---

I skolen lærte jeg at diffentialkvotienten til den naturlige
eksponentialfunktion var ....den naturlige eksponentialfunktion og
beviset var særdeles indirekte:

ln(exp(x))=x

Kæderegel for differentiering: d/dx (f o g)(x)=(f´ o g)(x) * g´(x)

Så: (1 / exp(x)) * (exp(x))´ = (1 / exp(x)) * exp(x)=1
dvs:
exp(x) / exp(x) * (exp(x))´=exp(x) <=> (exp(x))´=exp(x)

Er det virkeligt det eneste bevis der kan opstilles ? Det jeg ikke kan
lide er at man bruger reglen til at lave beviset med med en omvej over
kædereglen....altså jeg savner et bevis for reglen der ikke tager
udgangspunkt i reglen selv. Findes det ?

---

"Pedersen"
>I skolen lærte jeg at diffentialkvotienten til den naturlige
>eksponentialfunktion var ....den naturlige eksponentialfunktion og beviset
>var særdeles indirekte:
>
> ln(exp(x))=x
>
> Kæderegel for differentiering: d/dx (f o g)(x)=(f´ o g)(x) * g´(x)
>
> Så: (1 / exp(x)) * (exp(x))´ = (1 / exp(x)) * exp(x)=1
> dvs:
> exp(x) / exp(x) * (exp(x))´=exp(x) <=> (exp(x))´=exp(x)
>
> Er det virkeligt det eneste bevis der kan opstilles ? Det jeg ikke kan
> lide er at man bruger reglen til at lave beviset med med en omvej over
> kædereglen....altså jeg savner et bevis for reglen der ikke tager
> udgangspunkt i reglen selv. Findes det ?

Hvis exp(x) defineres som den omvendte funktion til ln(x) er beviset vel ret
indlysende.

Man kan definere exp(x) ved potensrækken exp(x) = sum(x^n / n!).
Differentieres denne række faar man rækken igen.
Altsaa er exp'(x) = exp(x).
Det kræver selvfølgelig at man har redegjort for at operationen er tilladt.

http://en.wikipedia.org/wiki/Exponential_function

Aage

---

Pedersen <connyhoeyer@stofanet.dk> writes:

> I skolen lærte jeg at diffentialkvotienten til den naturlige
> eksponentialfunktion var ....den naturlige eksponentialfunktion og
> beviset var særdeles indirekte:
>
> ln(exp(x))=x
>
> Kæderegel for differentiering: d/dx (f o g)(x)=(f´ o g)(x) * g´(x)
>
> Så: (1 / exp(x)) * (exp(x))´ = (1 / exp(x)) * exp(x)=1
> dvs:
> exp(x) / exp(x) * (exp(x))´=exp(x) <=> (exp(x))´=exp(x)

Her udnytter du, at du allerede kender differentialet til ln(x), og det
er ikke spor nemmere at vise end differentialet til e^x. Det er
formentlig det, du har imod beviset. Kædereglen er der ikke noget i
vejen med at bruge.

> Er det virkeligt det eneste bevis der kan opstilles ?

Som Aage nævnte, kan man bruge rækkeudviklingen til at finde
differentialet, da man i rækkeudviklingen blot bruger reglen for x^n
gentagne gange.

Man kan også bruge komplekse tal til at vise differentialet af e^x. Det
gælder nemlig at e^x = cos(i*x)-i*sin(i*x), hvor i er kvadratroden af
-1. Vi kan nu bruge reglerne for differentiering af sinus og cosinus:

(e^x)' = (cos(i*x) - i*sin(i*x))'
= cos(i*x)' - i*sin(i*x)'
= -i*sin(i*x) - i*i*cos(i*x)
= -i*sin(i*x) + cos(i*x)
= cos(i*x) - i*sin(x)
= e^x


Torben

---

On 02-09-2011 13:03, Torben Ægidius Mogensen wrote:
> Pedersen<connyhoeyer@stofanet.dk> writes:
>
>> I skolen lærte jeg at diffentialkvotienten til den naturlige
>> eksponentialfunktion var ....den naturlige eksponentialfunktion og
>> beviset var særdeles indirekte:
>>
>> ln(exp(x))=x
>>
>> Kæderegel for differentiering: d/dx (f o g)(x)=(f´ o g)(x) * g´(x)
>>
>> Så: (1 / exp(x)) * (exp(x))´ = (1 / exp(x)) * exp(x)=1
>> dvs:
>> exp(x) / exp(x) * (exp(x))´=exp(x)<=> (exp(x))´=exp(x)
>
> Her udnytter du, at du allerede kender differentialet til ln(x), og det
> er ikke spor nemmere at vise end differentialet til e^x. Det er
> formentlig det, du har imod beviset. Kædereglen er der ikke noget i
> vejen med at bruge.
>
>> Er det virkeligt det eneste bevis der kan opstilles ?
>
> Som Aage nævnte, kan man bruge rækkeudviklingen til at finde
> differentialet, da man i rækkeudviklingen blot bruger reglen for x^n
> gentagne gange.
>
> Man kan også bruge komplekse tal til at vise differentialet af e^x. Det
> gælder nemlig at e^x = cos(i*x)-i*sin(i*x), hvor i er kvadratroden af
> -1. Vi kan nu bruge reglerne for differentiering af sinus og cosinus:
>
> (e^x)' = (cos(i*x) - i*sin(i*x))'
> = cos(i*x)' - i*sin(i*x)'
> = -i*sin(i*x) - i*i*cos(i*x)
> = -i*sin(i*x) + cos(i*x)
> = cos(i*x) - i*sin(x)
> = e^x
>
>
> Torben
Ja at bruge komplekse tal synes jeg en del bedre om :) Tak for hints :)

---

On Fri, 02 Sep 2011 01:28:11 +0200, Pedersen wrote:

> I skolen lærte jeg at diffentialkvotienten til den naturlige
> eksponentialfunktion var ....den naturlige eksponentialfunktion og
> beviset var særdeles indirekte:
>
> ln(exp(x))=x
>
> Kæderegel for differentiering: d/dx (f o g)(x)=(f´ o g)(x) * g´(x)
>
> Så: (1 / exp(x)) * (exp(x))´ = (1 / exp(x)) * exp(x)=1
> dvs:
> exp(x) / exp(x) * (exp(x))´=exp(x) <=> (exp(x))´=exp(x)
>
> Er det virkeligt det eneste bevis der kan opstilles ? Det jeg ikke kan
> lide er at man bruger reglen til at lave beviset med med en omvej over
> kædereglen....altså jeg savner et bevis for reglen der ikke tager
> udgangspunkt i reglen selv. Findes det ?

Hvad med den helt basale metode? Derivatet approksimeres ved
(exp(x+h) - exp(x)) / h = exp(x) * (exp(h) - 1) / h
Den sidste term må have en limit, når h går mod nul, lige med et
- men min matematik rækker ikke så langt til at bevise det, uden
at bruge differentiering. Andre kan sikkert klare resten.
--
Dieter Britz

---

Dieter Britz <dieterhansbritz@gmail.com> writes:


> Hvad med den helt basale metode? Derivatet approksimeres ved
> (exp(x+h) - exp(x)) / h = exp(x) * (exp(h) - 1) / h
> Den sidste term må have en limit, når h går mod nul, lig med et
> - men min matematik rækker ikke så langt til at bevise det, uden
> at bruge differentiering. Andre kan sikkert klare resten.

Det er selvfølgelig en oplagt måde, men den er ikke så nem, som den ser
ud. Naivt set får man, at exp(h) -> 1, når h går mod 0, så man får
grænsen (1-1)/0 = 0/0, som man ikke kan bruge til noget. Man kan dog
bruge Taylorrækken for exp(x):

exp(x) = 1 + x + x^2/2 + x^3/6 ...

Vi får så

(1+h+h^2/2+h^3/6 ... - 1)/h = (h+h^2/2+h^3/6...)/h = 1+h/2+h^2/6+...

som klart går mod 1, når h går mod 0.

Jeg ved dog ikke, om Taylorrækken for exp(x) kan siges at være mere
fundamental end differentialet for exp(x), for generelt bliver
Taylorrækken defineret ved gentagen differentiation.

   Torben

---

On Mon, 05 Sep 2011 15:24:22 +0200, Torben Ægidius Mogensen wrote:

> Dieter Britz <dieterhansbritz@gmail.com> writes:
>
>
>> Hvad med den helt basale metode? Derivatet approksimeres ved (exp(x+h)
>> - exp(x)) / h = exp(x) * (exp(h) - 1) / h Den sidste term må have en
>> limit, når h går mod nul, lig med et - men min matematik rækker ikke så
>> langt til at bevise det, uden at bruge differentiering. Andre kan
>> sikkert klare resten.
>
> Det er selvfølgelig en oplagt måde, men den er ikke så nem, som den ser
> ud. Naivt set får man, at exp(h) -> 1, når h går mod 0, så man får
> grænsen (1-1)/0 = 0/0, som man ikke kan bruge til noget. Man kan dog
> bruge Taylorrækken for exp(x):
>
> exp(x) = 1 + x + x^2/2 + x^3/6 ...
>

Hvis man må bruge Taylorrækken, er der jo en nemmere måde at bevise
det på. Jeg var ude efter at bevise det ved at finde limis af det
udtryk, og det kan sikkert lade sig gøre. Lige som den for sin(x) / x,
som er lig med 1, og hvor der også er "problemet" med 0/0, men alligevel.

--
Dieter Britz

---

Dieter Britz <dieterhansbritz@gmail.com> writes:


> Hvis man må bruge Taylorrækken, er der jo en nemmere måde at bevise
> det på. Jeg var ude efter at bevise det ved at finde limis af det
> udtryk, og det kan sikkert lade sig gøre. Lige som den for sin(x) / x,
> som er lig med 1, og hvor der også er "problemet" med 0/0, men alligevel.

Hvis man skal finde grænsen for f/g, og både f og g går mod 0, er den
sædvanlige metode at bruge L'Hopitals regel, som siger at grænseværdien
er lig med grænseværdien for f'/g', såfremt denne eksisterer. Den
bruges nemt på sin(x)/x for x->0: sin'(x)/x' = cos(x)/1, som klart går
mod 1, når x->0.

Til at finde exp'(x) havde vi (exp(h)-1)/h hvor h->0. Hvis vi bruger
L'Hopitals regel, får vi exp'(h)/1. Og så er vi lige vidt, da vi ikke
kender exp'(x).

   Torben