---

hvorfor går jeg altid i stå midt i det hele hmmm

lim, x->0 af følgende:

(1/sin(x))-(1/x)

---

"Jacob Jensen" <ba1oo@mail.dk> wrote in message
news:a77k42$qcq$1@sunsite.dk...
> lim, x->0 af følgende:
>
> (1/sin(x))-(1/x)
Sæt på fælles brøkstreg og brug L'hôpital to gange..


mvh
Martin

---

> Sæt på fælles brøkstreg og brug L'hôpital to gange..

hmm.... hvad kommer der til at stå hvis du sætter på fælles brølstreg?

---

> hmm.... hvad kommer der til at stå hvis du sætter på fælles brølstreg?

Du får (x-sin(x))/(x·sin(x)) som så er et udtryk af formen f(x)/g(x)
hvor både f og g er nul for x=0, så l'Hôspital virker. Så får du

f '(x)/g'(x) som du kan bruge l'Hôspital på igen.


Med venlig hilsen
Jes Hansen

---

Scripsit "Jes Hansen" <m6g2j001@sneakemail.com>

> Du får (x-sin(x))/(x·sin(x)) som så er et udtryk af formen f(x)/g(x)
> hvor både f og g er nul for x=0, så l'Hôspital virker. Så får du

> f '(x)/g'(x) som du kan bruge l'Hôspital på igen.

Det giver det rigtige resultat, men det kan ikke rigtig forsvares ved
at "bruge reglen to gange" - ihvertfald er det bevis jeg lærte i sin
tid ikke opbygget så det kan bruges på den måde. Derimod kan man vise
direkte, at i punkter hvor alle de nulte op til (n-1)te afledede af både
f og g er 0, og den n'te afledede af g er forskellig fra 0, vil f/g
have grænseværdi f^(n)(x)/g^(n)(x)

--
Henning Makholm "Det er sympatisk du håner dig selv. Fuldt
berettiget. Men det gør dig ikke til en kristen."

---

"Henning Makholm" <henning@makholm.net> wrote in message
news:yahr8mgfjwa.fsf@tyr.diku.dk...
> > f '(x)/g'(x) som du kan bruge l'Hôspital på igen.
>
> Det giver det rigtige resultat, men det kan ikke rigtig forsvares ved
> at "bruge reglen to gange" - ihvertfald er det bevis jeg lærte i sin
> tid ikke opbygget så det kan bruges på den måde.
Hvorfor ikke, det er da et 0/0-udtryk?

> Derimod kan man vise
> direkte, at i punkter hvor alle de nulte op til (n-1)te afledede af både
> f og g er 0, og den n'te afledede af g er forskellig fra 0, vil f/g
> have grænseværdi f^(n)(x)/g^(n)(x)
Ja, men jeg vil da mene at det er rimeligt trivielt?


mvh
Martin

---

On Tue, 19 Mar 2002 22:56:36 +0100, Martin C. Petersen <mcp@DELTOMAILsteen-petersen.dk> wrote:
> "Henning Makholm" <henning@makholm.net> wrote in message
> news:yahr8mgfjwa.fsf@tyr.diku.dk...
>> > f '(x)/g'(x) som du kan bruge l'Hôspital på igen.
>>
>> Det giver det rigtige resultat, men det kan ikke rigtig forsvares ved
>> at "bruge reglen to gange" - ihvertfald er det bevis jeg lærte i sin
>> tid ikke opbygget så det kan bruges på den måde.
> Hvorfor ikke, det er da et 0/0-udtryk?
>
>> Derimod kan man vise
>> direkte, at i punkter hvor alle de nulte op til (n-1)te afledede af både
>> f og g er 0, og den n'te afledede af g er forskellig fra 0, vil f/g
>> have grænseværdi f^(n)(x)/g^(n)(x)
> Ja, men jeg vil da mene at det er rimeligt trivielt?

Ja simpel induktion over n, burde kunne gøre det, under forudsætning at
g^(i) = 0 og f^(i) = 0 for alle 1 <= i < n

Martin
--
Jeg har det med min rumlige frihed som jeg har lagt mærke til at mænd
har det med deres testikler.
Jeg vugger den som et spædbarn, og tilbeder den som en gudinde.
   Smilla Jaspersen

---

Scripsit "Martin C. Petersen" <mcp@DELTOMAILsteen-petersen.dk>
> "Henning Makholm" <henning@makholm.net> wrote in message

> > > f '(x)/g'(x) som du kan bruge l'Hôspital på igen.

> > Det giver det rigtige resultat, men det kan ikke rigtig forsvares ved
> > at "bruge reglen to gange" - ihvertfald er det bevis jeg lærte i sin
> > tid ikke opbygget så det kan bruges på den måde.

> Hvorfor ikke, det er da et 0/0-udtryk?

Reglen gælder ikke for isolerede 0/0-udtryk, men for *funktioner* der
i nærheden af x0 kan defineres som f(x) = g(x)/h(x) med både nævner
og tæller gående mod 0.

Reglens konklusion siger "grænseværdien for f er lig
differentialkvotienten for g i x0 delt med differentialkvotienten
for h i x0"

Den siger ikke "grænseværdien for f er den samme som grænseværdien af
de to afledte funktioners kvotient". Ihvertfald ikke i den formulering
jeg lærte. Hvis nogen har et bevis for den formulering, vil jeg gerne
se det.

--
Henning Makholm "No one seems to know what
distinguishes a bell from a whistle."

---

> Reglens konklusion siger "grænseværdien for f er lig
> differentialkvotienten for g i x0 delt med differentialkvotienten
> for h i x0"
>
> Den siger ikke "grænseværdien for f er den samme som grænseværdien af
> de to afledte funktioners kvotient". Ihvertfald ikke i den formulering
> jeg lærte. Hvis nogen har et bevis for den formulering, vil jeg gerne
> se det.


Den version Jacob Jensen har set er højst sandsynlig den der er
defineret i Ebbe Thue Poulsens noter. Her finder man

Sætning 7.19:
Antag f og g er definerede i nærheden af et punkt a, og at der både
gælder f(x) -> 0 for x -> a og g(x) -> 0 for x -> a. Hvis brøken f
'(x)/g'(x) har en grænseværdi c\in R for x gående mod a: f '(x)/g'(x) ->
c for x-> a, så gælder der f(x)/g(x) -> c for x-> a.


Med venlig hilsen
Jes Hansen

---

Scripsit "Jes Hansen" <m6g2j001@sneakemail.com>

> Den version Jacob Jensen har set er højst sandsynlig den der er
> defineret i Ebbe Thue Poulsens noter. Her finder man

> Sætning 7.19:
> Antag f og g er definerede i nærheden af et punkt a, og at der både
> gælder f(x) -> 0 for x -> a og g(x) -> 0 for x -> a. Hvis brøken f
> '(x)/g'(x) har en grænseværdi c\in R for x gående mod a: f '(x)/g'(x) ->
> c for x-> a, så gælder der f(x)/g(x) -> c for x-> a.

Ok, den er der selvfølgelig ikke noget i vejen for at bruge induktion
til at nå højere afledede.

--
Henning Makholm "Hør, hvad er det egentlig
der ikke kan blive ved med at gå?"

---

Henning Makholm wrote:
>
> Scripsit "Jes Hansen" <m6g2j001@sneakemail.com>
>
> > Den version Jacob Jensen har set er højst sandsynlig den der er
> > defineret i Ebbe Thue Poulsens noter. Her finder man
>
> > Sætning 7.19:
> > Antag f og g er definerede i nærheden af et punkt a, og at der både
> > gælder f(x) -> 0 for x -> a og g(x) -> 0 for x -> a. Hvis brøken f
> > '(x)/g'(x) har en grænseværdi c\in R for x gående mod a: f '(x)/g'(x) ->
> > c for x-> a, så gælder der f(x)/g(x) -> c for x-> a.
>
> Ok, den er der selvfølgelig ikke noget i vejen for at bruge induktion
> til at nå højere afledede.

Nemlig.
Men med en sætning som siger

Hvis f'(a) og g'(a) eksisterer, så gælder f(x)/g(x) -> f'(a)/g'(a)

ville det være noget andet.

Desuden er det i den version af ETP's noter som jeg har, udtrykkeligt
angivet at l'Hospitals regl er navnet for flere forskellige udgaver
af sætningen. I denne version af hans noter hedder resultaterne
VII.§1 Sætning 3 og VII.§1 Bemærkning 2.

NB! Det er vist under alle omstændigheder påkrævet at f og g er
differentiable ikke bare i a, men i en omegn af a.

--
Jeppe Stig Nielsen <URL:http://jeppesn.dk/>. «

"Je n'ai pas eu besoin de cette hypothèse (I had no need of that
hypothesis)" --- Laplace (1749-1827)

---

Scripsit Jeppe Stig Nielsen <mail@jeppesn.dk>

> NB! Det er vist under alle omstændigheder påkrævet at f og g er
> differentiable ikke bare i a, men i en omegn af a.

Så vidt jeg dunkelt erindrer, viste Tage Gutmann Madsen på 1MA
(matematik på KU dengang mænd var mænd og forelæsningsnoter var
håndskrevne) reglen ved lille-o-notation, som ikke krævede andet end
punktvis differentiabilitet. Vil prøve at huske at kigge efter når jeg
kommer hjem til min notemappe.

--
Henning Makholm "Hi! I'm an Ellen Jamesian. Do
you know what an Ellen Jamesian is?"

---

Hedder manden l'Hospital, L'Hospital, l'Hôpital eller L'Hôpital?
Kilderne er uenige.

Nå, men på http://mathworld.wolfram.com/LHospitalsRule.html finder
man en ganske generel formulering af hans regl.

--
Jeppe Stig Nielsen <URL:http://jeppesn.dk/>. «

"Je n'ai pas eu besoin de cette hypothèse (I had no need of that
hypothesis)" --- Laplace (1749-1827)

---

> Nå, men på http://mathworld.wolfram.com/LHospitalsRule.html finder
> man en ganske generel formulering af hans regl.

Hvordan finder man grænseværdien af den funktion der bliver vist på
siden, hvor l'Hospital ikke virker?


Med venlig hilsen

Jes Hansen

---

Scripsit "Jes Hansen" <m6g2j001@sneakemail.com>

> > Nå, men på http://mathworld.wolfram.com/LHospitalsRule.html finder
> > man en ganske generel formulering af hans regl.

> Hvordan finder man grænseværdien af den funktion der bliver vist på
> siden, hvor l'Hospital ikke virker?

Først tegner man en graf. Så gætter man på grænseværdien, og til sidst
viser man direkte udfra definitionen af grænseværdi at gættet var rigtigt.

--
Henning Makholm "Gå ud i solen eller regnen, smil, køb en ny trøje,
slå en sludder af med købmanden, puds dine støvler. Lev!"

---

hehe jes... er der nogle du skal hjælpe?

---

Jeppe Stig Nielsen wrote:
>
> Desuden er det i den version af ETP's noter som jeg har, udtrykkeligt
> angivet at l'Hospitals regl er navnet for flere forskellige udgaver
> af sætningen. I denne version af hans noter hedder resultaterne
> VII.§1 Sætning 3 og VII.§1 Bemærkning 2.

Sludder! Jeg snakker om Tage Gutmann Madsens noter! Det var dem som
Ebbe Thue Poulsen underviste efter i 1993-1994. Alle andre end mig
snakker om nogle noter som Ebbe Thue Poulsen selv har skrevet.

Sorry.

--
Jeppe Stig Nielsen <URL:http://jeppesn.dk/>. «

"Je n'ai pas eu besoin de cette hypothèse (I had no need of that
hypothesis)" --- Laplace (1749-1827)

---

> Den version Jacob Jensen har set er højst sandsynlig den der er
> defineret i Ebbe Thue Poulsens noter.

yep!