---

Hej alle!
Det er jo blevet eksamenstid, og vi er stødt ind i et lille problem. Helt
konkret går opgaven ud op følgende:

Hvis u og v er harmonisk konjugerede, så er det nemt at vise at så er også
u­·v harmonisk. Derefter bliver vi bedt om at bestemme en harmonisk
konjugeret til u·v.

Hvordan gør man den slags, noget med at løse Cauchy-Riemann ligningerne,
eller hvad?

Og nu ikke noget med at 'snyde': "Jamen, I kan da nok se, at den er
realdelen/imaginærdelen af denne holomorfe funktion, f(z)=..."

Mvh
Jes Hansen

---

Jeg har prøvet at integrere \frac{\partial}{\partial x}(uv) med hensyn til y
for at få det ønskede. Er det den korrekte fremgangsmåde? Jeg har fået den
harmonisk konjugerede, g, til uv til

\begin{align*}
g &= \int \frac{\partial}{\partial x}(uv)\,dy \\
&= \int \left( \frac{\partial u}{\partial x}\cdot v+u\cdot\frac{\partial
v}{\partial x} \right )\,dy\\
&= \int v\cdot\frac{\partial u}{\partial x}\,dy+\int u\cdot\frac{\partial
v}{\partial x}\,dy\\
&= \int v\cdot\frac{\partial v}{\partial y}\,dy+\int -u\cdot\frac{\partial
u}{\partial y}\,dy\\
&= \int \frac{d}{dy}\left( \frac{1}{2}v^2
\right)\,dy-\int\frac{d}{dy}\left( \frac{1}{2}u^2 \right)\,dy\\
&= \frac{1}{2}v^2-\frac{1}{2}u^2\\
&= \frac{1}{2}(v^2-u^2)
\end{align*}

Ser det rigtigt ud?

Mvh Jes Hansen

---

"Jes Hansen" <rjcfuiy001@sneakemail.com> writes:

Eftersom jeg har været din instruktor i 2KF (som dette spørgsmål klart
vedrører) hele efteråret, ved jeg jo også at du skal til eksamen i
morgen, så vil jeg svare lidt uddybende men måske groft.

Den rigtige måde at løse opgaven på *er* at gætte på at uv nok kommer
fra at kvadrere en funktion, og så udregne (u+iv)^2=(u^2-v^2)-2uv. Alt
andet er alt for meget arbejde!

Jeg bytter lige lidt rundt på rækkefølgen af det du skrev.

> \begin{align*}
> g &= \int \frac{\partial}{\partial x}(uv)\,dy \\
> &= \int \left( \frac{\partial u}{\partial x}\cdot v+u\cdot\frac{\partial
> v}{\partial x} \right )\,dy\\
> &= \int v\cdot\frac{\partial u}{\partial x}\,dy+\int u\cdot\frac{\partial
> v}{\partial x}\,dy\\
> &= \int v\cdot\frac{\partial v}{\partial y}\,dy+\int -u\cdot\frac{\partial
> u}{\partial y}\,dy\\
> &= \int \frac{d}{dy}\left( \frac{1}{2}v^2
> \right)\,dy-\int\frac{d}{dy}\left( \frac{1}{2}u^2 \right)\,dy\\
> &= \frac{1}{2}v^2-\frac{1}{2}u^2\\
> &= \frac{1}{2}(v^2-u^2)
> \end{align*}
>
> Ser det rigtigt ud?

Det burde du nok selv have regnet efter, men det kan jo ses af mit svar
ovenfor at du har ret.

> Jeg har prøvet at integrere \frac{\partial}{\partial x}(uv) med hensyn til y
> for at få det ønskede. Er det den korrekte fremgangsmåde?

Når u er tilstrækkelig pæn (formuler selv det præcise krav), ser det ud
til at virke. En skitse til et bevis (i delvis TeX):

Lad u(x,y) være en harmonisk funktion, så har vi at
(\partial^2u)/(\partial x^2)+(\partial^2u)/(\partial v^2)=0, som også
kan skrives (\partial^2u)/(\partial x^2)=-(\partial^2u)(\partial v^2).

Sæt v(x,y)=\int (\partial u)(\partial x) dy.

Vis at f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y) er holomorf, ved at tjekke Cauchy-Riemann
ligningerne. Den ene er triviel, i den anden får du nok brug for at
ombytte integration og differentiation. Det er så vidt jeg kan se det
sværest punkt i beviset.

Vis at v er harmonisk ved at udregne (\partial^2v)/(\partial
x^2)+(\partial^2v)/(\partial y^2). Her får du brug for Cauchy-Riemann,
og at (\partial)/(\partial x)(\partial u)/(\partial y)
=(\partial)/(\partial y)(\partial u)/(\partial x). (Jeg har skrevet at u
er tilstrækkelig pæn.)

Det her er ikke pensum, og selvom du selvfølgelig til eksamen kan
foretage udregninger af denne art på et stykke kladdepapir, vil det være
svært at argumentere fornuftigt for at gætte på præcis den konjugerede
du finder! Langt sværere end det er at argumentere for at prøve at
kvadrere en holomorf funktion, for at få et produkt af dens real- og
imaginærdel.

..Henrik

--
"Det er fundamentalt noget humanistisk vås, at der er noget,
der hedder blød matematik."
--- citat Henrik Jeppesen, dekan for det naturvidenskabelige fakultet