for dets
> rækkevidde, men det kan nemt forstå, at uendelighed er "noget man altid kan
> addere med en", som der gøres her.

Men antag att jag säger att jag och du förstår det oändliga precis
lika bra som vi förstår det ändliga. Vad skulle du kunna säga för
att göra troligt att jag har fel?

---

"Torkel Franzen" <torkel@sm.luth.se> skrev i en meddelelse
news:vcbpu19w6ko.fsf@beta13.sm.luth.se...

> Men antag att jag säger att jag och du förstår det oändliga precis
> lika bra som vi förstår det ändliga. Vad skulle du kunna säga för
> att göra troligt att jag har fel?

Eksempelvis, at mennesket er designet til "endelighed" eller
"forgængelighed". Det er f.eks de fleste mennesker forundt at vide, og
erfare, at livet er endeligt. Alle mennesker dør, på et eller andet
tidspunkt, og alle mennesker oplevet på ét eller andet tidspunkt, at andre
mennesker dør. Derfor må man formode, at mennesket per automatik er i stand
til at forstå endelighed...

---

"David A. D. Konrad" <david_konrad@hotmail.com> writes:

>
> Eksempelvis, at mennesket er designet til "endelighed" eller
> "forgængelighed". Det er f.eks de fleste mennesker forundt at vide, og
> erfare, at livet er endeligt. Alle mennesker dør, på et eller andet
> tidspunkt, og alle mennesker oplevet på ét eller andet tidspunkt, at andre
> mennesker dør. Derfor må man formode, at mennesket per automatik er i stand
> til at forstå endelighed...

Men varför skulle detta utesluta att vi också utmärkt väl förstår
oändlighet?

---

"Torkel Franzen" <torkel@sm.luth.se> skrev i en meddelelse
news:vcbr8lo3njm.fsf@beta13.sm.luth.se...

> Men varför skulle detta utesluta att vi också utmärkt väl förstår
> oändlighet?

Det gør det heller ikke, men det er en rimelig forklaring på, hvorfor
mennesket forstår endelighed langt bedre end uendelighed - og det var jo et
sådan argument du efterlyste...?

---

"David A. D. Konrad" <david_konrad@hotmail.com> skrev i en meddelelse
news:a8v1pr$fri$1@sunsite.dk...

> Det gør det heller ikke, men det er en rimelig forklaring på, hvorfor
> mennesket forstår endelighed langt bedre end uendelighed - og det var jo
et
> sådan argument du efterlyste...?

Og hvis du ser på de beskrivelser eller forklaringer der findes omkring
begrebet uendelighed, tager de notorisk udgangspunkt i begrebet endelighed!
Udgangspunktet for uendelighed er ikke, at det er uendeligt, men at det ikke
er endeligt, og det siger vel ret meget om vores forståelse af endelighed,
kontra vores forståelse af uendelighed...Vi har en naturlig forståelse for
endelighed, og dette er basis, når vi skal søge at definere hvad det
abstrakte, selvskabte begreb uendelighed dækker over. Dermed mener jeg man
kan sige, at vi forstår endelighed langt bedre, end vi forstår
uendelighed...

---

"David A. D. Konrad" <david_konrad@hotmail.com> writes:

> Og hvis du ser på de beskrivelser eller forklaringer der findes omkring
> begrebet uendelighed, tager de notorisk udgangspunkt i begrebet endelighed!
> Udgangspunktet for uendelighed er ikke, at det er uendeligt, men at det ikke
> er endeligt, og det siger vel ret meget om vores forståelse af endelighed,
> kontra vores forståelse af uendelighed...

Varför det? Vi kan lika gärna säga att att eftersom vi förklarar
"oätlig" som "inte ätlig" förstår vi inte vad som menas med "oätlig".

---

"David A. D. Konrad" <david_konrad@hotmail.com> writes:

> Det gør det heller ikke, men det er en rimelig forklaring på, hvorfor
> mennesket forstår endelighed langt bedre end uendelighed - og det var jo et
> sådan argument du efterlyste...?

Varför skulle det faktum att vårt liv är ändligt osv innebära att vi
förstår det ändliga bättre än det oändliga? Det förefaller mig
godtyckligt. "Oändligt" är negationen av "ändligt", och om vi förstår
det ena bör vi i lika mån förstå det andra.

---

Scripsit "David A. D. Konrad" <david_konrad@hotmail.com>
> "Torkel Franzen" <torkel@sm.luth.se> skrev i en meddelelse

> > Men varför skulle detta utesluta att vi också utmärkt väl förstår
> > oändlighet?

> Det gør det heller ikke, men det er en rimelig forklaring på, hvorfor
> mennesket forstår endelighed langt bedre end uendelighed - og det var jo et
> sådan argument du efterlyste...?

Nej, han efterlyste et argument for at påstanden "mennesket forstår
endelighed langt bedre end uendelighed" er sand.

--
Henning Makholm "They want to be natural, the anti-social
little beasts. They just don't realize that
everyone's good depends on everyone's cooperation."

---

"Henning Makholm" <henning@makholm.net> skrev i en meddelelse
news:yahd6x8zms9.fsf@tyr.diku.dk...

> > Det gør det heller ikke, men det er en rimelig forklaring på, hvorfor
> > mennesket forstår endelighed langt bedre end uendelighed - og det var jo
et
> > sådan argument du efterlyste...?
>
> Nej, han efterlyste et argument for at påstanden "mennesket forstår
> endelighed langt bedre end uendelighed" er sand.

?? Næh, helt konkret efterlyste han da et argument for, at man *ikke* kunne
sige, at man forstod begge dele lige godt. Et helt naturligt følgespørgsmål.
Hvis man mener det er indlysende, at mennesket forstår endelighed bedre end
uendelighed, må man nemlig kunne argumentere for, hvorfor det skulle være
ude af stand til at forstå begge begreber lige godt.

---

"David A. D. Konrad" <david_konrad@hotmail.com> writes:

> Hvis man mener det er indlysende, at mennesket forstår endelighed bedre end
> uendelighed, må man nemlig kunne argumentere for, hvorfor det skulle være
> ude af stand til at forstå begge begreber lige godt.

Varför skulle det faktum att vårt liv är ändligt osv innebära att vi
förstår det ändliga bättre än det oändliga? Det förefaller mig
godtyckligt. "Oändligt" är negationen av "ändligt", och om vi förstår
det ena bör vi i lika mån förstå det andra. Vill du hävda att vi
inte förstår "oätlig" eftersom det definieras som "inte ätlig"?

---

"David A. D. Konrad" skrev i en meddelelse...
> Eksempelvis, at mennesket er designet til "endelighed" eller
> "forgængelighed". Det er f.eks de fleste mennesker forundt at vide,
og
> erfare, at livet er endeligt. Alle mennesker dør, på et eller andet
> tidspunkt, og alle mennesker oplevet på ét eller andet tidspunkt, at
andre
> mennesker dør. Derfor må man formode, at mennesket per automatik er
i stand
> til at forstå endelighed...

At endeligheden er lige så ufatttelig som uendeligheden opdager man
smerteligt, når man mister én, man holder af.

--
Bedste hilsner
Grethe
Homepage: http://www.sportslex.com/
Dybdegående viden til fysisk aktive mennesker med
interesse for sport, bjergvandring og skiløb.

---

"Grethe / Sportslex" <grethe_anaeusNOspam@hotmail.com> skrev i en meddelelse
news:3cb344ec$0$5287

> At endeligheden er lige så ufatttelig som uendeligheden opdager man
> smerteligt, når man mister én, man holder af.

Sådan kan det føles - ikke desto mindre erfarer man endeligheden, i
modsætning til uendelighed, som man jo aldrig kan erfare.

---

"David A. D. Konrad" skrev i en meddelelse...
> "Grethe / Sportslex" skrev i en meddelelse
>
>> At endeligheden er lige så ufatttelig som uendeligheden opdager
>> man smerteligt, når man mister én, man holder af.
>
> Sådan kan det føles - ikke desto mindre erfarer man endeligheden, i
> modsætning til uendelighed, som man jo aldrig kan erfare.

Hvis det var så simpelt, så ville uendeligheden også kunne FATTES. Den
kan nemlig sagtens ERFARES i form af oplevelsen af, at man altid kan
finde et tal, der er større end et givet tal etc..


--
Bedste Grethe
Homepage: http://www.sportslex.com/
Dybdegående viden til fysisk aktive mennesker med
interesse for sport, bjergvandring og skiløb.

---

"Grethe / Sportslex" <grethe_anaeusNOspam@hotmail.com> skrev i en meddelelse
news:3cb44b93$0$97284

> Hvis det var så simpelt, så ville uendeligheden også kunne FATTES. Den
> kan nemlig sagtens ERFARES i form af oplevelsen af, at man altid kan
> finde et tal, der er større end et givet tal etc..

Nej, for den erfaring er jo relativ. Du kan *kun* "erfare" at der findes
noget uendeligt, ved at sætte det i relation til noget endeligt. Modsat har
du f.eks døden, der jo er ret konkret.

---

"David A. D. Konrad" <david_konrad@hotmail.com> writes:

> "Grethe / Sportslex" <grethe_anaeusNOspam@hotmail.com> skrev i en meddelelse
> news:3cb44b93$0$97284
>
> > Hvis det var så simpelt, så ville uendeligheden også kunne FATTES. Den
> > kan nemlig sagtens ERFARES i form af oplevelsen af, at man altid kan
> > finde et tal, der er større end et givet tal etc..
>
> Nej, for den erfaring er jo relativ. Du kan *kun* "erfare" at der findes
> noget uendeligt, ved at sætte det i relation til noget endeligt. Modsat har
> du f.eks døden, der jo er ret konkret.

Jeg mener at rummet er kontinuert. Derfor mener jeg at der er (endda
overtælleligt) uendeligt mange punkter på en vilkårlig kurve gennem
rummet. Jeg kan sidde og se på to punkter og erfare de uendeligt mange
punkter der er imellem dem.

/L
--
Lasse Reichstein Nielsen - lrn@hotpop.com
'Faith without judgment merely degrades the spirit divine.'

---

> Mennesket *kan* imho ikke _forstå_ uendelighed,
det er uden for dets
> rækkevidde, men det kan nemt forstå, at
uendelighed er "noget man altid kan
> addere med en", som der gøres her. Det gør
nemlig uendelighed til en
> relativ størrelse, og det kan mennesket forstå.

Vha. matematik kan man faktisk godt få en lille
forståelse af uendelighed. Ok,
det er stadigvæk temmeligt svært - men det er da
lidt muligt.

Det er svært for mig at acceptere at du på den ene
side siger at du ikke har tjeck
på matematik, på den anden side siger at vi ikke
kan forstå uendelighed (selvom
jeg er _lidt_ enig) - det svarer efter min mening
til at sige at man ikke kan forstå
f.eks. menneskets biologiske funktion bare fordi
jeg ikke ved noget om det.

Kasper

---

"Kasper Daniel Hansen" <kdh@omk.dk> skrev i en meddelelse
news:a8v3gm$luk$1@sunsite.dk...

> Vha. matematik kan man faktisk godt få en lille
> forståelse af uendelighed. Ok,
> det er stadigvæk temmeligt svært - men det er da
> lidt muligt.

Er denne forståelse ikke relativ?

> Det er svært for mig at acceptere at du på den ene
> side siger at du ikke har tjeck
> på matematik, på den anden side siger at vi ikke
> kan forstå uendelighed

Jeg kan ikke se, at de to ting udelukker hinanden. Det du siger inddirekte
er jo, at uendelighed udelukkende er et matematisk begreb, der kun kan
forståes matematisk, og det mener jeg bestemt ikke det er. Tværtimod er
matematik blot et forsøg på at beskrive sammenhænge, fænomener eller
begreber der eksisterer i virkeligheden, eller vi mener eksisterer i
virkeligheden...Men det er måske en lidt naiv opfattelse?

>(selvom
> jeg er _lidt_ enig) - det svarer efter min mening
> til at sige at man ikke kan forstå
> f.eks. menneskets biologiske funktion bare fordi
> jeg ikke ved noget om det.

Den sammenligning holder da ikke. De biologiske funktioner fungerer og kan
snildt erfares og erkendes, uden at man nødvendigvis skal være biolog eller
læge. De er ret konkrete, i modsætning til eksempelvis uendelighed, der jo
næppe eksisterer andre steder end i matematikkens verden, og så som
universielt begreb...

---

On 10/04-02 13.50, David A. D. Konrad wrote:
> "Kasper Daniel Hansen" <kdh@omk.dk> skrev i en meddelelse
> news:a8v3gm$luk$1@sunsite.dk...
>
> > Vha. matematik kan man faktisk godt få en lille
> > forståelse af uendelighed. Ok,
> > det er stadigvæk temmeligt svært - men det er da
> > lidt muligt.
>
> Er denne forståelse ikke relativ?

relativt i forhold til hvad?

> > Det er svært for mig at acceptere at du på den ene
> > side siger at du ikke har tjeck
> > på matematik, på den anden side siger at vi ikke
> > kan forstå uendelighed

> Tværtimod er
> matematik blot et forsøg på at beskrive sammenhænge, fænomener eller
> begreber der eksisterer i virkeligheden, eller vi mener eksisterer i
> virkeligheden...Men det er måske en lidt naiv opfattelse?

det kommer vist an på, hvilket syn på matematikken man har
der er mange matematikere, der er platonikere og tror, at de finder en
dybere sandhed (naturens), når de "opdager" matematiske sætninger

men det kan bare være et tilfælde, når man opdager matematisk forhold
i den virkelige virkelighed

man kan ligeså godt sige, at matematik er tankefænomener og intet andet...

> i modsætning til eksempelvis uendelighed, der jo
> næppe eksisterer andre steder end i matematikkens verden, og så som
> universielt begreb...

hvad med tidens uendelighed?
universets evt. uendelige udstrækning og varighed?

hvorfor er uendelighed et universielt begreb for matematikken?

/Marie
--
stud.scient (matematik-filosofi)
Marie Antonsen
Århus Universitet
http://www.daimi.au.dk/~marie

---

"Marie Antonsen" <marie@daimi.au.dk> skrev i en meddelelse

> > Er denne forståelse ikke relativ?
>
> relativt i forhold til hvad?

Relativ i forhold til den matematik, der indgyder et indtryk af, at man har
forstået hvad uendelighed er.

(...)
> > Tværtimod er
> > matematik blot et forsøg på at beskrive sammenhænge, fænomener eller
> > begreber der eksisterer i virkeligheden, eller vi mener eksisterer i
> > virkeligheden...Men det er måske en lidt naiv opfattelse?
>
> det kommer vist an på, hvilket syn på matematikken man har
> der er mange matematikere, der er platonikere og tror, at de finder en
> dybere sandhed (naturens), når de "opdager" matematiske sætninger
>
> men det kan bare være et tilfælde, når man opdager matematisk forhold
> i den virkelige virkelighed

Og her, når nogen påstår man kan forstå eller erkende uendelighed ved hjælp
af matematik, må det vel være udtryk for den "ortodokse" tilgang til
matematik...?

> man kan ligeså godt sige, at matematik er tankefænomener og intet andet...

Ja, der afspejler den måde, vi opfatter verden på.

> > i modsætning til eksempelvis uendelighed, der jo
> > næppe eksisterer andre steder end i matematikkens verden, og så som
> > universielt begreb...
>
> hvad med tidens uendelighed?

Hvordan kan du erfare, erkende eller forstå det? Er tiden overhovedet
uendelig? Det mener jeg da ikke man kan sige.

> universets evt. uendelige udstrækning og varighed?

Igen - det er noget vi formoder, og kan finde belæg for at tro igennem
astronomi og matematik. Det er ikke noget vi umiddelbart kan erfare, erkende
eller forstå. Det er vel også tvivlsomt, om det er overhovedet er en
kendsgerning. Hvis man ser helt nøgternt på det, må uendelighed i sagens
natur essentielt række i alle retninger. Sagt på en anden måde, så må der
f.eks være en uendelig fortid og en uendelig fremtid, hvis du f.eks skal
tale "tidens uendelighed".

> hvorfor er uendelighed et universielt begreb for matematikken?

Jeg mente ikke i forhold til matematikken, men som et helt generelt begreb,
der bruges i mange forskellige sammenhænge. "Hun elskede ham uendelig højt",
"det føltes som om vejen var uendelig lang" etc...Et begreb der netop
formidler en tilstand eller følelse der er ufattelig, udefinerbar eller
uforståëlig, sjovt nok -)

---

On 10/04-02 14.56, David A. D. Konrad wrote:
> "Marie Antonsen" <marie@daimi.au.dk> skrev i en meddelelse

> (...)
> > > Tværtimod er
> > > matematik blot et forsøg på at beskrive sammenhænge, fænomener eller
> > > begreber der eksisterer i virkeligheden, eller vi mener eksisterer i
> > > virkeligheden...Men det er måske en lidt naiv opfattelse?
> >
> > det kommer vist an på, hvilket syn på matematikken man har
> > der er mange matematikere, der er platonikere og tror, at de finder en
> > dybere sandhed (naturens), når de "opdager" matematiske sætninger
> >
> > men det kan bare være et tilfælde, når man opdager matematisk forhold
> > i den virkelige virkelighed
>
> Og her, når nogen påstår man kan forstå eller erkende uendelighed ved hjælp
> af matematik, må det vel være udtryk for den "ortodokse" tilgang til
> matematik...?

måske, eller også mener de at man nogle gange kan overføre en abstrakt
tanke til virkeligheden

> > man kan ligeså godt sige, at matematik er tankefænomener og intet andet...
>
> Ja, der afspejler den måde, vi opfatter verden på.

nej, det var ikke det, jeg sagde!

> > > i modsætning til eksempelvis uendelighed, der jo
> > > næppe eksisterer andre steder end i matematikkens verden, og så som
> > > universielt begreb...
> >
> > hvad med tidens uendelighed?
>
> Hvordan kan du erfare, erkende eller forstå det? Er tiden overhovedet
> uendelig? Det mener jeg da ikke man kan sige.

det er der mange, der mener...
hvorfor skal jeg erfare det, hvordan
skal jeg erfare det? der findes ting i verden, som man ikke
umiddelbart kan sanse, men derimod kan tænke sig frem til

stopper tiden?

du sagde, at uendelighed ss ikke eksisterer andre steder end i
matematikkens verden, jeg gav eksempler på opfattelser af, at den gør

> > universets evt. uendelige udstrækning og varighed?
>
> Igen - det er noget vi formoder, og kan finde belæg for at tro igennem
> astronomi og matematik. Det er ikke noget vi umiddelbart kan erfare, erkende
> eller forstå.

jeg tror nu nok at astronomerne har observeret noget, som gør, at de
tror, at universitet udvider sig...

men altså de fleste ting indenfor naturvidenskab er baseret på
observationer og hypoteser, som så bliver falsificeret eller bekræftet
(aldrig 100%)

> Det er vel også tvivlsomt, om det er overhovedet er en
> kendsgerning.

jeg har ikke sagt, at det var en kendsgerning, jeg skrev også
"universets evt. ..."

> Hvis man ser helt nøgternt på det, må uendelighed i sagens
> natur essentielt række i alle retninger.

hvorfor? man kan vel godt starte et sted...

> Sagt på en anden måde, så må der
> f.eks være en uendelig fortid og en uendelig fremtid, hvis du f.eks skal
> tale "tidens uendelighed".

du kan da godt have en mængde med uendeligt mange elementer, som er
opadtil eller nedadtil begrænset

> > hvorfor er uendelighed et universielt begreb for matematikken?
>
> Jeg mente ikke i forhold til matematikken, men som et helt generelt begreb,

du skrev, at det var et begreb indenfor matematikken, som var universielt

> der bruges i mange forskellige sammenhænge. "Hun elskede ham uendelig højt",
> "det føltes som om vejen var uendelig lang" etc...Et begreb der netop
> formidler en tilstand eller følelse der er ufattelig, udefinerbar eller
> uforståëlig, sjovt nok -)

med andre ord misbrug af et ords betydning

/Marie
--
stud.scient (matematik-filosofi)
Marie Antonsen
Århus Universitet
http://www.daimi.au.dk/~marie

---

Marie Antonsen wrote:
>
> du kan da godt have en mængde med uendeligt mange elementer, som er
> opadtil eller nedadtil begrænset

Ja, og hvad med den uendelighed der ligger i at forestille sig rummet
som et kontinuum? Tænk fx på en kubikmeter af rummet. Hvis man mener
at der kun er endeligt mange punkter i en kubikmeter, har man vist ikke
den typiske forestilling om rummet. Så forestiller man sig måske rummet
som en slags gitter med kun endeligt mange punkter i hver kubikmeter.

Jeg synes det er mere »naturligt« at opfatte en kubikmeter som inde-
holdende uendeligt mange positioner.

Rent matematisk er der det kuriosum at man for at få et ordentligt
kontinuum uden »huller« må indføre en meget større uendelighed end
den der ligger i mængden {1,2,3,...}.

Hvorvidt det fysiske rum så er et kontinuum eller ej, er svært at svare
på, men på de skalaer som har været tilgængelige for målinger, ser det
ud til at være det.

--
Jeppe Stig Nielsen <URL:http://jeppesn.dk/>. «

"Je n'ai pas eu besoin de cette hypothèse (I had no need of that
hypothesis)" --- Laplace (1749-1827)

---

"Christian R. Larsen" <crlarsen@hotmail.com> skrev i en meddelelse
news:01c1df04$7f74aa60$f0cd010a@0009-2006...
> Henning Makholm <henning@makholm.net> skrev i artiklen
> <yah3cy65jup.fsf@gefion.diku.dk>...
> > bijektiv korrespondence
>
> Og det betyder? Vi er jo desværre ikke alle matematikere...

En bijektiv korrespondance mellem to mængder er simpelthen en parring.

Hvis vi har mængderne {A,B,C} og {1,2,3}, kan vi parre A med 1, B med 2 og C
med 3.
Hvis man kan lave en parring mellem to mængder, siger man, at de har det
samme antal elementer.
Mængderne {A,B,C} og {1,2,3} har altså samme antal elementer. Fidusen er, at
vi fandt ud af det
uden at tælle. Det betyder, at vi også undersøge om to uendelige mængder har
samme størrelse
uden at tælle.

Hvis vi tilføjer elementet D til den første mængde skal vi parre {A,B,C,D}
og {1,2,3}.
Det kan vi ikke, så hvis vi tilføjer et element, har vi altså fået flere
elementer.

Hilberts hotel drejer sig om tallene {1,2,3,...}. Hvis vi tilføjer 0 til
denne mængde har
vi stadig det samme antal elementer! Hvofor? Vi skal bare lave en parring
mellem
før {1,2,3...} og efter {0,1,2,...}. En mulighed er at parre 1 med 0, 2 med
1, 3 med 2 og så videre.

Hilberts hotel viser, at altså der er en fundemental forskel mellem endelige
og uendelige mængder.
(hvor en uendelig mængde er en mængde, som indeholder en delmængde, der kan
parres med tallene
1,2,3,...).

--
Jens Axel Søgaard

---

Et eksempel.

Tænk på to mængder, mængden af positive heltal, og mængden af
ikke-negative heltal.

Nul er med i den sidste mængde, men ikke i den første. Mængden af
positive heltal er mao. en ægte delmængde af de ikke-negative heltal.
Det omvendte er selvfølgelig ikke tilfældet.

Så vil man intuitivt tro, at der er ét ikke-negativt heltal (nemlig 0)
flere, end der er positive heltal. Men det er forkert.

Hilberts hotel-eksemplet viser, at der er præcis lige så mange positive
tal (værelser) som der er ikke-negative. Dette "antal" (i gåseøjne, for
det er ikke et tal) er den "laveste" form for uendelighed, og kaldes
aleph_0.

Der er også f.eks. aleph_0 lige tal, rationelle tal, og primtal.
"Antallet" af mulige algoritmer er aleph_0.
"Antallet" af mulige tekster er aleph_0.

Men de reelle tal f.eks. er der flere af. "Antallet" (kardinaliteten) af
dem kaldes aleph_1.

Christian R. Larsen wrote:

>Henning Makholm <henning@makholm.net> skrev i artiklen
><yah3cy65jup.fsf@gefion.diku.dk>...
>
>>bijektiv korrespondence
>>
>
>Og det betyder? Vi er jo desværre ikke alle matematikere...
>

---

> Men de reelle tal f.eks. er der flere af.
"Antallet" (kardinaliteten) af
> dem kaldes aleph_1.

Er det ikke continuums hypotesen. Jeg mener blot
at man ved at Card R> aleph_0.
Continuumshypotesen er i hvert fald uafgørlig.

Kasper

---

Scripsit "Kasper Daniel Hansen" <kdh@omk.dk>

> > Men de reelle tal f.eks. er der flere af.
> > "Antallet" (kardinaliteten) af dem kaldes aleph_1.

> Er det ikke continuums hypotesen.

Jo. Alef_1 er pr definition det mindste overtællelige kardinaltal, og
kontinuumshypotesen går ud på at dét netop er kardinaliteten af R.

Den generaliserede kontinuumshypotese siger at for enhver uendelig
mængde A findes ingen kardinalital strengt mellem kardinaliteterne
af A og P(A). Eller i alef-notation: For alle alfa er

|P(alef_alfa)| = alef_(alfa+1)

> Continuumshypotesen er i hvert fald uafgørlig.

Ja. Den er vist at være uafhængig af ZFC-aksiomerne. (Det er dybt!)

--
Henning Makholm "No one seems to know what
distinguishes a bell from a whistle."

---

Henning Makholm wrote:
>
> > Continuumshypotesen er i hvert fald uafgørlig.
>
> Ja. Den er vist at være uafhængig af ZFC-aksiomerne. (Det er dybt!)

Faktisk fører kontinuumshypotesen til nogle ret grimme ting, så de
fleste føler at hvis man skulle udvide ZFC med flere aksiomer således
at kontinuumshypotesen var afgørlig, så skulle kontinuumshypotesen være
falsk. Men normalt vælger man at holde sig til ZFC, og så kan man som
sagt ikke udtale sig om kontinuumshypotesens rigtighed.

--
Jeppe Stig Nielsen <URL:http://jeppesn.dk/>. «

"Je n'ai pas eu besoin de cette hypothèse (I had no need of that
hypothesis)" --- Laplace (1749-1827)

---

Scripsit Jeppe Stig Nielsen <mail@jeppesn.dk>
> Henning Makholm wrote:

> > > Continuumshypotesen er i hvert fald uafgørlig.

> > Ja. Den er vist at være uafhængig af ZFC-aksiomerne. (Det er dybt!)

> Faktisk fører kontinuumshypotesen til nogle ret grimme ting,

Har du nogen smagsprøver?

--
Henning Makholm "What a hideous colour khaki is."

---

Henning Makholm wrote:
>
> > Faktisk fører kontinuumshypotesen til nogle ret grimme ting,
>
> Har du nogen smagsprøver?

Fra en FAQ:

[en bog af Gödel] outlines Godel's generally anti-CH views, giving
some "implausible" consequences of CH.

"I believe that adding up all that has been said one has good reason
to suspect that the role of the continuum problem in set theory will
be to lead to the discovery of new axioms which will make it possible
to disprove Cantor's conjecture." [citat Gödel]

[...]

And is it true or false? Well, CH is somewhat intuitively plausible.
But after reading all this, it does seem that the weight of evidence
tend to point the other way.

Her tænker man naturligvis ikke på dens sandhed inden for ZFC, men på
en slags »platonisk« sandhed.

Et udvalg af de konkrete »urimelige« konsekvenser af kontinuumshypo-
tesen kan også ses i denne FAQ, se

http://www.cs.unb.ca/~alopez-o/math-faq/node71.html

(kræver lidt kendskab til matematik).

--
Jeppe Stig Nielsen <URL:http://jeppesn.dk/>. «

"Je n'ai pas eu besoin de cette hypothèse (I had no need of that
hypothesis)" --- Laplace (1749-1827)

---

Scripsit Jeppe Stig Nielsen <mail@jeppesn.dk>

> Et udvalg af de konkrete »urimelige« konsekvenser af kontinuumshypo-
> tesen kan også ses i denne FAQ, se

Ganske nydeligt, bortset fra at der er en trykfejl i referatet af
Freilings argument: "{r_y : y >= x}" skal være "{r_y : y <= x}".

(Blot af hensyn til dem der ligesom mig undrede sig meget over hvordan
argumentet hang sammen).

--
Henning Makholm "Jeg skrællet har kartofler; min ene tommeltot
røg vistnok med i gryden. Jeg har det ellers got."

---

Kasper Daniel Hansen wrote:
>
> Er det ikke continuums hypotesen. Jeg mener blot
> at man ved at Card R> aleph_0.

Ja. Man kan også skrive card(R) som card(R) = 2^(alef_0) .

Kontinuumshypotesen: 2^(alef_0) = alef_1
Kontinuumshypotesens negation: 2^(alef_0) > alef_1

Under alle omstændigheder er naturligvis alef_1 > alef_0 .

--
Jeppe Stig Nielsen <URL:http://jeppesn.dk/>. «

"Je n'ai pas eu besoin de cette hypothèse (I had no need of that
hypothesis)" --- Laplace (1749-1827)

---

On Mon, 08 Apr 2002 21:15:54 +0200, Jeppe Stig Nielsen
<mail@jeppesn.dk> wrote:

>Kasper Daniel Hansen wrote:
>>
>> Er det ikke continuums hypotesen. Jeg mener blot
>> at man ved at Card R> aleph_0.
>
>Ja. Man kan også skrive card(R) som card(R) = 2^(alef_0) .
>
>Kontinuumshypotesen: 2^(alef_0) = alef_1
>Kontinuumshypotesens negation: 2^(alef_0) > alef_1
>
>Under alle omstændigheder er naturligvis alef_1 > alef_0 .
Og når man så stadig er folkeskoleelev lyder det jo nærmest som en
parodi på videnskabsmænd:)
--
Simon "Black" Kamber
ved email, fjern REMOVETHIS fra adressen
Skriv under det du svarer på og klip overflødig tekst væk

---

Henning Makholm wrote:
>
> Definer f: N u {*} -> N ved
> f(n) = n+1 for n i N
> f(*) = 0
> Voila! f er nu en bijektion.

Der sker jo også andre ting på det gode hotel.

En dag er hotellet helt optaget, dvs. der bor en gæst på ethvert af
de uendeligt mange værelser (som er nummereret 1, 2, 3, 4, ...).
Men så melder der sig ikke bare én kø, men uendeligt mange køer med
hver uendeligt mange gæster, på pladsen for hotellets indgang.
Heldigvis har portier'en en løsning på dette. Ganske vist må nogle af
de allerede indlogerede gæster skifte værelse (ubelejligt), men
bagefter er der til gengæld plads til alle de ventende kunder.

Og alt dette gør hotellet af rent altruistiske grunde, for de forøger
slet ikke deres indtjening ved at lukke de ekstra gæster ind.

--
Jeppe Stig Nielsen <URL:http://jeppesn.dk/>. «

"Je n'ai pas eu besoin de cette hypothèse (I had no need of that
hypothesis)" --- Laplace (1749-1827)

---

On Mon, 08 Apr 2002 20:41:38 +0200, Jeppe Stig Nielsen
<mail@jeppesn.dk> wrote:

>Og alt dette gør hotellet af rent altruistiske grunde, for de forøger
>slet ikke deres indtjening ved at lukke de ekstra gæster ind.
Godt man ikke skal bogføre indtægterne;)
--
Simon "Black" Kamber
ved email, fjern REMOVETHIS fra adressen
Skriv under det du svarer på og klip overflødig tekst væk

---

"Christian R. Larsen" <crlarsen@hotmail.com> skrev i en meddelelse
news:01c1df01$91a733e0

> Men hvad er det særlige ved denne fortælling egentlig? Hvad er det, man
> skulle kunne forstå bedre, ved at få det forklaret på denne måde?

Jeg er enig. Dybest set er det jo, i overført betydning, blot et "maleri"
der beskriver begrebet uendelighed, istedet for en vanlig "filosofisk" eller
"teknisk" beskrivelse. Det fører i hvert fald ikke til nogen yderligere
forståelse eller indsigt, der ikke kunne være beskrevet på samme måde, med
en anden teknik. Med andre ord er det i og for sig temmelig intetsigende.

I øvrigt mener jeg historien tilmed er selvmodsigende. Hvad skal man dog med
en plads mere, hvis gangen er uendelig lang? At besvare et spørgsmål med ti
nye er næppe befordrende for løsning af noget som helst.

---

Scripsit "David A. D. Konrad" <david_konrad@hotmail.com>
> "Christian R. Larsen" <crlarsen@hotmail.com> skrev i en meddelelse

> > Men hvad er det særlige ved denne fortælling egentlig? Hvad er det, man
> > skulle kunne forstå bedre, ved at få det forklaret på denne måde?

> Jeg er enig.

Hvordan bærer man sig ad med at være enig i et (to) *spørgsmål*?

--
Henning Makholm "This imposes the restriction on any
procedure statement that the kind and type
of each actual parameter be compatible with the
kind and type of the corresponding formal parameter."

---

"Henning Makholm" <henning@makholm.net> skrev i en meddelelse
news:yahlmby43fq.fsf@gefion.diku.dk...

> > Jeg er enig.
>
> Hvordan bærer man sig ad med at være enig i et (to) *spørgsmål*?

Jeg er enig i CRL's implicitte afstandtagen til BroderSalsa's
uendeligheds-illustration. Jeg opfatter CRL's spørgsmål som retoriske.