---

Hej...

Der var engang (kan ikke huske hvornår) en gruppe mennekser som var
positivister (altså troede på at alt kunne bevises positivt, dvs. ingen
modstridsbeviser).
Jeg har så læst at positivismen "døde" fordi det blev bevist at der
fandtes sætninger som ikke kunne blive bevist positivt.
Er der nogen som kender en udgave af sådan en sætning som beviseligt
ikke kan bevises positivt?
Dette mindre jo lidt om Gödels ufuldstændigheds sætning, er der nogen
sammenhæng?

Mvh.
Martin Ehmsen
--
"Life is good for only two things,
discovering mathematics and teaching mathematics"
Siméon Poisson

---

Martin Ehmsen wrote:

> Hej...
>
> Der var engang (kan ikke huske hvornår) en gruppe mennekser som var
> positivister (altså troede på at alt kunne bevises positivt, dvs. ingen
> modstridsbeviser).
> Jeg har så læst at positivismen "døde" fordi det blev bevist at der
> fandtes sætninger som ikke kunne blive bevist positivt.

indenfor matematikken kaldes de intuitionister (eller konstruktivister),
de findes i hvert fald stadig, de accepterer kun noget, der kan bevises
direkte, men der er vist ikke ret mange i Danmark, hvis der er nogen...

en fremtrædende person var Brouwer, se fx mere på:
http://www-groups.dcs.st-andrews.ac.uk/~history/Mathematicians/Brouwer.html

jeg mener også, at de er nævnt kort i "naturvidenskabens teori" af Helge
Kragh

/Marie
--
Marie Antonsen
matematik-filosofi studerende
på Århus Universitet
kontor: F2.12 (3488)

---

"Marie Antonsen" <marie@daimi.au.dk> wrote in message
news:3C4C357B.7070107@daimi.au.dk...
> Martin Ehmsen wrote:
>
> > Hej...
> >
> > Der var engang (kan ikke huske hvornår) en gruppe mennekser som
var
> > positivister (altså troede på at alt kunne bevises positivt, dvs.
ingen
> > modstridsbeviser).
[snip]>
> indenfor matematikken kaldes de intuitionister (eller
konstruktivister),
> de findes i hvert fald stadig, de accepterer kun noget, der kan
bevises
> direkte, men der er vist ikke ret mange i Danmark, hvis der er
nogen...
>
> en fremtrædende person var Brouwer,

Hvilket i grunden er pudsigt, når man tænker på at Brouwer er topolog,
hvor
ikke-konstruktive eksistensbeviser florerer. Tænk bare på mandens egen
fikspunktsætning.

--
Jens Axel Søgaard

---

Jens Axel Søgaard wrote:

> Hvilket i grunden er pudsigt, når man tænker på at Brouwer er topolog,
> hvor
> ikke-konstruktive eksistensbeviser florerer. Tænk bare på mandens egen
> fikspunktsætning.

Detter er netop grunden til spørgsmålet. Jeg skal til eksamen i
topologi på næste tirsdag og sidder selvfølgelig og læser på det. Og
netop i topologi findes der så mange modstridsbeviser at burde være
løgn.
Jeg synes det så bare kunne være fedt at komme med et lille argument
for at dette ikke er en "fejl" i topologi.
At man rent faktisk beviseligt kan bevise at nogle sætninger ikke kan
bevises konstruktivt.
Men som sagt jeg ved ikke om et sådant bevis kan føres og i givet fald
hvordan...

Mvh.
Martin Ehmsen
--
"Life is good for only two things,
discovering mathematics and teaching mathematics"
Siméon Poisson

---

Martin Ehmsen <thames@get2net.dk> writes:

> Jens Axel Søgaard wrote:
>
> > Hvilket i grunden er pudsigt, når man tænker på at Brouwer er topolog,
> > hvor
> > ikke-konstruktive eksistensbeviser florerer. Tænk bare på mandens egen
> > fikspunktsætning.
>
> Detter er netop grunden til spørgsmålet. Jeg skal til eksamen i
> topologi på næste tirsdag og sidder selvfølgelig og læser på det. Og
> netop i topologi findes der så mange modstridsbeviser at burde være
> løgn.
> Jeg synes det så bare kunne være fedt at komme med et lille argument
> for at dette ikke er en "fejl" i topologi.
> At man rent faktisk beviseligt kan bevise at nogle sætninger ikke kan
> bevises konstruktivt.
> Men som sagt jeg ved ikke om et sådant bevis kan føres og i givet fald
> hvordan...

Der findes jo masser af eksempler på sætninger for hvilke vi kun har
ikke-konstruktive beviser, modstridsbeviser o.s.v. (ikke kun i
topologi). Selvom du kunne bevise, at (nogle af) disse ikke har et
direkte bevis, har du ikke argument mod intuitionisterne. En
intuitionist vil jo ikke acceptere dit bevis hvis det indeholder
logiske argumenter, der ikke er accepteret af vedkommende. Dit udsagn
vil derfor efter intuitionistens opfattelse være ubevist.

Simon

--
The good Christian should beware of mathematicians, and all those who
make empty prophecies. The danger already exists that the
mathematicians have made a covenant with the devil to darken the
spirit and to confine man in the bonds of Hell. -- St. Augustin

---

Simon Kristensen wrote:
> Der findes jo masser af eksempler på sætninger for hvilke vi kun har
> ikke-konstruktive beviser, modstridsbeviser o.s.v. (ikke kun i
> topologi). Selvom du kunne bevise, at (nogle af) disse ikke har et
> direkte bevis, har du ikke argument mod intuitionisterne. En
> intuitionist vil jo ikke acceptere dit bevis hvis det indeholder
> logiske argumenter, der ikke er accepteret af vedkommende. Dit udsagn
> vil derfor efter intuitionistens opfattelse være ubevist.

Det er jeg klar over. Pointen ville jo netop være at beviset for der
findes sætninger uden konstruktivt bevis, skulle jo netop være
konstruktivt.
Men det kan godt være det er en modstrid i sig selv. Jeg kan i hvert
fald ikke se hvordan beviset skulle føres uden at brug af
ikke-konstruktive argumenter.
Det letteste ville jo være:

Sætning *: Der findes sætninger som ikke har et konstruktivt bevis.
Bevis: "Antag not sætning *, dvs. alle sætninger har et konstruktivt
bevis. Men dette er en modstrid mod beviset for sætning *".

Dermed er det "bevist" at der findes sætninger som ikke har et
konstruktivt bevis

Martin
--
"Life is good for only two things,
discovering mathematics and teaching mathematics"
Siméon Poisson

---

Scripsit Martin Ehmsen <thames@get2net.dk>

> Det er jeg klar over. Pointen ville jo netop være at beviset for der
> findes sætninger uden konstruktivt bevis, skulle jo netop være
> konstruktivt.

Det er ikke i sig selv en håbløs opgave. Intuitionister tillader
jo slutningsreglen

A medfører en modstrid, altså ikke-A;

det der afvises i intuitionistisk logik er

Ikke-A medfører en modstrid, altså A

Programmet vil altså kunne gennemføres hvis blot man
1. konstruerer en passende proposition P
2. angiver et klassisk bevis for P
3. beviser at "P har et intuitionistisk bevis" fører til en modstrid

Hvis man antager at det aksiomsystem man arbejder i, er konsistent,
er det let nok; man kan fx lade P være

for alle x: for alle y: (x = y) eller ikke (x = y)

hvilket er et klassisk teorem men netop ikke kan bevises
intuitionistisk. At der ikke findes et intuitionistisk bevis
kan vises ved et modelteoretisk ræsonnement (som jeg ikke kan
huske detaljerne i, og det ville også fylde for meget her).

> Sætning *: Der findes sætninger som ikke har et konstruktivt bevis.
> Bevis: "Antag not sætning *, dvs. alle sætninger har et konstruktivt
> bevis. Men dette er en modstrid mod beviset for sætning *".

Hov-hov, det er cirkulært. Det må man ikke.

--
Henning Makholm "Panic. Alarm. Incredulity.
*Thing* has not enough legs. Topple walk.
Fall over not. Why why why? What *is* it?"

---

Henning Makholm wrote:

> Det er ikke i sig selv en håbløs opgave. Intuitionister tillader
> jo slutningsreglen
>
> A medfører en modstrid, altså ikke-A;
>
> det der afvises i intuitionistisk logik er
>
> Ikke-A medfører en modstrid, altså A

Det er jo egentligt sjovt. Det må være en skæg fornemmelse at være
intuitionist...

> Hvis man antager at det aksiomsystem man arbejder i, er konsistent,
> er det let nok; man kan fx lade P være
>
> for alle x: for alle y: (x = y) eller ikke (x = y)
>
> hvilket er et klassisk teorem men netop ikke kan bevises
> intuitionistisk. At der ikke findes et intuitionistisk bevis
> kan vises ved et modelteoretisk ræsonnement (som jeg ikke kan
> huske detaljerne i, og det ville også fylde for meget her).

Har du evt. et link eller andet. Send evt. til mig privat (hvis du
altså gider).

>> Sætning *: Der findes sætninger som ikke har et konstruktivt bevis.
>> Bevis: "Antag not sætning *, dvs. alle sætninger har et konstruktivt
>> bevis. Men dette er en modstrid mod beviset for sætning *".
>
> Hov-hov, det er cirkulært. Det må man ikke.

Det ved jeg godt
Deraf "bevis" i anførselstegn. Det skulle blot tjene til en skabelon
til beviset af sætning *.
Jeg har stadig svært ved at overbevise mig selv om at et konstruktivt
bevis for sætning * findes/vil kunne laves.
Jeg synes ligesom det ligger i sætning * natur at det ikke vil kunne
bevises konstruktivt.

Hvad angår de andre inlægt i tråden, så mente jeg med mit oprindelige
indlæg "konstruktivisme" og ikke "positivisme" (hvilket jeg den gang
troede var det sammen, men man lærer hele tiden

Mvh.
Martin Ehmsen
--
"Life is good for only two things,
discovering mathematics and teaching mathematics"
Siméon Poisson

---

Scripsit Martin Ehmsen <thames@get2net.dk>
> Henning Makholm wrote:

> > Hvis man antager at det aksiomsystem man arbejder i, er konsistent,
> > er det let nok; man kan fx lade P være

> > for alle x: for alle y: (x = y) eller ikke (x = y)

> > hvilket er et klassisk teorem men netop ikke kan bevises
> > intuitionistisk. At der ikke findes et intuitionistisk bevis
> > kan vises ved et modelteoretisk ræsonnement (som jeg ikke kan
> > huske detaljerne i, og det ville også fylde for meget her).

> Har du evt. et link eller andet. Send evt. til mig privat (hvis du
> altså gider).

Hm, det bedste jeg kan grave frem er at erstatte min P ovenfor med

for alle x: for alle y: ikke (ikke (x = y)) medfører (x = y)

og læse kapitel 2 af

http://www.diku.dk/research/published/98-14.ps.gz

- øvelse 2.7.9 (4) giver så stort set det ønskede. Men jeg kan ikke
lige gennemskue om de nødvendige sundhedssætninger kan bevises
konstruktivt.

--
Henning Makholm "Nemo enim fere saltat sobrius, nisi forte insanit."

---

"Martin Ehmsen" <thames@get2net.dk> wrote in message
news:a2hfj5$akc$1@sunsite.dk...
> Jens Axel Søgaard wrote:
>
> > Hvilket i grunden er pudsigt, når man tænker på at Brouwer er
topolog,
> > hvor ikke-konstruktive eksistensbeviser florerer. Tænk bare på
mandens egen
> > fikspunktsætning.

> Detter er netop grunden til spørgsmålet. Jeg skal til eksamen i
> topologi på næste tirsdag og sidder selvfølgelig og læser på det.

Knæk og bræk. Hvilken bog bruger I? Hvem har I?

> Og netop i topologi findes der så mange modstridsbeviser at burde
være
> løgn.
> Jeg synes det så bare kunne være fedt at komme med et lille argument
> for at dette ikke er en "fejl" i topologi.

Det er jo kun en "fejl" i det øjeblik, du tager den beslutning, at du
kun vil acceptere
konstruktive beviser. Du kan kan se på den måde, at den konstruktive
matematik
er en delmængde af den almindeligt accepterede matematik. Om denne
delmængde
udgør det hele, afhænger af, om der findes en sætning med et
"almindeligt" bevis, som
ikke har et konstruktivt bevis.

> At man rent faktisk beviseligt kan bevise at nogle sætninger ikke
kan
> bevises konstruktivt.
> Men som sagt jeg ved ikke om et sådant bevis kan føres og i givet
fald
> hvordan...

Som du også er inde på.

Min fornemmelse siger mig, at det bør der findes en sådan sætning,
men jeg er ikke sikker på, at der er nogen, der har bevist det.

Du kan sammenligne situationen med udvalgsaksiomet. Der er også to
slags matematik
altefter om man accepterer udvalgsaksiomet eller ej.

Set fra (den teoretisk anlagte) matematikers synspunkt er det
ligegyldigt, hvilken
man beskæftiger sig med. Det vigtigste er, at man er i stand til at
formulere og bevise
interassante sætninger. Derfor kan man sige at konstruktivistisk
matematik
er en anelse kedeligt. Hvorfor smide de mange gode idéer og begreber
over bords
på grund af en ligegyldig detalje.

---

Jens Axel Søgaard wrote:
>> Detter er netop grunden til spørgsmålet. Jeg skal til eksamen i
>> topologi på næste tirsdag og sidder selvfølgelig og læser på det.
>
> Knæk og bræk. Hvilken bog bruger I? Hvem har I?

Tak... (jeg håber ikke jeg får brug for "Held og Lykke"
Vi bruger "Grundbegreber i den moderne analyse" af Vagn Lundsgaard
Hansen (meget grim skrivemaskine-bog).
Vi har Bent Ørsted fra IMADA i Odense. Flink og god til at formidle
stoffet.

> Det er jo kun en "fejl" i det øjeblik, du tager den beslutning, at du
> kun vil acceptere
> konstruktive beviser. Du kan kan se på den måde, at den konstruktive
> matematik
> er en delmængde af den almindeligt accepterede matematik. Om denne
> delmængde
> udgør det hele, afhænger af, om der findes en sætning med et
> "almindeligt" bevis, som
> ikke har et konstruktivt bevis.

Jeg mente heller ikke en fejl i ordets virkelig forstand. Det var blot
slående hvor mange ikke konstruktive beviser man bruger i topologi.
Men eftersom det danner grundlag for så megen anden matematik, så
bliver man jo alene af den grund, nød til at være
ikke-konstruktivionist (eller hva det nu hedder

>> At man rent faktisk beviseligt kan bevise at nogle sætninger ikke
> kan
>> bevises konstruktivt.
>> Men som sagt jeg ved ikke om et sådant bevis kan føres og i givet
> fald
>> hvordan...
>
> Som du også er inde på.
>
> Min fornemmelse siger mig, at det bør der findes en sådan sætning,
> men jeg er ikke sikker på, at der er nogen, der har bevist det.
>
> Du kan sammenligne situationen med udvalgsaksiomet. Der er også to
> slags matematik
> altefter om man accepterer udvalgsaksiomet eller ej.

Men der har du netop forskellen "-aksiom" eller ikke aksiom. Jeg kender
ikke nogen matematikere som ikke acceptere udvalgsaksiomet.
Og det bliver jo for sine sags skyld også brugt ret så kraftigt i de
fleste topologiske beviser.
Man skal faktisk være overordenligt påpasselig med at det ikke "sniger"
sig ind i beviserne, uden at man opdager det.

> Set fra (den teoretisk anlagte) matematikers synspunkt er det
> ligegyldigt, hvilken
> man beskæftiger sig med. Det vigtigste er, at man er i stand til at
> formulere og bevise
> interassante sætninger. Derfor kan man sige at konstruktivistisk
> matematik
> er en anelse kedeligt. Hvorfor smide de mange gode idéer og begreber
> over bords
> på grund af en ligegyldig detalje.

Dette er ikke en "rigtig" matematikers synspunkt. Han ville ikke synes
at dette er en "ligegyldig detalje". Jeg synes netop matematik er
"fedt" (i mangel af bedrer ord) fordi man skal tage højde for
"detaljen". Hvis man var lígeglad med detalen skulle man læse
kemi/biologi (undskyld til alle kemikere og biologer, men jeg anser
altså ikke jeres videnskab for _eksakt_, selv som jeg nok ikke ville
være foruden
Efter min mening kan man anskue matematik på to måder:
- Det er abstrakte begreber som spindes sammen i et net, som i sig selv
er abstrakt.
- Det er redskabet for fysik/kemi/... og er derfor enormt konkret.
Det er dette samspil som gør matematik specielt og derfor spændende.
Men dette er som sagt min mening (og nu vil tråden garantere udvikle
sig til en dikussion derom

Mvh.
Martin Ehmsen
--
"Life is good for only two things,
discovering mathematics and teaching mathematics"
Siméon Poisson

---

Martin Ehmsen <thames@get2net.dk> writes:

> Jens Axel Søgaard wrote:

[Snip]

> > Min fornemmelse siger mig, at det bør der findes en sådan sætning,
> > men jeg er ikke sikker på, at der er nogen, der har bevist det.
> >
> > Du kan sammenligne situationen med udvalgsaksiomet. Der er også to
> > slags matematik
> > altefter om man accepterer udvalgsaksiomet eller ej.
>
> Men der har du netop forskellen "-aksiom" eller ikke aksiom. Jeg kender
> ikke nogen matematikere som ikke acceptere udvalgsaksiomet.
> Og det bliver jo for sine sags skyld også brugt ret så kraftigt i de
> fleste topologiske beviser.
> Man skal faktisk være overordenligt påpasselig med at det ikke "sniger"
> sig ind i beviserne, uden at man opdager det.

Jeg er tilbøjelig til at være enig med Jens Axel. Der findes også
matematikere, der i hvert fald er påpasselige med at acceptere
udvalgsaksiomet. På mit institut (York) er det specielt et par
funktional-analytikere, der er opmærksomme på den slags. De gav sidste
semester et minikursus i Banach-rum, hvor de bl.a. insisterede på kun
at behandle separable Banach-rum for at undgå at bruge Zorns Lemma
eller Tychonofs Sætning til diverse beviser (specielt
kompaktheds-argumenter). De fulgte alle den slags beviser op med en
bemærkning om, at man under antagelse af udvalgsaksiomet kunne bevise
den tilsvarende generelle sætning.

Nåh ja - held og lykke med eksamen herfra også.

Simon


--
The good Christian should beware of mathematicians, and all those who
make empty prophecies. The danger already exists that the
mathematicians have made a covenant with the devil to darken the
spirit and to confine man in the bonds of Hell. -- St. Augustin

---

Martin Ehmsen wrote:


> Men der har du netop forskellen "-aksiom" eller ikke aksiom. Jeg kender
> ikke nogen matematikere som ikke acceptere udvalgsaksiomet.
> Og det bliver jo for sine sags skyld også brugt ret så kraftigt i de
> fleste topologiske beviser.
> Man skal faktisk være overordenligt påpasselig med at det ikke "sniger"
> sig ind i beviserne, uden at man opdager det.


udvalgsaksiomet har været meget omstridt indenfor matematikken, hvis du
ser på de andre aksiomer for fx N, så er de rimeligt selvindlysende, men
udvalgsakiomet er ikke selvindlysende

i mange mange år skulle matematikkens aksiomer være selvindlysende, hvis
man fx ser på Euklids Elementer, så er hans aksiomer selvindlysende
( måske lige med undtagelse af parallelaksiomet )

derudover så er der et paradoks, der bygger på udvalgsaksiomet, jeg kan
ikke lige huske, hvad det hedder og måske mangler der lidt i
formuleringen, men ideen er følgende: man kan bevise, at hvis man tager
en kugle og deler den i fem stykker, så kan man sætte disse dele sammen
igen og få to kugler med samme volumen som den oprindelige

/marie
--
Marie Antonsen
matematik-filosofi studerende
på Århus Universitet
kontor: F2.12 (3488)

---

Marie Antonsen <marie@daimi.au.dk> writes:

> derudover så er der et paradoks, der bygger på udvalgsaksiomet, jeg kan ikke
> lige huske, hvad det hedder

Banach-Tarskis paradoks.

--
"NOT A CONTINUOUS MAPPING! P--L--O--N--K!!"

---

"Martin Ehmsen" <thames@get2net.dk> wrote in message
news:a2icri$afv$1@sunsite.dk...
> Jens Axel Søgaard wrote:
> >> Detter er netop grunden til spørgsmålet. Jeg skal til eksamen i
> >> topologi på næste tirsdag og sidder selvfølgelig og læser på det.
> >
> > Knæk og bræk. Hvilken bog bruger I? Hvem har I?
>
> Tak... (jeg håber ikke jeg får brug for "Held og Lykke"
> Vi bruger "Grundbegreber i den moderne analyse" af Vagn Lundsgaard
> Hansen (meget grim skrivemaskine-bog).

Den kender jeg ikke. Hvad slags topologi er det?


> > Du kan sammenligne situationen med udvalgsaksiomet. Der er også to
> > slags matematik
> > altefter om man accepterer udvalgsaksiomet eller ej.
>
> Men der har du netop forskellen "-aksiom" eller ikke aksiom. Jeg
kender
> ikke nogen matematikere som ikke acceptere udvalgsaksiomet.

[De andres indlæg]

> > Set fra (den teoretisk anlagte) matematikers synspunkt er det
> > ligegyldigt, hvilken

Arg! Ordet "teori" manglede.

> > man beskæftiger sig med. Det vigtigste er, at man er i stand til
at
> > formulere og bevise
> > interassante sætninger. Derfor kan man sige at konstruktivistisk
> > matematik
> > er en anelse kedeligt. Hvorfor smide de mange gode idéer og
begreber
> > over bords
> > på grund af en ligegyldig detalje.
>
> Dette er ikke en "rigtig" matematikers synspunkt.

Det mener du vel ikke.

En "rigtig" matematiker er bedøvende ligeglad med om "det kan bruges
til noget".
For nu at citere en tilfældig matematiker:

"Life is good for only two things,
discovering mathematics and teaching mathematics"
Siméon Poisson

Læg mærke til det han udelader

Det, der er vigtigt, er idéer og begreber samt især sætninger, som
kobler tilsyneladende separate ideer sammen på overraskende, og gerne
elegant måde.

> Han ville ikke synes, at dette er en "ligegyldig detalje".

Her skal man vurdere

udvalgsaksiomer (mange elegante sætninger)

mod

intet udvalgsaksiom (vi må give afkast på de sætninger, vi ellers
kunne bevise).

Her vil jeg klart foretrække den første. Som eksempel kan vi tage
kugleeksemplet.
Det er da sødt! Det vil vi da ikke undvære. Når vi nu selv kan
bestemme,
hvor så ikke have det sjovt? Ergo er det en "ligegyldig detalje".

At det så er et interessant spørsmål at undersøge forskellen på de to
teoridanneelser
er en anden sag: Hvad kan man bevise i den ene model, men ikke i den
anden?
For dette spørgsmål vil styrke ens forståelse af udvalgsaksiomets
betydning.

> Jeg synes netop matematik er "fedt" (i mangel af bedrer ord) fordi
> man skal tage højde for "detaljen".

Den egenskab er ikke på min top tre over grunde, at matematik er
interessant
Man risikerer så nemt at blive erhvervsskadet - se bare på hvor mange
i
denne gruppe, der går op i retstavning[1].

> Efter min mening kan man anskue matematik på to måder:
> - Det er abstrakte begreber som spindes sammen i et net, som i sig
selv
> er abstrakt.

Du får lige et citat fra Gert K. Pedersens "Analysis Now":

"... mathematics becomes simpler only through abstraction. "

"When this defense has been put forward for official use, we may admit
in
private that the wind is cold on the peaks of abstraction."

> - Det er redskabet for fysik/kemi/... og er derfor enormt konkret.

Hvor meget matematik bruger de egentlig, når det kommer til stykket?

> Det er dette samspil som gør matematik specielt og derfor spændende.
> Men dette er som sagt min mening (og nu vil tråden garantere udvikle
> sig til en dikussion derom

[1] En god ting - så kan man læse hurtigere.

--
Jens Axel

---

Jens Axel Søgaard wrote:

>> Vi bruger "Grundbegreber i den moderne analyse" af Vagn Lundsgaard
>> Hansen (meget grim skrivemaskine-bog).
>
> Den kender jeg ikke. Hvad slags topologi er det?

Vi bruger kun dele deraf. Hvoraf det meste er en inføring i metrisk og
alm. topologi. Hvor de vigtiges begreber bliver gennemgået.

>> Dette er ikke en "rigtig" matematikers synspunkt.
>
> Det mener du vel ikke.

Det var måske sat på spidsen
Men jeg mener en del af matematikkens natur er at man går op i
detaljen. Ellers ville et bevis jo ikke være et bevis i ordets
virkelige forstand.

> En "rigtig" matematiker er bedøvende ligeglad med om "det kan bruges
> til noget".

Det mener du vel ikke.

> For nu at citere en tilfældig matematiker:
>
> "Life is good for only two things,
> discovering mathematics and teaching mathematics"
> Siméon Poisson
>
> Læg mærke til det han udelader

Han har nok også sat det hele lidt på spidsen (men sådan er citater jo
tit).

>> Han ville ikke synes, at dette er en "ligegyldig detalje".
>
> Her skal man vurdere
>
> udvalgsaksiomer (mange elegante sætninger)
>
> mod
>
> intet udvalgsaksiom (vi må give afkast på de sætninger, vi ellers
> kunne bevise).
>
> Her vil jeg klart foretrække den første. Som eksempel kan vi tage
> kugleeksemplet.
> Det er da sødt! Det vil vi da ikke undvære. Når vi nu selv kan
> bestemme,
> hvor så ikke have det sjovt?

Jeg er helt enig med dig, men min pointe er blot at man skal være
bevist om sit valg.
Specielt i topologi, skal man være ekstra påpasselig synes jeg. En af
topologiens styrker er jo netop at det kan bruges til så ufatteligt
meget, fx i fysik.


> Ergo er det en "ligegyldig detalje".

Ligegyldig er altså er for stærkt ord for mig. Hvis den er ligegyldig
så kunne man lige så godt undvære den detalje. Og som skrevet ovenfor
så skal man være bevist om sit valg, altså kan den ikke være ligegyldig.

> At det så er et interessant spørsmål at undersøge forskellen på de to
> teoridanneelser
> er en anden sag: Hvad kan man bevise i den ene model, men ikke i den
> anden?
> For dette spørgsmål vil styrke ens forståelse af udvalgsaksiomets
> betydning.

Enig.

>> Jeg synes netop matematik er "fedt" (i mangel af bedrer ord) fordi
>> man skal tage højde for "detaljen".
>
> Den egenskab er ikke på min top tre over grunde, at matematik er
> interessant
> Man risikerer så nemt at blive erhvervsskadet - se bare på hvor mange
> i
> denne gruppe, der går op i retstavning[1].

Ikke mig (du er velkommen til at lede gruppen igennem efter mine indlæg
og tjekke dem for stavefejl, hvis du vil
Jeg mener stadig man stadig skal have øje for detaljerne, netop pga. af
at et bevis skal være et _bevis_. Altså der skal være taget højde for
alle detaljer.

>> - Det er redskabet for fysik/kemi/... og er derfor enormt konkret.
>
> Hvor meget matematik bruger de egentlig, når det kommer til stykket?

Det er jeg ikke klare over (jeg vil helst undgå at sætte min ben i et
fysik lokale igen .
Men noget må de da bruge. Igen med min standard reference: Einsteins
relativitetsteori er bygget på et stykke matematik som oprindeligt var
rent abstrakt.

>> Det er dette samspil som gør matematik specielt og derfor spændende.
>> Men dette er som sagt min mening (og nu vil tråden garantere udvikle
>> sig til en dikussion derom
>
> [1] En god ting - så kan man læse hurtigere.

Okay, jeg kan godt se den er specielt slem

Martin Ehmsen
--
"Life is good for only two things,
discovering mathematics and teaching mathematics"
Siméon Poisson

---

> > En "rigtig" matematiker er bedøvende ligeglad med om "det kan bruges
> > til noget".
>
> Det mener du vel ikke.

Det tror jeg han gør - desværre.

Kasper

---

"Kasper Daniel Hansen" <kdh@omk.dk> writes:

> > > En "rigtig" matematiker er bedøvende ligeglad med om "det kan bruges
> > > til noget".
> >
> > Det mener du vel ikke.
>
> Det tror jeg han gør - desværre.

Det tror jeg også at Jens Axel gør, og det gør ham egentlig ære
[1]. Han er på ingen måde alene med denne holdning, og der findes
langt mere rabiate eksempler på denne. Læser man f.eks. Hardys "A
Mathmaticians Apology" vil man finde, at Hardy ikke blot mener at hans
matematik er praktisk uanvendelig. Han er faktisk stolt over det! At
han så tog grumme fejl på spørgsmålet om sine resultaters
anvendelighed er en helt anden snak.

At jeg mener, at denne holdning gør Jens Axel ære, skyldes at hvis al
matematisk forskning skulle være orienteret mod anvendelser, ville vi
ikke have haft en stor mængde værktøjer ved hånden i det øjeblik en
anvendelsesmulighed meldte sig. Eksempelvis fandt de fleste af Hardys
resultater ikke anvendelse før der var computere lang tid efter Hardys
død i 1947.

Simon


[1] Ikke overraskende er jeg selv af samme mening.

--
The good Christian should beware of mathematicians, and all those who
make empty prophecies. The danger already exists that the
mathematicians have made a covenant with the devil to darken the
spirit and to confine man in the bonds of Hell. -- St. Augustin

---

> At jeg mener, at denne holdning gør Jens Axel ære, skyldes at hvis al
> matematisk forskning skulle være orienteret mod anvendelser, ville vi
> ikke have haft en stor mængde værktøjer ved hånden i det øjeblik en
> anvendelsesmulighed meldte sig. Eksempelvis fandt de fleste af Hardys
> resultater ikke anvendelse før der var computere lang tid efter Hardys
> død i 1947.
>
> Simon
>
> [1] Ikke overraskende er jeg selv af samme mening.
>
Jeg er også helt enig, og vil godt udstrække udsagnet til at gælde andre
naturvidenskabelige discipliner som fysik, kemi, biologi o.s.v.


--

Poul Evald

pevh@vip.cybercity.dk

---

"Simon Kristensen" <spam_me_senseless@simonsays.dk> wrote in message
news:m3n0z52xmn.fsf@chaos1.york.ac.uk...
> "Kasper Daniel Hansen" <kdh@omk.dk> writes:
>
> > > > En "rigtig" matematiker er bedøvende ligeglad med om "det kan
bruges
> > > > til noget".
> > >
> > > Det mener du vel ikke.
> >
> > Det tror jeg han gør - desværre.

Jeg var ellers meget omhyggelig med at sætte rigtig i anførelsestegn


> Det tror jeg også at Jens Axel gør, og det gør ham egentlig ære
> [1].

Smigrende.

> Han er på ingen måde alene med denne holdning, og der findes
> langt mere rabiate eksempler på denne. Læser man f.eks. Hardys "A
> Mathmaticians Apology" vil man finde, at Hardy ikke blot mener at
hans
> matematik er praktisk uanvendelig. Han er faktisk stolt over det! At
> han så tog grumme fejl på spørgsmålet om sine resultaters
> anvendelighed er en helt anden snak.

Det væsentlige er vel også, at han havde fornøjelse af at komme frem
til sine
resultater. At de så kan bruges kan ses som en bonus.

Jeg er nok knap så rabiat. Jeg mener ikke, at teorier, der kan bruges
til
noget, er mindre interessante end de knap så anvendelige. Jeg er
snarere
af den holdning, at en teori ikke bliver mere interessant af at kunne
bruges.
Jeg går mest op i ideer og deres indbyrdes relationer. Om de så drejer
sig om det ene eller det andet, er for så vidt ikke så vigtigt.

> At jeg mener, at denne holdning gør Jens Axel ære, skyldes at hvis
al
> matematisk forskning skulle være orienteret mod anvendelser, ville
vi
> ikke have haft en stor mængde værktøjer ved hånden i det øjeblik en
> anvendelsesmulighed meldte sig. Eksempelvis fandt de fleste af
Hardys
> resultater ikke anvendelse før der var computere lang tid efter
Hardys
> død i 1947.

For dem, der ikke kender Hardy, kan jeg lige nævne, at Hardy blandt
andet
beskæftigede sig meget med talteori. Meget af den talteori har
betydning for
kryptologi.


En ting, man skal holde sig for øje, i en diskussion som denne, er, at
folk
forbinder matematik med vidt forskellige ting. Den matematik, man ser
de to første år i et matematikstudium vil som oftest "kunne bruges til
noget".
Videregående matematik er meget abstrakt og må som oftest siges at
ligge
langt fra anvendelser. ( Men lad nu være med at fortælle det til dem,
der bevilger
penge ).

Dermed ikke sagt, at diverse områder er startet udfra konkrete
eksempler,
men som GKP-citatet fortalte, så er det via abstraktion, man kommer
videre
i matematik. Hvorfor bruge tid på at vise to forskellige teorier, hvis
man kan
nøjes med at behandle en abstrakt teori, der indeholder de to konkret,
som
specialtilfælde?

--
Jens Axel

---

"Jens Axel Søgaard" <usenet@jasoegaard.dk> writes:

> "Simon Kristensen" <spam_me_senseless@simonsays.dk> wrote in message
> news:m3n0z52xmn.fsf@chaos1.york.ac.uk...
>
> > Det tror jeg også at Jens Axel gør, og det gør ham egentlig ære
> > [1].
>
> Smigrende.

Det bliver også sidste gang, du hører den slags fra mig

> > Han er på ingen måde alene med denne holdning, og der findes
> > langt mere rabiate eksempler på denne. Læser man f.eks. Hardys "A
> > Mathmaticians Apology" vil man finde, at Hardy ikke blot mener at
> hans
> > matematik er praktisk uanvendelig. Han er faktisk stolt over det! At
> > han så tog grumme fejl på spørgsmålet om sine resultaters
> > anvendelighed er en helt anden snak.
>
> Det væsentlige er vel også, at han havde fornøjelse af at komme frem
> til sine
> resultater. At de så kan bruges kan ses som en bonus.
>
> Jeg er nok knap så rabiat. Jeg mener ikke, at teorier, der kan bruges
> til
> noget, er mindre interessante end de knap så anvendelige. Jeg er
> snarere
> af den holdning, at en teori ikke bliver mere interessant af at kunne
> bruges.
> Jeg går mest op i ideer og deres indbyrdes relationer. Om de så drejer
> sig om det ene eller det andet, er for så vidt ikke så vigtigt.

Det er også min opfattelse, at din holdning deles af langt de fleste
rene matematikere. Anvendt matematik kan dog også være meget
spændende. Den mand, hvis job i ren matematik jeg nu har overtaget,
lod sig besmitte af anvendte matematikere og arbejder nu med
trafik-kontrol! Men man har jo et standpunkt, til man tager et nyt.

> > At jeg mener, at denne holdning gør Jens Axel ære, skyldes at hvis
> al
> > matematisk forskning skulle være orienteret mod anvendelser, ville
> vi
> > ikke have haft en stor mængde værktøjer ved hånden i det øjeblik en
> > anvendelsesmulighed meldte sig. Eksempelvis fandt de fleste af
> Hardys
> > resultater ikke anvendelse før der var computere lang tid efter
> Hardys
> > død i 1947.
>
> For dem, der ikke kender Hardy, kan jeg lige nævne, at Hardy blandt
> andet
> beskæftigede sig meget med talteori. Meget af den talteori har
> betydning for
> kryptologi.

Jeg tror, at Hardy ville være forfærdet over, hvad hans matematik blev
brugt til. Hardy var pacifist, og en overordentlig stor del af den
eksisterende kryptologi er udviklet af militæret i krigsøjemed. Jeg
har det selv lidt på samme måde. Jeg vil nødig se min forskniong blive
brugt til at lave bomber med. Derfor forsker jeg i noget aldeles
nyttesløst.

> En ting, man skal holde sig for øje, i en diskussion som denne, er, at
> folk
> forbinder matematik med vidt forskellige ting. Den matematik, man ser
> de to første år i et matematikstudium vil som oftest "kunne bruges til
> noget".
> Videregående matematik er meget abstrakt og må som oftest siges at
> ligge
> langt fra anvendelser. ( Men lad nu være med at fortælle det til dem,
> der bevilger
> penge ).

Nej, lad for Himlens skyld være med at sige det til nogen. Faktisk er
det mit indtryk, at det meste grundforskning (ikke
anvendelses-orienterede) er financieret af forskningsråd og andre
offentlige organer, mens anvendt matematik i højere grad er
financieret af erhvervslivet. Sådan er det i hvert fald her.

> Dermed ikke sagt, at diverse områder er startet udfra konkrete
> eksempler,
> men som GKP-citatet fortalte, så er det via abstraktion, man kommer
> videre
> i matematik. Hvorfor bruge tid på at vise to forskellige teorier, hvis
> man kan
> nøjes med at behandle en abstrakt teori, der indeholder de to konkret,
> som
> specialtilfælde?

Amen!

Simon

--
The good Christian should beware of mathematicians, and all those who
make empty prophecies. The danger already exists that the
mathematicians have made a covenant with the devil to darken the
spirit and to confine man in the bonds of Hell. -- St. Augustin

---

Martin Ehmsen wrote:

>>En "rigtig" matematiker er bedøvende ligeglad med om "det kan bruges
>>til noget".
>
> Det mener du vel ikke.
>


det tror jeg da nok, at han gør, det gør de fleste matematikere (inkl. mig)

> Jeg er helt enig med dig, men min pointe er blot at man skal være
> bevist om sit valg.
> Specielt i topologi, skal man være ekstra påpasselig synes jeg. En af
> topologiens styrker er jo netop at det kan bruges til så ufatteligt
> meget, fx i fysik.


jeg kender da en del, der har topology nu, og de er ret så ligeglade
med, at det kan bruges i fysikken, de synes, det er spændende i sig selv
(fx en doughnuts egenskaber)


>>>Jeg synes netop matematik er "fedt" (i mangel af bedrer ord) fordi
>>>man skal tage højde for "detaljen".
>>>
>>Den egenskab er ikke på min top tre over grunde, at matematik er
>>interessant
>
> Jeg mener stadig man stadig skal have øje for detaljerne, netop pga. af
> at et bevis skal være et _bevis_. Altså der skal være taget højde for
> alle detaljer.


av av av, hvad er _alle_ detaljer?
hvis man fx ser på udviklingen af Euler-karakteristikken for polyedre
(og herunder udviklingen af polyederbegrebet), hvor man prøver at finde
en sammenhæng mellem #kanter, E, #hjørner, V, og #flader, F, så når man
på et tidspunkt frem til:
For et n-sfærisk polyeder er V-E+F=2-2(n-1)
og derfra videre til:
For polyedre med huler skal man addere euler-karakteristikken for hver
af de usammenhængende flader:
V-E+F=\sum_{j=1}^K (2-2(n_j-1)+\sum_{k=1}^F e_{kj})
men man kan blive ved med at tage flere og flere "underlige" polyedre
med og få længere og længere udtryk for V-E+F, men hvor længe skal man
fortsætte for at gå ned i detaljen?
man ved ikke, om man nogensinde vil nå frem til en sætning og et bevis
for denne, der har alt med, og om det er muligt...
(dette er fra Lakatos: Beviser og gendrivelser, som handler om
udviklingen af matematikken)


>>>- Det er redskabet for fysik/kemi/... og er derfor enormt konkret.
>>>
>>Hvor meget matematik bruger de egentlig, når det kommer til stykket?
>
> Det er jeg ikke klare over (jeg vil helst undgå at sætte min ben i et
> fysik lokale igen .
> Men noget må de da bruge.


ja de bruger vel noget, men de snyder... fx så tjekker de ikke, om de
kan integrere, de gør det bare og håber på, at det går godt,
jeg kender da mindst en, der er ligeglad med beviserne, hun vil bare
have nogle formler og sætninger

/marie
--
Marie Antonsen
matematik-filosofi studerende
på Århus Universitet
kontor: F2.12 (3488)

---

Marie Antonsen wrote:

>>>En "rigtig" matematiker er bedøvende ligeglad med om "det kan bruges
>>>til noget".
>>
>> Det mener du vel ikke.
>
> det tror jeg da nok, at han gør, det gør de fleste matematikere
> (inkl. mig)

Jeg mener (hvis du ser på de andre dele af disse tråde) at matematik
har to dele: En hvor man ser på det hele abstrakt og en anden hvor man
ser på anvendelserne.

Jeg er altså at den opfattelse at man skal acceptere begge sider. Jeg
godt lide matematik fordi det er abstrakt men så sandelig også fordi
det kan bruges til noget.
Det er det som jeg argumenterede for før, som gør matematik specielt:
At noget som var tænkt abstrakt for det abstraktes skyld, pludselig kan
bruges til noget.

Martin
--
"Life is good for only two things,
discovering mathematics and teaching mathematics"
Siméon Poisson

---

"Marie Antonsen" <marie@daimi.au.dk> wrote in message
news:3C4EB724.7040809@daimi.au.dk...
> Martin Ehmsen wrote:

> > Jeg mener stadig man stadig skal have øje for detaljerne, netop
pga. af
> > at et bevis skal være et _bevis_. Altså der skal være taget højde
for
> > alle detaljer.

> av av av, hvad er _alle_ detaljer?
> hvis man fx ser på udviklingen af Euler-karakteristikken for
polyedre
> (og herunder udviklingen af polyederbegrebet), hvor man prøver at
finde
> en sammenhæng mellem #kanter, E, #hjørner, V, og #flader, F, så når
man
> på et tidspunkt frem til:
> For et n-sfærisk polyeder er V-E+F=2-2(n-1)
> og derfra videre til:
> For polyedre med huler skal man addere euler-karakteristikken for
hver
> af de usammenhængende flader:
> V-E+F=\sum_{j=1}^K (2-2(n_j-1)+\sum_{k=1}^F e_{kj})
> men man kan blive ved med at tage flere og flere "underlige"
polyedre
> med og få længere og længere udtryk for V-E+F, men hvor længe skal
man
> fortsætte for at gå ned i detaljen?
> man ved ikke, om man nogensinde vil nå frem til en sætning og et
bevis
> for denne, der har alt med, og om det er muligt...
> (dette er fra Lakatos: Beviser og gendrivelser, som handler om
> udviklingen af matematikken)

Det er et ret godt eksempel. Der findes utallige versioner af
generalisationer
af den sætning. De drejer sig alle om flader (eller mangfoldigheder)
med
som er mere eller mindre glatte / kontinurte / med enkelte
diskontinuiteter /
med eller uden rand/ etc.

> >>>- Det er redskabet for fysik/kemi/... og er derfor enormt
konkret.
> >>>
> >>Hvor meget matematik bruger de egentlig, når det kommer til
stykket?

> ja de bruger vel noget, men de snyder... fx så tjekker de ikke, om
de
> kan integrere, de gør det bare og håber på, at det går godt,
> jeg kender da mindst en, der er ligeglad med beviserne, hun vil bare
> have nogle formler og sætninger

Det er også mit indtryk.

--
Jens Axel

---

> >> Jeg synes netop matematik er "fedt" (i mangel af bedrer ord)
fordi
> >> man skal tage højde for "detaljen".
> >
> > Den egenskab er ikke på min top tre over grunde, at matematik er
> > interessant
> > Man risikerer så nemt at blive erhvervsskadet - se bare på hvor
mange
> > i
> > denne gruppe, der går op i retstavning[1].
>
> Ikke mig (du er velkommen til at lede gruppen igennem efter mine
indlæg
> og tjekke dem for stavefejl, hvis du vil

Retstavning var bare et eksempel. Så går du sikkert op i
formuleringer.
Kunne den sætning misforstås? Ville det ikke være bedre at sige ...?
Når man skriver en matematisk tekst, er det vigtigt, at der ikke er
tvetydigheder - det er svært at lægge på hylden i andre sammenhænge.

I øvrigt kan jeg advare mod at bruge modstridsbeviser i diskussioner
med
andre end matematikere. Hvis en eller anden kommer med tåbelig
påstand,
så er en måde at tilbagevise den, at fremføre de logiske konskvenser
af den
den tåbelige påstand. Jo mere tåbeligt man kan udlede, jo mere klart
er det,
at den oprindelige påstand er tåbelig. Er folk ikke vant til denne
argumentationsform, falder den desværre grumme til jorden.


> Jeg mener stadig man stadig skal have øje for detaljerne, netop pga.
af
> at et bevis skal være et _bevis_. Altså der skal være taget højde
for
> alle detaljer.

Det er klart. Men er pedanteri _årsagen_ til at matematik er
interessant?
Jeg håber, da du går mere op i idéerne

> >> - Det er redskabet for fysik/kemi/... og er derfor enormt
konkret.
>
> > Hvor meget matematik bruger de egentlig, når det kommer til
stykket?
>
> Det er jeg ikke klare over (jeg vil helst undgå at sætte min ben i
et
> fysik lokale igen .
> Men noget må de da bruge. Igen med min standard reference: Einsteins
> relativitetsteori er bygget på et stykke matematik som oprindeligt
var
> rent abstrakt.

Jeg hælder efterhånden til at "det kan bruges i fysik" er et
salgsargument.
Ikke noget man skal tage synderligt alvorligt. Eksempel: Før i tiden
skulle fysikerne (i Aarhus) have kurset "Differentialligninger og
dynamiske
systemer" (det kan jo bruges i fysik). Her beskæftigede man sig blandt
andet
med, hvilke typer differentialligninger, som kan løses.
Nu er kurset afløst af "Kompleks Analyse". I fysik var det nemlig
meget sjældent, de bekymrede sig om eksistensen (som ofte er
givet udfra fysiske overvejelser).

--
Jens Axel

---

> At man rent faktisk beviseligt kan bevise at nogle sætninger ikke kan
> bevises konstruktivt.
> Men som sagt jeg ved ikke om et sådant bevis kan føres og i givet fald
> hvordan...

Efter min opfattelse/erindring er der forskel på at være konstruktivist og
intuitionist. Nedenunder er der en udemærket gennemgang af intuitionistisk
logik (ikke at jeg selv ved meget om det), men konstruktivisme er
karakteriseret af at alle beviser skal være konstruktive. Såvidt jeg ved
medfører det at en rigtigt konstruktivist ikke accepterer uendelighed fordi
du ikke konstruktivt kan lave uendelighed. Med konstruktivt mener jeg
konstruerer i en endelig række trin. Og så burde det vist være klart at der
er store dele af matematikken som ikke accepteres af konstruktivisterne.

Kasper

---

Scripsit "Kasper Daniel Hansen" <kdh@omk.dk>

> Efter min opfattelse/erindring er der forskel på at være konstruktivist og
> intuitionist. Nedenunder er der en udemærket gennemgang af intuitionistisk
> logik (ikke at jeg selv ved meget om det), men konstruktivisme er
> karakteriseret af at alle beviser skal være konstruktive. Såvidt jeg ved
> medfører det at en rigtigt konstruktivist ikke accepterer uendelighed fordi
> du ikke konstruktivt kan lave uendelighed.

Jeg er ret sikker på at logikken er den samme, men det kan være at en
af grupperne (konstruktivister/intuitionister) derudover stiller krav
til hvilke aksiomsystemer de vil acceptere.

--
Henning Makholm "Hvorfor skulle jeg tale som en slave og en tåbe? Jeg
ønsker ikke, at han skal leve evigt, og jeg ved, at han ikke
kommer til at leve evigt, uanset om jeg ønsker det eller ej."

---

Marie Antonsen <marie@daimi.au.dk> writes:

> konstruktivister), de findes i hvert fald stadig, de accepterer kun
> noget, der kan bevises direkte, men der er vist ikke ret mange i
> Danmark, hvis der er nogen...

Hvis man tæller folk med der interesserer sig for simpelt typet
lambda-kalkule, skal der nok blive nogle stykker. Ok, ikke helt
intuitionistisk logik, men der er næsten det samme når det kommer til
stykket.

--
Når folk spørger mig, om jeg er nørd, bliver jeg altid ilde til mode
og svarer lidt undskyldende: "Nej, jeg bruger RedHat".
-- Allan Olesen på dk.edb.system.unix

---

Peter Makholm <peter@makholm.net> writes:

> Marie Antonsen <marie@daimi.au.dk> writes:
>
> > konstruktivister), de findes i hvert fald stadig, de accepterer kun
> > noget, der kan bevises direkte, men der er vist ikke ret mange i
> > Danmark, hvis der er nogen...
>
> Hvis man tæller folk med der interesserer sig for simpelt typet
> lambda-kalkule, skal der nok blive nogle stykker. Ok, ikke helt
> intuitionistisk logik, men der er næsten det samme når det kommer til
> stykket.

Man kunne fristes til at sige at de er isomorfe :)

/L 'http://www.diku.dk/research-groups/topps/activities/type-theory/'

---

> indenfor matematikken kaldes de intuitionister (eller konstruktivister),
> de findes i hvert fald stadig, de accepterer kun noget, der kan bevises
> direkte, men der er vist ikke ret mange i Danmark, hvis der er nogen...

Er du sikker på at en positivst automatisk er intuitionist eller
konstruktivist? Jeg har - med et begrænset kendskab til positivisme -
indtryk af at en positivist ikke har noget problem med (klassisk) matematik.

Kasper

---

Scripsit "Kasper Daniel Hansen" <kdh@omk.dk>

> Er du sikker på at en positivst automatisk er intuitionist eller
> konstruktivist? Jeg har - med et begrænset kendskab til positivisme -
> indtryk af at en positivist ikke har noget problem med (klassisk) matematik.

Jeg deler din tvivl. Positivisme er vist snarere et
erkendelsesteoretisk program end et matematisk, og jeg ville blive
at positivisme korrelerer med intuitionister.

Man støder ofte på folk der fx afviser al religion med en essientielt
positivistisk argumentation. Men jeg tror aldrig jeg har mødt en
matematiker der for alvor afviste klassisk logik, skønt jeg har
truffet en del der *forsker* i intuitionistisk logik - men altså udfra
en klassisk meta-logik.

--
Henning Makholm "Punctuation, is? fun!"

---

Kasper Daniel Hansen wrote:


> Er du sikker på at en positivst automatisk er intuitionist eller
> konstruktivist? Jeg har - med et begrænset kendskab til positivisme -
> indtryk af at en positivist ikke har noget problem med (klassisk) matematik.

nej, det mener jeg ikke, men udfra resten af den oprindelige meddelelse,
forstod jeg det sådan, at det, han mente, var konstruktivisme

så vidt jeg husker, så er positivister ret så begejstrede for naturvidenskab

/Marie
--
Marie Antonsen
matematik-filosofi studerende
på Århus Universitet
kontor: F2.12 (3488)

---

Scripsit Marie Antonsen <marie@daimi.au.dk>

> så vidt jeg husker, så er positivister ret så begejstrede for naturvidenskab

Det tror da pokker - positivismens grundpåstand er jo nærmest at
naturvidenskabelig erkendelse er den eneste gyldige form for
erkendelse.

--
Henning Makholm "I Guds Faders namn, och Sonens, och den Helige
Andes! Bevara oss från djävulens verk och från Muhammeds,
den förbannades, illfundigheter! Med dig är det värre än med
någon annan, ty att lyssna till Muhammed är det värsta av allt."

---

Martin Ehmsen wrote:

> Hej...
>
> Der var engang (kan ikke huske hvornår) en gruppe mennekser som var
> positivister (altså troede på at alt kunne bevises positivt, dvs. ingen
> modstridsbeviser).
> Jeg har så læst at positivismen "døde" fordi det blev bevist at der
> fandtes sætninger som ikke kunne blive bevist positivt.


der var sidst i det 19. årh. / først i det 20. årh. noget, der blev
kaldt logisk positivisme, der især opstod omkring en gruppe mennesker,
der blev kaldt Winerkredsen, det var bl.a. Wittgenstein, Mach, Schlick
og tildels også Carnap (nogen kalder ham også formalist)

de forkastede en hel masse som meningsløst, bl.a. metafysikken, en teori
kunne kun bruges til noget (havde mening), hvis man kunne vise det
empirisk (vha. sanserne)

Popper var også lidt med i Wienerkredsen, men han var også en af de
største kritikere af den logiske positivisme, bl.a. fordi den vil
acceptere Freuds og Adlers psykoanalytiske modeller, men Popper ser det
som et stort problem, at man kan få _alt_ til at passe ind under disse
modeller ved empiriske undersøgelser, han mener også, at man bruger
metafysikken til at "opdage" nye videnskabelige teorier (det står der en
masse om i "Science: Conjectures and Refutations")

jeg ved ikke om den logiske positivisme regnes for død, men i sin
oprindelige form, er den i hvert fald blevet kritiseret ret så kraftigt,
men nogen opfatter også Popper som en form for logisk positivist

/Marie
--
Marie Antonsen
matematik-filosofi studerende
på Århus Universitet
kontor: F2.12 (3488)

---

Marie Antonsen <marie@daimi.au.dk> writes:

> der blev kaldt Winerkredsen, det var bl.a. Wittgenstein, Mach, Schlick
> og tildels også Carnap (nogen kalder ham også formalist)

Jeg mener ikke at man normalt regner Wittgenstein med til
Wienerkredsen. Mach er jeg lidt i tvivl om, men Carnap skal sikert
regnes med.

Wienerkredsen træder vist først og fremmest frem med
'Wissenschaftliche Weltauffassung der Wiener Kreis' (1929) skrevet af
Neurath, Hanh og Carnap. De var inspireret af Mach, som døde i 1916.

Hvis jeg ikke husker galt har Wittgenstein på det tidspunkt stort set
forkastet Tractatus Logico-Philosophicus, som den logiske positivisme
ellers læner sig meget op ad.

--
Når folk spørger mig, om jeg er nørd, bliver jeg altid ilde til mode
og svarer lidt undskyldende: "Nej, jeg bruger RedHat".
-- Allan Olesen på dk.edb.system.unix

---

> Hvis jeg ikke husker galt har Wittgenstein på det tidspunkt stort set
> forkastet Tractatus Logico-Philosophicus, som den logiske positivisme
> ellers læner sig meget op ad.

Man deler jo også Wittgenstein op i den yngre og den ældre Wittgenstein - og
jeg mener da at den yngre Wittgenstein var positivist. Min gangfælle (som
har studeret filosofi i en del år) giver mig delvist ret: "han var
positiviust eller noget der var tæt på".

Kasper

---

Peter Makholm wrote:

> Marie Antonsen <marie@daimi.au.dk> writes:
>
>
>>der blev kaldt Winerkredsen, det var bl.a. Wittgenstein, Mach, Schlick
>>og tildels også Carnap (nogen kalder ham også formalist)
>>
>
> Jeg mener ikke at man normalt regner Wittgenstein med til
> Wienerkredsen. Mach er jeg lidt i tvivl om, men Carnap skal sikert
> regnes med.


jeg var nok lidt hurtig der, jeg mente, at Wittgenstein var inspiration
for Wienerkredsen

jeg har for nyligt læst en bog af Lakatos, hvor Carnap regnes som
formalist og adskilles fra de logiske positivister, det er godt nok, det
eneste sted, hvor jeg har set det, i et kursus, jeg har haft i
videnskabsteori, blev han regnet som logisk positivist, men det kommer
nok an på, hvordan man ser på det...

> Wienerkredsen træder vist først og fremmest frem med
> 'Wissenschaftliche Weltauffassung der Wiener Kreis' (1929) skrevet af
> Neurath, Hanh og Carnap. De var inspireret af Mach, som døde i 1916.

i.flg. Politikens "Vor tids filosofi: Videnskab og sprog", så er Mach
Wienerkredsens "fader", men derfor behøver han ikke at være med i den...

/Marie
--
Marie Antonsen
matematik-filosofi studerende
på Århus Universitet
kontor: F2.12 (3488)

---

"Kasper Daniel Hansen" <kdh@omk.dk> writes:

> jeg mener da at den yngre Wittgenstein var positivist. Min gangfælle (som
> har studeret filosofi i en del år) giver mig delvist ret: "han var
> positiviust eller noget der var tæt på".

Jeg betvivler ikke at den logiske posivitisme og den yngre
Wittgenstein er så tæt på hinanden at man med rette kan kalde det for
det samme. Det jeg betvivler det er at henregne ham til Wienerkredsen.

Men det er måske forkert af mig at opfatte Wienerkredsen som en
konkret kreds af mennesker, der på samme tid og sted har repræsenteret
i filosofisk retning og ikke bare en bestemt afart at den filosofiske
retning.


--
Når folk spørger mig, om jeg er nørd, bliver jeg altid ilde til mode
og svarer lidt undskyldende: "Nej, jeg bruger RedHat".
-- Allan Olesen på dk.edb.system.unix

---

> Jeg betvivler ikke at den logiske posivitisme og den yngre
> Wittgenstein er så tæt på hinanden at man med rette kan kalde det for
> det samme. Det jeg betvivler det er at henregne ham til Wienerkredsen.

Jeg læste vist ikke godt nok. Iflg. Politikkens filosofileksikon så står
Wittgenstein ikke blandt (de vigtige medlemmer af) Wienerkredsen.

Kasper