---

Hej

Er der nogle der vil hjælpe mig med at finde en 5. gradsligining ud
fra dette:

a*(-20)^5+b*(-20)^4+c*(-20)^3+d*(-20)^2+e*(-20)+f=8
f'(-20)=5*a*(-20)^4+4*b*(-20)^3+3*c*(-20)^2+d*(-20)-20=0

a*(-15)^5+b*(-15)^4+c*(-15)^3+d*(-15)^2+e*(-15)+f=4
f'(-15)=5*a*(-15)^4+4*b*(-15)^3+3*c*(-15)^2+d*(-15)-15=0


a*(-10)^5+b*(-10)^4+c*(-10)^3+d*(-10)^2+e*(-10)+f=6
f'(-10)=5*a*(-10)^4+4*b*(-10)^3+3*c*(-10)^2+d*(-10)-10=0


a*(0)^5+b*(0)^4+c*(0)^3+d*(0)^2+e*(0)+f=0
f'(0)=5*a*(0)^4+4*b*(0)^3+3*c*(0)^2+d*(0)0=0

Jeg har altså 4 punkter:
(-20,8)
(-15,4)
(-10,6)
(0,0)

Jeg ved at i alle punkterne skal der være vandret tangent altså f´=0
Men hvordan finder jeg selve forskriften for ligningen HJÆLP?

Har mulighed for at bruge Matcad + TI92

---

Scripsit Jesper@vels.dk (Jesper Vels)

> Jeg har altså 4 punkter:
> (-20,8)
> (-15,4)
> (-10,6)
> (0,0)

> Jeg ved at i alle punkterne skal der være vandret tangent altså f´=0

Medmindre dine punkter er omhyggeligt valgt, har du altså 8 uafhængige
ligninger, som du skal bruge 8 ubekendte for at være sikker på at
kunne finde en løsning for - altså et syvendegradspolynomium.

--
Henning Makholm "Nobody is going to start shouting
about moral philosophy on my bridge."

---

Jesper Vels wrote:
> Jeg har altså 4 punkter:
> (-20,8), (-15,4), (-10,6), (0,0)

Ok. Jeg formoder du ønsker at konstruere et 7 grads polynomium der
går gennem disse punkter, og har vandret tangent i hver af dem.
Du har derfor 8 betingelser, så der skal nok være 8 koefficienter,
og da den laveste er konstanten er den højeste g*x^7, nogle af
dem kan dog være 0. Du kan ikke løse problemet med et 5 grads
polynomium, fordi der ikke er nok parametre til at få alle
begrænsningerne på plads.

Dvs. polynomiet på en form f(x)=z +a*x +b*x^2 +c*x^3 + .. +g*x^7

z=a=0 kan ses fra den 4 betingelse, men jeg regner helt
generelt, bare for morskabens skyld.

Du kan med fordel skrive polynomiet som f(x)=a.X dvs. prik
produktet mellem to vektorer. a=(z,a,b,c,d,..) er vektoren
med coefficienterne og X=(1,x,x^2,x³,...) er vektoren med x
potenserne i polynomiet.

Dit problem er nu at løse de 8 ligninger
f(x[i])=y[i] og df/dx (x[j])=0 hvor i,j = 1,..,4

f(x[1])=y[1] kan skrives som a.(1,x[1],x[1]^2,x[2]^4,..) = y[1]

df(x)/dx =0 for x=x[1] som a.(0,1,2*x[1],3*x[1]^2,..) = 0

Derfor kan alle 8 ligninger skrives i matrix form:
(forudsat vi begge ikke bruger proportional spacing fonts)

[ 1 x[1] x[1]^2 x[1]^3 .... ] [ z ] [ y[1] ]
[ 1 x[2] x[2]^2 x[2]^3 .... ] [ a ] [ y[2] ]
[ 1 x[3] x[3]^2 x[3]^3 .... ] [ b ] = [ y[3] ]
[ 1 x[4] x[4]^2 x[4]^3 .... ] * [ c ] [ y[4] ]
[ 0 1 2*x[1] 3*x[1]^2 .. ] [ d ] [ 0 ]
[ 0 1 2*x[2] 3*x[2]^2 .. ] [ e ] [ 0 ]
[ 0 1 2*x[3] 3*x[3]^2 .. ] [ f ] [ 0 ]
[ 0 1 2*x[4] 3*x[4]^2 .. ] [ g ] [ 0 ]

Jeg skriver kun de første 4 søjler, du kan let gætte formen
på resten fra mønstret.

Dvs. problemet kan skrives i matrix sprog som M a = b
for M=denne 8x8 matrix, a=vektoren af ukendte coefficienter,
og b=vektoren af y værdier og 0.

Og forusat at matricen har en invers, så er løsningen
a=M^-1 b, dvs. du får løsningen ved at invertere en 8x8 matrix.
(= løse 8 linære ligninger med 8 ubekendte).

Jeg er ret overbevist om at nogle af de smarte
matematiske folk her i gruppen kan bevise at M har
altid en invers, når alle x[1],.. er forskellige, så
det vil jeg ikke bekymre mig om.

Bemærk at ovenstående formulering er let at generalisere
til flere punkter, hvis du kun ønsker at kontrollere
den afledte i visse af punkterne, eller hvis du ønsker at
binde højreordens afledede. Du skal bare altid have lige
så mange parametre som der er betingelser.

> Har mulighed for at bruge Matcad + TI92

Det kan nu heller ikke skade at bruge hovedet!
For sjovs-skyld burde du gøre det i hånden,
Men Mathcad burde let kunne invertere 8x8 matricer.

Den eksakte løsning syntes at være:

z = 0
a = 0
b = 69393983/64591800
c = 13108684187/40692834000
d = 1112124947/25836720000
e = 24738013177/8138566800000
f = 14145349/129183600000
g = 12798403/8138566800000

Jeg har prøvet at løse matrix ligninger i hånden, og når det
ikke er sjovt længre kan man bruge Mathematica. ;*)

--
Carsten Svaneborg
http://www.mpip-mainz.mpg.de/~svanebor

---

Hej Carsten

Jeg er ved at prøve at få det til at passe...

Hvad bruger du til x1, x2, x3 og x4 ?

Best Regards
Jesper Vels


"Carsten Svaneborg" <carsten.svaneborg@se.organisation.header.se> skrev i en
meddelelse news:oab5v9.rf2.ln@zqex.mpip-mainz.mpg.de...
> Jesper Vels wrote:
> > Jeg har altså 4 punkter:
> > (-20,8), (-15,4), (-10,6), (0,0)
>
> Ok. Jeg formoder du ønsker at konstruere et 7 grads polynomium der
> går gennem disse punkter, og har vandret tangent i hver af dem.
> Du har derfor 8 betingelser, så der skal nok være 8 koefficienter,
> og da den laveste er konstanten er den højeste g*x^7, nogle af
> dem kan dog være 0. Du kan ikke løse problemet med et 5 grads
> polynomium, fordi der ikke er nok parametre til at få alle
> begrænsningerne på plads.
>
> Dvs. polynomiet på en form f(x)=z +a*x +b*x^2 +c*x^3 + .. +g*x^7
>
> z=a=0 kan ses fra den 4 betingelse, men jeg regner helt
> generelt, bare for morskabens skyld.
>
> Du kan med fordel skrive polynomiet som f(x)=a.X dvs. prik
> produktet mellem to vektorer. a=(z,a,b,c,d,..) er vektoren
> med coefficienterne og X=(1,x,x^2,x³,...) er vektoren med x
> potenserne i polynomiet.
>
> Dit problem er nu at løse de 8 ligninger
> f(x[i])=y[i] og df/dx (x[j])=0 hvor i,j = 1,..,4
>
> f(x[1])=y[1] kan skrives som a.(1,x[1],x[1]^2,x[2]^4,..) = y[1]
>
> df(x)/dx =0 for x=x[1] som a.(0,1,2*x[1],3*x[1]^2,..) = 0
>
> Derfor kan alle 8 ligninger skrives i matrix form:
> (forudsat vi begge ikke bruger proportional spacing fonts)
>
> [ 1 x[1] x[1]^2 x[1]^3 .... ] [ z ] [ y[1] ]
> [ 1 x[2] x[2]^2 x[2]^3 .... ] [ a ] [ y[2] ]
> [ 1 x[3] x[3]^2 x[3]^3 .... ] [ b ] = [ y[3] ]
> [ 1 x[4] x[4]^2 x[4]^3 .... ] * [ c ] [ y[4] ]
> [ 0 1 2*x[1] 3*x[1]^2 .. ] [ d ] [ 0 ]
> [ 0 1 2*x[2] 3*x[2]^2 .. ] [ e ] [ 0 ]
> [ 0 1 2*x[3] 3*x[3]^2 .. ] [ f ] [ 0 ]
> [ 0 1 2*x[4] 3*x[4]^2 .. ] [ g ] [ 0 ]
>
> Jeg skriver kun de første 4 søjler, du kan let gætte formen
> på resten fra mønstret.
>
> Dvs. problemet kan skrives i matrix sprog som M a = b
> for M=denne 8x8 matrix, a=vektoren af ukendte coefficienter,
> og b=vektoren af y værdier og 0.
>
> Og forusat at matricen har en invers, så er løsningen
> a=M^-1 b, dvs. du får løsningen ved at invertere en 8x8 matrix.
> (= løse 8 linære ligninger med 8 ubekendte).
>
> Jeg er ret overbevist om at nogle af de smarte
> matematiske folk her i gruppen kan bevise at M har
> altid en invers, når alle x[1],.. er forskellige, så
> det vil jeg ikke bekymre mig om.
>
> Bemærk at ovenstående formulering er let at generalisere
> til flere punkter, hvis du kun ønsker at kontrollere
> den afledte i visse af punkterne, eller hvis du ønsker at
> binde højreordens afledede. Du skal bare altid have lige
> så mange parametre som der er betingelser.
>
> > Har mulighed for at bruge Matcad + TI92
>
> Det kan nu heller ikke skade at bruge hovedet!
> For sjovs-skyld burde du gøre det i hånden,
> Men Mathcad burde let kunne invertere 8x8 matricer.
>
> Den eksakte løsning syntes at være:
>
> z = 0
> a = 0
> b = 69393983/64591800
> c = 13108684187/40692834000
> d = 1112124947/25836720000
> e = 24738013177/8138566800000
> f = 14145349/129183600000
> g = 12798403/8138566800000
>
> Jeg har prøvet at løse matrix ligninger i hånden, og når det
> ikke er sjovt længre kan man bruge Mathematica. ;*)
>
> --
> Carsten Svaneborg
> http://www.mpip-mainz.mpg.de/~svanebor

---

Scripsit "Jesper Vels" <Jesper@vels.dk>
> "Carsten Svaneborg" <carsten.svaneborg@se.organisation.header.se> skrev i en
> > Jesper Vels wrote:

> > > Jeg har altså 4 punkter:
> > > (-20,8), (-15,4), (-10,6), (0,0)

> Hvad bruger du til x1, x2, x3 og x4 ?

Velsagtens -20, -15, -10 og 0, som du angiver.

--
Henning Makholm "... popping pussies into pies
Wouldn't do in my shop
just the thought of it's enough to make you sick
and I'm telling you them pussy cats is quick ..."

---

Hej

Jeg har lidt nogle andre oplysninger end dem jeg har skrevet her...
men det vil sku ikke give det, som det skal give se evt:

http://www.kajkage.dk/123/

Der kan i se hvad jeg har gjort / gjort forkert


Best Regards
Jesper Vels

On 13 Dec 2001 19:26:20 +0100, Henning Makholm <henning@makholm.net>
wrote:

>Scripsit "Jesper Vels" <Jesper@vels.dk>
>> "Carsten Svaneborg" <carsten.svaneborg@se.organisation.header.se> skrev i en
>> > Jesper Vels wrote:
>
>> > > Jeg har altså 4 punkter:
>> > > (-20,8), (-15,4), (-10,6), (0,0)
>
>> Hvad bruger du til x1, x2, x3 og x4 ?
>
>Velsagtens -20, -15, -10 og 0, som du angiver.
>
>--
>Henning Makholm "... popping pussies into pies
> Wouldn't do in my shop
> just the thought of it's enough to make you sick
> and I'm telling you them pussy cats is quick ..."

---

Jesper Vels skrev:

> http://www.kajkage.dk/123/

(Kender du ham der har opfundet kajkagerne?)


// Klaus

--
><>    vandag, môre, altyd saam

---

>(Kender du ham der har opfundet kajkagerne?)
Nej desværre ikke... det kunne være nice at møde ham *LOL*

---

Jesper Vels skrev:

>> (Kender du ham der har opfundet kajkagerne?)
>
> Nej desværre ikke... det kunne være nice at møde ham *LOL*

Jeg kender ham - kalder ham Konditor-Kaj - og han har lært mig
at bage franskbrød. Fin fyr.

Men nu må vi hellere tale om noget andet.


// Klaus

--
><>    vandag, môre, altyd saam

---

Hej Carsten

Jeg er ved at prøve at få det til at passe... men syndes ikke rigtig jeg kan


Hvad bruger du til X1, X2, X3 og X4 ?

Best Regards
Jesper Vels
"Carsten Svaneborg" <carsten.svaneborg@se.organisation.header.se> skrev i en
meddelelse news:oab5v9.rf2.ln@zqex.mpip-mainz.mpg.de...
> Jesper Vels wrote:
> > Jeg har altså 4 punkter:
> > (-20,8), (-15,4), (-10,6), (0,0)
>
> Ok. Jeg formoder du ønsker at konstruere et 7 grads polynomium der
> går gennem disse punkter, og har vandret tangent i hver af dem.
> Du har derfor 8 betingelser, så der skal nok være 8 koefficienter,
> og da den laveste er konstanten er den højeste g*x^7, nogle af
> dem kan dog være 0. Du kan ikke løse problemet med et 5 grads
> polynomium, fordi der ikke er nok parametre til at få alle
> begrænsningerne på plads.
>
> Dvs. polynomiet på en form f(x)=z +a*x +b*x^2 +c*x^3 + .. +g*x^7
>
> z=a=0 kan ses fra den 4 betingelse, men jeg regner helt
> generelt, bare for morskabens skyld.
>
> Du kan med fordel skrive polynomiet som f(x)=a.X dvs. prik
> produktet mellem to vektorer. a=(z,a,b,c,d,..) er vektoren
> med coefficienterne og X=(1,x,x^2,x³,...) er vektoren med x
> potenserne i polynomiet.
>
> Dit problem er nu at løse de 8 ligninger
> f(x[i])=y[i] og df/dx (x[j])=0 hvor i,j = 1,..,4
>
> f(x[1])=y[1] kan skrives som a.(1,x[1],x[1]^2,x[2]^4,..) = y[1]
>
> df(x)/dx =0 for x=x[1] som a.(0,1,2*x[1],3*x[1]^2,..) = 0
>
> Derfor kan alle 8 ligninger skrives i matrix form:
> (forudsat vi begge ikke bruger proportional spacing fonts)
>
> [ 1 x[1] x[1]^2 x[1]^3 .... ] [ z ] [ y[1] ]
> [ 1 x[2] x[2]^2 x[2]^3 .... ] [ a ] [ y[2] ]
> [ 1 x[3] x[3]^2 x[3]^3 .... ] [ b ] = [ y[3] ]
> [ 1 x[4] x[4]^2 x[4]^3 .... ] * [ c ] [ y[4] ]
> [ 0 1 2*x[1] 3*x[1]^2 .. ] [ d ] [ 0 ]
> [ 0 1 2*x[2] 3*x[2]^2 .. ] [ e ] [ 0 ]
> [ 0 1 2*x[3] 3*x[3]^2 .. ] [ f ] [ 0 ]
> [ 0 1 2*x[4] 3*x[4]^2 .. ] [ g ] [ 0 ]
>
> Jeg skriver kun de første 4 søjler, du kan let gætte formen
> på resten fra mønstret.
>
> Dvs. problemet kan skrives i matrix sprog som M a = b
> for M=denne 8x8 matrix, a=vektoren af ukendte coefficienter,
> og b=vektoren af y værdier og 0.
>
> Og forusat at matricen har en invers, så er løsningen
> a=M^-1 b, dvs. du får løsningen ved at invertere en 8x8 matrix.
> (= løse 8 linære ligninger med 8 ubekendte).
>
> Jeg er ret overbevist om at nogle af de smarte
> matematiske folk her i gruppen kan bevise at M har
> altid en invers, når alle x[1],.. er forskellige, så
> det vil jeg ikke bekymre mig om.
>
> Bemærk at ovenstående formulering er let at generalisere
> til flere punkter, hvis du kun ønsker at kontrollere
> den afledte i visse af punkterne, eller hvis du ønsker at
> binde højreordens afledede. Du skal bare altid have lige
> så mange parametre som der er betingelser.
>
> > Har mulighed for at bruge Matcad + TI92
>
> Det kan nu heller ikke skade at bruge hovedet!
> For sjovs-skyld burde du gøre det i hånden,
> Men Mathcad burde let kunne invertere 8x8 matricer.
>
> Den eksakte løsning syntes at være:
>
> z = 0
> a = 0
> b = 69393983/64591800
> c = 13108684187/40692834000
> d = 1112124947/25836720000
> e = 24738013177/8138566800000
> f = 14145349/129183600000
> g = 12798403/8138566800000
>
> Jeg har prøvet at løse matrix ligninger i hånden, og når det
> ikke er sjovt længre kan man bruge Mathematica. ;*)
>
> --
> Carsten Svaneborg
> http://www.mpip-mainz.mpg.de/~svanebor