---

Jeg har en funktion: f(x)=sin(x)*sqrt(½-cos(x))
Jeg skal så bestemme Dm(f) og Vm(f).

Ved Dm(f) er jeg kommet frem til dette:

Dm(f)={x i R|½-cos(x)>=0} (undskyld at jeg ikke kan skrive "er element
i"-tegnet)

Hvis man tegner grafen for ½-cos(x) kan man se at Dm(f) periodisk består af
en række intervaller - bedre kan jeg ikke beskrive det.
Altså: Dm(f)=... U [-300;-60] U [60;300] U [420;660] U ... etc. etc. (håber
nogen kan følge mig)

Kan man ikke skrive det på nogen måde? - altså matematisk.

Og kan man komme frem til denne løsning matematisk - altså løse ligningen
½-cos(x)>=0 ?

Og angående Vm(f):

Jeg kan finde minimum og maksium ud fra at finde differentialkvotientens
nulpunkter.
Jeg kom frem til denne ligning: -2=sin²(x)/cos(x)=sin(x)*tan(x)

Men hvordan løses den?

Og hvordan viser jeg at det er iorden at tage minimum og maksimum og sige at
Vm(f) er intervallet fra minimum til maksimum?
- altså at funktionen er kontinuert periodisk...

På forhånd tak for hvilken som helst hjælp!

- Bjarke Walling Petersen

---

Bjarke Walling Petersen wrote:

> Jeg har en funktion: f(x)=sin(x)*sqrt(½-cos(x))
> Jeg skal så bestemme Dm(f) og Vm(f).

Man kan dårligt tale om en funktion uden at fortælle hvilken mængde, der
afbildes på hvilken mængde. Udover en "forestift" burde du altså kræve også
at få oplyst hvorfra elementerne skal tages, og hvorhen de skal sendes.

> Ved Dm(f) er jeg kommet frem til dette:
>
> Dm(f)={x i R|½-cos(x)>=0} (undskyld at jeg ikke kan skrive "er element
> i"-tegnet)

Jeg er bekendt med, at man i gymnasiet mener, at man kan udlede
definitionsmængden ud fra foreskriften. Jeg kan dog ikke se, hvordan dette
kan være veldefineret. (Din Dm(f) kan både være større (f.eks. komplekse
tal) eller mindre (en delmængde af ovenstående).)

Så nægt at løse opgaven, medmindre du mere præcist får defineret hvad Dm(f)
betyder. (Jeg ved naturligvis ikke hvad der står i jeres lærebog.)

--
Morten Bakkedal
http://bakkeland.dk/

---

Morten Bakkedal skrev:
> Man kan dårligt tale om en funktion uden at fortælle hvilken mængde, der
> afbildes på hvilken mængde. Udover en "forestift" burde du altså kræve
også
> at få oplyst hvorfra elementerne skal tages, og hvorhen de skal sendes.

Det forstod jeg ikke helt... er du venlig og uddybe?

> Jeg er bekendt med, at man i gymnasiet mener, at man kan udlede
> definitionsmængden ud fra foreskriften. Jeg kan dog ikke se, hvordan dette
> kan være veldefineret. (Din Dm(f) kan både være større (f.eks. komplekse
> tal) eller mindre (en delmængde af ovenstående).)
>
> Så nægt at løse opgaven, medmindre du mere præcist får defineret hvad
Dm(f)
> betyder. (Jeg ved naturligvis ikke hvad der står i jeres lærebog.)

Ja, måske skulle jeg bare gøre det...

Den med komplekse tal havde jeg ikke lige tænkt på, men det er selvfølgelig
rigtigt. Men jeg kender kun til disse, fordi jeg selv har læst en masse om
det. Her i gymnasiet har vi kun lært om R (samt delmængder af denne) og
arbejder derfor også oftest kun med reele tal.

Og så gælder følgende (vel nok):

Dm(sin)=R
Vm(sin)=[-1;1]
Dm(cos)=R
Vm(cos)=[-1;1]
Dm(sqr)=[0;(uendelig)[
Vm(sqr)=[0;(uendelig)[

- Bjarke Walling Petersen

---

Bjarke Walling Petersen wrote:

> Det forstod jeg ikke helt... er du venlig og uddybe?

Som du selv konstaterer, er det ikke på forhånd klart, hvorfra elementerne
skal tages. Det kan være komplekse tal, reelle tal, rationelle tal eller
noget helt andet (delmængder).

En måde at indføre en funktion f: X -> Y er følgende:

Definition: Ved en afbildning f fra X ind i Y forstås en delmængde af X x
Y[1], hvor der for alle x\in X og findes et og kun et y\in Y så (x,y)\in f.
Vi betegner dette y med f(x).

X kaldes definitionsmængden for f og Y kaldes dispositionsmængden for f.
Værdimængden for f er mængden f(X) = {f(x)|x\in X}.

Vi definerer på denne måde en funktion ved dens graf.

[1] Hvor som bekendt X x Y = {(x,y)|x\in X og y\in Y}.

--
Morten Bakkedal
http://bakkeland.dk/

---

"Morten Bakkedal" <bakkeland@yahoo.dk> writes:

> Definition: Ved en afbildning f fra X ind i Y forstås en delmængde af X x
> Y[1], hvor der for alle x\in X og findes et og kun et y\in Y så (x,y)\in f.
> Vi betegner dette y med f(x).

Som jeg forstod den oprindelige besked, så er der tale om partielle
funktioner, i.e., hvor der for et x \in X findes højst et y \in Y (og
ikke præcist et y) så (x,y) er i grafen for f.

> X kaldes definitionsmængden for f og Y kaldes dispositionsmængden for f.
> Værdimængden for f er mængden f(X) = {f(x)|x\in X}.

For en partiel funktion kan definitionsmængden så være en delmængde af
X, f.eks. f(x)=1/(x^2) hvor f:R -> R ville være udefineret for x=0.


--
Lasse Reichstein Nielsen - lrn@daimi.au.dk
This message may be reproduced freely for non-commercial purposes.
"... but where do you want to go tomorrow?"

---

"Bjarke Walling Petersen" <bwp@bwp.dk> writes:

> Jeg har en funktion: f(x)=sin(x)*sqrt(½-cos(x))
> Jeg skal så bestemme Dm(f) og Vm(f).

> Altså: Dm(f)=... U [-300;-60] U [60;300] U [420;660] U ... etc. etc. (håber
> nogen kan følge mig)
>
> Kan man ikke skrive det på nogen måde? - altså matematisk.

I \LaTeX-notation:
Dm(f)=\bigcup_{p=-\infty}^{\infty} [60+p*360,300+p*360]

Forsøgt efterlignet med ascii-art:
oo
| |
Dm(f) = | | [60+p*360,300+p*360]
\__/
p=-oo

> Og kan man komme frem til denne løsning matematisk - altså løse ligningen
> ½-cos(x)>=0 ?

Man løser ligningen cos(x)=1/2, den har løsningerne 60 og 300, og så
siger man noget med at cos(0)=1 og cos(90)=0 og at cos er kontinuert, og
så er det klaret.

> Og angående Vm(f):
>
> Jeg kan finde minimum og maksium ud fra at finde differentialkvotientens
> nulpunkter.
> Jeg kom frem til denne ligning: -2=sin²(x)/cos(x)=sin(x)*tan(x)
>
> Men hvordan løses den?

Den der ligning har jeg ingen ide om hvordan man skal løse, men jeg får
heller ikke det samme. Jeg får cos(x)-2cos^2(x)+sin^2(x)=0, og hvis jeg
ikke har regnet galt kan det skrives om til cos(x)-cos(2x)=0, som jeg så
heller ikke kan løse lige umiddelbart.

> Og hvordan viser jeg at det er iorden at tage minimum og maksimum og sige at
> Vm(f) er intervallet fra minimum til maksimum?
> - altså at funktionen er kontinuert periodisk...

Den er sammensat af kontinuerte funktioner, og derfor kontinuert. Du kan
dog ikke klare dig med at undersøge funktionsværdien i de punkter hvor
f'(x)=0.

Hvis man kender til kompleks funktionsteori så er den omtalte funktion
hel, og derfor meget rarere at have med at gøre.

..Henrik

--
"Det er fundamentalt noget humanistisk vås, at der er noget,
der hedder blød matematik."
--- citat Henrik Jeppesen, dekan for det naturvidenskabelige fakultet

---

Scripsit "Bjarke Walling Petersen" <bwp@bwp.dk>

> Dm(f)={x i R|½-cos(x)>=0} (undskyld at jeg ikke kan skrive "er element
> i"-tegnet)

"i" er forholdsvis almindelig notation i ascii-sammenhæng.

> Hvis man tegner grafen for ½-cos(x) kan man se at Dm(f) periodisk består af
> en række intervaller - bedre kan jeg ikke beskrive det.
> Altså: Dm(f)=... U [-300;-60] U [60;300] U [420;660] U ... etc. etc. (håber
> nogen kan følge mig)

> Kan man ikke skrive det på nogen måde? - altså matematisk.

En helt symbolsk måde at skrive det på vil være

U { [2n*pi+pi/3;2n*pi+5pi/3] | n i Z }

(idet jeg foretrækker at bruge radianer til sin og cos - hvis du er
sikker på at der menes grader, skifter du bare pi ud med 180).

> Og kan man komme frem til denne løsning matematisk - altså løse ligningen
> ½-cos(x)>=0 ?

I almindelig praktisk matematik er det en ganske anerkendt løsning at
vide hvordan grafen for cos ser ud. Hvis du går efter en mere abstrakt
udledning, må det være noget i retning af:

1. Venstresiden er en kontinuert funktion af x, defineret på hele R.

2. Den eneste måde venstresiden kan skifte mellem negativ og
ikke-negativ er derfor at passere 0.

3. Løsningsmængden er derfor en (evt uendelig) foreningsmængde af
lukkede intervaller med rødder i venstresiden som endepunkter.

4. Rødderne bliver vi nødt til at vide noget om cos i forvejen for
at finde, men de ender med at være

{2n*pi+pi/3 | n i Z} U {2n*pi-pi/3 | n i Z}

5. Uden tab af generalitet kan vi bestemme os for kun at bruge
intervaller hvis endepunkter er *nabo*rødder (samt for en
sikkerheds skyld medtage alle rødderne selv, ligegyldigt om
de er endepunkter i et helt interval der skal med).

6. Venstresiden er desuden klart periodisk med periode 2pi (hvilket
vi i forvejen ved om cos), så vi kan nøjes med at prøve de mulige
intervaller hvis venstre ende ligger i [0;2pi[, og dernæst forskyde
dem et helt antal perioder mod venstre eller højre.

7. Kandidaterne er altså [pi/3;5pi/3] og [5pi/3;7pi/3]. Vi kan afgøre
om hvert af dem skal med ved at gøre prøve med et indre punkt, fx
pi og 2pi. Så finder vi ud af at [pi/3;5pi/3] og dets forskudte
brødre udgør løsningsmængden.

> Jeg kan finde minimum og maksium ud fra at finde differentialkvotientens
> nulpunkter.

Korrekt.

> Jeg kom frem til denne ligning: -2=sin²(x)/cos(x)=sin(x)*tan(x)

Der må være gået noget galt der. Når jeg differentierer ender jeg
(efter at have sat på fælles brøkstreg og ganget nævneren over på
den anden side af lighedstegnet, hvor det bliver spist af nullet)
med en andengradsligning i cosx.

> Og hvordan viser jeg at det er iorden at tage minimum og maksimum og sige at
> Vm(f) er intervallet fra minimum til maksimum?

Du bruger et minimum og maksimum som ligger i samme interval af
definitionsmængden. Idet funktionen er sammensat af operationer
der hver for sig er kontinuerte i det omfang de er definerede, er
hele funktionen også selv kontinuert.

--
Henning Makholm "*Jeg* tænker *strax* på kirkemødet i
Konstantinopel i 381 e.Chr. om det arianske kætteri..."

---

---

Scripsit "Bjarke Walling Petersen" <bwp@bwp.dk>

> · Hvordan kommer i frem til differentialkvotienten
> f'(x)=cos(x)-2cos^2(x)+sin^2(x) ?

Det gør vi heller ikke. Vi når frem til

f'(x) = (cosx - 2cos²x + sin²x)/2sqrt(½-cosx)

men en brøk er jo nul netop når (den er defineret og) tælleren er nul,
så nævneren kan ignoreres, når vi bare er interesserede i at finde
nulpunkter.

Jeg sætter

y = ½-cosx
z = y^½
w = sinx*z

og regner

dy/dx = sinx

dz/dy = 1/(2y^½) = 1/(2z)

dz/dx = dz/dy*dy/dx = sinx/(2z)

dw/dz = cosx*z + sinx*dz/dx
= cosx*z + sin²x/(2z)
= (2cosx*z²+sin²x) / 2z
    = (2cosx*y+sin²x) / 2z
= (2cosx*(½-cosx)+sin²x) / 2z
= (cosx-2cos²x+sin²x) / 2z

--
Henning Makholm "... popping pussies into pies
Wouldn't do in my shop
just the thought of it's enough to make you sick
and I'm telling you them pussy cats is quick ..."

---

Okay... nu kan jeg også få det til at virke!

Mange tak!

- Bjarke Walling Petersen