/ Forside / Karriere / Uddannelse / Højere uddannelser / Nyhedsindlæg
Login
Glemt dit kodeord?
Brugernavn

Kodeord


Reklame
Top 10 brugere
Højere uddannelser
#NavnPoint
Nordsted1 1588
erling_l 1224
ans 1150
dova 895
gert_h 800
molokyle 661
berpox 610
creamygirl 610
3773 570
10  jomfruane 570
Populærkvante
Fra : Carsten Svaneborg


Dato : 01-02-02 00:58

Scripsit Carsten Svaneborg <Check_link@mpip-mainz.mpg.de>
>> Hvad er FLoP III??
> Feynman Lectures on Physics vol III.
Dens kvantemekanik er jeg ikke så begejstret for.
Den's introduktion virker lidt overfladisk.

> En mere teori-orienteret popularisering kunne måske begynde sådan her
> (men jeg har ikke forstået ligningerne komplet, så jeg tager sikkert
> fejl):

Jeg mener det er alt for klassisk kvante-dogmatisk en præsentation. ;*)

Jeg ville nok fortrække

* Simple Random walks x(t), en partikkel der vandrer rundt
under indflydelse af tilfældige krafter i 1D.

Spørgsmål: Hvad sker der hvis man laver eksperimentet hvor man
starter en partikkel med x(t=0)=0 og forsøger at detektere den
til tiden t på positionen X.

Svar: nogen gange detektere man den, andre gange ikke.

Konklusion: med mange eksperimenter kan sandsyneligheden
for detektion måles som funktion af position.

Bemærk at vi kan visuelt følge banen, der findes altid
et positionsbegreb, der findes ikke et hastighedsbegreb for
en random walker fordi <x^2>=Dt => dsqrt(<x^2>)/dt = D* dsqrt(t)/dt
der for korte tidsskridt dt->0 divergere.

* Teori for ensembler af random walks istedet for enkelte baner
=> diffusionsligningen giver forudsiger detektionssandsyneligheden
dvs. ensemble gennemsnit = gennemsnit over alle baner.

Hvis vi nu forstiller os at vi lukker øjene, og forsøger at
forudsige partiklens fremtidige position, hvad kan vi så sige?

Svar: vi kan forstille os at partiklen tager alle baner med
en bestemt længde (=tid) fra dens sidst kendte position, og
ender der hvor vi vil detektere den. Antallet af baner er
proportionalt med sandsyneligheden for at finde den der.

Dvs. vi kan lave en statistisk forudsigelse uden at vi se
banens udviking, vi behøver bare at se på ensembler af
walkere=gennemsnit af baner.

(Wiener integraler kunne diskuteres her.)

* Effekten af ydre krafter på random walk.
=> Langevin ligningen for x(t)

Langevin er Newtons anden lov med med friktion og en ydre
krafter. Dvs. vi er stadig i et trajectory sprog men
i en blanding af diffusion og klassisk bevægelse. Et eksempel
hvad gør en random walker i et harmonisk potential, dvs. en
random walker, der sidder fast i et punkt med en fjeder.

Interessante grænser er lav friktion => Newtons anden lov
med høj friktion => ren diffusion

Vi vil nu igen gerne lave en forudsigelse om positionen
uden at vi følger partiklen ved at se på ensembler gennensnit
eller gennemsnit over alle mulige baner. Hvor længe ud i
fremtiden kan positionen forudsiges som funktion af
friktionen?

* ensembler af partikler udsat for stokastiske krafter i et
givet (ikke stokastisk) potential

=> Diffusionsligningen med drivkrafter
eller Fokker-Planck ligningen.

Løsningen til diffusionsligningen med begyndelsesbetingelse
= Dirac's Delta funktion giver Greens funktionen/propagatoren
for diffusion = en Gaussisk funktion hvis der ikke er nogle
drivkrafter.

Dvs. vi kan tale om sandsynelighedflows af walkere i rummet
og hvordan disse afhænger af de potentialer vi kunne være
interesseret i. Alternativt hvor tætheden af walkere i
rummet variere

* Hvor hurtig forsvinder informationen om positionen?

Svar dS/dt med S=-K integral P ln P med P gaussisk funktion
dvs. S= konstant*sqrt(Dt)

S er \prop andet moment af en Gaussisk funktion, dvs. dens
standard deviation som er en længde og derfor sqrt(Dt)
fordi det er længden i problemet/nævneren i Gauss'en.
Det giver god mening.

Dvs. hvis vi "måler positionen" med en frekvens hurtigere end
gennemsnitstiden det tager positionsinformationen at henfalde
'for meget' så kan vi stadig tale om en korridor hvor det er
sandsyneligt at finde en partiklen, men vi kan ikke tale om
en bane som sådan. Bredden B er relateret til målefrekvensen
som B ~ sqrt(D/målefrekvens) per dimensionsanalyse.

Korridoren vil bare være en coarsegrainet random walk fordi
random walks er selv-similære fraktaler.


* flere dimensioner og murer med huller i, hvad sker der
med disse flows?

Fx. kilde for random walkere i 2D mur med to (eller flere)
huller i, hvad ser detektoren?

Dvs. konvolutioner af Greensfunktioner m.m.


Det var de indledende øvelser med random walks.
Ideen er at diffusionsligningen = Schrødinger ligningen
hvis man altså ombytter t med it, og tager man et Wiener
integral og bonker it ind i det, så får man kvantemekanik
for en fri partikkel.

Complimentaritet bølge/partikkel. Dvs. at i kvantemekanik
bærer "partikler" en fase ligesom bølger gør, så kvante"partikler"
kan interferere med hinanden. (Eksperimentelt faktum.)

Vi kan introducere kvantemekanik i det ovenstående ved at lave
altsammen igen, bare med walkers der bærer en fase, der vokser
linært med længde/tid for det frie tilfælde. Istedet for at
summe alle baner vægtet lige, så skal banerne altså summes men
vægtet med en kompeks fase givet ved længden af banen, summen
ender med et kompekst tal: amplituden/bølgefunktionen A.

Vi kan ikke måle komplekse sandsyneligheder, så vi kan prøve
at definere P=konj(A)*A hvor A er fasen summet som sandsyneligeheden
over alle baner mellem start og stop positionen

Og stopper man udtrykket for P(R) ind i kontinuitetsligningen
(sandsynelighed er lokalt en bevaret størrelse) så skulle
Schrødinger ligningen for A gerne dumpe ud.

Dvs. når man kigger på mængden af baner der forbinder
kilde med detektor så vil de fleste faktisk interferere
destruktivt med hinanden. Kun dem der følger en lige linie
eller er tæt ved en lige linie vil yde et signifikant biddrage
til sandsyneligheden.

Hvis der er et potential, så vil den løsningen(-erne) til
Newtons anden lov med potentialet give de baner, der giver
de vigtigste biddrag til amplituden.

Man kan så diskutere murer med huller dvs. dobbeltspalte eksperimentet
men i kvanteformuleringen. Er der to huller og måler man ikke
hvilket en partikkel bevæger sig igennem er A=A1+A2 og P=konj(A)A,
måler man det så er P=konj(A1)A1+konj(A2)A2

En random walker er random fordi den er koblet til en stokastisk
støjkilde, der gør at information fodres ind i systemet, alt efter
hvor ofte vi måler partiklen så kan vi definere en form for middel
bane for walkeren. Men måler vi ikke, aner vi ikke hvor den er.

Kvantemekanik er ret meget det samme, kvantesystemer er stærkt
koble til kvantestøjkilden, der fodre information ind i kvantesystemet.
Information vi har om kvantesystemet henfalder derfor relativt hurtigt.

Men fordi kvantesystemer er svagt koblet til miljøet så giver det ikke
mening at tale om at kvantesystemet er i en bestemt tilstand når denne
i princippet ikke kan kendes uden at vi udføre en måling. Alt vi
beregner er derfor bare en fremskrivning af den information vi har om
systemet, hvilket ikke skal forveksles med systemet egen ukendelige
tilstand.

Det er i virkeligheden et forsøg på at genskabe Feynmann's
Pathintegral formalisme af kvantemekanik uden at bruge ordet.

Ulemperne ved formalismen er at den rent matematisk er
smuk (i den grad den er matematisk veldefineret ;*) og man
slipper for alt Hilbertrumssnak, men det er vanskelig at
udregne analytiske resultater fordi der er et kontinuum af
integraler der skal udføres. Den skjuler også relationen
mellem klassiske symmetrier og de tilsvarende unitære
operatorer i Hilbert rummet (Wigners teorem).

> * Kvantemekanikken hævder nu at der ikke findes nogen konfiguration
> der til en given tid er den "sande" konfiguration af systemet. I
> stedet er næsten alle konfigurationer "til stede" i en eller anden
> grad.

Det kommer jeg let om ved en analogen til random walks hvor
man ikke behøver at kende banen.

> * For at sammenfatte i hvor høj grad hver konfiguration er "til stede"
> kan man forestille sig et sandsynlighedsmål konfigurationsrummet.
> Men et sandsynlighedsmål indeholder ikke nok information til at få
> kvantemekanikken til at virke, så i stedet postulerer vi at hvert
> punkt i konfigurationsrummet i stedet for en skalar
> sandsynlighdstæthed har tilknyttet et komplekst tal, som man gør
> klogest i ikke at forsøge at fortolke selvstændigt.

Kvantepartikler har fase fordi de hverken klassiske bølger eller
partikler. Så det er ikke så mærkeligt igen. Summen af fasen fra
de forskellige baner er meget analogt med det velkendt eksempel
med inferens fra optik.

> * En fuldstændig beskrivelse af den kvantemekaniske tilstand af et
> system er nu en tilstrækkelig pæn og kontinuert (med passende
> begrænsninger som vi kommer ind på når vi begynder at bruge
> ligninger) funktion fra konfigurationsrummet til C.
>
> * Mængden af kvantemekaniske tilstande er et komplekst vektorrum.
>
> * Beskrivelse af at det matematiske rum af tilstande også kan opfattes
> på andre måder end funktioner fra de sted-tilstande der er beskrevet
> ovenfor, fx impuls-tilstande eller energi-tilstande. Det svarer blot
> til at bruge en, i visse situationer, mere bekvem "basis" for
> vektorrummet.

tensor produkt af egenvektorer for et sæt af kommuterende observable.

>
> * Systemets tilstand psi(t) ændrer sig med tiden ifølge den Store
> Differentialligning Om Alt, som kan skrives
> dpsi/dt = c*H(psi)
> hvor c er en konstant (vistnok i/hbar eller noget i den retning)
> der bruges af historiske årsager, og H er en lineær operator,
> hvis præcise matematiske udseende ikke er spor populært.

hbar blev først introduceret som en konstant i statistik fysik,
fordi man havde brug for det volumen i faserummet som en tilstand
fyldte.

>* Samt en diskussion af hvordan i
> alverden det kan være at vi kun observerer et udfald ad gangen,
> når nu man kan forvente at alle udfaldene eksisterer samtidigt
> i systemets kvantetilstand. Bølgefunktionskollaps etc.)

> Dette er en skitse af en popularisering der nok mere er beregnet for
> matematikere end for almindelige lægmænd. Fordi jeg snarere er
> matematiker end almindelig lægmand...

Og min skitse er nok mere beregnet til fysikere, der har læst
S. Chandrasekhar Rev. Mod. Phys. 1945. p 1. ;*)

>> Har du læst Feynman's lille bog om Kvantemekanik? Den med alle
>> pilene?
> Det tror jeg ikke.

Den er ikke ret stor, sort hedder QED eller noget i den stil.
Han forklarer netop summen af faser m.m.

--
Carsten Svaneborg
<signature out of order, use another mail program>

 
 
Henning Makholm (04-02-2002)
Kommentar
Fra : Henning Makholm


Dato : 04-02-02 18:41

Scripsit Carsten Svaneborg <Check_link@mpip-mainz.mpg.de>
> Scripsit Carsten Svaneborg <Check_link@mpip-mainz.mpg.de>
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^ hvilket er løgn. Det er mig der har
skrevet den tekst der har to hakker.

> >> Hvad er FLoP III??

> > Feynman Lectures on Physics vol III.

> Dens kvantemekanik er jeg ikke så begejstret for.

Ejheller jeg (hvilket jo nok fremgår), men det er indtil videre det
bedste jeg har at gå efter. Det jeg leder efter er noget der er
opbygget ligesom Feynmans gennemgang af klassisk elektrodynamik
i bind 2: helt i starten kommer alle de grundlæggende ligninger på
bordet, og bagefter kan man i ro og mag forsøge at få induitivt hold
på hvad de medfører i simple særtilfælde.

> > En mere teori-orienteret popularisering kunne måske begynde sådan her
> > (men jeg har ikke forstået ligningerne komplet, så jeg tager sikkert
> > fejl):

> Jeg mener det er alt for klassisk kvante-dogmatisk en præsentation. ;*)

Øh... ikke helt forstået. Mener du at den teoristruktur jeg antyder er
forkert (hvilket er ganske sandsynligt) eller at du ville foretrække
at præsentere den anderledes?

> Jeg ville nok fortrække

> * Simple Random walks x(t), en partikkel der vandrer rundt
> under indflydelse af tilfældige krafter i 1D.

Men så gør du jo i princippet lige som Feynman og starter med
urealistisk simple situationer, så reglerne hele tiden bliver lavet om
mens man læser sig gennem forklaringen. Hvordan kan man så føle sig
sikker på at de regler du ender med at have nu også er de regler
fysikerne siger verden følger?

[Det meste af din beskrivelse synes jeg ikke jeg har forudsætninger
nok til at kommentere, så det vil jeg lade være med.]

> Det var de indledende øvelser med random walks.
> Ideen er at diffusionsligningen = Schrødinger ligningen
> hvis man altså ombytter t med it, og tager man et Wiener
> integral og bonker it ind i det, så får man kvantemekanik
> for en fri partikkel.

Og her siger du så at alt det foregående var bar løgn. Så er der ikke
meget troværdighed tilbage i fremstillingen, synes jeg.

> Det er i virkeligheden et forsøg på at genskabe Feynmann's
> Pathintegral formalisme af kvantemekanik uden at bruge ordet.

Men hvorfor lade være med at bruge ordet? Det gør det jo bare
vanskeligere at gå videre til at snakke med fysikere.

> Ulemperne ved formalismen er at den rent matematisk er
> smuk (i den grad den er matematisk veldefineret ;*)

Men din ændre-regler-hele-tiden-præsentation overbeviser ikke læseren
om at den er matematisk veldefineret.

> > Men et sandsynlighedsmål indeholder ikke nok information til at få
> > kvantemekanikken til at virke, så i stedet postulerer vi at hvert
> > punkt i konfigurationsrummet i stedet for en skalar
> > sandsynlighdstæthed har tilknyttet et komplekst tal, som man gør
> > klogest i ikke at forsøge at fortolke selvstændigt.

> Kvantepartikler har fase fordi de hverken klassiske bølger eller
> partikler. Så det er ikke så mærkeligt igen. Summen af fasen fra
> de forskellige baner er meget analogt med det velkendt eksempel
> med inferens fra optik.

Det er ikke nogen forklaring, det er bare at snakke udenom. Mere
ærligt at sige, at man skal regne sådan og sådan, men forvent ikke at
du kan forestille dig anden fysisk mening end udregningerne selv
lægger op til.

> > * Beskrivelse af at det matematiske rum af tilstande også kan opfattes
> > på andre måder end funktioner fra de sted-tilstande der er beskrevet
> > ovenfor, fx impuls-tilstande eller energi-tilstande. Det svarer blot
> > til at bruge en, i visse situationer, mere bekvem "basis" for
> > vektorrummet.

> tensor produkt af egenvektorer for et sæt af kommuterende observable.

Slet ikke forstået. Hverken hvad du siger ("tensorprodukt" er et ord
jeg har hørt men vistnok aldrig fået defineret) eller hvad det har med
det jeg skriver at gøre.

> >> Har du læst Feynman's lille bog om Kvantemekanik? Den med alle
> >> pilene?

> > Det tror jeg ikke.

> Den er ikke ret stor, sort hedder QED eller noget i den stil.
> Han forklarer netop summen af faser m.m.

At *udføre* en sum af faser, eller endda at integrere den i
tilstrækkelig simple tilfælde (fx ved brede spalter), er ikke noget
problem. Problemet er når en eller anden popularisator (fx dig
ovenfor) påstår at man kan få en intuitiv ide om hvad fasen "er". Det
synes jeg bare kaster røg over problemet.

--
Henning Makholm "*Her* sidder jaj & har *ild* bå cigarren
*imens* Pelle Jönsson i Nordnorge har mavepine."

Carsten Svaneborg (05-02-2002)
Kommentar
Fra : Carsten Svaneborg


Dato : 05-02-02 02:09

Henning Makholm wrote:
> Det er mig der har skrevet den tekst der har to hakker.
Hmm. Mystisk, jeg undskylder.

> Ejheller jeg (hvilket jo nok fremgår), men det er indtil videre det
> bedste jeg har at gå efter.

Personligt kan jeg godt lide:
W.Greiner, Quantum Mechanics an introduction.
E. Merzbacher, Quantum Mechanics

Merzbacher har en lidt gammeldags notation. Greiner har kapitler
med info om nogle af de matematiske problemer det kan være praktisk
at kende, fx. Hermit polynomier og den harmoniske oscillator, eller
brint atomet og spherisk harmoniske funktioner.

>> Jeg mener det er alt for klassisk kvante-dogmatisk en præsentation. ;*)
> Øh... ikke helt forstået. Mener du at den teoristruktur jeg antyder er
> forkert (hvilket er ganske sandsynligt) eller at du ville foretrække
> at præsentere den anderledes?

Nej strukturen er OK, spørgsmålet er om missionen er at optimere
intuitionen for kvantemekaniske situationer eller muligheden for
at regne på kvantemekaniske problemer og få det rigtige resultet.

Hvis du vil lære folk at løse kvantemekaniske regneopgaver så er
din approach den bedste, og derfor den lærer bøgerne vælger.
Derfor kaldte jeg den klassisk kvante-dogmatisk, fordi den sætter
løse regneopgaver højrer end en forståelse af hvad der rent forgår.

Jeg har endnu ikke fundet en lærer bog der forsøger at forklare
hvad der forgår, fx. med en kombination af zitterbewegung,
støj, Feynmann pathintegral formalisme, kvantekaos/dekoherens og
på et niveau hvor det er til at være med.

>> * Simple Random walks x(t), en partikkel der vandrer rundt
>> under indflydelse af tilfældige krafter i 1D.
> Men så gør du jo i princippet lige som Feynman og starter med
> urealistisk simple situationer, så reglerne hele tiden bliver
> lavet om mens man læser sig gennem forklaringen.

'Trosspringet' kommer først når fasen introduceres. Randomwalk
skal lærer noget om de stokastiske egenskaber ved systemer
koblet til støj/informationskilder, jeg tror denne lærdom
stadig er relevant for det kvantemekaniske tilfælde men med
sandsyneligheder ersattet af normkvadrat på amplituder i de
øjeblikke hvor positionen måles.

> Hvordan kan man så føle sig sikker på at de regler du ender
> med at have nu også er de regler fysikerne siger verden følger?

Resultatet er en popularisering af Feynmann's pathintegral
formalisme, der er Wiener integraler men med et ekstra i.
Wiener integraler beskriver randomwalk processer.

>> Det var de indledende øvelser med random walks.
>> Ideen er at diffusionsligningen = Schrødinger ligningen
>> hvis man altså ombytter t med it, og tager man et Wiener
>> integral og bonker it ind i det, så får man kvantemekanik
>> for en fri partikkel.
> Og her siger du så at alt det foregående var bar løgn.
> Så er der ikke meget troværdighed tilbage i fremstillingen,
> synes jeg.

Det skal skabe en intuition der stadig er relevant i
kvantesituationen. Klassiske partikler har ikke fase
så man behøver ikke at bekymre sig om den detalje i
præsentationen, og random walk teori er relativt simpelt.

Kvanteskridtet er at man laver randomwalk teori med
bølgepakker istedet for partikler. bølgepakker, der ihvert
punkt i rummet har fase, men ikke bølgepakker der bevæger
sig i en bestemt retning fordi de er koblet til en stokastisk
støjkilde som randomwalk partiklen (hvilket præcist er hvad
man gør med kvantemekanik).

Ligningerne er ikke irrelevante, fordi den matematiske
veldefineret af path integralet er uklart (så vidt jeg ved),
så man laver kunst tricket at 'dreje tiden' så den bliver
imaginær igen, derved omdannes pathintegralet til dets
analytisk kontinueret Wiener integral, der er matematisk
veldefineret, dette løses så (besværligt!), og så omgør man
tricket igen, og siger at det er værdien af path integralet.

Feynmans path integralet kan dog vises at give Schrødinger
ligningen, så rent fysisk er det velunderbygget. Pathintegralets
form udledes fra den klassiske Hamiltonian, hvilke netop er
hvorfor pathintegral kvantisering er så praktisk en måde at
kvantisere klassiske teorier.

Randomwalk-bølgepakke billedet er dog meget mere intuitivt
en Schrødinger ligningsbilledet.

>> Det er i virkeligheden et forsøg på at genskabe Feynmann's
>> Pathintegral formalisme af kvantemekanik uden at bruge ordet.
> Men hvorfor lade være med at bruge ordet? Det gør det jo bare
> vanskeligere at gå videre til at snakke med fysikere.

Det er fordi hvis man forsøgte at forklare kvantemekanik
pedagogisk til nogen, brugte ordet og de så besøgte de
lokale universitetsbibliotek for at slå det op, så ville
de være fortabte for enhver pedagogisk forklaring, og
formodeligt også resten af deres fysik studium. ;*)

Det er formalistisk smukt, men stortset kun Gaussiske path-
integraler kan løses analytisk ellers må ekspansioner i
Feynmann diagrammer eller Replica-tricks bruges.

>> Ulemperne ved formalismen er at den rent matematisk er
>> smuk (i den grad den er matematisk veldefineret ;*)
> Men din ændre-regler-hele-tiden-præsentation overbeviser
> ikke læseren om at den er matematisk veldefineret

Jeg ændrer ikke regler, jeg generalisere fra et simpel
eksempel. Og jeg VED IKKE om den er matematisk veldefineret. ;*)

Men path integraler kan vises at være ækvivalente med
Schrødinger ligningen så de er rigtige rent fysisk.
De er også dejlige, og må derfor være rigtige. ;*)

>> Kvantepartikler har fase fordi de hverken klassiske bølger eller
>> partikler.
> Det er ikke nogen forklaring, det er bare at snakke udenom. Mere
> ærligt at sige, at man skal regne sådan og sådan, men forvent ikke at
> du kan forestille dig anden fysisk mening end udregningerne selv
> lægger op til.
Det er den kvantedogmatiske holdning.

Schrødingerligningen er jo en bølgeligning så det er ikke
så overraskende at den har superpositioner af bølger, der
er rummeligt lokaliserede pga. potentialer og grænsebetingelser
til ligningen.

Klassiske Partikler/bølger er i kvantemekanik bølgepakker.

Bølgepakker har en middel position, en rumlig bredde, en
fase, en bølgelængde og en udbreddelsesretning samtidigt.

>>> * Beskrivelse af at det matematiske rum af tilstande også kan opfattes
>>> på andre måder end funktioner fra de sted-tilstande der er beskrevet
>>> ovenfor, fx impuls-tilstande eller energi-tilstande. Det svarer blot
>>> til at bruge en, i visse situationer, mere bekvem "basis" for
>>> vektorrummet.
>> tensor produkt af egenvektorer for et sæt af kommuterende observable.
> Slet ikke forstået. Hverken hvad du siger ("tensorprodukt" er et ord
> jeg har hørt men vistnok aldrig fået defineret) eller hvad det har med
> det jeg skriver at gøre.

Det er det samme i kvante-lingo.

Tilstande i kvantemekanik repræsenteres med vektorer |v> i et
Hilbertrummet. Dvs. de kan være endelige eller uendelig dimensionale
alt efter hvilke tilstande der repræsenteres.

Observable størrelser (position, impuls, angulært moment, spin ..)
repræsenteres i teorien ved selv-adjungerede operatere i Hilbertrummet.

Hvis O|v_j> = o[j] |v_j>

så er |v_j> en egenvektor for den observable repræsenteret ved
operatoren O med egenværdien o[j], der repræsenter måleværdien
der opnås ved måle operationen O, værdien er reel fordi O er
selv-adjungeret (eller omvendt).

En vilkårlig tilstand for O kan skrives |v> = \sum_i a[i] | v_i>

fordi alle egenvektorer/funktioner for operatoren O udspænder
en basis. Dvs. a[i] er en følge af koefficienter der generelt
vil være tidsafhængige. Den til |v> vektoren duale tilstand i
Hilbertrummet <v| er givet ved <v|=\sum_i a[i]^* <v_i|

^* er kompleks konjugering fordi Hilbertrummet normalt er
komplekst.

Indre produkt på Hilbert rummet er <v|w> = integral v(x)^* w(x) dx
for funktionsvektorer, eller et tilsvarende sum udtryk for R^N rum.
Symbolet <v| |w> tolkes som <v|w> med mindre der er en Hilbertsrums
operator sandwitched mellem de to vektorer. <v| |w> er /ikke/ det
samme som |w><v|.

I vektor/matrix sprog er |v> en vektor <v| den transponeret vektor.
<v|v> prikprodukt mellem to vektorer, dvs. et tal mens |v><v| er
en matrix med v_i*v_j på det i,j'te element.

Forventningsværdien af en måling med O på tilstanden |v> er
defineret som <v|O|v> = integral v^*(x) O v(x) dx men kan
også skrives

<v|O|v> = <v| \sum_i a[i] O|v_i>
= \sum _j a[j]^* <v_j| \sum_i a[i] o[i] |v_i>
def= \sum_i,j o[i] a[i] a[j] <v_j|v_i>

Her er <v_j|v_i>=delta(i,j) ortonormalitets betingelsen for
egenvektorer brugt.

= \sum_i o[i] |a[i]|^2
=def \sum_i o[i] P[i]

Dvs. norm kvadrat på coefficienterne bestemmer sandsyneligheden
for at måle præcist den tilsvarende egenværdi for den observable.
Forventningsværdien er altså bare det vægtede gennemsnit af de
obsevableværdier.

Hvis du har flere observable for dit system samtidigt, så
skal baserne for hver operator udspænde ortogonale underum.
Dette svarer til at operatorene parvis kommutere dvs.
AB|v>=BA|v> for en vilkårlig tilstand |v>.

Hvis A,B,C er kommuterende selv-adjungerede operatorer der
repræsentere tre fysiske størrelser, fx. X position, Y impuls
og spin lang Z. så findes egenvektorer A|va_i>=a[i]|va_i>,
B|vb_i>=b[i]|vb_i>, C|vc_i>=c[i]|vc_i>,

Og hele systemet kan beskrives med tensor produktet af
disse 3 underum.

|vabc_i,k,l>
= \sum m,n,o a[m,n,o] |va_m> (*) |vb_n> (*) |vc_o>

Hvor (*) er tensor produkt.

Kartesisk produkt mellem en n og m dimensional vektor giver
en n+m dimensional vektor, tensor produktet giver en n*m
dimensional vektor (eller bedrer en matrix).

(Eksempel (næsten uden reference til resten af teksten):

Hvis du har en vektor w med sandsyneligheder for n udfald
i et eksperiment W, og en vektor v med sandsyneligheder for
m andre udfald i et eksperiment V. Så er tensor produktet
dvs. matricen med w[i]*v[j] sandsyneligeheden for de i'te
udfald for W /og/ det j'te udfald for V.
)

Det er altså ligegyldige hvilke A,B,C observable du bruger,
tre andre kan udspænde det samme tensor rum, men det er
langt det mest praktiske at bruge de observable du rent
faktisk er interesseret i.

Fordi de observable kommutere så vil tre efterfølgende
målinger ABC |vabc> give a[i]b[j]c[k]|vabs> uafhængig
af rækkefølgen af ABC målingerne. Dvs. du kan gentage
udregningen af forventningsværdien <vabc | ABC | vabc>
= <vabc | CBA | vabc> = sum_i,j,k a[i]b[j]c[j] Pa[i]Pb[j]Pc[j]

så forventningsværdien er produkter af uafhængige
andsyneligheder for de forskellige udfald

Det var sådan cirka hvad jeg mente med den ene linie.

>> Den er ikke ret stor, sort hedder QED eller noget i den stil.
>> Han forklarer netop summen af faser m.m.
> At *udføre* en sum af faser, eller endda at integrere den i
> tilstrækkelig simple tilfælde (fx ved brede spalter), er
> ikke noget problem.

Yeps, problemet er nærmere hvad er fasesummen for et
ensamble af random walkere i et givet ydre potential.

> Problemet er når en eller anden popularisator (fx dig
> ovenfor) påstår at man kan få en intuitiv ide om hvad
> fasen "er". Det synes jeg bare kaster røg over problemet.

Bølgepakker, forklaret ovenover, levere fasen. Det
virkelige problem er hvordan en bølgepakke bevæger
sig når hver del af den samtidigt udsættes for en
random walk type bevægelse/en spredninge i enhver
retning, dvs. en bølge i et stokastisk felt.

Det andet interessante spørgsmål er hvorfor bølgepakken
aldrig udbredder sig for klassiske objekter, men dekoherens
er svaret på dette. (det formuleres dog bedst i en tredie
kvanteformalisme med density-matricer ..)

Der er vist også nogle interessante ting omkring
Hamilton-Jakobi teori og udviklingen af fase fronter
men jeg har desværre glemt hvad det går ud på.

--
Mvh. Carsten Svaneborg http://www.mpip-mainz.mpg.de/~svanebor

Henning Makholm (09-02-2002)
Kommentar
Fra : Henning Makholm


Dato : 09-02-02 19:51

Scripsit Carsten Svaneborg <secretemailaddress@mpip-mainz.mpg.de>

> Hvis du vil lære folk at løse kvantemekaniske regneopgaver så er
> din approach den bedste, og derfor den lærer bøgerne vælger.
> Derfor kaldte jeg den klassisk kvante-dogmatisk, fordi den sætter
> løse regneopgaver højrer end en forståelse af hvad der rent forgår.

Det var ikke min mening. Mit forsøg var ikke at formulere en intuitiv
forståelse, men at formulere den teori som man skal holde intuitionen
op mod for at hitte ud af hvor meget intuitionen stemmer på
virkeligheden.

Jaja - jeg ved godt at jeg på et tidspunkt har ændret projekt fra at
finde en populær introduktion, til helt arrogant at søge information
der kan bringe *mig*, helt personligt, videre.

> >> tensor produkt af egenvektorer for et sæt af kommuterende observable.

> > Slet ikke forstået. Hverken hvad du siger ("tensorprodukt" er et ord
> > jeg har hørt men vistnok aldrig fået defineret) eller hvad det har med
> > det jeg skriver at gøre.

> Det er det samme i kvante-lingo.

[snip 100 linjers kvanteudregninger]

> Det var sådan cirka hvad jeg mente med den ene linie.

Du kan håne teorien som "kvantedogmatisk" netop fordi du *kan* gøre
sådan noget.

> Det andet interessante spørgsmål er hvorfor bølgepakken
> aldrig udbredder sig for klassiske objekter, men dekoherens
> er svaret på dette. (det formuleres dog bedst i en tredie
> kvanteformalisme med density-matricer ..)

"Dekoherens" er et andet magisk begreb der tilsyneladende kan forklare
alt men jeg har aldrig set det forklaret godt nok til at jeg kan
associere andet end "magisk begreb der fjerner alle problemerne" til
det.

--
Henning Makholm "PROV EN FORFRISKNING FRISKLAIL DEM"

Carsten Svaneborg (10-02-2002)
Kommentar
Fra : Carsten Svaneborg


Dato : 10-02-02 19:57

Henning Makholm wrote:
>> Derfor kaldte jeg den klassisk kvante-dogmatisk, fordi den sætter
>> løse regneopgaver højrer end en forståelse af hvad der rent forgår.
> Det var ikke min mening. Mit forsøg var ikke at formulere en intuitiv
> forståelse, men at formulere den teori som man skal holde intuitionen
> op mod for at hitte ud af hvor meget intuitionen stemmer på
> virkeligheden.

Problemet er jo som bekendt at QM logik ikke er særlig logisk, sådan
rent intuitivt. Og jeg tror ikke at begynde at snakke om orthomoduler
hjælper. Jeg forstår ihvertifals godt hvorfor ham matematik fyren
klager over at kvantelogik ikke har nogen fysisk indflydelse, jeg
tror aldrig jeg har kendt en fysiker der ved hvad et orthomodul er
fornoget, og det faktum at han ikke definere det i sin tekst, fortæller
også noget om hvor pedagogisk han er.

Det giver ikke nogen mening at tale om 'naiv' intuition mht.
kvantemekanik fordi det er væsensforskellig fra den klassiske
verden vi intuitivt forstår. Jeg tror at skal man have en intuition
om kvantemekanik så kan det kun lade sig gøre gennem at forstå
teorien og dens anvendelser. Spørgsmålet er så hvilken formulering
af kvantemekanik, der mest intuitiv eller lettest at regne opgaver
i, hvilket er to vidt forskellige spørgsmål.

> Jaja - jeg ved godt at jeg på et tidspunkt har ændret projekt fra at
> finde en populær introduktion, til helt arrogant at søge information
> der kan bringe *mig*, helt personligt, videre.

Som en introduktion til den matematiske notation og hvordan QM bruges
er http://xxx.lanl.gov/abs/quant-ph/0007045

faktisk ganske god, jeg syntes den er lidt for matematisk,
men til en sidefagsmatematiker er den nok Ok. ;*)

Jeg nåede kun de første 50 sider, men det forklarer grundlæggende
hvordan teoretiske størrelser relatere til fenomenologiske, og
regneskemaet man skal igennem for at udregne forventningsværdier osv.
Da resten af bogen handler om kvantecomputation er han kun
interesseret i kvantesystemer der kan repræsentere bits og
ikke i partikler i rummet men notationen er stadig den samme osv.

>> Det var sådan cirka hvad jeg mente med den ene linie.
> Du kan håne teorien som "kvantedogmatisk" netop fordi
> du *kan* gøre sådan noget.

Jeg håner ikke teorien, og ikke af den grund. Det er
defakto den adgang folk lærer når de lærer QM, og
målet er at kunne regne opgaver, ikke at forstå.
Jeg ville meget fortrække hvis man kunne præsentere
QM på en sådan måde at man både kunne regne opgaver,
og forstå (gerne intuitivt) hvad der forgår. Desværre
introduceres path integraler kun på avanceret² QM kurser,
og de skaber en vis intuition som man totalt mangler i
normal bra-ket QM.

Læs ovenstående introduktion, så skulle det gerne være
en gang indlysende 1LA men med en anden notation.

> "Dekoherens" er et andet magisk begreb der tilsyneladende kan forklare
> alt men jeg har aldrig set det forklaret godt nok til at jeg kan
> associere andet end "magisk begreb der fjerner alle problemerne" til
> det.

se http://xxx.lanl.gov/abs/quant-ph/9908008

In this contribution I give a brief introduction to the essential
concepts and mechanisms of decoherence by the environment. The
emphasis will be not so much on technical details but rather on
conceptual issues and the impact on the interpretation problem
of quantum theory.

(jeg har ikke læst den, men hvis du kender kvantenotationen
så ser den ret læselig ud.)
--
Mvh. Carsten Svaneborg

Søg
Reklame
Statistik
Spørgsmål : 177559
Tips : 31968
Nyheder : 719565
Indlæg : 6408938
Brugere : 218888

Månedens bedste
Årets bedste
Sidste års bedste