---

Jeg sidder og kigger på følgende opgave:

"Bevis, at n(n+1)(n+2)(n+3)+1 er et kvadrattal."

Hvordan hulen griber man det an? Jeg har prøvet at gange ud til n^4 +
6n^3 + 11n^2 + 6n + 1, og har bemærket det sjove i, at koefficienterne
er palindromiske (1, 6, 11, 6, 1), men er ikke sikker på, at det er
den rigtige vej at gå.

---

<oz1sej@gmail.com> skrev i meddelelsen
news:93e0d7d5-6fe7-44ef-b9ab-a48bfa86c289@m44g2000hsc.googlegroups.com...
Jeg sidder og kigger på følgende opgave:

"Bevis, at n(n+1)(n+2)(n+3)+1 er et kvadrattal."

Hvordan hulen griber man det an? Jeg har prøvet at gange ud til n^4 +
6n^3 + 11n^2 + 6n + 1, og har bemærket det sjove i, at koefficienterne
er palindromiske (1, 6, 11, 6, 1), men er ikke sikker på, at det er
den rigtige vej at gå.

----------

Kan man ikke slå "quoted printable" fra i din nyhedslæser?


Udregn (n^2 + 3*n + 1)^2

Mvh
Martin

---

"Martin Larsen" <mlarsen@post7.tele.dk> wrote in message
news:48db5bab$0$90269$14726298@news.sunsite.dk...
>
> Kan man ikke slå "quoted printable" fra i din nyhedslæser?

Han bruger google groups

---

On 25 Sep., 11:36, "Martin Larsen" <mlar...@post7.tele.dk> wrote:

> Kan man ikke slå "quoted printable" fra i din nyhedslæser?

A hvaffor en fisk?

> Udregn (n^2 + 3*n + 1)^2

Æv, du skulle ikke give mig svaret. Jeg ville bare have et hint.
Hvordan har du fundet frem til det?

---

<oz1sej@gmail.com> skrev i meddelelsen
news:367e2eb4-e1f6-4d62-b99b-352c9ba60a59@k37g2000hsf.googlegroups.com...
On 25 Sep., 11:36, "Martin Larsen" <mlar...@post7.tele.dk> wrote:

> Kan man ikke slå "quoted printable" fra i din nyhedslæser?

A hvaffor en fisk?

> Udregn (n^2 + 3*n + 1)^2

Æv, du skulle ikke give mig svaret. Jeg ville bare have et hint.
Hvordan har du fundet frem til det?


------

Der findes vist ingen nemme regler for faktorisering af polynomier, men
simple tilfælde som dette hvor de 2 faktorer skal være ens, bør du selv
kunne more dig med at finde mulige angrebsvinkler til.

Mvh
Martin

---

oz1sej@gmail.com writes:

> On 25 Sep., 11:36, "Martin Larsen" <mlar...@post7.tele.dk> wrote:
>
>> Kan man ikke slå "quoted printable" fra i din nyhedslæser?
>
> A hvaffor en fisk?
>
>> Udregn (n^2 + 3*n + 1)^2
>
> Æv, du skulle ikke give mig svaret. Jeg ville bare have et hint.
> Hvordan har du fundet frem til det?

Kvadratroden af n^4 + 6n^3 + 11n^2 + 6n + 1, hvis den findes, må være
et andengradspolynomium af formen n^2 + an + b.

(n^2 + an + b)^2
= n^4 + a^2n^2 + b^2 + 2an^3 + 2bn^2 + 2abn
= n^4 + 2an^3 + (a^2+2b)n^2 + 2abn + b^2

Hvis n^4 + 2an^3 + (a^2+2b)n^2 + 2abn + b^2 = n^4 + 6n^3 + 11n^2 + 6n + 1,
så er 2a = 6, a^2+2b = 11, 2ab = 6 og b^2 = 1.

Det ses hurtigt, at a=3 og b=1.

   Torben

---

<oz1sej@gmail.com> skrev i meddelelsen
news:93e0d7d5-6fe7-44ef-b9ab-a48bfa86c289@m44g2000hsc.googlegroups.com...
Jeg sidder og kigger på følgende opgave:

"Bevis, at n(n+1)(n+2)(n+3)+1 er et kvadrattal."

Hvordan hulen griber man det an? Jeg har prøvet at gange ud til n^4 +
6n^3 + 11n^2 + 6n + 1, og har bemærket det sjove i, at koefficienterne
er palindromiske (1, 6, 11, 6, 1), men er ikke sikker på, at det er
den rigtige vej at gå.


----

Jeg kom lige i tanke om et argument, som ikke kræver megen regning.

Et kvadratisk polynomium skal være symmetrisk.
Det ses at funktionen her har værdierne (0,1),(-1,1),(-2,1),(-3,1)
Den er måske symmetrisk overalt om n=-3/2.
Substituer n med x-3/2 for at gøre y-akse til symmetriakse.
(x-3/2)(x-1/2)(x+1/2)(x+3/2)+1
Ja minsandten! den er symmetrisk.

Mvh
Martin

---

"Martin Larsen" <mlarsen@post7.tele.dk> skrev i meddelelsen
news:48dbb102$0$90275$14726298@news.sunsite.dk...
> <oz1sej@gmail.com> skrev i meddelelsen
> news:93e0d7d5-6fe7-44ef-b9ab-a48bfa86c289@m44g2000hsc.googlegroups.com...
> Jeg sidder og kigger på følgende opgave:
>
> "Bevis, at n(n+1)(n+2)(n+3)+1 er et kvadrattal."
>
> Hvordan hulen griber man det an? Jeg har prøvet at gange ud til n^4 +
> 6n^3 + 11n^2 + 6n + 1, og har bemærket det sjove i, at koefficienterne
> er palindromiske (1, 6, 11, 6, 1), men er ikke sikker på, at det er
> den rigtige vej at gå.
>
>
> ----
>
> Jeg kom lige i tanke om et argument, som ikke kræver megen regning.
>
> Et kvadratisk polynomium skal være symmetrisk.
> Det ses at funktionen her har værdierne (0,1),(-1,1),(-2,1),(-3,1)
> Den er måske symmetrisk overalt om n=-3/2.
> Substituer n med x-3/2 for at gøre y-akse til symmetriakse.
> (x-3/2)(x-1/2)(x+1/2)(x+3/2)+1
> Ja minsandten! den er symmetrisk.
>
Det var vist for lidt til bevis, men udregningen er nu nem og der fremkommer
et kvadrat som tidligere angivet.

Mvh
Martin

---

oz1sej@gmail.com writes:

> On 25 Sep., 11:36, "Martin Larsen" <mlar...@post7.tele.dk> wrote:
>
>> Kan man ikke slå "quoted printable" fra i din nyhedslæser?
>
> A hvaffor en fisk?
>
>> Udregn (n^2 + 3*n + 1)^2
>
> Æv, du skulle ikke give mig svaret. Jeg ville bare have et hint.
> Hvordan har du fundet frem til det?


Det letteste er nok at lede efter koefficienter a, b og c, så følgende
ligning er opfyldt for alle lovlige valg af n:

n^4 + 6n^3 + 11n^2 + 6n + 1 = (a*n^2 + b*n + c)^2

Hvis du ganger ud så får du en ligning på formen

n^4 + 6n^3 + 11n^2 + 6n + 1 = a^2 n^4 + .... flere led

Nu kan du sammenligne et koeffificent ad gangen, og se om du er
heldig og finder en løsning.

Hvis du ikke kan lide tilfældige gæt, så bør du kigge på følgende
sætning. (Jeg har ikke selv bevist den, men den virker untivt
fornuftig, så mon ikke den er rigtig):

Lad p(n) være et polynomium, og lad p(n) opfylde at p(n) er et
kvadrattal for alle heltallige valg af n. Bevis (eller modebevis) at
der findes et polynomium q(n), således at

p(n) = (q(n))^2


Niels