---

Et ikosaeder er et platonisk legeme med 20 trekantede flader, 30 kanter og
12 hjørner.
http://da.wikipedia.org/wiki/Ikosaeder

Lad os sige du har 3 forskellige farver af pinde til kanterne, kan hver
trekant så få en side af hver farve?

Jeg har selv et svar som er lidt omstændeligt, så spørgsmålet er om der
findes et kort og nogenlunde elegant argument?

Mvh
Martin

---

"Martin Larsen" <mlarsen@post7.tele.dk> writes:

> Et ikosaeder er et platonisk legeme med 20 trekantede flader, 30
> kanter og 12 hjørner.
> http://da.wikipedia.org/wiki/Ikosaeder
>
> Lad os sige du har 3 forskellige farver af pinde til kanterne, kan
> hver trekant så få en side af hver farve?
>
> Jeg har selv et svar som er lidt omstændeligt, så spørgsmålet er om
> der findes et kort og nogenlunde elegant argument?

Ja, det kan de godt. Jeg har ikke noget enkelt svar andet end, at jeg
har tegnet en løsning på papir her foran mig.

   Torben

---

"Torben "Ægidius" Mogensen" <torbenm@pc-003.diku.dk> skrev i meddelelsen
news:7z1vwh3dln.fsf@pc-003.diku.dk...
> "Martin Larsen" <mlarsen@post7.tele.dk> writes:
>
>> Et ikosaeder er et platonisk legeme med 20 trekantede flader, 30
>> kanter og 12 hjørner.
>> http://da.wikipedia.org/wiki/Ikosaeder
>>
>> Lad os sige du har 3 forskellige farver af pinde til kanterne, kan
>> hver trekant så få en side af hver farve?
>>
>> Jeg har selv et svar som er lidt omstændeligt, så spørgsmålet er om
>> der findes et kort og nogenlunde elegant argument?
>
> Ja, det kan de godt. Jeg har ikke noget enkelt svar andet end, at jeg
> har tegnet en løsning på papir her foran mig.
>


Jeg har 3D - og et tillægsspørgsmål bliver: hvor mange løsninger findes (+
begrundelse)?

Mvh
Martin

---

"Martin Larsen" <mlarsen@post7.tele.dk> writes:

> "Torben "Ægidius" Mogensen" <torbenm@pc-003.diku.dk> skrev i
> meddelelsen news:7z1vwh3dln.fsf@pc-003.diku.dk...
>> "Martin Larsen" <mlarsen@post7.tele.dk> writes:

>>> http://da.wikipedia.org/wiki/Ikosaeder
>>>
>>> Lad os sige du har 3 forskellige farver af pinde til kanterne, kan
>>> hver trekant så få en side af hver farve?
>>
>> Ja, det kan de godt. Jeg har ikke noget enkelt svar andet end, at jeg
>> har tegnet en løsning på papir her foran mig.
>
> Jeg har 3D - og et tillægsspørgsmål bliver: hvor mange løsninger
> findes (+ begrundelse)?

2D eller 3D gør ingen forskel -- min 2D-tegning er topologisk identisk
med en ikosaeder.

Tillægsspørgsmålet er straks værre. Jeg vil betragte to løsninger,
som blot er rotationer af hinanden, som ens, og det gør tællearbejdet
noget besværligt. Ligeledes vil jeg mene, at en permutation af
farverne ikke bør gøre nogen forskel.

Mit gæt er, at med disse ækvivalenser, så er antallet af forskellige
løsninger ret lavt -- måske kun 1. Men jeg har ikke noget umiddelbart
bevis.

   Torben

---

"Martin Larsen" <mlarsen@post7.tele.dk> writes:

> Et ikosaeder er et platonisk legeme med 20 trekantede flader, 30
> kanter og 12 hjørner.
> http://da.wikipedia.org/wiki/Ikosaeder
>
> Lad os sige du har 3 forskellige farver af pinde til kanterne, kan
> hver trekant så få en side af hver farve?
>
> Jeg har selv et svar som er lidt omstændeligt, så spørgsmålet er om
> der findes et kort og nogenlunde elegant argument?

Så vidt jeg kan se på google har Grötzsch lavet et teorem der siger at
hvis en plan graf ikke indeholder en cykel med længden 3, så kan det
trefarves. (men jeg kunne ikke finde et elegant bevis, så på den måde
har jeg ikke svaret på dit spørgsmål)

Niels

---

"Niels L. Ellegaard" <niels.ellegaard@gmail.com> wrote in message
news:86ej0fltv9.fsf@gmail.com...
> "Martin Larsen" <mlarsen@post7.tele.dk> writes:
>
>> Et ikosaeder er et platonisk legeme med 20 trekantede flader, 30
>> kanter og 12 hjørner.
>> http://da.wikipedia.org/wiki/Ikosaeder
>>
>> Lad os sige du har 3 forskellige farver af pinde til kanterne, kan
>> hver trekant så få en side af hver farve?
>>
>> Jeg har selv et svar som er lidt omstændeligt, så spørgsmålet er om
>> der findes et kort og nogenlunde elegant argument?
>
> Så vidt jeg kan se på google har Grötzsch lavet et teorem der siger at
> hvis en plan graf ikke indeholder en cykel med længden 3, så kan det
> trefarves. (men jeg kunne ikke finde et elegant bevis, så på den måde
> har jeg ikke svaret på dit spørgsmål)
>
> Niels

Øh, men et ikosaeder indeholder en del cykler med længde tre. Tyve, for at
være helt præcis.

--
Venlig hilsen/Best regards
Kristian Damm Jensen

---

"Kristian Damm Jensen" <REdamm.MOVEusenet@SPAMkristiandamm.dk> skrev i
meddelelsen news:494138bf$0$15900$edfadb0f@dtext01.news.tele.dk...
> "Niels L. Ellegaard" <niels.ellegaard@gmail.com> wrote in message
> news:86ej0fltv9.fsf@gmail.com...
>> "Martin Larsen" <mlarsen@post7.tele.dk> writes:
>>
>>> Et ikosaeder er et platonisk legeme med 20 trekantede flader, 30
>>> kanter og 12 hjørner.
>>> http://da.wikipedia.org/wiki/Ikosaeder
>>>
>>> Lad os sige du har 3 forskellige farver af pinde til kanterne, kan
>>> hver trekant så få en side af hver farve?
>>>
>>> Jeg har selv et svar som er lidt omstændeligt, så spørgsmålet er om
>>> der findes et kort og nogenlunde elegant argument?
>>
>> Så vidt jeg kan se på google har Grötzsch lavet et teorem der siger at
>> hvis en plan graf ikke indeholder en cykel med længden 3, så kan det
>> trefarves. (men jeg kunne ikke finde et elegant bevis, så på den måde
>> har jeg ikke svaret på dit spørgsmål)
>>
>> Niels
>
> Øh, men et ikosaeder indeholder en del cykler med længde tre. Tyve, for at
> være helt præcis.
>

Og det er heller ikke et traditionelt kantfarvningsproblem.
Skulle det gøres til et traditionelt flade farvningsproblem (face coloring)
ville jeg måske indføre et hjørne lidt over midten i hver trekant og omdanne
kanterne til rhomber.

Jeg vil lige beskrive 4 løsninger, da det er ret nemt, når man tager
udgangspunkt i den kendte? konstruktion med 3 gyldne-snits-kort stukket ind
i hinanden.
http://en.wikipedia.org/wiki/Icosahedron#Cartesian_coordinates

Kortene har med 3 farver to mulige konstruktioner, og viser umiddelbart de
eneste steder, hvor ensfarvede kanter er modsatliggende.
Farvelægningen består af 6 slanger/skruer à 5 ensfarvede led, hvor kortet er
midterste led, - alle enten højre eller venstreskruede.

Mvh
Martin

---

On 11 Dec., 16:58, "Kristian Damm Jensen"
<REdamm.MOVEuse...@SPAMkristiandamm.dk> wrote:
> "Niels L. Ellegaard" <niels.ellega...@gmail.com> wrote in messagenews:86ej0fltv9.fsf@gmail.com...
>
>
>
>
>
> > "Martin Larsen" <mlar...@post7.tele.dk> writes:
>
> >> Et ikosaeder er et platonisk legeme med 20 trekantede flader, 30
> >> kanter og 12 hjørner.
> >>http://da.wikipedia.org/wiki/Ikosaeder
>
> >> Lad os sige du har 3 forskellige farver af pinde til kanterne, kan
> >> hver trekant så få en side af hver farve?
>
> >> Jeg har selv et svar som er lidt omstændeligt, så spørgsmålet er om
> >> der findes et kort og nogenlunde elegant argument?
>
> > Så vidt jeg kan se på google har Grötzsch lavet et teorem der siger at
> > hvis en plan graf ikke indeholder en cykel med længden 3, så kan det
> > trefarves. (men jeg kunne ikke finde et elegant bevis, så på den måde
> > har jeg ikke svaret på dit spørgsmål)
>
> >           Niels
>
> Øh, men et ikosaeder indeholder en del cykler med længde tre. Tyve, for at
> være helt præcis.

Ja men nu er det jo sådan, at

"en plan graf der ikke indeholder en cykel med længden 3 kan
trefarves" ikke medfører at
"en plan graf der indeholder en cykel med længden 3 kan ikke
trefarves"

Jeg kan da iøvrigt ikke lige komme på en plan graf bestående af
trekanter der ikke kan trefarves.
Fedtede 5 min lidt på bagsiden af en post-it. Kan der ikke ret let
laves et konstruktivt bevis for at en graf bestående af kun trekanter
netop kan trefarves.

J.O.