---

Hej,

jeg har nu tænkt over et fysisk problem i et stykke tid. Først
baggrund,der kan springes over hvis man lyster:


BAGGRUND:
I en 2D verden, hvis to legemer med hastighederne v, w kolliderer i et
punkt x med veldefinerede normalvektor n_v, n_w=-n_v, hvad er så
hastighdesvektorne for de to legemner efter sammenstødet? Det antages
for nemheds skyld fuldstændig elasticitet og at legemener ikke begynder
at roterer --- pedanter kan forestille sig at det er friktionsløse
skiver. Det var for så vidt ikke så svært da jeg kom i tanke om
impulsbevarelse, der sammen med energibevarelse gav resultatet uden for
mange sværdslag. Men! hvad nu hvis man trækker rotation ind i billedet?
Altså, hvis de to legemer roterer om eget massemidtpunkt og støder
samme, hvad vil deres hastigheder og rotationer da være efterfølgende?
For at gøre det lidt let for mig selv i første omgang, har jeg prøvet at
løse flg. simplificerede opgave:

OPGAVE:
Fortsat i en fiktionsløs 2D-verden, hvor alle legemer har perfekt
elasticitet: Antag at B er en stang der ligger i et fiktivt
koordinatsystem lang 2.aksen således at 1/4 ligger over 1. aksen, og
dermed 3/4 under første-aksen. B ligger helt stille. Antag nu at en
skive A kommer farende med en hastighed v parallelt med førsteaksen, men
uden nogen rotation (hvad der nu burde være ligemeget da der ikke er
nogen friktion.) Hvad vil A og B hastigheder og rotationer være efter et
sammenstød? Alle "opgaveløsere" er meget velkomne til at gøre antagelser
der vil lette udregninger, inklusivt at flytte rundt på legemer. Jeg
skal bare forstå noget grundlæggende fysik.

TAK:
På forhånd 1000 tak for hjælpen!


--
mvh. Esben
home.worldonline.dk/~mesben

---

Esben Mose Hansen wrote:
> jeg har nu tænkt over et fysisk problem i et stykke tid. Først
> baggrund,der kan springes over hvis man lyster:

> OPGAVE:
> Fortsat i en fiktionsløs 2D-verden, hvor alle legemer har perfekt
> elasticitet: Antag at B er en stang der ligger i et fiktivt
> koordinatsystem lang 2.aksen således at 1/4 ligger over 1. aksen, og
> dermed 3/4 under første-aksen. B ligger helt stille. Antag nu at en
> skive A kommer farende med en hastighed v parallelt med førsteaksen, men
> uden nogen rotation (hvad der nu burde være ligemeget da der ikke er
> nogen friktion.) Hvad vil A og B hastigheder og rotationer være efter et
> sammenstød?

Det grundlæggende mekanikbegreb (denne del af fysikken kalden mekanik)
du mangler er impulsmomentet.
For et partikelsystem indfører vi impulsmomentet i forhold til origo som
L_vektor = sum(over partikler) r_vektor x p_vektor ,
hvor r_vektor betegner stedvektoren for en enkelt partikel i forhold til
origo (det vil simpelthen sige vektoren fra origo til partiklen) og
p_vektor betegner partiklens impuls.

Det viser sig nu at impulsmomentet er en bevaret størrelse for et
isoleret partikelsystem, på lige fod med den "almindelige" (lineære)
impuls.[1]

1) Da vi er i xy-planen vil L_vektor være vinkelret på denne, og kun L_z
er derfor forskellig fra 0.
Jeg vil udelade _z fremover.
2) Det viser sig [2] at stangens (b) impulsmomentet omkring
massemidtpunktet(CM) kan skrives
L_b,CM = 1/12 m_b l^2 w_b
hvor l er stangens længde og w_b er omdrejningshastigheden i
radianer/sek
3) Kalder vi sammenstødspunktet origo for S, kan vi endvidere skrive
stangens impulsmoment om S
som summen af L_b,CM og impulsmomentet af stangens
"tyngdepunktspartikel" om S:
L_b,S = L_b,CM - l/4 m_b v_b,x
Hvor v_b,x er x-komposanten af stangens tyngdepunktspartikels[3]
hastighed efter stødet.
(afstanden fra S til stangens massemidtpunkt er l/4)
4) Nu kommer det smarte: Da a før stødet er på vej mod S, og efter er på
vej fra S er L_a,S=0 både
før og efter stødet. Stangen ligger stille før stødet, så det totale
impulsmoment om S før stødet
er altså L_S=0 OG DENNE STØRRELSE ER BEVARET.
Sætter vi resultaterne fra 2 og 3 ind heri får vi
0=1/12 m_b l^2 w_b - 1/4 m_b v_b,x =>
1/3 l w_b = v_b,x
5) Nu skulle du selv kunne gøre opgaven færdig, hvis du blot får at vide
at den kinetisk energi
af stangen efter stødet kan skrives som summen af den kinetiske
energi af tyngdepunktspartiklen
og en rotationel kinetisk energi:
E_kin,b=1/2 m_b v^2_b + 1/2 1/12 m_b l^2 w^2_b
Faktoren 1/12 m_b l^2 som vi også så i punkt 2 kaldes i øvrigt
inertimomentet for stangen (om CM)

Du skal nok også bruge at da vi ikke har friktion kan der kun
udveksles normalkræfter i sammenstødet.
Da disse vil være parallelle med x-aksen vil begge
tyngdepunktsparktikler bevæge sig parallelt med
x-aksen efter stødet. (dvs. v_b=|v_b,x| )

[1]
Loven om impulsbevarelse kan udledes af Newtons tre love (vha. loven om
aktion og reaktion som nok primært er med netop af denne grund). Det
samme gælder ikke om loven om impulsmomentbevarelse, medmindre man
forbyder noget som hedder "ikke-centrale kræfter".
I den såkaldte analytiske mekanik (som beskrive i Goldstein som jeg
nævner nedenfor), formulerer man mekanikken på en helt anden måde. Et af
de smukke resultater der kommer ud af dette er at hvis mekanikkens love
skal være rotationsivariante bliver impulsmomentet nødt til at være en
bevaret størrelse. På samme måde dukker den lineære impuls og
energibevarelsen op som følger af hhv. translations- og tidsinvarians.

[2] Hvis du selv vil prøve at komme videre med impulsmoment (og især med
de smarte regler der gør at det kan bruges til udregninger) skal du nok
have fat i en bog. I stigende sværhedsgrader kan jeg anbefale
Young and Freedman "University Physics" (Nuværende "første fysik bog" i
Århus -- fysik frem for formalisme)
Kleppner and Kolenkow "An introduction to Mechanics" (Tidligere do.)
Goldstein "Classical Mechanics" (Klassikeren på området -- vent et lidt
med denne!)

[3] Tyngdepunktspartiklen for et partikelsystem er (fx en stang) er en
tænkt partikel med masse som hele systemet, placeret i systemets
massemidtpunkt. Loven om impulsbevarelse gælder for
tyngdepunktspartikler (hvilket du allerede har gjort brug af)

Mvh. Janus Wesenberg

---

Janus Wesenberg wrote:

[et langt og glimrende svar]

> Mvh. Janus Wesenberg
>

1000 tak for svaret --- det var lige hvad jeg skulle bruge! Tricket var,
som du skrev, at ethvert legeme har et impulsmoment omkring et vilk.
punkt i planen, og at det samlede impulsmomemt om /et givet, fast punkt
i planen/ er konstant. Det var især det sidste jeg kludrede i--- og så
løb jeg hele tiden ind i absurditeter. Resten er bare regning... det kan
jeg (som regel) godt klare

--
mvh. Esben
home.worldonline.dk/~mesben