---

Ligningen x^2 = 2^x har tre løsninger. De fremkommer tydeligt ved en
afbildning i et koordinatsystem af funktionerne f(x) = x^2 (parabel) og
f(x) = 2^x (eksponentiel funktion). x = 2 og x = 4, hvilket umiddelbart
giver sig selv. Herudover ses løsningen x = ca. -0,6, og der skal
selvfølgelig også være en løsning mellem 0 og -1. Nu kommer spørgsmålet:
Hvordan beregner man denne tredie løsning nøjagtigt?

På forhånd tak Per Andreasen

---

"Per Andreasen" <per.andreasen(fjern.parantes)@gmail.com> skrev i
meddelelsen news:48b931ab$0$90267$14726298@news.sunsite.dk...
> Ligningen x^2 = 2^x har tre løsninger. De fremkommer tydeligt ved en
> afbildning i et koordinatsystem af funktionerne f(x) = x^2 (parabel) og
> f(x) = 2^x (eksponentiel funktion). x = 2 og x = 4, hvilket umiddelbart
> giver sig selv. Herudover ses løsningen x = ca. -0,6, og der skal
> selvfølgelig også være en løsning mellem 0 og -1. Nu kommer spørgsmålet:
> Hvordan beregner man denne tredie løsning nøjagtigt?
>
> På forhånd tak Per Andreasen
>


Der findes ikke nogen umiddelbar løsning med kendte funktioner.
Løs den numerisk eller omskriv til noget med invers Lambert's W funktion.

Tag kvadratrod: ±x = 2^(x/2).
ln(2)/2 = -x/2*ln(2)*exp(-x/2*ln(2)) =>
W(ln(2)/2) = -x/2*ln(2) => x = -0.766664695962123 for den negative.
Se evt W her:
http://functions.wolfram.com/webMathematica/FunctionEvaluation.jsp?name=ProductLog

Mvh
Martin

---

"Per Andreasen" <per.andreasen(fjern.parantes)@gmail.com> skrev i en
meddelelse news:48b931ab$0$90267$14726298@news.sunsite.dk...
> Ligningen x^2 = 2^x har tre løsninger. De fremkommer tydeligt ved en
> afbildning i et koordinatsystem af funktionerne f(x) = x^2 (parabel) og
> f(x) = 2^x (eksponentiel funktion). x = 2 og x = 4, hvilket umiddelbart
> giver sig selv. Herudover ses løsningen x = ca. -0,6, og der skal
> selvfølgelig også være en løsning mellem 0 og -1. Nu kommer spørgsmålet:
> Hvordan beregner man denne tredie løsning nøjagtigt?

Er 16 decimaler nok?
-0.76666469596212306

Aage

---

"Per Andreasen" <per.andreasen(fjern.parantes)@gmail.com> writes:

> Ligningen x^2 = 2^x har tre løsninger. De fremkommer tydeligt ved en
> afbildning i et koordinatsystem af funktionerne f(x) = x^2 (parabel) og
> f(x) = 2^x (eksponentiel funktion). x = 2 og x = 4, hvilket umiddelbart
> giver sig selv. Herudover ses løsningen x = ca. -0,6, og der skal
> selvfølgelig også være en løsning mellem 0 og -1. Nu kommer spørgsmålet:
> Hvordan beregner man denne tredie løsning nøjagtigt?

tja, det er jo aldrig rart når der både indgår x og exp(x) i en ligning.
Det er korrekt at du kan reducere udtrykket og benytte W-funktionen til at
finde værdien af den sidste rod. Problemet er så at evaluere W-funktionen...

Hvis du vil ned til the basics - så kan du jo bruge Newtons metode med et
startgæt på x=-0.6. Iterationerne ser ud som flg.

0   -0.6
1   -0.780868136568
2   -0.766752952833
3   -0.766664699409
4   -0.766664695962
5   -0.766664695962


--
Søren Dideriksen

---

Søren Dideriksen skrev:

> Hvis du vil ned til the basics - så kan du jo bruge Newtons metode med et
> startgæt på x=-0.6. Iterationerne ser ud som flg.

Newtonmetoden går i et uendeligt loop hvis man er uheldig.

Bisektion har ikke den fejl, men den er ikke så hurtig.

--
Bertel
http://bertel.lundhansen.dk/      FIDUSO: http://fiduso.dk/