Henning Makholm wrote:
> Det er mig der har skrevet den tekst der har to hakker.
Hmm. Mystisk, jeg undskylder.
> Ejheller jeg (hvilket jo nok fremgår), men det er indtil videre det
> bedste jeg har at gå efter.
Personligt kan jeg godt lide:
W.Greiner, Quantum Mechanics an introduction.
E. Merzbacher, Quantum Mechanics
Merzbacher har en lidt gammeldags notation. Greiner har kapitler
med info om nogle af de matematiske problemer det kan være praktisk
at kende, fx. Hermit polynomier og den harmoniske oscillator, eller
brint atomet og spherisk harmoniske funktioner.
>> Jeg mener det er alt for klassisk kvante-dogmatisk en præsentation. ;*)
> Øh... ikke helt forstået. Mener du at den teoristruktur jeg antyder er
> forkert (hvilket er ganske sandsynligt) eller at du ville foretrække
> at præsentere den anderledes?
Nej strukturen er OK, spørgsmålet er om missionen er at optimere
intuitionen for kvantemekaniske situationer eller muligheden for
at regne på kvantemekaniske problemer og få det rigtige resultet.
Hvis du vil lære folk at løse kvantemekaniske regneopgaver så er
din approach den bedste, og derfor den lærer bøgerne vælger.
Derfor kaldte jeg den klassisk kvante-dogmatisk, fordi den sætter
løse regneopgaver højrer end en forståelse af hvad der rent forgår.
Jeg har endnu ikke fundet en lærer bog der forsøger at forklare
hvad der forgår, fx. med en kombination af zitterbewegung,
støj, Feynmann pathintegral formalisme, kvantekaos/dekoherens og
på et niveau hvor det er til at være med.
>> * Simple Random walks x(t), en partikkel der vandrer rundt
>> under indflydelse af tilfældige krafter i 1D.
> Men så gør du jo i princippet lige som Feynman og starter med
> urealistisk simple situationer, så reglerne hele tiden bliver
> lavet om mens man læser sig gennem forklaringen.
'Trosspringet' kommer først når fasen introduceres. Randomwalk
skal lærer noget om de stokastiske egenskaber ved systemer
koblet til støj/informationskilder, jeg tror denne lærdom
stadig er relevant for det kvantemekaniske tilfælde men med
sandsyneligheder ersattet af normkvadrat på amplituder i de
øjeblikke hvor positionen måles.
> Hvordan kan man så føle sig sikker på at de regler du ender
> med at have nu også er de regler fysikerne siger verden følger?
Resultatet er en popularisering af Feynmann's pathintegral
formalisme, der er Wiener integraler men med et ekstra i.
Wiener integraler beskriver randomwalk processer.
>> Det var de indledende øvelser med random walks.
>> Ideen er at diffusionsligningen = Schrødinger ligningen
>> hvis man altså ombytter t med it, og tager man et Wiener
>> integral og bonker it ind i det, så får man kvantemekanik
>> for en fri partikkel.
> Og her siger du så at alt det foregående var bar løgn.
> Så er der ikke meget troværdighed tilbage i fremstillingen,
> synes jeg.
Det skal skabe en intuition der stadig er relevant i
kvantesituationen. Klassiske partikler har ikke fase
så man behøver ikke at bekymre sig om den detalje i
præsentationen, og random walk teori er relativt simpelt.
Kvanteskridtet er at man laver randomwalk teori med
bølgepakker istedet for partikler. bølgepakker, der ihvert
punkt i rummet har fase, men ikke bølgepakker der bevæger
sig i en bestemt retning fordi de er koblet til en stokastisk
støjkilde som randomwalk partiklen (hvilket præcist er hvad
man gør med kvantemekanik).
Ligningerne er ikke irrelevante, fordi den matematiske
veldefineret af path integralet er uklart (så vidt jeg ved),
så man laver kunst tricket at 'dreje tiden' så den bliver
imaginær igen, derved omdannes pathintegralet til dets
analytisk kontinueret Wiener integral, der er matematisk
veldefineret, dette løses så (besværligt!), og så omgør man
tricket igen, og siger at det er værdien af path integralet.
Feynmans path integralet kan dog vises at give Schrødinger
ligningen, så rent fysisk er det velunderbygget. Pathintegralets
form udledes fra den klassiske Hamiltonian, hvilke netop er
hvorfor pathintegral kvantisering er så praktisk en måde at
kvantisere klassiske teorier.
Randomwalk-bølgepakke billedet er dog meget mere intuitivt
en Schrødinger ligningsbilledet.
>> Det er i virkeligheden et forsøg på at genskabe Feynmann's
>> Pathintegral formalisme af kvantemekanik uden at bruge ordet.
> Men hvorfor lade være med at bruge ordet? Det gør det jo bare
> vanskeligere at gå videre til at snakke med fysikere.
Det er fordi hvis man forsøgte at forklare kvantemekanik
pedagogisk til nogen, brugte ordet og de så besøgte de
lokale universitetsbibliotek for at slå det op, så ville
de være fortabte for enhver pedagogisk forklaring, og
formodeligt også resten af deres fysik studium. ;*)
Det er formalistisk smukt, men stortset kun Gaussiske path-
integraler kan løses analytisk ellers må ekspansioner i
Feynmann diagrammer eller Replica-tricks bruges.
>> Ulemperne ved formalismen er at den rent matematisk er
>> smuk (i den grad den er matematisk veldefineret ;*)
> Men din ændre-regler-hele-tiden-præsentation overbeviser
> ikke læseren om at den er matematisk veldefineret
Jeg ændrer ikke regler, jeg generalisere fra et simpel
eksempel. Og jeg VED IKKE om den er matematisk veldefineret. ;*)
Men path integraler kan vises at være ækvivalente med
Schrødinger ligningen så de er rigtige rent fysisk.
De er også dejlige, og må derfor være rigtige. ;*)
>> Kvantepartikler har fase fordi de hverken klassiske bølger eller
>> partikler.
> Det er ikke nogen forklaring, det er bare at snakke udenom. Mere
> ærligt at sige, at man skal regne sådan og sådan, men forvent ikke at
> du kan forestille dig anden fysisk mening end udregningerne selv
> lægger op til.
Det er den kvantedogmatiske holdning.
Schrødingerligningen er jo en bølgeligning så det er ikke
så overraskende at den har superpositioner af bølger, der
er rummeligt lokaliserede pga. potentialer og grænsebetingelser
til ligningen.
Klassiske Partikler/bølger er i kvantemekanik bølgepakker.
Bølgepakker har en middel position, en rumlig bredde, en
fase, en bølgelængde og en udbreddelsesretning samtidigt.
>>> * Beskrivelse af at det matematiske rum af tilstande også kan opfattes
>>> på andre måder end funktioner fra de sted-tilstande der er beskrevet
>>> ovenfor, fx impuls-tilstande eller energi-tilstande. Det svarer blot
>>> til at bruge en, i visse situationer, mere bekvem "basis" for
>>> vektorrummet.
>> tensor produkt af egenvektorer for et sæt af kommuterende observable.
> Slet ikke forstået. Hverken hvad du siger ("tensorprodukt" er et ord
> jeg har hørt men vistnok aldrig fået defineret) eller hvad det har med
> det jeg skriver at gøre.
Det er det samme i kvante-lingo.
Tilstande i kvantemekanik repræsenteres med vektorer |v> i et
Hilbertrummet. Dvs. de kan være endelige eller uendelig dimensionale
alt efter hvilke tilstande der repræsenteres.
Observable størrelser (position, impuls, angulært moment, spin ..)
repræsenteres i teorien ved selv-adjungerede operatere i Hilbertrummet.
Hvis O|v_j> = o[j] |v_j>
så er |v_j> en egenvektor for den observable repræsenteret ved
operatoren O med egenværdien o[j], der repræsenter måleværdien
der opnås ved måle operationen O, værdien er reel fordi O er
selv-adjungeret (eller omvendt).
En vilkårlig tilstand for O kan skrives |v> = \sum_i a[i] | v_i>
fordi alle egenvektorer/funktioner for operatoren O udspænder
en basis. Dvs. a[i] er en følge af koefficienter der generelt
vil være tidsafhængige. Den til |v> vektoren duale tilstand i
Hilbertrummet <v| er givet ved <v|=\sum_i a[i]^* <v_i|
^* er kompleks konjugering fordi Hilbertrummet normalt er
komplekst.
Indre produkt på Hilbert rummet er <v|w> = integral v(x)^* w(x) dx
for funktionsvektorer, eller et tilsvarende sum udtryk for R^N rum.
Symbolet <v| |w> tolkes som <v|w> med mindre der er en Hilbertsrums
operator sandwitched mellem de to vektorer. <v| |w> er /ikke/ det
samme som |w><v|.
I vektor/matrix sprog er |v> en vektor <v| den transponeret vektor.
<v|v> prikprodukt mellem to vektorer, dvs. et tal mens |v><v| er
en matrix med v_i*v_j på det i,j'te element.
Forventningsværdien af en måling med O på tilstanden |v> er
defineret som <v|O|v> = integral v^*(x) O v(x) dx men kan
også skrives
<v|O|v> = <v| \sum_i a[i] O|v_i>
= \sum _j a[j]^* <v_j| \sum_i a[i] o[i] |v_i>
def= \sum_i,j o[i] a[i] a[j] <v_j|v_i>
Her er <v_j|v_i>=delta(i,j) ortonormalitets betingelsen for
egenvektorer brugt.
= \sum_i o[i] |a[i]|^2
=def \sum_i o[i] P[i]
Dvs. norm kvadrat på coefficienterne bestemmer sandsyneligheden
for at måle præcist den tilsvarende egenværdi for den observable.
Forventningsværdien er altså bare det vægtede gennemsnit af de
obsevableværdier.
Hvis du har flere observable for dit system samtidigt, så
skal baserne for hver operator udspænde ortogonale underum.
Dette svarer til at operatorene parvis kommutere dvs.
AB|v>=BA|v> for en vilkårlig tilstand |v>.
Hvis A,B,C er kommuterende selv-adjungerede operatorer der
repræsentere tre fysiske størrelser, fx. X position, Y impuls
og spin lang Z. så findes egenvektorer A|va_i>=a[i]|va_i>,
B|vb_i>=b[i]|vb_i>, C|vc_i>=c[i]|vc_i>,
Og hele systemet kan beskrives med tensor produktet af
disse 3 underum.
|vabc_i,k,l>
= \sum m,n,o a[m,n,o] |va_m> (*) |vb_n> (*) |vc_o>
Hvor (*) er tensor produkt.
Kartesisk produkt mellem en n og m dimensional vektor giver
en n+m dimensional vektor, tensor produktet giver en n*m
dimensional vektor (eller bedrer en matrix).
(Eksempel (næsten uden reference til resten af teksten):
Hvis du har en vektor w med sandsyneligheder for n udfald
i et eksperiment W, og en vektor v med sandsyneligheder for
m andre udfald i et eksperiment V. Så er tensor produktet
dvs. matricen med w[i]*v[j] sandsyneligeheden for de i'te
udfald for W /og/ det j'te udfald for V.
)
Det er altså ligegyldige hvilke A,B,C observable du bruger,
tre andre kan udspænde det samme tensor rum, men det er
langt det mest praktiske at bruge de observable du rent
faktisk er interesseret i.
Fordi de observable kommutere så vil tre efterfølgende
målinger ABC |vabc> give a[i]b[j]c[k]|vabs> uafhængig
af rækkefølgen af ABC målingerne. Dvs. du kan gentage
udregningen af forventningsværdien <vabc | ABC | vabc>
= <vabc | CBA | vabc> = sum_i,j,k a[i]b[j]c[j] Pa[i]Pb[j]Pc[j]
så forventningsværdien er produkter af uafhængige
andsyneligheder for de forskellige udfald
Det var sådan cirka hvad jeg mente med den ene linie.
>> Den er ikke ret stor, sort hedder QED eller noget i den stil.
>> Han forklarer netop summen af faser m.m.
> At *udføre* en sum af faser, eller endda at integrere den i
> tilstrækkelig simple tilfælde (fx ved brede spalter), er
> ikke noget problem.
Yeps, problemet er nærmere hvad er fasesummen for et
ensamble af random walkere i et givet ydre potential.
> Problemet er når en eller anden popularisator (fx dig
> ovenfor) påstår at man kan få en intuitiv ide om hvad
> fasen "er". Det synes jeg bare kaster røg over problemet.
Bølgepakker, forklaret ovenover, levere fasen. Det
virkelige problem er hvordan en bølgepakke bevæger
sig når hver del af den samtidigt udsættes for en
random walk type bevægelse/en spredninge i enhver
retning, dvs. en bølge i et stokastisk felt.
Det andet interessante spørgsmål er hvorfor bølgepakken
aldrig udbredder sig for klassiske objekter, men dekoherens
er svaret på dette. (det formuleres dog bedst i en tredie
kvanteformalisme med density-matricer ..)
Der er vist også nogle interessante ting omkring
Hamilton-Jakobi teori og udviklingen af fase fronter
men jeg har desværre glemt hvad det går ud på.
--
Mvh. Carsten Svaneborg
http://www.mpip-mainz.mpg.de/~svanebor