---

Hej,

Jeg havde for nylig en diskussion med en kammerat
om normale undergrupper. Ingen af os kunne på
stående fod gøre rede for, om man kunne slutte

N normal i H og H normal i G ==> N normal G.

Jeg spurgte nogle kloge hoveder på en
matematikchat, og de påstod, at det generelt ikke
er rigtigt. Dog kunne ingen lige diske op med et
eksempel, hvor det ikke gælder...

Er der nogen, der har et forslag?

-> Michael Knudsen

---

Michael Knudsen wrote:
>
> Hej,
>
> Jeg havde for nylig en diskussion med en kammerat
> om normale undergrupper. Ingen af os kunne på
> stående fod gøre rede for, om man kunne slutte
>
> N normal i H og H normal i G ==> N normal G.
>
> Jeg spurgte nogle kloge hoveder på en
> matematikchat, og de påstod, at det generelt ikke
> er rigtigt. Dog kunne ingen lige diske op med et
> eksempel, hvor det ikke gælder...
>
> Er der nogen, der har et forslag?

Lidt svært, den slags (i hvert fald for mig).

Jeg fandt en opgave der giver en vis vejledning i hvad der må kræves
af et sådant eksempel. Se opgave 1 ((a)-(d)) i

http://topo.math.auburn.edu/pub/prelims/Algebra1990.pdf

--
Jeppe Stig Nielsen <URL:http://jeppesn.dk/>. «

"Je n'ai pas eu besoin de cette hypothèse (I had no need of that
hypothesis)" --- Laplace (1749-1827)

---

Jeppe Stig Nielsen wrote:


> Jeg fandt en opgave der giver en vis vejledning i hvad der må kræves
> af et sådant eksempel. Se opgave 1 ((a)-(d)) i
>
> http://topo.math.auburn.edu/pub/prelims/Algebra1990.pdf


Det er nogle barske eksamensspørgsmål. Hvordan i
alverden fandt du frem til dem?!

-> Michael Knudsen

---

Michael Knudsen wrote:
>
> Jeppe Stig Nielsen wrote:
>
> > Jeg fandt en opgave der giver en vis vejledning i hvad der må kræves
> > af et sådant eksempel. Se opgave 1 ((a)-(d)) i
> >
> > http://topo.math.auburn.edu/pub/prelims/Algebra1990.pdf
>
> Det er nogle barske eksamensspørgsmål. Hvordan i
> alverden fandt du frem til dem?!

Jeg tror jeg søgte på "subgroup of a normal subgroup".

--
Jeppe Stig Nielsen <URL:http://jeppesn.dk/>. «

"Je n'ai pas eu besoin de cette hypothèse (I had no need of that
hypothesis)" --- Laplace (1749-1827)

---

Jeppe Stig Nielsen wrote:
>
> Lidt svært, den slags (i hvert fald for mig).

Mere søgen i bøger og på nettet, samt en lillebitte mængde tankevirk-
somhed bringer mig til følgende eksempel:

Betragt isometrigruppen G for et kvadrat i planen (en såkaldt dieder-
gruppe). Gruppen har 8 elementer, nemlig

G = { 1 , a , a² , a³ , b , ba , ba² , ba³ }

Hvor a er en rotation på en kvart omgang, og b er en spejling.
Her gælder relationen ab=ba³.

Lad nu H være mængden

H = { 1 , a² , b , ba² }

Vi ser at H er en undergruppe (tjek selv!).
(H er faktisk Kleins 4-gruppe.)
Da H har indeks 2 i G, er H normal.

Lad nu

K = { 1 , b }

Det er klart at K er en undergruppe af H med indeks 2, derfor er K
naturligvis normal i G.

Konjugér nu elementet b fra K med elementet a:

aba³ = ba³a³ = ba² som ikke også ligger i K

Vi ser altså at vi ved at konjugere K får en ny undergruppe. Derfor
er K ikke normal i G.

--
Jeppe Stig Nielsen <URL:http://jeppesn.dk/>. «

"Je n'ai pas eu besoin de cette hypothèse (I had no need of that
hypothesis)" --- Laplace (1749-1827)

---

Jeppe Stig Nielsen wrote:


> Hvor a er en rotation på en kvart omgang, og b er en spejling.
> Her gælder relationen ab=ba³.


Bevises bedst, ved at dreje coveret til en
Wagner-CD rundt på bordet!


> Vi ser altså at vi ved at konjugere K får en ny undergruppe. Derfor
> er K ikke normal i G.


Klap klap klap!

-> Michael Knudsen

---

Jeppe Stig Nielsen wrote:
>
> Betragt isometrigruppen G for et kvadrat i planen (en såkaldt dieder-
> gruppe). Gruppen har 8 elementer, nemlig

I øvrigt er det klart at G må have orden mindst 8 for at der er plads
til en ægte undergruppe af en ægte undergruppe, når den mindste under-
gruppe ikke må være {1}.

Ud over diedergruppen for kvadratet, er der kun én anden ikke-abelsk
gruppe af orden 8, nemlig gruppen

Q = { ±1 , ±i , ±j , ±k }

hvor i, j og k er de imaginære enheder fra kvaternionerne.
Men Q kan ikke indeholde et eksempel af den type som denne tråd om-
handler, thi den eneste 2-undergruppe af Q er

N = { ±1 }

og denne gruppe består jo af elementer der kommuterer med alt.
Dermed er N også normal i hele Q.

Vi konkluderer at diedergruppen D4 af orden 8 er den mindste gruppe
der indeholder et eksempel på det Michael spurgte om.

--
Jeppe Stig Nielsen <URL:http://jeppesn.dk/>. «

"Je n'ai pas eu besoin de cette hypothèse (I had no need of that
hypothesis)" --- Laplace (1749-1827)

---

Jeppe Stig Nielsen wrote:
>
> Jeppe Stig Nielsen wrote:
> >
> > Lidt svært, den slags (i hvert fald for mig).
>
> Mere søgen i bøger og på nettet, samt en lillebitte mængde tankevirk-
> somhed bringer mig til følgende eksempel:
>
> Betragt isometrigruppen G for et kvadrat i planen (en såkaldt dieder-
> gruppe). Gruppen har 8 elementer, nemlig
>
> G = { 1 , a , a² , a³ , b , ba , ba² , ba³ }
>
> Hvor a er en rotation på en kvart omgang, og b er en spejling.
> Her gælder relationen ab=ba³.
>
> Lad nu H være mængden
>
> H = { 1 , a² , b , ba² }
>
> Vi ser at H er en undergruppe (tjek selv!).
> (H er faktisk Kleins 4-gruppe.)
> Da H har indeks 2 i G, er H normal.
>
> Lad nu
>
> K = { 1 , b }
>
> Det er klart at K er en undergruppe af H med indeks 2, derfor er K
> naturligvis normal i G.

Trykfejl! Der står naturligvis »normal i H«.

>
> Konjugér nu elementet b fra K med elementet a:
>
> aba³ = ba³a³ = ba² som ikke også ligger i K
>
> Vi ser altså at vi ved at konjugere K får en ny undergruppe. Derfor
> er K ikke normal i G.

Netop.

--
Jeppe Stig Nielsen <URL:http://jeppesn.dk/>. «

"Je n'ai pas eu besoin de cette hypothèse (I had no need of that
hypothesis)" --- Laplace (1749-1827)